2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用5.3复数(2大考点+8大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用5.3复数(2大考点+8大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共9页。
\l "_Tc211246093" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc211246093 \h 3
\l "_Tc211246094" 一、复数的概念 PAGEREF _Tc211246094 \h 3
\l "_Tc211246095" 二、复数的四则运算 PAGEREF _Tc211246095 \h 3
\l "_Tc211246096" 常用二级结论 PAGEREF _Tc211246096 \h 4
\l "_Tc211246097" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc211246097 \h 5
\l "_Tc211246098" 题型一：复数的概念 PAGEREF _Tc211246098 \h 5
\l "_Tc211246099" 题型二：复数的四则运算 PAGEREF _Tc211246099 \h 6
\l "_Tc211246100" 题型三：共轭复数与复数的相等 PAGEREF _Tc211246100 \h 6
\l "_Tc211246101" 题型四：复数的几何意义 PAGEREF _Tc211246101 \h 7
\l "_Tc211246102" 题型五：最值问题 PAGEREF _Tc211246102 \h 8
\l "_Tc211246103" 题型六：复数的模运算 PAGEREF _Tc211246103 \h 8
\l "_Tc211246104" 题型七：复数方程 PAGEREF _Tc211246104 \h 9
\l "_Tc211246105" 题型八：复数的三角形式 PAGEREF _Tc211246105 \h 9
\l "_Tc211246106" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc211246106 \h 12
\l "_Tc211246107" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc211246107 \h 13
\l "_Tc211246108" ①数形结合 PAGEREF _Tc211246108 \h 13
\l "_Tc211246109" ②转化与化归 PAGEREF _Tc211246109 \h 13
\l "_Tc211246110" ③分类讨论 PAGEREF _Tc211246110 \h 14
\l "_Tc211246111" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc211246111 \h 15
\l "_Tc211246112" 基础过关篇 PAGEREF _Tc211246112 \h 15
\l "_Tc211246113" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc211246113 \h 16
（1）通过方程的解，认识复数．
（2）理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．
（3）掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
一、复数的概念
（1）叫虚数单位，满足，当时，．
（2）形如的数叫复数，记作．
= 1 \* GB3 ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
= 2 \* GB3 ②两个复数相等（两复数对应同一点）
= 3 \* GB3 ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，．
二、复数的四则运算
1、复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数．
（3）．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
注意：复数加、减法的几何意义
以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是．
2、复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．
3、复数的三角形式
（1）复数的三角表示式
一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．
（2）辐角的主值
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．
（3）三角形式下的两个复数相等
两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
（4）复数三角形式的乘法运算
①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即
．
②复数乘法运算的三角表示的几何意义
复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积．
（5）复数三角形式的除法运算
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即．
常用二级结论
题型一：复数的概念
【典例1-1】（2025·河北秦皇岛·三模）下列关于复数的说法，正确的是（ ）
A．复数的任何偶数次幂都不小于零
B．若实数，则是纯虚数
C．在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数
D．若复数满足，则均为实数
【典例1-2】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知，，下列各式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解题总结】
无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚．
【变式1-1】已知，且为纯虚数，则（ ）
A．B．2C．D．6
【变式1-2】已知为虚数单位，的虚部为（ ）
A．B．C．D．1
【变式1-3】（2025·辽宁·三模）已知复数在复平面上对应的点为，若，则实数的值为（ ）
A．0B．C．1D．1或
【变式1-4】（2025·浙江温州·二模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件
【变式1-5】若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
题型二：复数的四则运算
【典例2-1】（ ）
A．B．C．D．
【典例2-2】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知复数是的共轭复数，则（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
设，则
（1）
（2）
（3）
【变式2-1】已知，则的共轭复数（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】若复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
题型三：共轭复数与复数的相等
【典例3-1】设，若，则（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
【典例3-2】若，则（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
复数相等：
共轭复数：．
【变式3-1】已知，其中，为实数，令，则=（ ）
A．1B．C．D．2
【变式3-2】（2025·高三·天津南开·开学考试）已知复数满足，则的虚部为（ ）
A．1B．C．D．
【变式3-3】复数，则（ ）
A．2B．4C．2iD．4i
【变式3-4】已知为虚数单位，复数，若为纯虚数，则（ ）
A．-6B．6C．-20D．20
【变式3-5】设复数，其中，若是虚数，则（ ）
A．B．C．D．
题型四：复数的几何意义
【典例4-1】已知复数，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【典例4-2】若复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【解题总结】
复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出发点．
【变式4-1】若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式4-2】已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【变式4-3】（2025·高三·江苏苏州·开学考试）设（为虚数单位），则在复平面内复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式4-4】若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
题型五：最值问题
【典例5-1】（2025·高三·山东·开学考试）已知复数z满足， 则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．2
【典例5-2】设，若的实部为1，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【解题总结】
利用几何意义进行转化
【变式5-1】（2025·山东·模拟预测）若复数满足，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．6D．7
【变式5-2】（2025·河南·一模）设复数在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
【变式5-3】（2025·湖北黄冈·一模）已知，且，为虚数单位，则的最大值是（ ）
A．B．C．2D．
【变式5-4】（2025·广东·模拟预测）若复数z满足，那么的最大值是（ ）
A．1B．C．2D．
题型六：复数的模运算
【典例6-1】若，则 ．
【典例6-2】若复数满足，则 ．
【解题总结】

【变式6-1】（2025·河南信阳·模拟预测）若复数，则 .
【变式6-2】（2025·上海嘉定·二模）已知复数满足，则的值为 ．
【变式6-3】（2025·辽宁·一模）设复数满足，则 .
【变式6-4】（2025·高三·江西·期末）若复数，则=
题型七：复数方程
【典例7-1】（2025·山东·模拟预测）已知z是方程的一个复数根，则（ ）
A．B．C．D．
【典例7-2】（2025·山东潍坊·二模）已知是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）
A．B．C．1D．5
【解题总结】
复数方程是包含复数的方程，其中复数具有实部和虚部。解复数方程时，通常将利用复数的代数形式及三角形式进行求解。
【变式7-1】在复数范围内，方程的解的个数为（ ）
A．2B．C．D．8
【变式7-2】（2025·山东济宁·二模）已知是关于的方程的一个根，则（ ）
A．2B．3C．5D．
【变式7-3】已知复数是关于的实系数方程的一个根，则（ ）
A．25B．5C．D．41
【变式7-4】若是关于的方程的一个根，则（ ）
A．B．
C．D．
题型八：复数的三角形式
【典例8-1】（2025·高三·河北·开学考试）已知复数（为虚数单位），则等于（ ）
A．1B．C．D．
【典例8-2】欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（ ）.
A．0B．
C．1D．2
【解题总结】
一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．
【变式8-1】（2025·海南·模拟预测）已知复数（为虚数单位），则等于（ ）
A．1B．C．D．
【变式8-2】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）复数（，是虚数单位）在复平面内对应点为，设，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，，例如：，，复数满足，则可能取值为（ ）
A．B．
C．D．
【变式8-3】欧拉公式（其中i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式8-4】设A，B，C是的内角，是一个实数，则是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．形状不能确定
【变式8-5】棣莫佛定理：若复数，则，计算（ ）
A．B．C．D．
1．在复平面内，复数z满足，则
A．1B．iC．D．
2．若复数，实数a，b满足，则
A．2B．4C．D．
3．若复数z满足，则
A．1B．C．iD．16
①数形结合
1．如图，正方形OABC中，点A对应的复数是，则顶点B对应的复数是（ ）
A．B．C．D．
2．虚数中x，y均为实数，当此虚数的模为1时，的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知复数，分别满足，，则的最大值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
②转化与化归
4．已知复数z满足，则的取值范围为
A．B．C．D．
5．已知复数，其共轭复数为，则
A．2B．C．D．1
6．若复数z满足，那么的最大值是
A．1B．C．2D．
③分类讨论
7．，若与z关于复平面虚轴对称，则 ．
8．若关于x的方程的一个虚根的模为2，则实数m的值为 ．
9．已知，关于z的方程有四个复数根，，，若这四个复数根在复平面内对应的点是一个正方形的四个顶点，则实数m的值为 ．
基础过关篇
1．（2025年高考北京卷数学真题）已知复数z满足，则（ ）
A．B．C．4D．8
2．（2025年高考全国二卷数学真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．1
3．（2025年高考全国一卷数学真题）的虚部为（ ）
A．B．0C．1D．6
4．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2024年北京高考数学真题）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
6．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）设，则（ ）
A．B．C．D．2
7．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）若，则（ ）
A．B．C．10D．
8．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知，则（ ）
A．0B．1C．D．2
9．（2023年北京高考数学真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ）
A．B．
C．D．
10．（2025年高考天津卷数学真题）已知i是虚数单位，则 ．
11．（2025年上海秋季高考数学真题（网络收集版））已知复数z满足，则的最小值是 ．
12．（2024年上海秋季高考数学试题（网络收集版））已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ．
13．（2024年天津高考数学真题）是虚数单位，复数 ．
能力拓展篇
1．已知复数，其中，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·广东东莞·模拟预测）已知复数满足，则复数在复平面对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（2025·天津和平·二模）已知为虚数单位，复数，则的共轭复数（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·河南新乡·模拟预测）已知，是虚数单位，方程有解，则正实数（ ）
A．9B．10C．11D．12
5．（2025·云南·模拟预测）在复平面内，复数与复数对应的点关于实轴对称，则（ ）
A．1B．C．D．2
6．（2025·甘肃金昌·三模）已知a为非零实数，复数，其中为虚数单位，则（ ）.
A．的虚部为
B．的最小值为
C．的实部为
D．当时，为纯虚数
7．（2025·江西·三模）已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
8．（多选题）（2025·全国·模拟预测）已知复数，为的共轭复数，则（ ）
A．B．
C．D．
9．（多选题）（2025·全国·模拟预测）设为复数，则（ ）
A．
B．
C．若，则的值只能取
D．若为实系数一元二次方程的两虚根，则
10．（多选题）（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知复数，则（ ）
A．若复数z为实数，则
B．若复数z为纯虚数，则
C．当时，
D．复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限
11．（多选题）设，在复平面内z对应的点为Z，则下列结论中满足条件的点Z的集合对应的图形正确的是（ ）．
A．若，则点Z的集合是圆
B．若，则点Z的集合是两个圆所夹的圆环（包括边界）
C．若，则点Z的集合是y轴所在的直线
D．若，则点Z的集合是一、三象限角平分线
12．（多选题）（2025·海南·模拟预测）复数在复平面内对应的点为，且（i为虚数单位）的实部为，则（ ）
A．复数的虚部为
B．复数的模长为
C．复数对应的点在第一象限
D．若复数满足，则的最大值为
13．（多选题）（2025·贵州·模拟预测）若复数z满足（是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．z的虚部为B．z的模为
C．z的共轭复数为D．z在复平面内对应的点位于第三象限
14．（多选题）（2025·四川巴中·二模）已知复数的共轭复数记为，对于任意的三个复数与下列结论错误的是（ ）
A．复数的共轭复数
B．若，则复平面内对应的点位于第四象限
C．已知复数z满足，则的最小值为2
D．若，且，则
15．（多选题）（2025·江苏南通·模拟预测）设为复数，则（ ）
A．B．
C．D．
16．（多选题）（2025·吉林延边·模拟预测）一系列复数满足是公比为i的等比数列，，则（ ）
A．是周期数列B．的前8项和为24
C．存在实数k，使得为实数D．存在实数，使得
17．（2025·上海·三模）在复平面内，复数（是虚数单位，）是纯虚数，其对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为 ．
18．（2025·天津静海·三模）已知，为虚数单位，若为实数，则的值为 .
5.3 复数
目录 TOC \ "1-2" \h \z \u
\l "_Tc211246092" 01 课标要求 PAGEREF _Tc211246092 \h 2
\l "_Tc211246093" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc211246093 \h 3
\l "_Tc211246094" 一、复数的概念 PAGEREF _Tc211246094 \h 3
\l "_Tc211246095" 二、复数的四则运算 PAGEREF _Tc211246095 \h 3
\l "_Tc211246096" 常用二级结论 PAGEREF _Tc211246096 \h 4
\l "_Tc211246097" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc211246097 \h 5
\l "_Tc211246098" 题型一：复数的概念 PAGEREF _Tc211246098 \h 5
\l "_Tc211246099" 题型二：复数的四则运算 PAGEREF _Tc211246099 \h 7
\l "_Tc211246100" 题型三：共轭复数与复数的相等 PAGEREF _Tc211246100 \h 8
\l "_Tc211246101" 题型四：复数的几何意义 PAGEREF _Tc211246101 \h 10
\l "_Tc211246102" 题型五：最值问题 PAGEREF _Tc211246102 \h 12
\l "_Tc211246103" 题型六：复数的模运算 PAGEREF _Tc211246103 \h 14
\l "_Tc211246104" 题型七：复数方程 PAGEREF _Tc211246104 \h 16
\l "_Tc211246105" 题型八：复数的三角形式 PAGEREF _Tc211246105 \h 18
\l "_Tc211246106" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc211246106 \h 21
\l "_Tc211246107" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc211246107 \h 23
\l "_Tc211246108" ①数形结合 PAGEREF _Tc211246108 \h 23
\l "_Tc211246109" ②转化与化归 PAGEREF _Tc211246109 \h 25
\l "_Tc211246110" ③分类讨论 PAGEREF _Tc211246110 \h 26
\l "_Tc211246111" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc211246111 \h 29
\l "_Tc211246112" 基础过关篇 PAGEREF _Tc211246112 \h 29
\l "_Tc211246113" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc211246113 \h 32
（1）通过方程的解，认识复数．
（2）理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．
（3）掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
一、复数的概念
（1）叫虚数单位，满足，当时，．
（2）形如的数叫复数，记作．
= 1 \* GB3 ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
= 2 \* GB3 ②两个复数相等（两复数对应同一点）
= 3 \* GB3 ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，．
二、复数的四则运算
1、复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数．
（3）．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
注意：复数加、减法的几何意义
以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是．
2、复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．
3、复数的三角形式
（1）复数的三角表示式
一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．
（2）辐角的主值
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．
（3）三角形式下的两个复数相等
两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
（4）复数三角形式的乘法运算
①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即
．
②复数乘法运算的三角表示的几何意义
复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积．
（5）复数三角形式的除法运算
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即．
常用二级结论
题型一：复数的概念
【典例1-1】（2025·河北秦皇岛·三模）下列关于复数的说法，正确的是（ ）
A．复数的任何偶数次幂都不小于零
B．若实数，则是纯虚数
C．在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数
D．若复数满足，则均为实数
【答案】D
【解析】对于A中，由虚数单位，可得A错误；
对于B中，若，那么，所以B错误；
对于C中，虚轴上的点对应复数，所以C错误；
对于D中，若复数满足，虚数不能比较大小，则均为实数，D正确.
故选：D.
【典例1-2】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知，，下列各式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为虚数不能比较大小，故A，B错误；
因为，，
所以，故C正确，D错误.
故选：C.
【解题总结】
无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚．
【变式1-1】已知，且为纯虚数，则（ ）
A．B．2C．D．6
【答案】D
【解析】解法一：
由题可得，
因为为纯虚数，所以，解得.
故选：D.
解法二：
因为为纯虚数，所以可设，
化简得，则，.
故选：D.
【变式1-2】已知为虚数单位，的虚部为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【解析】根据复数的乘方可知，
则，其虚部为.
故选：C
【变式1-3】（2025·辽宁·三模）已知复数在复平面上对应的点为，若，则实数的值为（ ）
A．0B．C．1D．1或
【答案】A
【解析】因为复数在复平面上对应的点为，
所以，
因为，
因为为实数，
得.
故选：A.
【变式1-4】（2025·浙江温州·二模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件
【答案】B
【解析】易知，所以不满足充分性，而，满足必要性.
故选：B
【变式1-5】若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题设，故虚部为.
故选：B
题型二：复数的四则运算
【典例2-1】（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】.
故选：A.
【典例2-2】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知复数是的共轭复数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】已知，所以，
.
故选：A.
【解题总结】
设，则
（1）
（2）
（3）
【变式2-1】已知，则的共轭复数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，则，
所以.
故选：B.
【变式2-2】若复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，
得，
故选：A
【变式2-3】复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知，，
所以复数的虚部为．
故选：B
题型三：共轭复数与复数的相等
【典例3-1】设，若，则（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
【答案】C
【解析】由可得，故，
故选：C
【典例3-2】若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则，，，
由题干可得，，
解得，故．
故选：.
【解题总结】
复数相等：
共轭复数：．
【变式3-1】已知，其中，为实数，令，则=（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【解析】因为，所以，
由复数相等的定义可得，，解得.
又，则，所以.
故选：B．
【变式3-2】（2025·高三·天津南开·开学考试）已知复数满足，则的虚部为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则，
由，可得，化简得，
从而，即，所以，的虚部为.
故选：B.
【变式3-3】复数，则（ ）
A．2B．4C．2iD．4i
【答案】B
【解析】复数，则.
故选：B.
【变式3-4】已知为虚数单位，复数，若为纯虚数，则（ ）
A．-6B．6C．-20D．20
【答案】D
【解析】，
且为纯虚数，
，，
.
故选：D.
【变式3-5】设复数，其中，若是虚数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由复数可得，
所以，
，
所以，
因为是虚数，所以，
故选：D
题型四：复数的几何意义
【典例4-1】已知复数，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】因为，
所以复数在复平面内对应的点为，在第二象限.
故选：B
【典例4-2】若复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】，
所以在复平面内对应的点坐标为，第四象限，
故选：D
【解题总结】
复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出发点．
【变式4-1】若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】由，得，
所以在复平面内对应的点为，位于第二象限.
故选：B．
【变式4-2】已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】因为，所以，
对应的点为，位于第一象限.
故选：A
【变式4-3】（2025·高三·江苏苏州·开学考试）设（为虚数单位），则在复平面内复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】依题意，，所以在复平面内复数对应的点位于第一象限.
故选：A
【变式4-4】若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】因为复数在复平面内对应的点位于第二象限，
所以，
则复数在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D
题型五：最值问题
【典例5-1】（2025·高三·山东·开学考试）已知复数z满足， 则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．2
【答案】B
【解析】设复数，因为，可得，即，
所以复数z在复平面上对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆.
对于复数，则表示点到点的距离，
因点到原点的距离为，
由图可知，点到点的距离最小值为，也即．
故选：B．
【典例5-2】设，若的实部为1，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【解析】设，则，
的实部为1，故，则，，
而
，
当时，取最小值3，即取最小值，
故的最小值为，
故选：C
【解题总结】
利用几何意义进行转化
【变式5-1】（2025·山东·模拟预测）若复数满足，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．6D．7
【答案】B
【解析】设，则，
又表示点与原点的距离，故的最小值为.
故选：B
【变式5-2】（2025·河南·一模）设复数在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【解析】设，因此，，
当且仅当时取“”，所以的最大值为.
故选：B．
【变式5-3】（2025·湖北黄冈·一模）已知，且，为虚数单位，则的最大值是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】表示以为圆心，为半径的圆，
则圆心C到点的距离，
则的最大值为.
故选：A
【变式5-4】（2025·广东·模拟预测）若复数z满足，那么的最大值是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【解析】设复数、在复平面内对应的点分别为，
复数在复平面对应的点为：，
由可知：复数z在复平面内对应的点到两点的距离之和为2，
而，所以点在线段上，故，
则，
当时，的最大值为.
故选：B.
题型六：复数的模运算
【典例6-1】若，则 ．
【答案】
【解析】因为，
所以，
所以，
故答案为：.
【典例6-2】若复数满足，则 ．
【答案】
【解析】设，则，
所以，
所以，解得，
所以，
故答案为：.
【解题总结】

【变式6-1】（2025·河南信阳·模拟预测）若复数，则 .
【答案】
【解析】，
，
故答案为：.
【变式6-2】（2025·上海嘉定·二模）已知复数满足，则的值为 ．
【答案】
【解析】设对应的复数为，对应的复数为，
则对应的复数为，对应的复数为，
因为，
由平行四边形的性质可得：
所以
故答案为：
【变式6-3】（2025·辽宁·一模）设复数满足，则 .
【答案】
【解析】因为对任意复数，都有，
又，所以，
所以，所以.
故答案为：.
【变式6-4】（2025·高三·江西·期末）若复数，则=
【答案】
【解析】由，
所以，故.
故答案为：
题型七：复数方程
【典例7-1】（2025·山东·模拟预测）已知z是方程的一个复数根，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题，因为，所以z和是方程的两个根，
所以，即，所以.
故选：B.
【典例7-2】（2025·山东潍坊·二模）已知是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）
A．B．C．1D．5
【答案】D
【解析】因为是关于的实系数方程的一个复数根，
所以是关于的实系数方程的另一个复数根，
由韦达定理得，解得，
，则，故D正确.
故选：D
【解题总结】
复数方程是包含复数的方程，其中复数具有实部和虚部。解复数方程时，通常将利用复数的代数形式及三角形式进行求解。
【变式7-1】在复数范围内，方程的解的个数为（ ）
A．2B．C．D．8
【答案】A
【解析】设，代入方程：
展开得：
实部与虚部分别为零：
由虚部：
情况1：（实数解）代入实部：，解得或，即，
情况2：（虚数解）则，代入实部：
即，
化简得：，即（无实数解），
仅有2个实数解（无虚数解），故解的个数为2，
故选：A.
【变式7-2】（2025·山东济宁·二模）已知是关于的方程的一个根，则（ ）
A．2B．3C．5D．
【答案】D
【解析】将代入有：，
化简整理有，即，解得，
所以，
故选：D.
【变式7-3】已知复数是关于的实系数方程的一个根，则（ ）
A．25B．5C．D．41
【答案】C
【解析】因为复数是关于的实系数方程的一个根，
所以，所以，
所以，则．
故选：C．
【变式7-4】若是关于的方程的一个根，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意可得关于的方程的另一个根为，
则，解得．
故选：D.
题型八：复数的三角形式
【典例8-1】（2025·高三·河北·开学考试）已知复数（为虚数单位），则等于（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】因为复数，
所以.
故选：C
【典例8-2】欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（ ）.
A．0B．
C．1D．2
【答案】D
【解析】由题设，则，
所以，
由，则，故时的最大值为2.
故选：D
【解题总结】
一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．
【变式8-1】（2025·海南·模拟预测）已知复数（为虚数单位），则等于（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】因为复数，
根据复数的运算法则，可得.
故选：C.
【变式8-2】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）复数（，是虚数单位）在复平面内对应点为，设，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，，例如：，，复数满足，则可能取值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设，
则，
所以，，即，
所以
故时，，故可取，
故选：D
【变式8-3】欧拉公式（其中i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】由题可得，
所以在复平面内对应的点为，位于第二象限，
故选：B
【变式8-4】设A，B，C是的内角，是一个实数，则是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．形状不能确定
【答案】C
【解析】依题意，，
由复数是实数，得，在中，，
由，得，因此，解得，
所以是直角三角形.
故选：C
【变式8-5】棣莫佛定理：若复数，则，计算（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，.
故选：A.
1．在复平面内，复数z满足，则
A．1B．iC．D．
【答案】D
【解析】
解：解法一：；
解法二：设均为实数，则，
则有，解得，即；
故本题选
2．若复数，实数a，b满足，则
A．2B．4C．D．
【答案】B
【解析】解：法一：，
，
，
解得，，；
法二：，
，
因为，故也满足，
由根与系数关系可得，，
故
故选：
3．若复数z满足，则
A．1B．C．iD．16
【答案】A
【解析】
解：解法一：设，则，解得，所以，所以 ．
解法二：因为，所以
解法三：方程两边同时平方，有，所以
故选：
①数形结合
1．如图，正方形OABC中，点A对应的复数是，则顶点B对应的复数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
解：由，得C点对应的复数为，
由得B点对应复数为，
故选
2．虚数中x，y均为实数，当此虚数的模为1时，的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
解：由题意可得，且，
点在以为圆心，1为半径的圆上与x轴交点除外，
表示圆上的点与原点连线的斜率，
过原点与该圆相切的两条直线为OA，OB，如图，
则直线OA倾斜角为，直线OB倾斜角为，
易得直线OA与OB的斜率分别为，，
数形结合可知的取值范围为：
故选：
3．已知复数，分别满足，，则的最大值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【解析】解：设，
则，
即，
复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
由，知复数在复平面内对应点的轨迹是以原点O为圆心，1为半径的圆，
则
故选：
②转化与化归
4．已知复数z满足，则的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：由，可知在复平面内z对应点在以为圆心，为半径的圆上，
由可表示为复数z对应的点到复平面原点的距离，且，
则，所以的取值范围为
故选：
5．已知复数，其共轭复数为，则
A．2B．C．D．1
【答案】B
【解析】解：
故选：
6．若复数z满足，那么的最大值是
A．1B．C．2D．
【答案】B
【解析】解：设复数i、在复平面内对应的点分别为、，
复数在复平面对应的点为：，
由可知：复数z在复平面内对应的点到A，B两点的距离之和为2，
而，所以点在线段AB上，
故，，
则，
当时，的最大值为
故选：
③分类讨论
7．，若与z关于复平面虚轴对称，则 ．
【答案】或或
【解析】
解：
设，
则，
因为，所以，①
因为与z关于复平面虚轴对称，
所以，②
由①②解得或，
所以当时，，此时，
当时，
，此时，
当时，
，此时
故答案为：或或
8．若关于x的方程的一个虚根的模为2，则实数m的值为 ．
【答案】4
【解析】解：设关于x的方程的两个虚根为，
则且，
所以，
又，所以，
当时，，
所以关于x的方程有两个不相等实数根，不符合题意；
当时，，
所以关于x的方程有两个虚根，符合题意；
所以
故答案为：
9．已知，关于z的方程有四个复数根，，，若这四个复数根在复平面内对应的点是一个正方形的四个顶点，则实数m的值为 ．
【答案】
【解析】
解：设根为的根为，，，
由题意，，即且
①当时，，，，均为实数，则四个实数根均在实轴上，矛盾；
②当时，，为实数且，为虚数且，
所以；
此时，故或，
且或，
这四个点为以为中心．且对角线的方程分别为，，对角线的长度为的正方形的顶点．
③当时，，，，均为虚数，
因为m为实数，故，为共轭复数且，故，的实部为，
同理，的实部为，即四个对应点均在直线，这与题设矛盾．
综上：
故答案为：
基础过关篇
1．（2025年高考北京卷数学真题）已知复数z满足，则（ ）
A．B．C．4D．8
【答案】B
【解析】由可得，，所以，
故选：B.
2．（2025年高考全国二卷数学真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】因为，所以.
故选：A.
3．（2025年高考全国一卷数学真题）的虚部为（ ）
A．B．0C．1D．6
【答案】C
【解析】因为，所以其虚部为1，
故选：C.
4．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以.
故选：C.
5．（2024年北京高考数学真题）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得.
故选：C.
6．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）设，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【解析】依题意得，，故.
故选：D
7．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）若，则（ ）
A．B．C．10D．
【答案】A
【解析】由，则.
故选：A
8．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知，则（ ）
A．0B．1C．D．2
【答案】C
【解析】若，则.
故选：C.
9．（2023年北京高考数学真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，，
由共轭复数的定义可知，.
故选：D
10．（2025年高考天津卷数学真题）已知i是虚数单位，则 ．
【答案】
【解析】先由题得，所以.
故答案为：
11．（2025年上海秋季高考数学真题（网络收集版））已知复数z满足，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】设，
由题意可知，则，
又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动，
设，则，由图象可知，
所以.
故答案为：
12．（2024年上海秋季高考数学试题（网络收集版））已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ．
【答案】2
【解析】设，且.
则，
，，解得，
故答案为：2.
13．（2024年天津高考数学真题）是虚数单位，复数 ．
【答案】
【解析】.
故答案为：.
能力拓展篇
1．已知复数，其中，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，化简得，
解得.
故选：B.
2．（2025·广东东莞·模拟预测）已知复数满足，则复数在复平面对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】由题意可得，
所以在复平面对应点，在第一象限，
故选：A
3．（2025·天津和平·二模）已知为虚数单位，复数，则的共轭复数（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为.
所以.
故选：C.
4．（2025·河南新乡·模拟预测）已知，是虚数单位，方程有解，则正实数（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【解析】由复数相等的充要条件得，
解得或，
当时，解得，
当时，解得舍；
故选：C.
5．（2025·云南·模拟预测）在复平面内，复数与复数对应的点关于实轴对称，则（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【解析】，其在复平面内对应的点为.
因为复数与复数对应的点关于实轴对称，在平面直角坐标系中，关于实轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数.所以对应的点为，那么复数.
由，其中，，将其代入模的计算公式可得：
.
故选：B.
6．（2025·甘肃金昌·三模）已知a为非零实数，复数，其中为虚数单位，则（ ）.
A．的虚部为
B．的最小值为
C．的实部为
D．当时，为纯虚数
【答案】B
【解析】由题意，，实部为，虚部为，故A，C错误；
|z1|=≥=(当且仅当，即时取等号)，故B正确；
当时，，为实数，故D错误.
故选：B
7．（2025·江西·三模）已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以.
所以.
故选：A.
8．（多选题）（2025·全国·模拟预测）已知复数，为的共轭复数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】因为，则，则，A正确．
因为，B正确．
因为，所以，，，故C正确，D错误．
故选：ABC．
9．（多选题）（2025·全国·模拟预测）设为复数，则（ ）
A．
B．
C．若，则的值只能取
D．若为实系数一元二次方程的两虚根，则
【答案】ABD
【解析】对于A，设，则，
，所以，A正确．
对于B，设，
则，，，
故，因此B正确．
对于C，若，易知的值可以是或．C错误．
对于D，易知，由可得；
由求根公式可得，故．D正确．
故选：ABD．
10．（多选题）（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知复数，则（ ）
A．若复数z为实数，则
B．若复数z为纯虚数，则
C．当时，
D．复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限
【答案】ACD
【解析】对于A，依题意可得，即，则，故A正确；
对于B，依题意可得，故B错误；
对于C，依题意可得，所以，故C正确；
对于D，若复数z在平面内对应的点在第二象限，则，所以D正确，
故选：ACD．
11．（多选题）设，在复平面内z对应的点为Z，则下列结论中满足条件的点Z的集合对应的图形正确的是（ ）．
A．若，则点Z的集合是圆
B．若，则点Z的集合是两个圆所夹的圆环（包括边界）
C．若，则点Z的集合是y轴所在的直线
D．若，则点Z的集合是一、三象限角平分线
【答案】ABC
【解析】A：表示以原点为圆心，1为半径的圆，对；
B：表示以原点为圆心，半径分别为1、2的两个圆所成圆环（含边界），对；
C：表示到两点距离相等的点，即为轴所在直线，对；
D：表示到两点距离相等的点，即为二、四象限的角平分线，错.
故选：ABC
12．（多选题）（2025·海南·模拟预测）复数在复平面内对应的点为，且（i为虚数单位）的实部为，则（ ）
A．复数的虚部为
B．复数的模长为
C．复数对应的点在第一象限
D．若复数满足，则的最大值为
【答案】BCD
【解析】对于A，因为复数在复平面对应的点为，
所以，所以，
所以，所以，复数的虚部为，故A错误；
对于B，复数的模为，故B正确；
对于C，复数，其对应的点为在第一象限，故C正确；
对于D，设复数，在复平面内对应的点分别为，
则，，，
由复数的几何意义可知，，分别在以原点为圆心，以，2为半径的圆上运动，
故，所以的最大值为，故D正确．
故选：BCD
13．（多选题）（2025·贵州·模拟预测）若复数z满足（是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．z的虚部为B．z的模为
C．z的共轭复数为D．z在复平面内对应的点位于第三象限
【答案】BC
【解析】由题意有，所以虚部为，故A错误；
，故B正确；复数的共轭复数为，故C正确；
复数z在复平面内对应的点为位于第一象限，故D错误.
故选：BC.
14．（多选题）（2025·四川巴中·二模）已知复数的共轭复数记为，对于任意的三个复数与下列结论错误的是（ ）
A．复数的共轭复数
B．若，则复平面内对应的点位于第四象限
C．已知复数z满足，则的最小值为2
D．若，且，则
【答案】BC
【解析】A.复数，则共轭复数，正确：
B.，对应点为，在第三象限，B错：
C.复数满足，则对应的点在是以对应点为端点的线段的中垂线上，即虚轴（加上原点）上，
表示虚轴（加上原点）上的点到点的距离，最小值为1，C错误.
D.若，则，又，则，故D正确：
故选：BC
15．（多选题）（2025·江苏南通·模拟预测）设为复数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】设，.
对于A选项，，
所以，
，A对；
对于B选项，取，，则，
，则，即，B错；
对于C选项，，，
，，
，所以C错误；
对于D选项，，
，，
所以，故D正确.
故选：AD
16．（多选题）（2025·吉林延边·模拟预测）一系列复数满足是公比为i的等比数列，，则（ ）
A．是周期数列B．的前8项和为24
C．存在实数k，使得为实数D．存在实数，使得
【答案】ACD
【解析】由复数，且，则，
因为数列是公比为的等比数列，所以，
所以，
对于A中，由，可得，
即，可得，所以数列是周期数列，所以A正确；
对于B中，由，
所以的前8项和，所以B不正确；
对于C中，由，当，可得，
所以存在实数k，使得为实数，所以C正确；
对于D中，由复数，
当时，可得，此时；
当时，可得，此时；
当时，可得，此时；
当时，可得，此时，
例如：当，可得，此时满足，
所以存在实数，使得，所以D正确.
故选：ACD.
17．（2025·上海·三模）在复平面内，复数（是虚数单位，）是纯虚数，其对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为 ．
【答案】1
【解析】复数是纯虚数，
，，解得，
，其对应的点为，
为曲线上的动点，则点在以原点为圆心，半径的圆上，
所以与之间的最小距离.
故答案为：.
18．（2025·天津静海·三模）已知，为虚数单位，若为实数，则的值为 .
【答案】
【解析】，
因为为实数，所以，解得.
故答案为：.