2027年高考数学一轮专题复习考点通关：课时规范练56 直线与圆锥曲线的位置关系（含解析）

这是一份2027年高考数学一轮专题复习考点通关：课时规范练56 直线与圆锥曲线的位置关系（含解析），共13页。试卷主要包含了已知双曲线C，已知抛物线C，若直线l等内容，欢迎下载使用。
考点一 直线与圆锥曲线的位置关系
1.过点(0,2)与双曲线x29−y216=1有且仅有一个公共点的直线l的斜率的取值集合是 .
2.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有 条.
考点二 弦长问题
3.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A,B,P(22,1)在双曲线C上,满足kPA·kPB=14.
(1)求双曲线C的方程;
(2)过点Q(3,0)的直线l(与x轴不重合)交双曲线C于M,N两点.若|MN|=833,求直线l的方程.
考点三 中点弦问题
4.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(6,y0)在抛物线C上,且|AF|=10.
(1)求抛物线C的方程;
(2)已知直线l交抛物线C于M,N两点,且(4,2)为线段MN的中点,求直线l的方程.
考点四 弦的垂直平分线问题
5.抛物线C的焦点F到准线l的距离为2.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)过焦点F的直线(斜率存在且不为0)交抛物线C于A,B两点,线段AB的中垂线交抛物线的对称轴于点P,求|FP||AB|.
素能综合练
6.已知直线y=-x+1与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A,B两点,若椭圆的离心率为22,焦距为2,则线段AB的长是( )
A.223B.423C.2D.2
7.(2025·江苏常州模拟)若直线l:y=kx(k>0)与双曲线C:y23−x24=1有两个不同的交点,则k的取值范围是( )
A.(0,32)B.(32,+∞)C.(0,233)D.(233,+∞)
8.(2023·全国乙,理11)设A,B为双曲线x2-y29=1上两点,下列四个点中,可以为线段AB中点的是( )
A.(1,1)B.(-1,2)
C.(1,3)D.(-1,-4)
9.过双曲线x2-y2=2的左焦点作直线l,与双曲线交于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线l有( )
A.1条B.2条C.3条D.4条
10.(2025·陕西榆林模拟)若直线y=k(x+2)与抛物线y2=4x相切于第一象限的点P,则实数k= .
参考答案
课时规范练56 直线与圆锥曲线的位置关系
1.{±43,±253} 解析 由题意可设直线l的方程为y=kx+2,与双曲线x29−y216=1联立得(16-9k2)x2-36kx-180=0.当16-9k2=0时,方程有唯一解,此时k=±43.当16-9k2≠0时,令Δ=0,则Δ=(36k)2-4(16-9k2)·(-180)=0,解得k=±253.故直线l的斜率的取值集合为{±43,±253}.
2.3 解析 ∵点(0,1)在y轴上,∴过点(0,1)有两条与抛物线y2=4x相切的直线,与抛物线y2=4x仅有一个公共点,过点(0,1)与x轴平行的直线也与抛物线y2=4x仅有一个公共点.故这样的直线共3条.
3.解 (1)由题意A(-a,0),B(a,0),故kPA·kPB=122+a·122-a=14,解得a2=4.
将P(22,1)代入x24−y2b2=1,得84−1b2=1,所以b2=1.
故双曲线C的方程为x24-y2=1.
(2)设直线l:x=my+3.联立x24-y2=1,x=my+3,整理得(m2-4)y2+6my+5=0,Δ=36m2-20(m2-4)=16(m2+5)>0且m2-4≠0,|MN|=1+m2×16(m2+5)m2-4=833,所以3(m4+6m2+5)=4(m2-4)2,即m4-50m2+49=0,解得m2=1或m2=49,即m=±1或m=±7.故l的方程为x±y-3=0或x±7y-3=0.
4.解 (1)点A(6,y0)在抛物线C上,由抛物线定义可得|AF|=6+p2=10,解得p=8,
故抛物线C的标准方程为y2=16x.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),如图所示,则y12=16x1,y22=16x2,两式相减可得y12−y22=16(x1-x2),即(y1-y2)(y1+y2)=16(x1-x2).
又线段MN的中点为(4,2),所以y1+y2=4.则y1-y2x1-x2=4,故直线l的斜率为4.
所以直线l的方程为y-2=4(x-4),即直线l的方程为4x-y-14=0.
5.解 (1)因为抛物线C的焦点F到准线l的距离为2,所以p=2,
根据建系方案的不同,抛物线的标准方程有四种可能,分别是y2=4x,y2=-4x,x2=4y,x2=-4y.
(2)在平面直角坐标系中,抛物线的位置并不影响|FP||AB|的取值,因此不妨取抛物线的方程为y2=4x,此时焦点F(1,0),
根据题意,直线AB的斜率存在且不为0,因此设直线AB的方程为x=my+1,与抛物线方程y2=4x联立,得关于y的一元二次方程y2-4my-4=0,则Δ=16m2+16>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4,|y1-y2|=16m2+16,x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,则|AB|=1+m2|y1-y2|=4(1+m2).
线段AB的中点坐标为(2m2+1,2m),则线段AB的中垂线方程为y-2m=-m(x-2m2-1),令y=0,解得x=3+2m2,即中垂线交x轴于点P(3+2m2,0),所以|FP|=2+2m2,则|FP||AB|=12.
6.B 解析 由条件知c=1,e=ca=22,所以a=2,b=1,椭圆方程为x22+y2=1.联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1),(43,-13),所以|AB|=423.
7.B 解析 双曲线C:y23−x24=1的渐近线方程为y=±32x,直线l:y=kx(k>0)与双曲线C:y23−x24=1有两个不同的交点,又直线l过原点,则k>32,则k的取值范围是(32,+∞).故选B.
8.D 解析 (方法1)依题意可设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为(x0,y0),根据选项中点与双曲线的位置关系可知,若为线段AB的中点,则直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+m,与双曲线方程联立可得(9-k2)x2-2kmx-m2-9=0,则9-k2≠0,Δ=4k2m2+4(9-k2)(m2+9)>0,即k≠±3,且-k2+m2+9>0.由点A,B在双曲线上可得x12-y129=1,x22-y229=1,两式作差可得(x1+x2)(x1-x2)-(y1-y2)(y1+y2)9=0,整理得x1+x2y1+y2=19·y1-y2x1-x2,即9·x0y0=y1-y2x1-x2.对于A,直线AB的斜率为y1-y2x1-x2=9,则直线AB的方程为y-1=9(x-1),即y=9x-8,-k2+m2+9=-81+64+922,结合图形可知存在4条直线满足条件.
10.22 解析 (方法1)设P(x0,y0),因为点P在第一象限,所以x0>0.
由y=2x,得y'=x-12.
可得k=x0-12,y02=4x0,y0=k(x0+2),解得x0=2,k=22.
(方法2)联立y2=4x,y=k(x+2),得ky2-4y+8k=0,则Δ=(-4)2-4·k·8k=0,解得k=±22.
又切点P位于第一象限,所以--42k>0,即k>0,所以k=22.