2027年高考数学一轮专题复习考点通关：课时规范练38 等比数列（含解析）

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考点一 等比数列基本量的运算
1.(2026·河北石家庄模拟)已知等比数列{an}中,a1+a2+a4=6,a4+a5+a7=-34,则a1=( )
A.-16B.16C.12D.-12
2.(2025·河北秦皇岛一模)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S12=2S6,则a6+a8a1+a3=( )
A.1B.-1C.±1D.32
考点二 等比数列的判定与证明
3.(2025·河南濮阳模拟)记数列{an}的前n项和为Sn,已知an+Sn=2n+52.
(1)求证:数列{an-2}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式及Sn.
考点三 等比数列的性质
4.(2026·江苏无锡期中)在数列{an}中,a1=1,若数列{an·an+1}是公比为2的等比数列,则a1+a3+a5+…+a19=( )
A.2 048B.2 047C.1 024D.1 023
素能综合练
5.(2026·陕西西安模拟)已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若a2=2,a9=8a6,则S10=( )
A.1 028B.1 023C.1 024D.1 025
6.(2026·贵州六盘水水城区高三统考)在数列{an}中,an+1=2an,且a1=13,则a3=( )
A.13B.23C.43D.83
7.(2026·浙江余姚期中)已知Sn为等比数列{an}的前n项和,且a1=1,则“S3=3”是“q=-2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S3=4,S7-S4=64,则S11-S8=( )
A.512B.-512
C.1 024D.±1 024
9.(2026·江西宜春模拟)现有某种细胞1 000个,其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次,即由1个细胞分裂成2个细胞,按这种规律,1小时后,细胞总数约为12×1 000+12×1 000×2=32×1 000,2小时后,细胞总数约为12×32×1 000+12×32×1 000×2=94×1 000,问当细胞总数超过1010个时,所需时间至少为( )(参考数据:lg 3≈0.477,lg 2≈0.301)
A.36小时B.38小时
C.40小时D.42小时
10.(多选题)(2026·辽宁锦州期中)在公比q为整数的等比数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,若a1+a4=18,a2+a3=12,则下列说法正确的是( )
A.q=2
B.数列{lg an}是公差为2的等差数列
C.S8=510
D.数列{Sn+2}是等比数列
11.(2026·湖北荆州期中)在等比数列{an}中,a4,a16是方程x2+30x+36=0的两个实数根,则a10= .
12.已知一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为341,偶数项之和为682,则这个数列的项数为 .
13.(2025·湖南浏阳期中)记数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=4,an=3Sn-1+3×2n+1(n≥2).
(1)令bn=Sn2n,证明:{bn+6}为等比数列;
(2)求{an}的通项公式.
参考答案
课时规范练38 等比数列
1.B 解析 设等比数列{an}的公比为q,则由已知得q3=a4+a5+a7a1+a2+a4=-346=-18,于是q=-12.又由a1+a2+a4=6得a1(1+q+q3)=6,所以a1(1-12−18)=6,解得a1=16.故选B.
2.C 解析 当q=1时,S12=12a1,2S6=12a1,所以S12=2S6,符合题意;当q≠1时,由S12=2S6得a1(1-q12)1-q=2×a1(1-q6)1-q,解得q6=1,解得q=-1(q=1舍去).综上所述,q=±1,于是a6+a8a1+a3=a1(q5+q7)a1(1+q2)=q5=±1.故选C.
3.(1)证明 因为an+Sn=2n+52①,所以当n=1时,a1=94.
当n≥2时,得an-1+Sn-1=2(n-1)+52②,
①-②得an-an-1+an=2,即an=1+12an-1.
又a1-2=14≠0,
所以an-2an-1-2=1+12an-1-2an-1-2=12,
故数列{an-2}是首项为14,公比为12的等比数列.
(2)解 由(1)得an-2=14×(12)n-1=(12)n+1,所以an=(12)n+1+2.
Sn=(12)2+(12)3+(12)4+…+(12)n+1+2n=14[1-(12) n]1-12+2n=12-(12)n+1+2n,
故Sn=12-(12)n+1+2n.
4.D 解析 数列{an·an+1}是公比为2的等比数列,则an+1·an+2an·an+1=2,所以an+2an=2,因此数列{an}的奇数项是以1为首项,2为公比的等比数列,所以a1+a3+a5+…+a19=1-2101-2=1 023.故选D.
5.B 解析 设等比数列的公比为q(q≠0),由题意可得a1q=2,a1q8=8a1q5,解得a1=1,q=2,则S10=a1(1-q10)1-q=1×(1-210)1-2=210-1=1 023.故选B.
6.C 解析 ∵an+1=2an,a1=13,
∴数列{an}是以13为首项,2为公比的等比数列,
∴a3=13×23-1=43.故选C.
7.B 解析 因为a1=1,当q=1时,则a1=a2=a3=1,所以S3=3,当q≠1时,S3=a1(1-q3)1-q=3,解得q=-2,所以“S3=3”是“q=-2”的必要不充分条件.故选B.
8.C 解析 设等比数列{an}的公比为q,则S3=a1(1+q+q2)=4,S7-S4=a5+a6+a7=a1q4(1+q+q2)=64,又1+q+q2>0,所以S7-S4S3=a1q4(1+q+q2)a1(1+q+q2)=q4=16,因此q2=4,所以S11-S8=a9+a10+a11=a1q8(1+q+q2)=S3·q8=4×44=210=1 024.故选C.
9.C 解析 记第n小时后细胞的个数为an,则an+1=12an+12an×2=32an,a1=32×1 000,故{an}是首项为a1=32×1 000,公比为32的等比数列,故an=32×1 000×(32)n-1=103×(32)n,令103×(32)n>1010,得(32)n>107,则nlg32>7,故n>7lg32=7lg3-lg2≈70.477-0.301≈39.77,又n为整数,故当细胞总数超过1010小时,所需时间至少为40小时.故选C.
10.ACD 解析 对于A,由题意可得a1+a1q3=18,a1q+a1q2=12,解得a1=2,q=2或a1=16,q=12,
因为{an}的公比q为整数,所以a1=2,q=2,所以{an}的通项公式为an=2×2n-1=2n,故A正确;对于B,因为lg an=lg 2n=nlg 2,所以lg a1=lg 2,且当n≥2时,lg an-lg an-1=nlg 2-(n-1)lg 2=lg 2,所以数列{lg an}是首项为lg 2,公差为lg 2的等差数列,故B错误;对于C,因为在等比数列{an}中,a1=2,q=2,所以S8=2×(1-28)1-2=510,故C正确;对于D,由于Sn=2×(1-2n)1-2=2n+1-2,所以Sn+2=2n+1,且当n≥2时,Sn+2Sn-1+2=2n+12n=2,所以数列{Sn+2}是公比为2的等比数列,故D正确.
故选ACD.
11.-6 解析 因为a4,a16是方程x2+30x+36=0的两个实数根,所以a4+a16=-300,所以a4