人教A版 (2019)选择性必修 第三册排列与组合精品导学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册排列与组合精品导学案，共9页。学案主要包含了知识点的认识，解题方法点拨等内容，欢迎下载使用。

▉题型1 排列数的化简计算及证明
【知识点的认识】
﹣排列数表示从n个不同元素中选出r个元素，并对这r个元素进行排列的总数．其公式为Anr=n!(n−r)!．
﹣排列数的化简通常涉及阶乘的计算和分解，在某些情况下需要用排列数公式进行证明或化简．
【解题方法点拨】
﹣熟练掌握排列数公式的推导和应用．对于排列数的化简，可以通过分解阶乘来简化计算．
﹣在复杂问题中，可能需要将排列问题转化为递推公式进行求解或证明，或者利用对称性来简化表达式．
﹣证明排列数的恒等式时，可以通过将排列数公式展开并进行比较，或者使用数学归纳法．
1．计算C72+2A52的值是（ ）
A．41B．61C．62D．82
2．A93等于（ ）
A．9×3B．93C．9×8×7D．9×8×3
（多选）3．已知m，n∈N+且m≤n，则下列等式正确的是（ ）
A．A104=A106
B．C73=A733!
C．(n+1)Anm=An+1m+1
D．Cnm=m+1n+1Cn+1m
（多选）4．下列等式正确的是（ ）
A．Amm=Anmn!
B．n!n(n−1)=(n−2)!
C．(n+1)Anm=An+1m+1
D．1n−mAnm+1=Anm
5．A66−6A55+5A44= ．
6．计算A76−A65A54= ．
7．（1）求函数y＝ln（3x﹣2）的导数；
（2）求函数y=e2x−1+12ln(2x)的导数；
（3）求值：A85A43−2C74（用数字作答）．
8．计算下列各式．
（1）A62A52−A55；
（2）A66A92+A32．
9．（1）计算：A77A74；
（2）解不等式：A8x＜6A8x−2．
▉题型2 部分位置的元素有限制的排列问题
【知识点的认识】
﹣部分位置的元素排列受限是指在排列问题中，某些元素只能出现在特定位置或区域．例如：特定元素只能出现在排列的前几位或某些位置．
﹣这种问题通常要求考生在处理排列时，先考虑限制条件，再进行一般排列．
【解题方法点拨】
﹣处理此类问题时，首先对有限制的部分进行排列，将有限制的元素排好位置，然后对剩余元素进行排列组合．
﹣使用乘法原理，将有限制的排列与剩余元素的排列相乘得到总数．
﹣对于较复杂的限制条件，可能需要分类讨论，并对每种情况进行单独计算．
10．中国空间站又名天宫空间站，最大可扩展为180吨级六舱组合体，以进行较大规模的空间应用，其主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验室．2024年3月，中国空间站首批材料舱外暴露实验完成．在早前的某次模拟训练时共有5名航天员参与，其中两人出舱完成任务，剩余三人各留守在一个舱内完成其他任务，则不同的安排方案有（ ）
A．30种B．60种C．72种D．114种
11．某校组织校运会活动，由甲、乙、丙三名志愿者负责A，B，C，D四个任务，每人至少负责一个任务，每个任务都有且仅有一人负责，且甲不负责A任务，则不同的任务分配方法种数为（ ）
A．12B．18C．24D．30
12．园艺部门打算为一个社区休闲广场的中心花坛（如图）布置花卉，要求同一区域摆放同一种花卉，相邻的两块区域（有公共边）摆放不同种类的花卉．现有4种不同种类的花卉可供选择，则不同布置方案有（ ）
A．144种B．120种C．96种D．72种
13．某市为弘扬科学精神，激励青少年投身科技事业，特别策划了一场“致敬科技先锋”的主题活动．活动期间，需将A，B，C，D，E五位功勋人物的画像自左至右排成一行展示，且要求A与B的画像不相邻，E的画像只能排在两端，则满足条件的排法种数为（ ）
A．16B．20C．24D．26
（多选）14．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法
D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法
▉题型3 部分元素不相邻的排列问题
【知识点的认识】
﹣部分元素不相邻的排列问题要求在排列过程中，特定元素必须保持不相邻．例如：在排列中，两个特定元素不能排在一起．
﹣这类问题通常通过排除法、间隔法或插空法来解决．
【解题方法点拨】
﹣使用间隔法，首先将不受限制的元素排列，然后在排列间隙中插入受限制的元素，保证其不相邻．
﹣排除法是先计算不考虑相邻条件的排列总数，再减去相邻元素排列的情况．
﹣对于更复杂的排列问题，可以结合插空法或利用递推关系进行解题．
15．将6本相同的数学书和2本相同的语文书随机排成一排，2本语文书不相邻的概率为（ ）
A．34B．45C．14D．15
16．某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六块知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数有（ ）
A．24B．48C．144D．240
17．现有A，B，C，D，E五人站成一排，则A，B相邻且C，D不相邻的排法种数共有（ ）
A．6B．12C．24D．48
18．两名老师和甲、乙等五名学生站成一排，要求甲站最左边，两名老师相邻，且乙和老师不相邻，则不同的排法共有（ ）
A．774种B．796种C．144种D．120种
19．某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出二十四节气宣传橱窗，其中“雨水”，“惊蛰”，“谷雨”，“芒种”，“白露”，“寒露”6块知识展板放置在排成一排的六个文化橱窗里，要求“雨水”和“谷雨”两块展板不相邻，且“白露”与“寒露”两块展板不相邻，则不同放置方式的种数为（ ）
A．144B．240C．336D．456
▉题型4 部分元素相邻的排列问题
【知识点的认识】
﹣部分元素相邻的排列问题要求在排列过程中，特定元素必须相邻排列．例如：在排列中，两个或多个元素必须排在一起．
﹣这类问题通常通过将相邻元素视为一个整体来简化排列．
【解题方法点拨】
﹣通过将相邻的元素看作一个整体，然后对这个整体和其他元素一起进行排列．最后，再对这个整体内部的元素进行排列．
﹣使用乘法原理，将整体的排列与内部元素的排列相乘，得到总的排列数．
﹣对于涉及多个相邻元素的问题，可以进行多重整体处理，逐层递进排列．
20．“湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，有甲、乙、丙、丁、戊5名同学相约邵阳体育馆一起坐一排看湘超比赛，若甲不坐在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
21．2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》成为中国影史票房最高的电影，某班甲、乙、丙、丁、戊这5位同学相约一起去电影院观看，要求5人坐在同一排相邻的5个位置，甲、乙、丙这三人相邻，且丙不与丁相邻，则不同的座位排列方法有（ ）种．
A．32B．28C．24D．20
22．有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有（ ）
A．24种B．48种C．96种D．144种
23．现有数字1，2，2，3，3，3，若将这六个数字排成一排，则数字2，2恰好相邻的方法数有（ ）
A．6种B．20种C．40种D．120种
▉题型5 组合数的化简计算及证明
【知识点的认识】
﹣组合数表示从n个不同元素中选出r个元素的总数，其公式为Cnr=n!r!(n−r)!．
﹣组合数的化简和证明通常涉及组合数公式的推导、递推关系的应用以及组合恒等式的证明．
【解题方法点拨】
﹣熟练掌握组合数公式，并理解其对称性和递推关系．组合数的性质如对称性Cnr=Cnn−r是化简计算的重要工具．
﹣证明组合恒等式时，常用的方法包括代数方法、递推公式以及归纳法．
﹣在涉及复杂组合问题时，可以使用组合数的递推关系来进行逐步化简．
24．117C171+317C173+517C175+⋯+1517C1715+C1717=（ ）
A．216+1B．216C．215+1D．215
25．C22+C32+C42+C52+⋯+C102=（ ）
A．55B．120C．165D．220
26．数列的综合求和方法有：错位相减法，裂项相消法，分组求和法及倒序相加法．在组合数的计算中有如下性质：Cnr=Cnn−r，Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+⋯⋯+Cnn=2n．应用上述知识，计算Cn1+2Cn2+3Cn3+⋯⋯+nCnn= ．
▉题型6 人员及物品分配问题
【知识点的认识】
﹣人员及物品分配问题涉及将不同人员或物品进行分配的组合问题．例如：将n个人分配到k个小组，或者将m个物品分配给p个人．
﹣这类问题通常涉及组合与排列的综合应用，以及对分配方案的合理性判断．
【解题方法点拨】
﹣根据分配的要求，首先分析每种分配情况的可能性，然后分别计算不同情况的组合数或排列数．
﹣对于不同分配方式，可以使用加法原理和乘法原理进行综合计算．对于更复杂的分配问题，分类讨论是必要的．
﹣分配问题中，考虑限制条件（如某些人或物品必须被分配到特定组）的情况，可以先处理有限制的部分，再进行剩余部分的分配．
27．将五本不同的书全部分给甲，乙，丙三人，要求每人至少分得一本，则不同的分法有（ ）
A．90种B．150种C．180种D．250种
28．某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有 种．
29．两本相同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有 种．
▉题型7 从不同类别人员物品中进行挑选的组合问题
【知识点的认识】
﹣这类问题涉及从不同类别的人员或物品中进行挑选的组合问题．例如：从若干类别的物品中各选出一定数量的组合问题．
﹣这类问题通常涉及分类讨论与组合公式的综合应用．
【解题方法点拨】
﹣首先按类别进行组合数计算，再将各类别的组合数相乘，得到总的组合数．注意区分不同类别的组合要求，以及每类物品或人员的选择范围．
﹣分类讨论是解决此类问题的有效策略，先处理每个类别的选择情况，再综合计算．
﹣在涉及多个类别的组合问题中，可以通过递推公式或生成函数来简化计算．
30．有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（ ）
A．40B．48C．52D．60
31．某社团书法组有3人A1，A2，A3，绘画组有3人B1，B2，B3，乐器组有2人C1，C2，现从三个组中各随机选1人参加文艺汇演，则B2和C1不全被选中的概率为（ ）
A．16B．13C．23D．56
32．从4名男生、3名女生中选2人分别担任班长和副部长，要求选出的2人中至少有一名男生，则不同的方法数为（ ）
A．18B．24C．30D．36
33．某实践团有4个男生、3个女生，从中任选3人发起问卷调研，那么恰好有2个女生被选中的方法有 种．
34．某医疗队伍有4名医生需分配到2个志愿团队，每名医生只去一个志愿队，每个志愿队至少分配一名医生，则共有 种不同的方法．（用数字作答）
▉题型8 其他组合形式及计算
【知识点的认识】
﹣其他组合形式包括多重组合、环形组合、特殊排列组合等．例如：考虑相同元素或重复元素的组合，或者在特殊条件下的组合问题．
﹣这些问题通常需要综合运用组合数、排列数以及递推公式进行计算．
【解题方法点拨】
﹣在复杂组合问题中，可能需要引入递推关系或生成函数进行逐步推导．
35．已知袋中有大小相同的黑球和白球共9个，若从中任取2个，至少有一个白球的概率是56，则袋中白球个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
▉题型9 排列组合的综合应用
【知识点的认识】
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．
36．某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有（ ）种．
A．18B．24C．27D．64
37．哈三中百年校庆活动将5名教师志愿者分配到教学楼、田径场、艺体中心、普育广场4个地点参加志愿活动，每名志愿者仅去1个地点，每个地点至少需要1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种B．120种C．240种D．480种
38．世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）种．
A．120B．60C．24D．36
39．已知袋中装有红色、黄色、绿色的小球各5个，小球除了颜色外完全相同，现从中随机取出5个小球，则不同的取法种数为（ ）
A．15B．19C．21D．23
40．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ）
A．每人都安排一项工作的不同方法数为54
B．每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为A54C41
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为(C53C21+C52C32)A33
D．每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是C31C42A33+C32A33
41．甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说“你当然不会是最差．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？（ ）
A．27种B．36种C．54种D．72种
42．10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有（ ）种不同分配方案．
A．9B．36C．84D．120
43．如图，湖北省分别与湖南，安徽，陕西，江西四省交界，且湘，皖，陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（ ）
A．540B．600C．660D．720
44．某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法有 种．
题型1 排列数的化简计算及证明
题型2 部分位置的元素有限制的排列问题
题型3 部分元素不相邻的排列问题
题型4 部分元素相邻的排列问题
题型5 组合数的化简计算及证明
题型6 人员及物品分配问题
题型7 从不同类别人员物品中进行挑选的组合问题
题型8 其他组合形式及计算
题型9 排列组合的综合应用