初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）第三章 图形的平移与旋转1 图形的平移第3课时教案及反思

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）第三章 图形的平移与旋转1 图形的平移第3课时教案及反思，共8页。教案主要包含了设计意图等内容，欢迎下载使用。

1.教学内容
本节选自北师大版八年级下册第3章“图形的平移与旋转”3.1《图形的平移》第3课时，核心知识点：图形沿 x 轴、y 轴及斜向平移时的坐标变化规律；两次平移等价于一次斜向平移；平移方向、距离与向量、坐标之间的关系。
2.内容解析
本节课在直角坐标系背景下探究“平移”这一基本图形变换。首先复习单一方向平移 (x,y)→(x+a,y)、(x,y)→(x,y+b)的坐标规律，引出“先横后纵”的两次平移。随后通过“鱼”“长方形”等实例，让学生直观发现：两次正交平移可合成为“沿向量 v=(a,b)的一次平移”，其对应点坐标统一表示为 (x+a，y+b)，其中 a,b 的符号由方向决定。该抽象过程帮助学生把“几何运动”转化为“坐标运算”，体现空间观念、符号意识与数学建模思想。课堂练习从点、线到多边形，再到运动问题，层层递进，突出“平移向量的确定”“坐标变换公式的运用”两大主题，为后续学习旋转与综合变换奠定基础。
1.教学目标
•探究图形沿 x 轴、y 轴方向和斜向平移时位置和坐标的关系。
•能按要求画出平面图形两次平移后的图形。
•掌握图形两次平移或斜向平移后在平面直角坐标系中的坐标变化规律，认识图形变换与坐标之间的内在联系
2.目标解析
• 通过“先横后纵”与“向量合成”探究活动，学生能用语言或符号描述平移前后图形的对应关系，评价标准为能举例说明 (x,y)→(x+a,y+b)的意义。
• 借助方格纸或几何软件，学生能够按给定的两次移动量正确描点并连接成形，图形与原图形保持大小、方向一致，评价标准为图形重合度≥90%。
•学生能利用坐标公式解决“已知某点平移后坐标求原点坐标”或“判断两图是否为平移关系”等问题，评价标准为能独立完成配套习题 6、7、11、12。
3.重点难点
• 教学重点：两次平移等价于一次斜向平移的坐标表示 (x,y)→(x±a,y±b)。
• 教学难点：平移向量的正确确定及其在综合问题中的灵活运用，如运动时间的求解、逆向平移定位等。
学生已具备一次函数、平面直角坐标系及单向平移基础，能熟练描点、计算简单坐标差，对“向量”仅有感性认识。因此教学中应通过操作—观察—符号表达的梯度活动，配合同伴讨论与即时反馈，帮助学生完成由直观到抽象的过渡，并在大量变式练习中巩固迁移。
创设情景，引入新课
问题情境：
1.知识回顾
①一个图形沿x轴方向向右(或向左)平移a(a>0)个单位长度，平移后的图形与原图形对应点的横坐标都加上(或减去)a，纵坐标保持不变.
②一个图形沿y轴方向向上(或向下)平移b(b>0)个单位长度，平移后的图形与原图形对应点的横坐标保持不变，纵坐标都加上(或减去)b.
③在坐标系中，将坐标作如下变化时，图形将怎样变化？
(1) (x,y)(x,y＋a)(a＞0)；向上平移a个单位
(2) (x,y)(x-b , y)(b＞0). 向左平移b个单位
2.情景引入
先将图中的“鱼”F向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到新“鱼”F′.
你能画出经过两次平移后的新“鱼”F′吗？
【设计意图】通过“坐标变化—图形平移”的复习与“小鱼搬家”的趣味情境，激活已有经验，营造探究氛围；同时暗含“两次平移可等效一次平移”的核心问题，引导学生带着疑惑进入新知学习。
探究点：坐标系中图形的两次平移(斜向平移)
1.议一议
(1)能否将新“鱼”F'看成是“鱼”F经过一次平移得到的？如果能，请指出平移的方向和平移的距离，并与同伴进行交流.
解：能，平移的方向和图中箭头方向一致，
平移的距离是线段FF'的长度，也就是13．
(2)在新“鱼”F'和“鱼”F中对应点的坐标之间有什么关系？
解：“鱼”F的顶点坐标纵坐标减2，横坐标加3，就能对应得到新“鱼”F'的顶点坐标.
教师提问：改变“鱼”F最初的平移方向（仍沿坐标轴方向）和平移距离，再试一试，并与同伴交流.
2.尝试思考
先将图中的“鱼”F的每个“顶点”的横坐标分别加2，纵坐标不变，得到 “鱼”G；再将“鱼”G的每个“顶点”的纵坐标分别加3，横坐标不变，得到“鱼”H.
（1）将“鱼”F经过怎样平移能得到“鱼”H？
解：如图，将“鱼”F先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度即可得到“鱼”H.
（2）你还有哪些不同的平移方法？
解：可以将“鱼”H看成是“鱼”F经过一次平移得到的.
平移方向是点(0,0)到点(2,3)的方向，平移距离是 13 .
（3）若横坐标分别加2,纵坐标分别减3呢？
解：可以看成是“鱼”F经过一次平移得到的，平移方向是点(0,0)到点(2,-3)的方向，平移距离是 13 .
教师提问：一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形与原来的图形相比，位置有什么变化？它们对应点的坐标之间有怎样的关系？与同伴进行交流.
3.知识归纳
图形的斜向平移规律：
一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的.
设(x，y)是原图形上的一点，当它沿x轴方向平移a(a>0)个单位长度，沿y轴方向平移b(b>0)个单位长度后，这个点与其对应点的坐标之间有如下关系：
4.练一练
如图所示，把△ABC先向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度得到△DEF,则顶点C(0,-1)的对应点F的坐标为( )
A.(0,0) B.(1,2)
C.(1,3) D.(3,1)
解：D
5.典例分析
例 如图，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(-3, 5)，B(-4, 3)，C (-1，1)，D(-1，4),将四边形ABCD先向上平移3个单位长度, 再向右平移4个单位长度,得到四边形A′B′C′D′.
（1）四边形A′B′C′D′与四边形ABCD对应点的横坐标有什么关系？纵坐标呢？分别写出点A′，B′，C′，D′的坐标；
解：(1)四边形A′B′C′D′与四边形ABCD对应点的横坐标分别增加了4，纵坐标分别增加了3，A′(1，8)，B′(0，6)，C′(3，4)，D′(3，7);
（2）如果将四边形A′B′C′D′看成是由四边形ABCD经过一次平移得到的，请指出这一平移的平移方向和平移距离.
解：(2)如图,连接AA',由图可知AA'=42+32=5.
因此，如果将四边形A′B′C′D′看成是由四边形ABCD经过一次平移得到的，那么这一平移的平移方向是由A到A′的方向，平移距离是5个单位长度.
【设计意图】用直观操作让学生亲历“分步—合并”的转化，突破“斜向平移”概念形成的难点，培养向量视角。
1.如图所示，在10×6的网格中，每个小方格的边长都是1个单位．将三角形ABC平移到三角形DEF的位置，下面正确的平移步骤是( )
A．先把三角形ABC向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度
B．先把三角形ABC向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．先把三角形ABC向左平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度
D．先把三角形ABC向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度
解：A．
2.将点A(－3，－3)向右平移5个单位长度，得到点A1，再把A1向上平移4个单位长度，得到点A2，则点A2的坐标为( )
A．(－2，－1) B．(2,1) C．(－3,1) D．(3,1)
解：B．
3.如图所示,已知点A,B的坐标分别为(3,0),(0,4),将线段AB平移到CD的位置,若点A的对应点C的坐标为(4,2),则点B的对应点D的坐标为( )
A.(1,6) B.(2,5) C.(6,1) D.(4,6)
解：A.
4.在平面直角坐标系xOy中，A(2,4)，B(-2,3)，C(4,-1)，将线段AB平移得到线段CD，其中点A的对应点是C，则点B的对应点D的坐标为( )
A.(-4,8) B.(4,-8) C.(0,2) D.(0,-2)
解：D．
5.如图所示，△ABC中任意一点P(x,y)经过平移后的对应点为P1(x+4,y-2)，将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1，若点A的坐标为(-4,5)，则点A1的坐标为_____.
解：（0，3）
6.已知长方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，将长方形ABCD沿x轴向左平移到使点C与坐标原点重合后，再沿y轴向下平移到使点D与坐标原点重合，此时点B的坐标是______.
解：（-5，-3）
如图所示的一小船，将其向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度，试确定A、B、C、D、E、F、G平移后对应点的坐标，并画出平移后的图形．
解:对应点坐标分别为A'(－5，－3)、B'(－3，－4)、C'(－2，－4)、D'(－1，－3)、E'(－3，－3)、F'(－3，－1)、G'(－4，－2)．描出这些对应点并按原来的顺序连接起来，可得平移后的图形，如图所示．
8. 如图所示,在长方形OABC中,O为平面直角坐标系的原点,点A的坐标为(4,0),点C的坐标为(0,6),点B在第一象限内,点P从原点出发,以每秒2个单位长度的速度沿着折线OABCO移动(即沿着长方形移动一周).
(1)点B的坐标是_____;
(2)当点P移动了4秒时,在图中描出此时点P的位置,并求出点P的坐标;
(3)在移动过程中,当点P到x轴的距离为5个单位长度时,求点P移动的时间.
解：（1）（4，6）
（2）点P的移动速度为每秒2个单位长度,当点P移动了4秒时,共移动了8个单位长度,此时点P的坐标为(4,4),位于AB上,描点如图所示.
(3)根据题意,当点P到x轴的距离为5个单位长度时,有两种情况:
①若点P在AB上,则点P移动了4+5=9(个)单位长度,此时点P移动了=4.5(秒);
②若点P在OC上,则点P移动了4+6+4+1=15(个)单位长度,此时点P移动了=7.5(秒).
综上所述,当点P到x轴的距离为5个单位长度时,点P移动的时间为4.5秒或7.5秒.
【设计意图】本环节着眼于“重构—迁移—创新”三层梯度，引导学生在掌握两次平移（斜向平移）坐标变化规律的基础上，尝试用向量及函数表达式描述平移，进一步体会“坐标变换—图形运动”之间的对应关系。

1.必做题：习题3.1第6，7，11，12题。
2.探究性作业：习题3.1第13题。
主板书
3.1 图形的平移 第三课时
探究点 坐标系中图形的两次平移(斜向平移)
课堂小结
副板书
例题
学生练习板演