2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用第五章平面向量与复数(单元测试)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用第五章平面向量与复数(单元测试)(学生版+解析)，共20页。试卷主要包含了已知是虚数单位，复数满足，则，复数满足，则的最大值为，的外接圆圆心为为的中点，且，则，若复数满足等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量，若，则（ ）
A．-5B．C．D．5
2．已知向量，则向量在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，，且，则（ ）
A．3B．4C．D．12
4．已知是虚数单位，复数满足，则（ ）
A．B．C．D．5
5．已知复数满足，其中i为虚数单位，则在复平面内对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
6．复数满足，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．已知，.，且点在第四象限，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．的外接圆圆心为为的中点，且，则（ ）
A．5B．10C．13D．26
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
10．若复数满足（其中i是虚数单位），复数的共轭复数为，则（ ）
A．的实部是
B．
C．在复平面内对应的点在第一象限
D．与在复平面内它们所对应的点关于轴对称
11．设动直线：交圆：于A，B两点（点为圆心），则下列说法正确的有（ ）
A．直线l过定点B．当取得最小值时，
C．当最小时，其余弦值为D．的最大值为24
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，则和的夹角为 .
13．已知复数满足（其中为虚数单位），则 .
14．在中，是边的中点.若，，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知向量，，．
(1)求的坐标，的值；
(2)若，求实数k的值；
(3)若，求实数k的值．
16．（15分）
设复数．
(1)在复平面内，复数对应的点在实轴上，求；
(2)若是纯虚数，求.
17．（15分）
已知平面向量．
(1)当λ为何值时，与垂直？
(2)与的夹角为锐角，求实数k的取值范围．
18．（17分）
已知复数，，其中为虚数单位，.
(1)若是实数，求的值；
(2)设复数，对应的向量分别是，，若，求的值.
19．（17分）
已知，且关于的函数．
(1)已知函数，且满足，解不等式；
(2)若，为单位向量，讨论函数的单调性；
(3)若函数在上有极值，求与夹角的取值范围．
第五章 平面向量与复数
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量，若，则（ ）
A．-5B．C．D．5
【答案】C
【解析】由题意可得，则，
即，解得．
故选：C
2．已知向量，则向量在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】向量，则，
所以向量在上的投影向量为.
故选：D
3．已知，，且，则（ ）
A．3B．4C．D．12
【答案】C
【解析】由题可得：，所以，
故选：C
4．已知是虚数单位，复数满足，则（ ）
A．B．C．D．5
【答案】C
【解析】由，得，
所以
故选：C.
5．已知复数满足，其中i为虚数单位，则在复平面内对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，则，
则在复平面内对应点的坐标为.
故选：D
6．复数满足，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】设复数，则对应点的坐标为，
所以
所以复数对应的点到的距离为，
故复数在复平面内的轨迹为以点为圆心，以为半径的圆，
故当点运动到与轴的交点，且向上的位置时，此时最大，最大值为
故选：C
7．已知，.，且点在第四象限，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，且，①，
，②，
又，③，
由①②③解得，则点的坐标为.
故选：A.
8．的外接圆圆心为为的中点，且，则（ ）
A．5B．10C．13D．26
【答案】B
【解析】由题意知的外接圆圆心为为的中点，
则；
设分别为的中点，连接，则，

，
结合，可知，
故，
即，
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】向量在向量上的投影向量为.
故选：AB.
10．若复数满足（其中i是虚数单位），复数的共轭复数为，则（ ）
A．的实部是
B．
C．在复平面内对应的点在第一象限
D．与在复平面内它们所对应的点关于轴对称
【答案】BD
【解析】由，得，则，
所以的实部为，A错误；
而，B正确；
因为，其在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限，C错误；
在复平面内对应的点的坐标为，
则与在复平面内它们所对应的点关于轴对称，D正确．
故选：BD．
11．设动直线：交圆：于A，B两点（点为圆心），则下列说法正确的有（ ）
A．直线l过定点B．当取得最小值时，
C．当最小时，其余弦值为D．的最大值为24
【答案】AD
【解析】对于A：由有，令有，
所以，所以直线l过定点，故A正确；
对于B：点在圆内，圆的圆心为，当取得最小值时，直线与过点和的直线垂直，
所以，解得，故B错误；
对于C：当最小时，此时最小，当最小时，直线与过点和的直线垂直，
则，由余弦定理有，故C错误；
对于D：，即的最大值为24，故D正确，
故选：AD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，则和的夹角为 .
【答案】
【解析】，则，
则，故和的夹角为.
故答案为：.
13．已知复数满足（其中为虚数单位），则 .
【答案】
【解析】由，则，故.
故答案为：
14．在中，是边的中点.若，，，则 ．
【答案】/
【解析】如图所示，
由题意得，因为，，，
所以由余弦定理，线段AB与AC的夹角余弦值为：，
所以，
又D是BC中点，所以，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知向量，，．
(1)求的坐标，的值；
(2)若，求实数k的值；
(3)若，求实数k的值．
【解析】（1）由题设，；
（2）由题设，又，
所以，则，可得；
（3）由（2）及，则，可得.
16．（15分）
设复数．
(1)在复平面内，复数对应的点在实轴上，求；
(2)若是纯虚数，求.
【解析】（1）由，得，
而由已知是实数，
于是，解得，
所以；
（2）依题意，是纯虚数，
因此，解得，
所以，.
17．（15分）
已知平面向量．
(1)当λ为何值时，与垂直？
(2)与的夹角为锐角，求实数k的取值范围．
【解析】（1）因为平面向量．
则与，
因为与垂直，
所以，解得.
（2）因为平面向量．
则与，
因为与的夹角为锐角，
所以，即，
解得且，
即
18．（17分）
已知复数，，其中为虚数单位，.
(1)若是实数，求的值；
(2)设复数，对应的向量分别是，，若，求的值.
【解析】（1）因是实数，
则，即，又，，则，即，
此时；
（2）由题意可知，
则，，
因为，
所以
，
即，
又因为，所以，故则，
所以
19．（17分）
已知，且关于的函数．
(1)已知函数，且满足，解不等式；
(2)若，为单位向量，讨论函数的单调性；
(3)若函数在上有极值，求与夹角的取值范围．
【解析】（1）由题意，又，
所以的图像关于对称，
则，即，得到，
由，所以，解得或，
故不等式的解集为或．
（2）因为，所以，
因为为单位向量，所以，，
题意有，由，
令，可得，令，可得，
则在上单调递增，在上单调递减，
故递增区间为和，递减区间为．
（3）设与的夹角为θ．
∵，∴，
∵函数在R上有两个极值，∴方程有两个不同的实数根，
即，∴，
又，∴，
即，又，∴．