第三十章 直线与圆的位置关系 章末核心要点 课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

这是一份第三十章 直线与圆的位置关系 章末核心要点 课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册，共66页。
目录LOGO章末核心要点第三十章 直线与圆的位置关系1. 直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r， 圆心O到直线l 的距离为d.直线l 与⊙O相离d>r； 直线l 与⊙O相切d=r； 直线l 与⊙O相交d>判断直线与圆的位置关系的关键是比较圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系，近几年中考中很少考查，一般以选择题、填空题的形式出现.例 1[中考·杭州]在平面直角坐标系xOy中，以点(-3，4)为圆心，4 为半径的圆( )A. 与x轴相交，与y轴相切B. 与x轴相离，与y轴相交C. 与x轴相切，与y轴相交D. 与x轴相切，与y轴相离解题秘方：根据圆心的坐标求出圆心到两条坐标轴的距离，与半径比较大小得出结论.答案： C解：圆心到x 轴的距离是4，到y 轴的距离是3，4=4，3>圆的切线的性质运用时常常需要连接圆心与切点，结合圆的有关性质解题. 中考中经常考查，选择题、填空题、解答题都有.[中考· 青岛] 如图30-1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC=90 °，DC=BC， 直线EA与⊙O 相切于点A. 若∠BCD=128°，则∠DAE的度数为( )A. 52° B. 54° C. 64° D. 74°例 2解题秘方：本题考查圆的有关性质和切线的性质定理，作辅助线构造等腰三角形是解题的关键. ⌒⌒⌒⌒∵直线EA为⊙O的切线，∴∠EAO=90°.∴∠DAO=∠EAO-∠DAE=90°-∠DAE.∵OA=OD，∴∠ADO= ∠DAO=90°- ∠DAE.在△ADO中，∠AOD=180 ° -(∠ADO+∠DAO)=180°-2(90°- ∠DAE)=2 ∠DAE，又∠AOD=2 ∠ABD，∴∠DAE= ∠ABD=64°．答案： C专题圆的切线的判定3链接中考 >>圆的切线的判定有两种情况，一种是已知切点，证法是“连半径，证垂直”；另一种是未知切点，证法是“作垂直，证半径”. 切线的判定是历年中考必考内容，都以解答题的形式出现.例 3[中考· 济南] 如图30-2，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OBP=90°，连接PC．(1)求证：PC与⊙O相切； (2)若AO=3，OP=5，求AC的长．  例 4[中考·自贡] 在Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，⊙ O 是△ ABC 的内切圆，切点分别为D，E，F．(1)图30-3 ① 中三组相等的线段分别是CE=CF,AF=_____，BD=_____ ；若AC=3，BC=4，则⊙O半径长为_____ .ADBE1 (2)如图30-3 ②，延长AC 到点M，使AM=AB，过点M作MN⊥ AB 于点N，求证：MN是⊙ O 的切线．  专题正多边形与圆4链接中考 >>正多边形的有关计算是中考常考内容，需要结合正多边形和圆的相关性质求解，常以选择题、填空题的形式出现. 例 5 答案：D专题分类讨论思想5专题解读>>正多边形与圆的关系涉及点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系，当已知条件未给出图形时，需要分情况讨论来求解.[中考·上海]已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是_________．例 636°或108°解题秘方：分角的顶点在圆上和圆外两种情况求解. 专题从特殊到一般的思想6专题解读>>正多边形与圆中某些角存在特殊的关系，其中存在一定的规律，需要从特殊到一般来探索.[中考·江西] 如图30-6 所示的圆内接多边形都是正多边形，点M，N分别从点B，C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，AM与BN的交点为P.例 7(1)图①中∠APN的度数是______，图②中∠APN的度数是 ______ ，图③中∠APN的度数是______ ；60°90°108°解：在图30-6 ①中，∵点M，N分别从点B，C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，∴BM=CN.∴∠BAM=∠CBN.∴∠APN=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°.同理，在图30-6 ② 中，∠APN= ∠ABC=90°；在图30-6 ③中，∠APN= ∠ABC=108°. ⌒⌒(2)试探索∠APN的度数与正多边形的边数n 之间的关系(直接写出答案). 1. 如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为3 ，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为______ .类型巧用圆的切线求线段的最小值132. [芜湖一中自主招生]如图，⊙O的内接四边形ABCD的顶点C关于BD的对称点恰为△ABD的内心I，BD=3，则⊙O的半径为________.类型巧用三角形的内心求圆的半径2  类型巧用直线与圆的位置关系解决实际问题3解：修筑的这条公路不会穿过公园.理由：如图，过点C作CD⊥AB,垂足为点D.由题意知∠B=45°，∴∠BCD=45°=∠B.∴CD=BD. 4. [中考·湖北]如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=45°．过点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D，交⊙O于点F．过点F作⊙O的切线，交CA的延长线于点G．类型巧用圆的切线的性质计算与证明4(1)求证：FD=FG；证明：∵GF是⊙O的切线，∴DF⊥GF.∵DF⊥AB,∴AB∥GF.∴∠G=∠BAC=45°.∴∠FDG=90°-45°=45°=∠G.∴FD=FG.(2)若AB=12，FG=10，求⊙O的半径． 5. [中考·宿迁]如图，点A在⊙O上，点B在⊙O外，线段OB与⊙O交于点C，过点C作⊙O的切线交直线AB于点D，且AD=CD．类型巧用圆的切线的判定说明切线5(1)判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若∠B=30°，CD=4，求图中阴影部分的面积. 6. [情境题 方案策略型]某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底面均为正六边形，六边形的边长为1 cm,目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我们以6 支彩铅为例，可以设计如图所示的收纳方案一和收纳方案二，你认为底面积更小的是方案_____，两种方案底面积的差为______________. (结果保留根号)类型巧用正多边形与圆解决实际问题6二 7. [新趋势 学科内综合]如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于点C，与y轴交于A，B两点，连接AP并延长分别交⊙P，x轴于点D，E，连接DC并延长交y轴于点F，若点F的坐标为(0，1)，点D的坐标为(6，-1).类型巧用圆的切线解决函数问题7(1)求证：DC=FC；证明：如图，过点D作DH⊥x轴于点H.∵F(0,1),D(6,-1),∴OF=DH=1.∵∠FCO=∠DCH,∠FOC=∠DHC=90°，∴△OCF≌△HCD(AAS).∴DC=FC.解：如图，连接PC，过点P作PG⊥y轴于点G,由题意知PC⊥x轴.∴易得四边形OCPG为矩形.∴OC=GP,OG=PC.设⊙P的半径为r,则PC=AP=r.由(1)易知OC=HC,∴易得C(3,0).(2)求直线AD对应的函数解析式.∴OC=3.∴GP=3.∵C,P分别为FD,AD的中点，∴CP是△DFA的中位线.∴AF=2CP=2r.∵OF=1,OG=CP=r,∴AG=AF-OF-OG=r-1.在Rt△AGP中，AP2=AG2+GP2,∴r2=(r-1)2+32，解得r=5.∴易得A(0,-9). 目录LOGO第三十章 直线与圆的位置关系重点题型 圆的最值问题题型点和圆的最值问题1解读: 秒求点和圆的最值例 1如图3，点P是半径为4 cm的⊙C上一个动点，点O为⊙C外一点，且OC=6 cm，过点O作直线l与⊙C相离，点A，B是l上两点，当点P运动时，始终保持OP=OA=OB.试求线段AB的最小值和最大值.解：∵当点P运动时，始终保持OP=OA=OB，∴AB=2OP，故当OP取最小值时，线段AB取得最小值；当OP取最大值时，线段AB取得最大值.如图4 ①，连接CP，CO，OP，则OC-CP≤OP≤OC+CP，且当O，C，P三点在同一条直线上时取等号.如图4 ②，当点P在O，C之间时，OP取最小值，最小值为OC-CP=6-4=2(cm)，此时AB取得最小值，为2OP=4 cm;如图4 ③，当点P在OC的延长线上时，OP取最大值，最大值为OC+CP=6+4=10(cm)，此时AB取得最大值，为2OP=20 cm.综上所述，线段AB的最小值为4 cm，最大值为20 cm.题型直线和圆的最值问题2解读：秒求直线和圆的最值 例24  例 3如图8，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=2，对角线AC，BD相交于点O，以点C为圆心，1 为半径作⊙C，点P是⊙C上一个动点，当点P运动时，试求△DOP面积的最大值和最小值.