人教A版 (2019)选择性必修 第三册二项分布与超几何分布优质学案设计

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册二项分布与超几何分布优质学案设计，共9页。学案主要包含了知识点的认识，解题方法点拨等内容，欢迎下载使用。

▉题型1 n重伯努利试验与二项分布
【知识点的认识】
1、二项分布：
一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则
P（X＝k）=Cnkpk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并记
Cnkpk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）．
2、独立重复试验：
（1）独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验．
（2）一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X＝k）=Cnkpk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并称p为成功概率．
（3）独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的．
（4）独立重复试验概率公式的特点：Pn（k）=Cnkpk（1﹣p）n﹣k，是n次独立重复试验中某 事件A恰好发生k次的概率．其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式．
【解题方法点拨】
独立重复试验是相互独立事件的特例（概率公式也是如此），就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．
1．已知随机变量X～B(3，13)，则P（X≤1）＝（ ）
A．727B．827C．49D．2027
2．重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为35，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有k名女性的可能性最大，则k的值为（ ）
A．8B．7或8C．9D．8或9
3．设随机变量X服从二项分布X～B(6，12)，则函数f(x)=x2+25x+X存在零点的概率是（ ）
A．56B．45C．6364D．3132
4．已知随机变量X～B（3，p），若12≤p＜1，则P(X≥32)的取值范围是（ ）
A．(14，34)B．[12，1)C．(18，12]D．[18，1)
5．已知随机变量ξ～B（16，0.5），若ξ＝2η+3，则D（η）等于（ ）
A．1B．2C．4D．6
（多选）6．随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，即X～N(2，4)，Y～B(4，12)，则（ ）
A．P(X≤2)=12B．P(Y=2)=38C．E（X）＝E（Y）D．D（X）＝D（Y）
（多选）7．下列说法正确的是（ ）
A．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8
B．对于随机事件A与B，若P(B)=0.3，P（B|A）＝0.7，则事件A与B独立
C．若随机变量X～B（6，p），E（X）＝4.8，若P（X＝k）最大，则D（kX+1）＝24
D．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，则P(−1＜ξ＜0)=12−p
（多选）8．下列命题中，正确的有（ ）
A．若随机变量X～N（2，σ2），P（X＞1）＝0.68，则P（2≤X＜3）＝0.18
B．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第70%分是7
C．若随机变量X～B(6，13)，则D(X)=43
D．若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为rA＝0.97，rB＝﹣0.99，则A组数据比B组数据的相关性较强
9．5个零件中有3个次品，从中每次抽检1个，检验后放回，连续抽检3次，则抽检的3个零件中恰有2个是次品的概率为 ．
10．已知随机变量X～N（μ，σ2），Y～B（8，p），且P(X≥3)=12， E(X)=E(Y)，则p＝ ．
▉题型2 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【知识点的认识】
一般地，在n次独立重复试验中，用ξ表示事件A发生的次数，如果事件发生的概率是P，则不发生的概率q＝1﹣p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P（ξ＝K）=Cnk×pk×qn−k（K＝1，2，3，…n）那么就说ξ服从二项分布．其中P称为成功概率．记作ξ～B（n，p），期望：Eξ＝np，方差：Dξ＝npq．
【解题方法点拨】
例：在3次独立重复试验中，随机事件恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则随机事件A在一次试验中发生的概率的范围是 ．
解：由题设知C31p（1﹣p）2≤C32p2（1﹣p），
解12≤p≤1，
故答案为：[12，1]．
本题是典型的对本知识点进行考察，要求就是熟练的应用公式，理解公式的含义并准确计算就可以了，这种比较简单的题型一般出现在选择填空题中．
11．一质点在数轴上从原点出发连续跳动，其中第i（i∈N*）次向右或向左跳动i个单位长度，每次向右跳动的概率为23，向左跳动的概率为13，若某次跳动后距离原点不小于3个单位长度即停止跳动，则恰好跳动4次后停止跳动的概率为（ ）
A．281B．481C．881D．1081
12．某篮球爱好者每次投3分篮投中的概率为0.8，他连续投3次，得分为6分的概率是（ ）
A．0.64B．0.512C．0.384D．0.128
（多选）13．某人忘记了一个电话号码的最后一位数字，若他随意地拨号，则下列说法中正确的是（ ）
A．第1次就接通电话的概率是110
B．若已知最后一位数字是奇数，则第1次就接通电话的概率是12
C．拨号不超过3次接通电话的概率是310
D．若已知最后一位数字是奇数，则拨号不超过3次就接通电话的概率是35
14．在一个盒子中装有4张卡片，卡片上的编号依次为1，2，3，4，现从中有放回地抽取m次卡片，每次仅抽取1张，记这m次抽取的卡片的最大编号为X，则使得E(X)≥134成立的最小的m的值为 ．
15．已知A，B，C3人进行射击比赛，且A，B，C一次射击命中10环的概率分别为0.9，0.9，0.95，若他们每人射击一次，则至少有2人命中10环的概率为 ．
16．某射手每次射击命中目标的概率均为0.9，且各次射击结果相互独立．若该射手射击5次，则恰好命中3次的概率为 ．（用数字作答）
17．某篮球运动员投球的命中率是23，他投球4次，恰好投进3个球的概率为 .（用数值作答）
18．某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛．已知某同学答对每道题的概率均为23，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对m道试题的概率为f（m），则当m＝ 时，f（m）取得最大值．
19．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P（ξ＝4）＝ ．
20．某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为23．
（1）求比赛三局甲获胜的概率；
（2）求甲获胜的概率；
（3）设甲比赛的次数为X，求X的数学期望．
▉题型3 二项分布的均值（数学期望）与方差
【知识点的认识】
二项分布：
一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则
P（X＝k）=Cnkpk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并记
Cnkpk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）．
﹣均值（数学期望）：E(X)=n×p，其中n为试验次数，p为每次试验成功的概率．
﹣方差：D(X)=n×p×(1−p)．
【解题方法点拨】
﹣使用二项分布的均值和方差公式来计算相关概率分布的期望和方差．
21．统计与概率在数学领域中有重要的应用价值，下列说法正确的是（ ）
A．相关系数r的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱
B．甲、乙两箱中均装有红、白两种颜色的球，小球除颜色外完全相同，甲箱中有8颗红球，2颗白球，分别从甲箱和乙箱中摸一个球，在甲箱中摸出白球的情况下乙箱摸出红球的概率为12，则乙箱中红、白两种球数量不相等
C．离散型随机变量X服从二项分布，记作X～B（50，0.2），则D（X）＝8
D．离散型随机变量X服从超几何分布，记作X～H（6，4，9），变量Y＝2X+1，则E（Y）＝13
22．某次期末数学考试共9道单项选择题（每个题有4个选项），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为X，且X服从二项分布B(9，14)，则以下说法错误的是（ ）
A．E(X)=94
B．D(X)=2716
C．E（4X+1）＝10
D．P(X=2)=C92(14)7(34)2
23．已知随机变量X～B（n，p），且E（X）＝12，D（X）=245，当P（X＝i）取得最大值时，i＝（ ）
A．12或13B．13C．11或12D．12
24．已知随机变量ξ～B（16，p），则“D（ξ）＝3”是“p=14”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
25．若投掷一枚图钉，每次针尖向上的概率都是13，连续投掷3次，记针尖向上的次数为随机变量X，则（ ）
A．P(X=2)=227B．P(X≥1)=1327
C．E（2X+1）＝3D．D(2X+1)=53
26．设随机变量X∼B(3，p)，D(X)=23，且E（X）＞1．若8名党员中有15p2名男党员，从这8人中选4名代表，记选出的代表中男党员人数为Y，则P（Y＝3）＝（ ）
A．37B．47C．57D．67
27．已知随机变量X～B（n，p），若D（2X）＝2E（X），则p＝（ ）
A．116B．18C．14D．12
28．已知随机变量X服从二项分布B（5，0.4），则E（X）＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
29．甲同学每次投篮命中的概率为p，在投篮6次的实验中，命中次数X的均值为2.4，则X的方差为（ ）
A．1.24B．1.44C．1.2D．0.96
（多选）30．已知随机变量X～B(10，12)，则（ ）
A．P(X=9)=5512
B．当P（X＝k）取最大值时，k＝5
C．E（2X+2）＝10
D．D（2X）＝10
▉题型4 超几何分布
【知识点的认识】
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
P（X＝K）=CMkCN−Mn−kCNn，k＝m，m+1，m+2，...，r．
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n﹣N+M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
【解题方法点拨】
超几何分布的求解步骤：
（1）辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否有冥想的两部分组成，如“男生、女生”“正品、次品”“优、劣”等，或可转化为明显的两部分．
（2）算概率：可以直接借助公式，也可利用排列、组合及概率知识求解．
（3）列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．
31．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X
B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为X
C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X
（多选）32．某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为14、21、14，现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行某项兴趣调查．已知抽出的7人中有5人对此感兴趣，有2人不感兴趣，现从这7人中随机抽取3人做进一步的深入访谈，用X表示抽取的3人中感兴趣的学生人数，则（ ）
A．从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为2人、3人、2人
B．随机变量X∼B(7，57)
C．随机变量X的数学期望为157
D．若事件A＝“抽取的3人都感兴趣”，则P(A)=37
（多选）33．一个袋子中装有N（N＝5n，n∈N*）个除颜色外完全相同的小球，其中黄球占比40%．现从袋子中随机摸出3个球，用X，Y分别表示采用不放回和有放回摸球方式取出的黄球个数．则（ ）
A．E（X）＝E（Y）
B．若N＝20，则P(X=2)=2895
C．若N＝20，则P(Y=2)=12125
D．∀N＝5n，n∈N*，P（X＝2）＞P（Y＝2）
（多选）34．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列说法中正确的是（ ）
A．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分，则X服从超几何分布
B．若X表示取出的黑球的个数，则X服从超几何分布
C．若X表示取出白球的个数，则P(X=2)=47
D．若X表示取出黑球的个数，则P（X≥3）=C63C41+C64C104
35．一批产品共有7件，其中5件正品，2件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X，则P（X＝1）＝ ．
36．从含有6件正品和4件次品的正品中任取3件，记X为所抽取的次品数，则E（X）＝ ．
37．幸福农场生产的某批次20件产品中含有n（3≤n≤13）件次品，从中一次任取10件，其中次品恰有X件．
（1）若n＝3，求取出的产品中次品不超过1件的概率；
（2）记f（n）＝P（X＝3），则当n为何值时，f（n）取得最大值．
题型1 n重伯努利试验与二项分布
题型2 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
题型3 二项分布的均值（数学期望）与方差
题型4 超几何分布