数学八年级下册（2024）1 图形的平移第3课时教学设计

这是一份数学八年级下册（2024）1 图形的平移第3课时教学设计，共10页。教案主要包含了教学目标，教学重点及难点，教学过程，当堂检测，课堂小结等内容，欢迎下载使用。
1.经历“鱼”形图形、四边形的两次平移探究过程，理解图形两次平移变换的本质，掌握两次平移与一次平移的等价关系.
2.能根据题目要求，在平面直角坐标系中准确画出图形经过两次平移后的图形，规范写出对应点坐标，并能确定等价一次平移的方向与距离.
3.体会化繁为简的数学思想，提升图形平移变换的综合分析与作图能力，深化数形结合的应用意识.
二、教学重点及难点
重点：理解图形的两次平移变换，能按要求画出两次平移后的图形，掌握两次平移与一次平移的等价性.
难点：推导两次平移的坐标变化规律，确定两次平移对应的一次平移的方向与距离，灵活运用平移规律解决综合作图问题.
三、教学过程
【探究新知】
探究：探究两次平移与一次平移的关系.
教师提问：我们学习了图形的平移，并且掌握了平面直角坐标系中点的平移规律，大家还记得点的坐标是如何变化的吗？
【学生】记得.
一个图形沿 x 轴方向平移 h (h＞0) 个单位长度：
向右平移 h 个单位：(x，y)→(x＋h，y)；
向左平移 h 个单位：(x，y)→(x－h，y)；
一个图形沿 y 轴方向平移 k (k＞0) 个单位长度：
向上平移 k 个单位：(x，y)→(x，y＋k)；
向下平移 k 个单位：(x，y)→(x，y－k).
教师：图形的平移可以分解为沿不同坐标轴的多次平移，那么它们的性质是否也有规律可循？根据点的平移规律，我们可以对图形进行位置变换，类似地，为了研究更复杂的平移变换，就需要探究两次平移与一次平移之间的关系.
教师提问：A点先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到A'，你能找到A'的位置吗？
【学生活动】学生独立思考，分步计算坐标，在坐标系中标出位置并与同伴进行交流讨论.
答案预设：A ( 2，1 )向下平移 2 个单位→B (2，1－2)，
B (2，1－2)向右平移 3 个单位→A' (2＋3，－1)，如图.
教师追问：（1）你还能想到其他的平移方式吗？
（2）A点能否通过一次平移到达 A' 点的位置？若能，请指出平移方向和距离？
【师生活动】学生思考后得出：可以先向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，也能到达A'，教师引导学生连接A和A'，讨论是否可视为一次平移.
答案预设：
（1）可先向右平移，再向下平移；
（2）可以看成经过一次平移得到，平移的方向是点 A 到点 A' 的方向，平移的距离根据勾股定理得到为.
教师：现在我们一起来练习一道题.
提问：在平面直角坐标系中，将(0，0)，(5，4)，(3，0)，(5，1)，(5，－1)，(3，0)，(4，－2)，(0，0) 的点用线段依次连接得到了“鱼”F（如下图）. 将图中的“鱼”F 向下平移 2 个单位长度，再向右平移 3 个单位得到新“鱼”F'.
（1）在图所示的平面直角坐标系中画出“鱼”F'.
（2）能否将“鱼”F'看成“鱼”F经过一次平移得到的？如果能，请指出平移的方向和平移的距离，并与同伴进行交流.
（3）在“鱼”F和“鱼”F'中，对应点的坐标之间有什么关系？
【师生活动】学生独立计算“鱼”F各顶点平移后的坐标，描点连线画出 F'，小组讨论两次平移的等价性，用勾股定理计算一次平移距离，梳理坐标变化关系；教师巡视指导，组织分享交流，点拨两次平移可合并为一次平移的本质.
答案预设：
（1）如图.
（2）能；沿着 O(0，0) 到 O'(3，－2) 的方向，平移的距离为.
（3）“鱼”F'和“鱼”F的对应点相比，横坐标分别增加了3，纵坐标分别减小了2.
设计意图：通过“鱼”形图形的两次平移作图，让学生从“单点平移”过渡到“图形整体平移”，巩固“右加左减、上加下减”的坐标规律；引导学生探究两次平移与一次平移的等价性，结合勾股定理计算平移距离，实现几何直观与代数计算的结合.
教师追问：改变“鱼”F 的最初平移方向 (仍沿坐标轴方向) 和平移距离，再试一试，并与同伴进行交流.
【学生活动】学生自主设定“鱼”F沿坐标轴方向的新平移方向与距离，独立计算各顶点平移后的坐标，画出新图形；随后小组内交换方案，核对坐标变化与图形位置，交流两次平移的坐标变化规律，归纳得出通用结论.
【探究新知】
探究：坐标变化下的平移规律探究.
教师提问：先将图中“鱼”F的每个“顶点”的横坐标分别加2，纵坐标保持不变，得到“鱼”G；再将“鱼”G的每个“顶点”的纵坐标分别加3，横坐标保持不变，得到“鱼”H.
（1）将“鱼”F经过怎样平移能得到“鱼”H？你有哪些不同的平移方法？
（2）如果横坐标分别加2、纵坐标分别减3呢？请你先想一想，然后再具体做一做.
【师生活动】学生独立预判并完成“鱼”的两次平移及坐标加减变式作图，小组交流平移方法与思路，全班分享结论；教师巡视指导，引导学生理解点的坐标变化与图形整体平移的关联，总结平移规律.
答案预设：
（1）如图，① 先将“鱼” F 向上平移，再向右平移；
② 将“鱼”H 看成是原来的“鱼”F 经过一次平移得到，平移方向是点 (0，0) 到点 (2，3) 的方向，平移距离为.
（2）如图，“鱼”F 将先向右平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，得到的“鱼”H 同样可以看成由“鱼”F 经过一次平移得到的.
【课堂互动】
教师提问：一个图形依次沿 x 轴方向、y 轴方向平移后所得图形与原来的图形相比，位置有什么变化？它们对应点的坐标之间有怎样的关系？
【师生活动】学生结合“鱼”形平移经验独立思考，小组交流后总结，教师适时进行指导.
教师点拨：一个图形依次沿 x 轴方向、y 轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的.
教师总结：一个图形依次沿 x 轴方向、y 轴方向平移后对应点的坐标如下
设计意图：通过“鱼”形图形的两次平移操作，引导学生从具体实例中抽象出坐标变化规律，探究两次平移与一次平移的等价性，培养化归思想；通过小组交流和教师总结，归纳出不同平移方向下的坐标变化公式，构建知识体系，强化数形结合能力.
【典型例题】
例2 如图，四边形 ABCD 各顶点的坐标分别为 A(－3，5)，B(－4，3)，C(－1，1)，D(－1，4)，将四边形 ABCD 先向上平移 3 个单位长度，再向右平移 4 个单位长度，得到四边形 A'B'C'D'.
（1）四边形 A'B'C'D' 与四边形 ABCD 对应点的横坐标有什么关系？纵坐标呢？分别写出点 A'，B'，C'，D' 的坐标；
（2）如果将四边形 A'B'C'D' 看成由四边形 ABCD 经过一次平移得到的，那么请指出这一平移的平移方向，并求出平移距离.
教师点拨：（1）由题意易知由四边形 ABCD 到四边形 A'B'C'D'，对应点的横、纵坐标分别增加了 4、增加了 3，然后再直接写出坐标.
（2）连接其中任意一组对应点，计算其长度即可.
解：（1）四边形 A'B'C'D' 与四边形 ABCD 相比，对应点的横坐标分别增加了 4，纵坐标分别增加了 3；
A'(1，8)，B'(0，6)，C'(3，4)，D'(3，7).
（2）如图，连接 AA'，则有 AA'＝.
因此，如果将四边形A'B'C'D'看成是由四边形ABCD经过一次平移得到的，那么这一平移方向是由 A 到 A' 的方向，平移的距离是 5 个单位长度.
设计意图：通过四边形两次平移的坐标计算，巩固平移规律，体会两次平移与一次平移的等价性；结合勾股定理计算平移距离，深化对平移本质的理解，培养化繁为简的数学思想.
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.两次平移与一次平移的关系：
一个图形依次沿 x 轴方向、y 轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的，平移顺序不影响最终结果.
2.坐标变化规律：
向右平移 a 个单位长度，向上平移 b 个单位长度：(x+a,y+b)；
向右平移 a 个单位长度，向下平移 b 个单位长度：(x+a,y−b)；
向左平移 a 个单位长度，向上平移 b 个单位长度：(x−a,y+b)；
向左平移 a 个单位长度，向下平移 b 个单位长度：(x−a,y−b).
3.平移距离计算：两次平移可合并为一次平移，平移的距离可根据勾股定理计算
如先向右平移 a 个单位，再向上平移 b 个单位，平移距离为.
平移方向和平移距离
对应点的坐标
向右平移 a 个单位长度，向上平移 b 个单位长度
(x+a,y+b)
向右平移 a 个单位长度，向下平移 b 个单位长度
(x+a,y−b)
向左平移 a 个单位长度，向上平移 b 个单位长度
(x−a,y+b)
向左平移 a 个单位长度，向下平移 b 个单位长度
(x−a,y−b)