2027年高考数学一轮专题复习考点通关：课时规范练43 空间点、直线、平面之间的位置关系（含解析）

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考点一 与平面有关的基本事实的应用
1.如图,已知a⊂α,b⊂α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a,求证:PQ⊂α.
2.如图,已知平面α,β,且α∩β=l,设在梯形ABCD中,AD∥BC,且AB⊂α,CD⊂β.求证:AB,CD,l共点.

考点二 空间两条直线的位置关系判断
3.如图,P是正方体ABCD-A1B1C1D1面对角线A1C1上的动点,下列直线中,始终与直线BP异面的是( )
A.直线DD1
B.直线B1C
C.直线AD1
D.直线AC
考点三 正方体中的切割(截面)问题
4.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为BC,CC1的中点,则平面AEF截正方体所得的截面面积为( )
A.32B.92
C.9D.18
考点四 两条异面直线所成的角
5.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2,D为棱BC的中点.求异面直线AB与C1D所成角的余弦值.
素能综合练
6.已知a,b是异面直线,A,B是a上的两点,C,D是b上的两点,M,N分别是线段AC,BD的中点,则MN和a的位置关系是( )
A.异面B.平行
C.相交D.以上均有可能
7.如图,平面α∩平面β=l,A,B∈α,C∈β,C∉l,直线AB∩l=D(点D不同于A,B,C),过A,B,C三点确定的平面为γ,则平面γ与平面β的交线必过( )
A.点AB.点B
C.点C,但不过点DD.点C和点D
8.三个不互相重合的平面将空间分成n个部分,则n的最小值与最大值之和为( )
A.11B.12C.13D.14
9.已知正四棱锥S-ABCD的所有棱长均相等,则直线SA与其他经过该四棱锥的两个顶点的直线所成的角不可能为( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
10.如图,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1B1,B1C1,AB,BC的中点.
证明:(1)E,F,G,H四点共面;
(2)GE,FH,BB1相交于一点.
参考答案
课时规范练43 空间点、直线、平面之间的位置关系
1.证明 ∵PQ∥a,∴PQ与a确定一个平面β,∴a⊂β,P∈β.
∵P∈b,b⊂α,∴P∈α.
又a⊂α,∴α与β重合,∴PQ⊂α.
2.证明 如图,在梯形ABCD中,AB与CD的延长线必交于一点.设AB交CD于点M,则M∈AB,M∈CD.又因为AB⊂α,CD⊂β,所以M∈α,M∈β.因为α∩β=l,所以M∈l,所以AB,CD,l共点.
3.D 解析 当P位于A1C1中点时,易知P∈B1D1,由正方体的特征可知四边形BB1D1D为平行四边形,此时BP,DD1⊂平面BB1D1D,故A错误;当P与C1重合时,此时BP,B1C⊂平面BB1C1C,故B错误;当P与C1重合时,由正方体的特征可知四边形ABC1D1为平行四边形,此时BP∥AD1,故C错误;由正方体的特征可知四边形ACC1A1为平行四边形,而B∉平面ACC1A1,P∈平面ACC1A1,AC∥A1C1,AC,A1C1⊂平面ACC1A1,BP∩A1C1=P,故直线AC与直线BP始终异面,故D正确.故选D.
4.B 解析 连接BC1,AD1,D1F,如图所示.
因为E,F分别是BC,CC1的中点,所以EF∥BC1.在正方体中,AD1∥BC1,所以EF∥AD1,所以A,D1,F,E在同一平面内,即平面AEF截该正方体所得的截面为平面EFD1A.因为正方体的棱长为2,所以EF=2,AD1=22,D1F=AE=22+12=5,则E到AD1的距离为等腰梯形EFD1A的高为(5)2-22-222=322,所以截面面积为S=12×(22+2)×322=92.故选B.
5.解 如图,取AC中点E,连接DE,C1E.
∵D为棱BC的中点,∴DE∥AB,DE=12AB=1,
∴∠C1DE是异面直线AB与C1D所成角(或所成角的补角).
∵DC1=EC1=22+12=5,
则cs∠C1DE=DC12+DE2-EC122DC1·DE=5+1-52×5×1=510,∴异面直线AB与C1D所成角的余弦值为510.
6.A 解析 若MN与AB平行或相交,则MN与AB共面,设它们的平面为α.由题知C∈直线AM,D∈直线BN,所以C∈α,D∈α.又A∈α,B∈α,所以a⊂α,b⊂α,与a,b异面矛盾.故MN与AB异面,即MN与a异面.故选A.
7.D 解析 假设A∈β,因为A∈α,则A∈(α∩β).又α∩β=l,所以A∈l.因为A∈AB,所以A∈(AB∩l),与AB∩l=D矛盾,则A∉β,即平面γ,β的交线不过点A,故A错误;同理,B错误;因为C∈β,C∈γ,D∈l⊂β,D∈AB⊂γ,所以C∈(β∩γ),D∈(β∩γ),即点C,D在平面β与γ的交线上,故C错误,D正确.故选D.
8.B 解析 按照三个平面中平行的个数来分类:
(1)三个平面两两平行,如图1,可将空间分成4个部分;
(2)两个平面平行,第三个平面与这两个平行平面相交,如图2,可将空间分成6个部分;
图1
图2
(3)三个平面两两不平行:
①三个平面两两相交且交线互相平行,如图3,可将空间分成7个部分;
②三个平面两两相交且三条交线交于一点,如图4,可将空间分成8个部分;
③三个平面两两相交且交线重合,如图5,可将空间分成6个部分.
图3
图4
图5
综上,三个不互相重合的平面可以将空间分成4个、6个、7个、8个部分,故n的最小值与最大值之和为12.故选B.
9.A 解析 如图,因为四棱锥S-ABCD是正四棱锥,且所有棱长均相等,所以∠SAB=60°,故C可能成立;
易知,△SAC为直角三角形,则∠ASC=90°,∠SAC=45°,故B,D可能成立;
SA与其余的棱或对角线都不能成30°,故A不可能成立.故选A.
10.证明 (1)连接AC,A1C1,如图所示.
因为ABCD-A1B1C1D1为正四棱台,所以A1C1∥AC.又E,F,G,H分别为棱A1B1,B1C1,AB,BC的中点,所以EF∥A1C1,GH∥AC,
则EF∥GH,所以E,F,G,H四点共面.
(2)因为A1C1≠AC,所以EF≠GH,所以四边形EFHG为梯形,则直线EG与FH必相交.设EG∩FH=P,因为EG⊂平面AA1B1B,所以P∈平面AA1B1B.因为FH⊂平面BB1C1C,所以P∈平面BB1C1C.又平面AA1B1B∩平面BB1C1C=BB1,所以P∈BB1,则GE,FH,BB1交于一点.