数学八年级下册（2024）20.1 勾股定理及其应用多媒体教学ppt课件

这是一份数学八年级下册（2024）20.1 勾股定理及其应用多媒体教学ppt课件，共28页。PPT课件主要包含了问题1，求正方形C1的面积，问题2，问题3，第一步拆分图形，第二步拼接转化，第三步计算推导，问题4，S大正方形＝c2，加菲尔德的梯形面积法等内容，欢迎下载使用。
同学们，我们已经学习了一些三角形的相关知识，了解到直角三角形作为一种特殊的三角形，具有广泛的应用价值．直角三角形的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余．对于直角三角形的三条边，它们之间是否也存在某种特殊关系呢？
在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫作勾，长的直角边叫作股，斜边叫作弦．
在《周髀算经》的开篇，商高构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”．意思是说：分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积．
商高的说法是否正确呢？
如图，红色直角三角形的三边长分别为3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形，三个正方形的面积分别是多少？它们之间有什么关系？
三个正方形面积的关系是：9＋16＝25．
你能从边的角度出发，总结出这个特殊直角三角形的三边关系吗?
三个正方形的面积分别是9，16，25．
两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．
如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A1，B1，C1的面积之间有什么关系？A2，B2，C2 呢？A3，B3，C3 呢？
先研究正方形A1，B1，C1．
数方格可知：正方形A1的面积为1，
正方形B1的面积为4，
怎么求正方形C1的面积呢？
方法1（补形法）1个大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积．
方法2（割补法）四个直角三角形的面积加上中间一个小正方形的面积．
请你用类似的方法，继续研究其余两组正方形．
SA1＋SB1＝SC1
SA2＋SB2＝SC2
SA3＋SB3＝SC3
以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？
S1＋S3 ＝ S2 ．
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2 ．
证明：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2 ．
把边长分别为 a，b 的两个正方形连在一起，它的面积是 a2＋b2．这两个正方形还可以分割成四个全等的直角三角形（红色部分，直角边长分别为 a，b）和一个小正方形（黄色部分，边长为 b－a）．
把左、右两个三角形移到箭头所示的位置，就会形成一个以 c 为边长的正方形，它的面积是 c2．
第一个图和第三个图都由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，所以它们的面积相等，即 a2＋b2＝c2．
直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2．我国把它称为勾股定理．在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理．
赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法” ．“赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲．2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的．
根据“赵爽弦图”，你能通过计算弦图的面积推导出勾股定理吗？
化简可得 a2＋b2＝c2．
S小正方形＝(b－a)2，
S大正方形＝S小正方形＋4S三角形，
Rt△ABC≌Rt△CDE ．
易证△CAE 为直角三角形，四边形 ABDE 为梯形．
S梯形ABDE＝S△ABC＋S△CDE＋S△ACE ，
化简可得：a2＋b2＝c2 ．
例1 如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长．
解：（1）在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，AB2＝AC2＋BC2＝82＋62＝100，所以 AB＝10．
解：（2）在 Rt△DEF 中，根据勾股定理，DE2＋EF2＝DF2，
所以 DE2 ＝DF2－EF2＝172－152＝64， 所以 DE＝8．
运用勾股定理求直角三角形边长的关键
（1）先确定直角边和斜边，明确已知边和未知边；
（2）根据勾股定理列出关系式，注意边长的计算结果是正数．
例2 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形 A，B，C，D 的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形 E 的面积．
分析：①的面积＝A 的面积＋B 的面积
解：根据图形，最大正方形 E 的面积为 122 ＋162 ＋92 ＋122 ＝625.
②的面积＝C 的面积＋D 的面积
E 的面积＝①的面积＋②的面积
　　1．设直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c．
（1）已知 a＝6，c＝10，求 b；（2）已知 a＝5，b＝12，求 c；（3）已知 b＝15，c＝25 ，求 a．
　　解：（1）根据勾股定理，得 62＋b2＝102，所以 b2＝64，b＝8 ；
　　（2）根据勾股定理 ，得 52＋122＝c2，所以 c2＝169， c＝13 ；
　　（3）根据勾股定理 ，得 a2＋152＝252，所以 a2＝400，a＝20．
　　2．如图，在平面直角坐标系中有两点 A（5，0）和 B（0，4）．求这两点间的距离．