2022高考数学一轮复习课时规范练42点与直线两条直线的位置关系（含解析）

课时规范练42　点与直线、两条直线的位置关系

基础巩固组

1.直线l在直线m:x+y+1=0的上方,且l∥m,它们的距离是,则直线l的方程是(　　)

A.x+y-1=0 

B.x+y+3=0

C.x+y+1=0 

D.x+y+3=0或x+y-1=0

2.(2020山东济南德润中学月考)已知直线l1:x·sin α+y-1=0,直线l2:x-3y·cos α+1=0,若l1⊥l2,则sin 2α=(　　)

A. B.±

C.- D.

3.已知A(1,2),B(3,1)两点到直线l的距离分别是,则满足条件的直线l共有(　　)

A.1条 B.2条

C.3条 D.4条

4.若关于x,y的二元一次方程组有无穷多组解,则m的取值为(　　)

A.1 B.2

C.3 D.4

5.(2020重庆西南大学附中期末)已知直线ax+by+1=0与直线4x+3y+5=0平行,且ax+by+1=0在y轴上的截距为,则a+b的值为(　　)

A.-7 B.-1

C.1 D.7

6.(2020湖南郴州模拟)若两平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是,则m+n= (　　)

A.0 B.1

C.-2 D.-1

7.(2020湖北孝昌一中月考)过直线x+y-3=0和2x-y=0的交点,且与直线2x+y-5=0垂直的直线方程是              (　　)

A.4x+2y-3=0 B.4x-2y+3=0

C.x+2y-3=0 D.x-2y+3=0

8.若直线mx-(m+2)y+2=0与3x-my-1=0互相垂直,则点(m,1)到y轴的距离为　　　　　. 

9.直线l1,l2分别过点M(1,4),N(3,1),它们分别绕点M和N旋转,但必须保持平行,那么它们之间的距离d的最大值是　　　　　. 

10.设△ABC的一个顶点是A(-3,1),∠B,∠C的平分线所在直线的方程分别为x=0,y=x,则直线BC的方程为　　　　　. 

11.若直线l与直线2x-y-2=0关于直线x+y-4=0对称,则l的方程是　　　　　. 

综合提升组

12.设直线l1:x-2y+1=0与直线l2:mx+y+3=0的交点为A;P,Q分别为l1,l2上任意两点,点M为PQ的中点,若|AM|=|PQ|,则m的值为(　　)

A.2 B.-2

C.3 D.-3

13.若直线l:y=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

14.(2020上海大同中学期中)若关于x,y的二元一次方程组无解,则实数m的值为　　　　　. 

15.如图,已知△ABC为等腰直角三角形,其中∠BAC=90°,且AB=2,光线从AB边的中点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(反射点分别为Q,R),则光线经过的路径总长PQ+QR+RP=　　　　　. 

16.(2020福建福州期末)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x+4y=0垂直,则实数a=　　　　　. 

创新应用组

17.(2020山东青岛模拟)已知三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能构成三角形,则实数m的取值集合为(　　)

A. 

B.

C. 

D.

18.(2020安徽六安月考)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是(　　)

A.[,2] B.[,2]

C.[,4] D.[2,4]

参考答案

课时规范练42　点与直线、

两条直线的位置关系

1.A　因为l∥m,且直线l在m:x+y+1=0上方,所以可设直线l的方程是x+y+c=0(c<1),因为它们的距离是,

则,∴c=-1,或c=3(舍去),所以直线l的方程是x+y-1=0,故选A.

2.D　∵l1⊥l2,∴sinα-3cosα=0,

∴tanα=3,∴sin2α=2sinαcosα=.

3.C　当A,B两点位于直线l的同一侧时,一定存在这样的直线l,且有两条.又|AB|=,而点A到直线l与点B到直线l的距离之和为,所以当A,B两点位于直线l的两侧时,存在一条满足条件的直线.综上可知满足条件的直线共有3条.故选C.

4.B　因为关于x,y的二元一次方程组有无穷多组解,所以直线mx+4y=m+2与直线x+my=m重合,所以,解得m=2,即m的取值为2,故选B.

5.A　因为直线ax+by+1=0与直线4x+3y+5=0平行,所以4b=3a.又直线ax+by+1=0在y轴上的截距为,所以b+1=0,解得b=-3.所以a=-4,所以a+b=-7.故选A.

6.C　由题意,得,解得n=-4,即直线l2:x-2y-3=0,

所以两平行直线之间的距离为d=(m>0),解得m=2,所以m+n=-2.

7.D　由题意,得解得所以两直线的交点坐标为(1,2).

直线2x+y-5=0的斜率是-2,故其垂线的斜率是,

所以所求直线方程是y-2=(x-1),即x-2y+3=0.

8.0或5　当m=0时,mx-(m+2)y+2=-2y+2=0,即y=1,3x-my-1=3x-1=0,即x=,此时两直线垂直,点(m,1)到y轴的距离为0;当m≠0时,由题意有=-1,解得m=-5,点(m,1)到y轴的距离为5.

9.　因为直线l1,l2分别过点M(1,4),N(3,1),它们分别绕点M和N旋转,且两直线保持平行,因此当两条平行直线l1,l2都与MN垂直时,它们之间的距离d取得最大值为|MN|=.

10.y=2x-5　∵∠B,∠C的平分线所在直线分别是x=0,y=x,∴AB与BC关于x=0对称,AC与BC关于y=x对称.A(-3,1)关于x=0的对称点A'(3,1)在直线BC上,A关于y=x的对称点A″(1,-3)也在直线BC上.由两点式,得出所求直线BC的方程为y=2x-5.

11.x-2y+2=0　由即两直线的交点坐标为(2,2),

在直线2x-y-2=0上取一点A(1,0),设点A关于直线x+y-4=0的对称点的坐标为(a,b).

则

解得即对称点的坐标为(4,3),则l的方程为,整理得x-2y+2=0.

12.A　根据题意画出图形,如图所示.

直线l1:x-2y+1=0与直线l2:mx+y+3=0的交点为A,M为PQ的中点,若|AM|=|PQ|,则PA⊥QA,即l1⊥l2,∴1×m+(-2)×1=0,解得m=2.故选A.

13.B　联立两直线方程得可得两直线的交点坐标为,∵两直线的交点在第一象限,

∴不等式组的解集为k>,若直线l的倾斜角为θ,则tanθ>,∴θ∈,故选B.

14.-3　因为关于x,y的二元一次方程组无解,所以直线mx+9y=m+6与直线x+my=m平行,所以m2-9=0,解得m=±3.

经检验,当m=3时,两直线重合,不符合题意,舍去;当m=-3时,两直线平行,符合题意.故m=-3.

15.　以A为坐标原点,AB,AC分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,因为△ABC为等腰直角三角形,其中∠BAC=90°,且AB=2,则lBC:x+y-2=0,点P(1,0),所以点P关于y轴的对称点为P1(-1,0),设点P关于直线lBC:x+y-2=0的对称点为P2(x0,y0),则=1且-2=0,解得P2(2,1),

则PQ+QR+RP=P2Q+QR+RP1=P1P2=.

16.1　由f(x)=ax3+x+1,得f'(x)=3ax2+1,所以f'(1)=3a+1,

即f(x)在x=1处的切线的斜率为3a+1,

因为f(x)在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直,所以3a+1=4,即a=1.

17.D　设三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0分别为直线l1,l2,l3,依照题意易得直线l1与直线l2不平行,设交点为P,

因为三条直线不能围成一个三角形,所以l3与l1平行,或l3与l2平行,或l1,l2,l3交于一点P.

(1)两条直线平行,若l1∥l3,此时m=;若l2∥l3,此时m=-.

(2)l1,l2,l3交于一点P时,

由解得

即交点P的坐标为-1,-,

代入mx-y-1=0,则m=-.

所以实数m的取值集合为.

18.B　由题意可知,动直线x+my=0经过定点A(0,0),

动直线mx-y-m+3=0即m(x-1)-y+3=0,经过定点B(1,3),

因为动直线x+my=0和动直线mx-y-m+3=0的斜率之积为-1,始终垂直,P又是两条直线的交点,所以PA⊥PB,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.

设∠ABP=θ,则|PA|=sinθ,|PB|=cosθ,由|PA|≥0且|PB|≥0,可得θ∈0,,

所以|PA|+|PB|=(sinθ+cosθ)=2sinθ+,

因为θ∈0,,

所以θ+∈,

所以sinθ+∈,1,

所以2sinθ+∈[,2].