2027年高考数学一轮专题复习考点通关：课时规范练55 抛物线（含解析）

这是一份2027年高考数学一轮专题复习考点通关：课时规范练55 抛物线（含解析），共13页。试卷主要包含了已知抛物线C的准线与圆M，抛物线具有一条重要的光学性质，抛物线y=18x2的焦点坐标是等内容，欢迎下载使用。
考点一 抛物线的定义及应用
1.(2025·广西南宁模拟)若抛物线y2=2px(p>0)上一点A到准线及对称轴的距离分别是5和3,则p的值为( )
A.1或8B.1或9
C.2或8D.2或9
考点二 抛物线的标准方程
2.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程为( )
A.y2=32xB.y2=9x
C.y2=92xD.y2=3x
3.已知抛物线C的准线与圆M:(x-1)2+(y+1)2=4相切,请写出一个抛物线C的标准方程: .
考点三 抛物线的几何性质
4.抛物线具有一条重要的光学性质:从焦点发出的光线,经过抛物线上一点反射后,反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线y2=4x的焦点F发出的入射光线过点(32,23),则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在的直线方程为( )
A.y=-1B.y=2
C.y=3D.y=4
5.已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB的中点到x轴的最短距离为 .
素能综合练
6.若抛物线C的焦点到准线的距离为3,且抛物线C的开口朝左,则抛物线C的标准方程为( )
A.y2=-6xB.y2=6x
C.y2=-3xD.y2=3x
7.(2025·安徽皖江模拟)抛物线y=18x2的焦点坐标是( )
A.(0,2)B.(0,-2)
C.(-2,0)D.(2,0)
8.(2025·甘肃白银模拟)已知抛物线C的方程为x2=my,则“抛物线C经过点(4,1)”是“抛物线C的焦点为(0,2)”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
9.(2025·新疆模拟)已知圆C的圆心在抛物线y2=8x上,且圆C过定点(2,0),则圆C与直线x+1=0的位置关系为( )
A.相交B.相切
C.相离D.相切或相离
10.(2025·山东济南模拟)以坐标原点为焦点,直线y=2为准线的抛物线的方程为( )
A.x2=-4y-4B.x2=-4y+4
C.x2=4y+4D.x2=-2y+2
11.(2025·江苏灌云模拟)已知等边三角形的一个顶点位于抛物线y2=2x的焦点,另外两个顶点在抛物线上,则这个等边三角形的边长为( )
A.2-3B.2±3
C.4-23D.4±23
12.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,与x轴平行的直线与l和抛物线C分别交于A,B两点,且∠AFB=60°,则|AB|=( )
A.2B.22C.23D.4
13.(2023·全国乙,理13)已知点A(1,5)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为 .
14.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,P(1,4)为抛物线C上方一点,M为抛物线C上一动点,|MP|+|MF|的最小值为10,则p= .
参考答案
课时规范练55 抛物线
1.B 解析 由题意不妨设点A的坐标为(x0,3),代入y2=2px(p>0)得9=2px0,则x0=92p.
由抛物线定义x0+p2=5,
即92p+p2=5,解得p=1或p=9.
故选B.
2.D 解析 如图,分别过点A,B作准线的垂线,交准线于点E,D.
设|BF|=a,则|BC|=2a,由抛物线的定义得|BD|=a,故∠BCD=30°,
∴在Rt△ACE中,2|AE|=|AC|.
∵|AE|=|AF|=3,|AC|=3+3a,
∴3+3a=6,解得a=1.
∵BD∥FG,∴1p=23,∴p=32.
因此抛物线的方程为y2=3x.
3.x2=-4y(答案不唯一) 解析 与圆M:(x-1)2+(y+1)2=4相切且与坐标轴平行或垂直的直线有y=1,y=-3,x=-1,x=3,对应的抛物线方程是x2=-4y,x2=12y,y2=4x,y2=-12x.
4.D 解析 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),过抛物线y2=4x的焦点F和点(32,23)的直线方程为y=2332-1(x-1)=43(x-1).联立y2=4x,y=43(x-1),可得y2-3y-4=0,解得y=4或y=-1,结合已知条件可知反射光线所在的直线方程为y=4.故选D.
5.2 解析 由题意知抛物线的准线l:y=-1,过点A作AA1⊥l交l于点A1,过点B作BB1⊥l交l于点B1,图略.设弦AB的中点为M,过点M作MM1⊥l交l于点M1,则|MM1|=|AA1|+|BB1|2.
∵|AB|≤|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点),即|AF|+|BF|≥6,∴|AA1|+|BB1|≥6,2|MM1|≥6,|MM1|≥3.故点M到x轴的距离d≥2,故最短距离为2.
6.A 解析 设抛物线C的标准方程为y2=-2px(p>0),由题意得p=3,所以抛物线C的标准方程为y2=-6x.故选A.
7.A 解析 y=18x2,即x2=8y,则p=4,则其焦点坐标为(0,2).故选A.
8.D 解析 若抛物线x2=my经过点(4,1),则m=16,所以抛物线的方程为x2=16y,则抛物线的焦点坐标为(0,4),故充分性不成立;若抛物线C的焦点为(0,2),则m4=2⇒m=8,所以抛物线的方程为x2=8y,则42≠8×1,即抛物线x2=8y不经过点(4,1),所以必要性不成立.
故“抛物线C经过点(4,1)”是“抛物线C的焦点为(0,2)”的既不充分也不必要条件.故选D.
9.A 解析 抛物线y2=8x的焦点为(2,0),准线方程为x=-2,根据抛物线的定义可知,圆心C到焦点的距离等于到准线的距离,所以圆C与直线x+2=0相切.
又因为抛物线y2=8x的图象在x轴的右侧,所以圆C与直线x+1=0相交.故选A.
10.B 解析 不妨设点P(x,y)为抛物线上一点,由题意可知,点P到原点的距离等于点P到直线y=2的距离,所以x2+y2=|y-2|,化简得出x2=4-4y,即抛物线的方程为x2=-4y+4.故选B.
11.D 解析 由题可知焦点(12,0),准线方程为x=-12,设等边三角形的边长为a,所以acs 30°+1=a或1-acs 30°=a,则a=4±23.故选D.
12.D 解析 由抛物线定义可知|BF|=|AB|,因为∠AFB=60°,
所以△ABF为等边三角形,故|AF|=|AB|=|BF|,∠BAF=60°,所以∠AFO=60°.
设准线l与x轴的交点为P,则|PF|=2,故|AF|=|PF|cs60°=4,所以|AB|=4.
13.94 解析 因为点A(1,5)在抛物线C上,所以5=2p,所以p=52,所以抛物线C的准线方程为x=-p2=-54,所以点A到抛物线C的准线的距离为1+54=94.
14.12 解析 设点M在抛物线C的准线上的射影为D,则|MF|=|MD|,要使|MP|+|MF|取最小值,即|MP|+|MD|取得最小值,当D,M,P三点共线时,|MP|+|MD|取得最小值,由4-(-p2)=10,解得p=12.