2027年高考数学一轮专题复习考点通关：课时规范练50 两条直线的位置关系（含解析）

这是一份2027年高考数学一轮专题复习考点通关：课时规范练50 两条直线的位置关系（含解析），共13页。试卷主要包含了若直线l1，已知直线l1，平行直线l1，过点P作直线l,使它被直线l1，故选D等内容，欢迎下载使用。
考点一 两条直线的平行与垂直
1.若直线l1:(m-2)x+3y+3=0与直线l2:2x+(m-1)y+2=0平行,则实数m=( )
A.4B.1
C.1或-4D.-1或4
2.“a=1”是“直线x+ay-1=0与ax-y+5=0垂直”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知直线l1:3x+y+2=0与直线l2:x+2y-1=0的交点为M,经过点M且与直线2x+y+5=0平行的直线的方程是 .
考点二 距离问题
4.平行直线l1:2x+y-5=0与l2:x-by+5=0之间的距离为( )
A.5B.25C.35D.55
5.若三条直线x+y-3=0,x-y+1=0,mx+ny-5=0相交于同一点,则点(m,n)到原点的距离的最小值为 .
考点三 对称问题
6.过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段恰好被点P平分,则直线l的方程为 .
素能综合练
7.(2025·天津红桥模拟)若直线l1:x-y+1=0与直线l2:x+my=0互相平行,则实数m的值为( )
A.-2B.1C.-1D.2
8.已知直线Ax+By+C=0与直线y=2x-3垂直,则( )
A.A=-2B≠0B.A=2B≠0
C.B=-2A≠0D.B=2A≠0
9.已知a2-3a+2=0,则直线l1:ax+(3-a)y-a=0和直线l2:(6-2a)x+(3a-5)y-4+a=0的位置关系为( )
A.垂直或平行B.垂直或相交
C.平行或相交D.垂直或重合
10.点P在x轴上,若它到直线4x-3y-3=0的距离等于1,则点P的坐标是( )
A.(2,0)B.(0,2)
C.(-12,0)D.(2,0)或(-12,0)
11.(2020·全国Ⅲ,文8)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为( )
A.1B.2C.3D.2
12.已知A(1,2),B(-1,0),C(2,-1),若存在一点D满足CD⊥AB,且CB∥AD,则点D的坐标为( )
A.(-2,-3)B.(2,-3)
C.(2,3)D.(-2,3)
13.到直线3x+4y+2=0的距离为1的直线方程为( )
A.3x+4y+3=0
B.3x+4y+7=0
C.3x+4y+3=0或3x+4y+1=0
D.3x+4y+7=0或3x+4y-3=0
14.(多选题)已知直线l过点P(1,2),且点A(2,3),B(4,-5)到直线l的距离相等,则l的方程可能是( )
A.4x+y-6=0B.x+4y-6=0
C.3x+2y-7=0D.2x+3y-7=0
15.(2025·上海奉贤二模)已知直线3x+4y-5=0上的动点P和直线3x+4y+10=0上的动点Q,则点P与点Q之间距离的最小值是 .
16.已知直线l经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点P,且垂直于直线x+y-2=0,则直线l的方程为 .
17.已知直线l过两条直线x-2y+4=0与4x+3y+5=0的交点,且点A(-1,-2)到直线l的距离为1,则直线l的方程为 .
参考答案
课时规范练50 两条直线的位置关系
1.D 解析 依题意得,(m-2)(m-1)=2×3,得m2-3m-4=0,解得m=4或m=-1.
当m=4时,直线l1:2x+3y+3=0与直线l2:2x+3y+2=0平行,符合题意;
当m=-1时,直线l1:x-y-1=0与直线l2:x-y+1=0平行,符合题意.
综上,m=4或m=-1.故选D.
2.A 解析 ∵对于任意a∈R,1·a+a·(-1)=0恒成立,∴直线x+ay-1=0与ax-y+5=0垂直恒成立,∴“a=1”是“直线x+ay-1=0与ax-y+5=0垂直”的充分不必要条件.故选A.
3.2x+y+1=0 解析 由3x+y+2=0,x+2y-1=0,解得x=-1,y=1,所以交点为M(-1,1).直线2x+y+5=0的斜率为-2,因为所求直线与直线2x+y+5=0平行,可得所求直线的斜率k=-2,所以所求直线方程为y-1=-2(x+1),即2x+y+1=0.
4.C 解析 因为l1∥l2,所以b≠0,21=1-b≠-55,解得b=-12,
所以l2:2x+y+10=0.
故两平行直线间的距离d=|10-(-5)|4+1=35.故选C.
5.5 解析 联立x+y-3=0,x-y+1=0,解得x=1,y=2.因为三条直线x+y-3=0,x-y+1=0,mx+ny-5=0相交于同一点,所以m+2n=5.则点(m,n)到原点的距离的最小值为原点到直线x+2y=5的距离d=512+22=5.
6.x+4y-4=0 解析 设l1与l的交点为A(a,8-2a),
则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,
所以直线l的方程为x4+y=1,
即x+4y-4=0.
7.C 解析 由题意,1×m-(-1)×1=0,解得m=-1,此时l1:x-y+1=0,l2:x-y=0,满足题意.故选C.
8.D 解析 直线y=2x-3的斜率为2,
又两直线互相垂直,
所以直线Ax+By+C=0的斜率为-12,即-AB=-12且A≠0,B≠0,
所以B=2A≠0.
故选D.
9.D 解析 因为a2-3a+2=0,所以a=1或a=2.当a=1时,l1:x+2y-1=0,l2:4x-2y-3=0,k1=-12,k2=2,所以k1·k2=-1,则两直线垂直;当a=2时,l1:2x+y-2=0,l2:2x+y-2=0,则两直线重合.
10.D 解析 设P(x,0),所以点P到直线4x-3y-3=0的距离d=|4x-3|42+(-3)2=1,所以x=2或x=-12,所以点P的坐标为(2,0)或(-12,0).
11.B 解析 直线y=k(x+1)过定点(-1,0),当过点(0,-1)与点(-1,0)的直线与直线y=k(x+1)垂直时,点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离最大,故最大距离等于(0,-1)和(-1,0)两点之间的距离,为2.故选B.
12.D 解析 设D(x,y),由CD⊥AB,且CB∥AD,知kCD·kAB=-1,kCB=kAD,
则y-(-1)x-2·0-2-1-1=-1,-1-02-(-1)=y-2x-1,解得x=-2,y=3,
所以D(-2,3).故选D.
13.D 解析 设所求直线方程为3x+4y+c=0.由题意知|c-2|9+16=1,解得c=7或c=-3,即所求直线方程为3x+4y+7=0或3x+4y-3=0.故选D.
14.AC 解析 由条件可知直线l平行于直线AB或过线段AB的中点.当直线l∥AB时,因为直线AB的斜率为3-(-5)2-4=-4,所以直线l的方程是y-2=-4(x-1),即4x+y-6=0;当直线l经过线段AB的中点(3,-1)时,l的斜率为2-(-1)1-3=-32,此时l的方程是y-2=-32(x-1),即3x+2y-7=0.故选AC.
15.3 解析 直线3x+4y-5=0和直线3x+4y+10=0互相平行,故点P与点Q之间距离的最小值即两条直线间的距离,且两条直线间的距离d=|-5-10|32+42=3.
16.x-y-1=0 解析 (方法1)由2x-y-3=0,4x-3y-5=0,解得x=2,y=1.
即点P的坐标为(2,1),因为直线l与直线x+y-2=0垂直,所以直线l的斜率为1,由点斜式得l的方程为y-1=1×(x-2),即x-y-1=0.
(方法2)直线l的方程可设为2x-y-3+λ(4x-3y-5)=0(其中λ为常数),即(2+4λ)x-(1+3λ)y-5λ-3=0.
因为直线l与直线x+y-2=0垂直,
所以2+4λ1+3λ·(-1)=-1,解得λ=-1,故直线l的方程为x-y-1=0.
17.4x+3y+5=0或x+2=0 解析 (方法1)联立x-2y+4=0,4x+3y+5=0,解得x=-2,y=1,
所以直线l过点(-2,1).
当直线l的斜率存在时,设直线l:y-1=k(x+2),即kx-y+2k+1=0,点A(-1,-2)到直线l的距离d=|-k+2+2k+1|k2+1=1,解得k=-43,
此时直线l的方程为4x+3y+5=0;
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-2,点A(-1,-2)到直线l的距离为|-1-(-2)|=1,满足条件.
综上可知,直线l的方程为4x+3y+5=0或x+2=0.
(方法2)同方法1求得直线l过点(-2,1).设直线l:A(x+2)+B(x-1)=0(A2+B2≠0),则由点A(-1,-2)到直线l的距离为1得|A(-1+2)+B(-2-1)|A2+B2=1,化简得B(4B-3A)=0,所以B=0或4B=3A.
当B=0时,l:A(x+2)=0,即x+2=0;
当4B=3A时,可取A=4,B=3,则l:4(x+2)+3(x-1)=0,即4x+3y+5=0.
综上可知,直线l的方程为4x+3y+5=0或x+2=0.