人教版（2024）30.3 正多边形与圆图文课件ppt

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正多边形及其有关概念正多边形的有关计算正多边形的画法
1. 正多边形：各边相等、各角也相等的多边形是正多边形.2. 圆的内接正多边形和外切正多边形：只要把一个圆分成相等的一些弧，以各分点为顶点的多边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正多边形，这个圆就是这个正多边形的内切圆.
3. 与正多边形有关的概念
拓宽视野任意多边形不一定有外接圆和内切圆，任意正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆..
特别提醒边心距和弦心距的区别与联系：边心距是正多边形的中心到正多边形的一边的距离，此时边心距可以看作正多边形外接圆的弦心距，而弦心距是圆心到圆中任意一条弦的距离，不能把弦心距看成边心距.
如图30.3-1，△AOB是正三角形，以点O为圆心，OA长为半径作⊙O，直径FC∥AB，AO，BO的延长线交⊙O于点D，E.求证：六边形ABCDEF为圆内接正六边形.
证明：∵△AOB是正三角形，∴∠AOB= ∠OAB= ∠OBA=60°，OB=OA.∴点B在⊙O上.∵FC∥AB，∴∠FOA= ∠OAB=60°，∠COB= ∠OBA=60°.∴∠AOB= ∠BOC= ∠COD= ∠DOE= ∠EOF= ∠FOA=60°.∴AB =BC =CD =DE =EF = FA .∴AB=BC=CD=DE=EF=FA. ∴六边形ABCDEF为圆内接正六边形.
1-1. 如图， △ ABC 是⊙O的内接等腰三角形，AB=AC，∠ BAC=36 °，BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，连接EA，EB，DA，DC，求证：五边形AEBCD是正五边形.
证明：∵在△ABC中，AB=AC,∠BAC=36°,∴∠ABC=∠ACB=72°.∵BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB,∴∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠BCE=36°.∴∠BAC=∠DBC=∠ABD=∠ACE=∠BCE.∴BC=CD=DA=AE=BE.∴BC=CD=DA=AE=BE.∴五边形AEBCD是正五边形.
与正n 边形有关的计算公式(正n 边形的半径为R，边长为a，边心距为r)：
已知正六边形ABCDEF的半径为6，求这个正六边形的边长a6，周长l6 和面积S6.
解题秘方：构造特殊三角形解正多边形的方法在解决有关正六边形和正方形的计算问题时，往往体现在作相邻两条半径使其与边分别构成等边三角形和等腰直角三角形.
2-1.如图，正方形ABCD是半径为R 的⊙ O 的内接四边形，R=6.求正方形ABCD 的边长和边心距.
要作半径为R的正n 边形，只要把半径为R的圆n 等分，然后顺次连接各等分点即可. 具体画法有以下两种：
特别提醒1. 画法一是一种简单且常用的方法，但当边数很大时，容易产生较大的误差.2. 画法二是一种精确等分圆的方法，但有很大的局限性，它不能将圆任意等分，只限于一些特殊的正多边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正十二边形、正三角形等.
作一个正三角形，使其半径为0.9 cm.
解题秘方：用量角器画时，应先求出中心角；用尺规画时，则先考虑等分圆.
解：作法一 (1)作半径为0.9 cm 的⊙O；(2)用量角器画∠AOB =∠BOC=120°，其中A，B，C均为圆上的点；(3)连接 AB，BC，CA，则△ ABC 为所求作的正三角形, 如图30.3-3 所示．
作法二 (1)作半径为0.9 cm 的⊙O；(2)作⊙O的任一直径AB；(3)以B为圆心，以0.9 cm 为半径作弧，交⊙O于点D，E；(4)连接AD，DE，EA，则△ADE为所求作的正三角形，如图30.3-4 所示.
3-1. 如图，用等分圆周的方法作出⊙O 的内接正八边形.
解：如图所示.作法如下：(1)画两条互相垂直的直径AB，CD;(2)连接AC，BC，过点O分别作AC和BC的垂线，分别交⊙O于点E，F，G，H;(3)顺次连接点A，E，C，G，B，F，D，H，A，得到的多边形AECGBFDH就是所求作的⊙O的内接正八边形.
正多边形与圆的有关计算
解题秘方：紧扣正多边形周长的计算公式，将正多边形问题转化为三角形问题是解题的关键.
解题策略正多边形的计算一般要经过中心作边的垂线，并连接中心与一个顶点构造直角三角形，再利用勾股定理求解.
正多边形与圆的有关证明
[新考法 构造“隐圆”法]如图30.3-6，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M. 求证：AC∥ED.
另解由正五边形的内角和可得，∠D=∠BCD=∠ ABC=108°.∵ AB=BC，∴∠ ACB=36°，∴∠ ACD=72°.∴ ∠ ACD+ ∠ D=180°.∴ AC∥ ED.
[新考法 构造全等三角形法]如图30.3-7，点M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，内接正方形ABCD，内接正五边形ABCDE，…，内接正n边形ABCDEFGH…的边AB，BC上的点，且BM=CN，连接OM，ON.
(1)求图30.3-7 ①中∠MON的度数；
解：如图30.3-7 ①，连接OB，OC.易知OB=OC，∠BOC=120°，∠OBM= ∠OCN=30°.又∵BM=CN，∴△OBM≌△OCN(SAS).∴∠BOM= ∠CON. ∴∠MON = ∠BOC =120°.
(2)图30.3-7②中∠MON的度数是_____，图30.3-7 ③中∠MON的度数是_____ ；
(3)试探究∠MON的度数与正n 边形的边数n 之间的关系.
解题通法解此题时，关键是对未知角先进行分析，再通过三角形全等进行角度的等量转化，将求∠MON的度数转化为求∠BOC的度数
对正多边形与圆的位置关系考虑不全面而出错
若AB 是⊙ O 内接正五边形的一边，AC 是⊙ O 内接正六边形的一边，则∠ BAC=_________ .
诊误区：正五边形和正六边形虽是同一个圆的内接正多边形，但AB，AC的位置不确定，所以要分AB，AC在OA同侧和两侧两种情况讨论.
[中考·呼和浩特]如图30.3-9，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为(　　)A. 26°B. 27°C. 28°D. 30°
利用圆内接正多边形求角度
试题评析：本题主要考查的是正多边形和圆的性质，掌握正多边形的相关计算公式和性质是解题的关键．
[新考向数学文化中考·东营]我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．
利用圆内接正多边形的面积估算圆周率
试题评析：本题考查了圆内接正多边形的性质、三角形的面积公式、勾股定理等，正确求出正八边形的面积是解题的关键．
1. 下列说法正确的是( )A. 各边相等的多边形是正多边形B. 各角相等的多边形是正多边形C. 各边相等的圆内接多边形是正多边形D. 各角相等的圆内接多边形是正多边形
2. 一个正多边形的中心角为30°，则这个正多边形的边数是( )A. 3 B. 6C. 8 D. 12
3. [中考.青岛]为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形ABCDE和正方形CDFG中，CF，DG的延长线分别交AE，AB 于点M，N，则∠FME的度数是(　　)A.90° B.99°C.108° D.135°
6.[中考· 宿迁]如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O，连接AC，则∠ACD的度数为________．
7. [母题中考· 扬州教材P165 习题T5]如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b=3 cm，则螺帽的边长a=_______ cm．
8. [期末.衡阳珠晖区]如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3 个正五边形的位置. 要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是_____个.
10. 如图，⊙O的半径为R，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，四边形EFGH是正方形．
(1)求∠OGF的度数；
(2)求正六边形与正方形的面积比．
11.如图，已知⊙O的内接正十边形ABCD…，AD与OB，OC分别交于点M，N. 求证：
(2)MN+BC=OB.
证明：∵∠BAD=36°，∠3=72°，∴∠AMB=180°-∠BAD-∠3=72°.∴∠OMN=∠AMB=72°.同理可得∠ONM=72°，∴∠OMN=∠ONM.∴OM=ON.∵∠OMN=∠AOM+∠OAM，∠AOM=36°，∴∠OAM=36°.∴∠OAM=∠AOM.∴OM=AM.