2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 065-课时作业58 两条直线的位置关系（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 065-课时作业58 两条直线的位置关系（教用），共13页。试卷主要包含了已知直线l1，已知曲线C等内容，欢迎下载使用。
基础达标练
单选题每小题3分，多选题每小题6分，填空题每小题3分，共39分.
1．已知直线l1：x+(a−1)y−3=0与直线l2：x+2y+3=0相互垂直，则a的值为（ ）
A. 12B. 1C. 3D. −12
【答案】A
【解析】∵l1⊥l2，∴1×1+2(a−1)=0⇒a=12.
2．已知直线l1:2x+my−1=0，l2:(m+1)x+3y+1=0，则“m=2”是“l1//l2”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当m=2时，直线l1:2x+2y−1=0，l2:3x+3y+1=0，则l1//l2，充分性成立；当l1//l2时，2m+1=m3≠−11，解得m=2,必要性成立.所以“m=2”是“l1//l2”的充要条件.故选C.
3．过点(2,1)且与直线2x−3y+1=0平行的直线方程为（ ）
A. 2x−3y−1=0B. 3x−2y+4=0
C. 3x+2y−1=0D. 2x−3y+1=0
【答案】A
【解析】设与直线2x−3y+1=0平行的直线方程为2x−3y+m=0(m≠1),
因为所求直线过点(2,1),所以4−3+m=0,即m=−1,因此所求的直线方程为2x−3y−1=0,故选A.
4．（2025·广西桂林一模）已知直线l的一个方向向量为a=(2,1)，则过点A(1,−1)且与l垂直的直线方程为（ ）
A. x−2y−3=0B. x−2y+1=0
C. 2x+y−3=0D. 2x+y−1=0
【答案】D
【解析】因为直线l的一个方向向量为a=(2,1)，所以直线l的斜率为12，因为所求直线与直线l垂直，所以所求直线的斜率为−2.又所求直线过点A(1,−1)，所以所求的直线方程为y+1=−2(x−1)，即2x+y−1=0.
5．（2025·河北沧州模拟）已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点到直线y=x−1的距离为2，则p=（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】抛物线x2=2py(p>0)的焦点坐标为(0,p2)，因为焦点到直线y=x−1的距离为2，所以|p2+1|2=2，所以p=2.
6．（2025·广东佛山模拟）已知实数x，y满足3x+4y=5，则x2+y2的最小值为（ ）
A. 15B. 35C. 45D. 1
【答案】D
【解析】x2+y2为直线3x+4y=5上的点(x,y)到原点的距离的平方，所以x2+y2的最小值为原点到直线3x+4y=5的距离的平方，又原点到直线3x+4y=5的距离d=|3×0+4×0−5|32+42=1，所以x2+y2的最小值为1.
7．（2025·江西景德镇模拟）多选 已知O为坐标原点，若直线l上存在点P，使得|OP|=1，则称该直线为“1距直线”，下列直线是“1距直线”的有（ ）
A. y=x−1B. y=1
C. x−y=2D. 2x−y+3=0
【答案】ABC
【解析】由题意可得原点O到直线l的距离小于或等于1时，满足“1距直线”.
A选项，原点O到y=x−1的距离d=|−1|1+1=221，D错误.故选ABC.
8．多选 一条光线从点A(−2,3)射出，射向点B(1,0)，经x轴反射后过点C(a,1)，则（ ）
A. 直线AB的斜率是−1B. AB⊥BC
C. a=3D. |AB|+|BC|=42
【答案】ABD
【解析】对于A，由A(−2,3)，B(1,0)，得kAB=0−31−(−2)=−1，A正确；
对于B，点A(−2,3)关于x轴的对称点A1的坐标为(−2,−3)，直线BC的斜率kBC=kA1B=0−(−3)1−(−2)=1，因为kBC⋅kAB=−1，所以AB⊥BC，B正确；
对于C，直线BC的方程为y−0=1×(x−1)，即y=x−1，将y=1代入，得x=2，所以点C的坐标为(2,1)，即a=2，C不正确；
对于D，由两点间的距离公式得|AB|+|BC|=[1−(−2)]2+(0−3)2+(2−1)2+(1−0)2=42，D正确.故选ABD.
9．已知直线3x+y−3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】71020
【解析】由两直线平行可得3m−6=0，解得m=2，则直线方程为6x+2y+1=0，即3x+y+12=0，则所求距离是|12+3|32+12=71020.
10．已知曲线C:y=ex+x在点P(x0,y0)处的切线l与直线l′:y=2x−1平行，则l的直线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】2x−y+1=0
【解析】由题意得y′=ex+1，直线l′的斜率为2，故切线l的斜率也为2，则ex0+1=2，得x0=0，故y0=ex0+x0=1，故切线l的方程为y−1=2x，即2x−y+1=0.
11．直线l:y=2x+3关于点P(2,3)对称的直线的方程是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】2x−y−5=0
【解析】记直线l关于点P(2,3)对称的直线为l′，则l//l′，故可设直线l′的方程为y=2x+b(b≠3)，即2x−y+b=0，又点P(2,3)到两直线的距离相等，所以|2×2−3+3|22+(−1)2=|2×2−3+b|22+(−1)2，整理得|b+1|=4，解得b=−5或b=3（舍去），所以所求的直线方程是2x−y−5=0.
能力强化练
单选题每小题5分，多选题每小题6分，填空题每小题5分，共21分.
12．点P(−2,−1)到直线l:(1+3λ)x+(1+λ)y−2−4λ=0(λ∈R)的距离的最大值以及距离最大时直线的方程分别为（ ）
A. 13;2x−3y+1=0B. 11;3x+y−4=0
C. 13;3x+2y−5=0D. 11;2x−3y+1=0
【答案】C
【解析】直线l的方程(1+3λ)x+(1+λ)y−2−4λ=0可化为x+y−2+λ(3x+y−4)=0，
令x+y−2=0,3x+y−4=0,解得x=1,y=1,
设直线l经过定点C,则C(1,1)，
当PC⊥l时，点P到直线l的距离最大，最大距离为|PC|=(1+2)2+(1+1)2=13，
因为直线PC的斜率kPC=1+11+2=23，且PC⊥l，所以直线l的斜率kl=−32，所以−1+3λ1+λ=−32，解得λ=13，所以直线l的方程为3x+2y−5=0.故选C.
13．（2025·四川广安模拟）已知直线l1:mx+y+2=0 与直线l2:x−my−2=0 交于点M ，点M 关于直线x−y=0 对称的点为N(a,b) ，则b+2a 的取值范围是（ ）
A. [−7,1]B. (−∞,−7]∪[1,+∞)
C. [−1,7]D. (−∞,−1]∪[7,+∞)
【答案】D
【解析】由mx+y+2=0,x−my−2=0,解得x=2−2m1+m2,y=−2−2m1+m2,
可得M(2−2m1+m2,−2−2m1+m2)，
所以N(−2−2m1+m2,2−2m1+m2)，即a=−2−2m1+m2,b=2−2m1+m2，
当m=−1时，a=0,b=2，则b+2a无意义；
当m>−1时，b+2a=2−2m1+m2+2−2−2m1+m2=−m2−m+21+m=−[(m+1)+41+m]+3≤
−2(m+1)×41+m+3=−1，当且仅当m+1=41+m，即m=1时等号成立；
当m