人教版（2024）九年级上册（2024）第二十五章 一元二次方程25.2 降次 —— 解一元二次方程25.2.3 因式分解法教学ppt课件

这是一份人教版（2024）九年级上册（2024）第二十五章 一元二次方程25.2 降次 —— 解一元二次方程25.2.3 因式分解法教学ppt课件，共28页。PPT课件主要包含了学习目标，知识回顾，导入新课，新知探究，x0或2–x0，x10x22，a·b0，理论依据，什么是因式分解法，核心思想降次转化等内容，欢迎下载使用。
理解因式分解法解一元二次方程的原理，熟记“积为0则至少一个因式为0”的核心依据.熟练掌握提公因式、乘法公式两种因式分解技巧解一元二次方程.掌握因式分解法标准化解题步骤，能根据方程特征灵活选择最优解法.
经历“观察方程结构—因式分解—降次转化—求解方程”的探究过程，体会转化、降次的数学思想.通过多种解法对比，学会辨析不同解方程方法的适用场景，培养归纳总结、择优解题的思维能力.
在简便解题的探究过程中，感受数学方法的多样性与简洁性，提升数学学习兴趣.养成先观察、再解题、规范书写的良好数学习惯，培养严谨的代数运算思维.
基本形式：提取多项式各项的公因式，将其写在括号外。ma + mb + mc = m(a + b + c)
平方差公式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。a² - b² = (a + b)(a - b)
完全平方公式：两个数的平方和，加上（或减去）它们积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。a² ± 2ab + b² = (a ± b)²
因式分解的方法有哪些？
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
我们学过的解一元二次方程的方法有哪些？
这是最基础的解法，专门适用于形如：x² = p或(x+n)² = p的一元二次方程，当 p≥0 时可直接开方求解。
这是一种通用解法，通过配方将方程转化为(x+n)2=p(p≥0)形式，虽然适用于所有一元二次方程，但步骤相对繁琐，计算量较大。
该方程结构简单，是否有更简便的解法？不用复杂计算、不用套公式即可快速求解？
——因式分解法解一元二次方程.
物体经过多少秒落回地面？
探究：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过 x s 后的离地高度（单位：m）约为 10x–5x2.
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？
分析：设物体经过 x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m.
即 10x–5x2=0.
试着用学过的方法解这个方程
配方法解方程 10x–5x2=0.
公式法解方程 10x–5x2=0.
解：移项，二次项系数化为1，得 x2–2x=0.配方，得 x2–2x+12=12， (x–1)2=1.开平方得： x–1=±1， x1= 0，x2= 2.
除了配方法和公式法，你还能找到更简便的方法解这个方程吗？
解方程 10x–5x2=0.
提公因式将方程的左边因式分解
5x(2–x) = 0.
两个因式的积为0，说明了什么？
降次，化为两个一次方程
方程的左边因式分解能分解因式吗？若果能，方程可化为什么形式？
若 a × b = 0，则 a = 0 或 b = 0
结合实际意义分析：t=0 代表抛出物体的初始时刻，t=2 代表物体落回地面的时刻。因此，物体从抛出到落地经过的时间为2 秒。
通过因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式.再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法.
“或”是“二者中至少有一个成立”的意思，包括两种情况，二者同时成立；二者有一个成立。“且”是“二者同时成立”的意思。
因式分解法解一元二次方程的步骤
解方程x(x+2)=2(x+2)
第一步：一化 --警惕“丢根”陷阱！? 错误做法：直接两边除以 (x+2)，会丢失 x=-2 这个根！✅ 正确做法：移项整理，将所有项移到左边
分解得： (x+2)(x-2)=0，
第二步：二分观察式子，提取两边共有的公因式 (x+2)，得到因式分解形式
第三步：三列根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的原理，列出一次方程
∴x + 2 = 0 或 x - 2 = 0
第四步：四解分别解出两个一元一次方程，得到原方程的两个根
x₁ = -2，x₂ = 2
比较三种解法的适用场景，能因式分解优先用因式分解法.
核心特点：计算最快、步骤最简便，是解方程的首选方法。
适用场景：方程一边是0，另一边能轻松分解成两个因式相乘的形式
x² - 3x = 0
核心特点：万能通用，适用于所有一元二次方程，是最后的“保底”解法。
适用场景：当方程无法通过因式分解或开平方法快速求解时使用。
2x² - 3x - 1 = 0
核心特点：形式特殊时计算极快，是特定结构方程的“捷径”。
适用场景：方程可整理为 x²=p 或 (x+n)²=p（p≥0）的完全平方形式。
(x - 1)² = 4
（3）3x2 – 6x = –3；
（4）4x2 – 81 = 0；
（5）3x(2x+1) = 4x+2；
（6）(x–4)2 = (5–2x)2 .
解：(1)分解因式得:x(x+1)=0.∴ x=0，或 x+1=0，方程的解为: x1=0，x2= – 1.
(3)方程变形，得3(x2–2x+1)=0.分解因式，得:3(x–1)2=0.∴ x–1=0，方程的解为: x1=x2=1.
(6) 分解因式，得 [(x–4)+(5–2x)][(x–4)–(5–2x)]=0，整理得: (1–x)(3x–9)=0.∴ 1–x=0，或 3x–9=0，方程的解为: x1=1，x2=3.
2.如图，把圆形场地的半径增加 5 m，得到大圆形场地，大圆形场地与小圆形场地的面积比为 9∶4 .求小圆形场地的半径.
1．（2025•齐齐哈尔）解方程：x2﹣7x＝﹣12．
解：整理得：x2﹣7x+12＝0，因式分解得：（x﹣4）（x﹣3）＝0，∴ x﹣4＝0 或 x﹣3＝0，解得 x1＝4，x2＝3．
核心原理：若ab=0 ，则 a=0或b=0；两种分解方法： 提公因式法、乘法公式法（平方差、完全平方）；(3) 解题四步骤： 右化0—左分解—列一次方程—求解根；解法选择： 结构特殊可因式分解，优先用因式分解法，运算最简、速度最快.
（1）转化降次思想：将陌生的二次方程转化为熟悉的一元一次方程，化繁为简、化未知为已知；（2）数形结合与模型思想：建立“积零为根”的解题模型，实现题型归类、方法固化；（3）择优优化思想：根据方程结构选择最优解法，培养灵活解题的数学思维.
6.用因式分解法解下列方程：
（1）3x2–12x= –12；
（2）4x2–144=0；
（3）3x(x–1)=2(x–1)；
（4）(2x–1)2=(3–x)2.
解：(1)方程变形，得: 3(x2–4x+4)=0.分解因式得: 3(x–2)2=0. ∴ x–2=0∴方程的解为: x1=x2=2.
解：分解因式，得: (2x+12)(2x–12)=0.∴ 2x+12=0，或 2x–12=0，∴方程的解为: x1= –6，x2=6.
8.一个直角三角形的两条直角边的长相差 5，面积是 7，求斜边的长.