2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用第二章函数与基本初等函数(单元测试)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用第二章函数与基本初等函数(单元测试)(学生版+解析)，共20页。试卷主要包含了在跳水运动中，水花半径，已知函数，，，若，则的最小值为，若，，则下列判断正确的是，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】对于A，函数是奇函数，在上单调递增，A是；
对于B，函数是偶函数，不是奇函数，B不是；
对于C，函数是偶函数，不是奇函数，C不是；
对于D，函数是偶函数，不是奇函数，D不是.
故选：A
2．设函数是奇函数.若函数，则（ ）
A．28B．33C．38D．43
【答案】A
【解析】由函数是奇函数可知，
因此可得；
又，因此；
两式相加可得；
又，因此.
故选：A.
3．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由已知，定义域为，且，
所以函数为偶函数，
故图象关于轴对称，
又，排除B，D选项；
当时，，排除C，故A正确．
故选：A．
4．在跳水运动中，水花半径（单位：米）与运动员入水速度、入水时身体倾斜角度（弧度）、入水截面积相关．实验表明，当入水速度时，水花半径满足公式：，其中为实验常数．某次比赛中一位运动员完成动作时，入水速度、入水时身体倾斜角度、入水截面积，则入水产生的水花半径是（ ）（注：结果保留3位小数，其中）
A．0.026mB．0.027mC．0.028mD．0.029m
【答案】C
【解析】由题意可得：．
故选：C．
5．若函数在上有零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为在上单调递增，
所以，即，
解得．
故选：D.
6．已知,是关于的一元二次方程的两个实数根，且,，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得，为函数的两个零点．
因为，，结合二次函数图象，利用零点存在定理可得：
，即，所以．
所以，解得：．
故选：C．
7．若函数有最大值，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时， ，
当时，，
若，在上单调递增，此时没有最大值，
若，在上单调递减，
要想函数有最大值，则，解得；
若，，函数有最大值1，符合题意；
故实数的取值范围为.
故选：A.
8．已知函数，，，若，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．9
【答案】C
【解析】由题意可知：的定义域为，
令，解得；令，解得；
则当时，，故，所以；
当时，，故，所以，
所以；
故，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】因为，，
所以，故A正确；
由可得（，等号不成立），故B错误；
由可得（，等号不成立），故C正确；
因为，故D正确.
故选：ACD
10．已知函数，则（ ）
A．在上单调递增
B．关于直线对称
C．的值域为
D．关于的方程在区间上有实根，则所有根之和组成的集合为
【答案】BCD
【解析】对于A：当时，，，
令，则有在单调递增，，
所以当，单调的递增，当时，单调的递递减，
所以在上不单调，故A错误；
对于B：，所以关于直线对称，故B正确；
对于C：由A有：，
所以，所以的值域为，故C正确；
对于D： 结合A的分析可得在上先增再减，由B选项的分析，函数的图象关于对称，函数草图如下：
当方程在区间有一个实数根时，所有根之和；
当方程在区间有两个实数根时，所有根之和；
当方程在区间有四个实数根时，所有根之和；
所以所有的根之和组成的集合为，故D正确．
故选：BCD.
11．函数对于任意的，满足，且，则（ ）
A．为偶函数B．是函数的一个周期
C．点是图象的对称中心D．
【答案】BCD
【解析】由题知，
对于选项A：令，得，所以，
令，得，即，所以为偶函数，
所以函数为奇函数，故选项A不正确；
对于选项B：令，，即，
，所以周期为，故选项B正确；
对于选项C： 由B中，即，所以关于 对称，且，又周期为，所以，故选项C正确；
对于选项D：令，得，即，
令，得，所以，
所以，
故，故选项D正确. 故选：BCD..
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．函数满足条件：①图象为轴对称图形，②至少有一个最值，③至少有两个零点，请写出的一个表达式 ．
【答案】（答案不唯一，写出一个即可）
【解析】函数的对称轴为y轴，有一个最小值－1，两个零点，，符合题意．
故答案为：（答案不唯一，写出一个即可）
13．若函数在上的最大值为2，则实数 ．
【答案】2
【解析】令，则在上的最大值，
最小值．
当时，，解得．
当时，，解得（舍去）．
综上，．
故答案为：2
14．已知函数满足，且，则函数的最大值为 ；方程的实数解的个数为 ．
【答案】 2
【解析】由函数满足，则，所以的周期为，
由，则，
可得的图象如图，则函数的最大值为2，
方程的解，即为与的交点横坐标，
计算可得：，所以在有一个交点，
，，
且当时，无交点.
由图可知两图象交点个数为，即方程的实数解的个数为.
故答案为：；
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
化简：
(1)；
(2)；
(3)；
【解析】（1）；
（2）原式；
（3）
.
16．（15分）
已知二次函数的最小值为1，函数是偶函数，且．
(1)求的解析式；
(2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围．
【解析】（1）因为函数是偶函数，所以的图象关于直线对称，
又因为的最小值为1，可设，
且，解得，
所以．
（2）由（1）可知：在内单调递减，在内单调递增，
因为在区间上单调，
则或，解得或，
所以实数的取值范围为．
17．（15分）
春节是中华民族的第一大节，在中华文明史上有着重要地位.2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.据不完全统计，如今有近20个国家和地区将春节作为法定节假日，春节民俗活动已走进近200个国家和地区，成为全球文化盛事.四川省南充市阆中市是中国传统节日——春节的发源地.阆中不仅在历史上对春节文化的形成有着重要贡献，至今仍保留着丰富的春节庆祝活动.每年的春节期间，阆中会举行各种传统民俗活动，如舞龙、舞狮、打鼓、唱歌、书法展览和民间艺术表演等，这些活动展现了浓厚的年味和地方文化特色.为了促进阆中旅游业的发展，阆中市文旅局计划在阆中古城开发新的游玩项目，全年需投入固定成本500万元，若该项目在2025年接待x万名游客，则需追加管理及维修成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为80元．
(1)求2025年该项目的利润（万元）关于游客数量x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）；
(2)当2025年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？
【解析】（1）当时，
，
当时，
，
故；
（2）当时，
，故当万人时，取得最大值，最大值为万元，
当时，
（万元），
当且仅当，即时，等号成立，
由于，故当游客量为60万人时，该项目年利润最大，最大利润为350万元.
18．（17分）
定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称函数是上的有界函数，其中称为函数在的上界．
(1)判断函数在其定义域内是否属于有界函数；
(2)若函数，且，则函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围．
【解析】（1）令，则，
当时，函数的最大值为，
所以，即，所以为有界函数．
（2），
，在上递增，
，，
，所以，
存在上界的范围是．
（3）由题意知，在上恒成立，
，，
因此在上恒成立，
，
设，由知，
设，则
，
在上单调递减，在上单调递增，
在上的最大值为在上的最小值为，
．的取值范围．
19．（17分）
已知是定义在区间上的单调递增函数，对于有如下甲、乙两个命题：
甲：是方程的根；
乙：是方程的根.
(1)求证：甲是乙的充分必要条件；
(2)设，若，方程有唯一实数根，求的值.
【解析】（1）①充分性：若是方程的根，则，
所以，即是的根，充分性成立；
②必要性：若是方程的根，则.
如果，那么，由函数在定义域内单调递增，得，矛盾.
如果，那么，由函数在定义域内单调递增，得，矛盾.
所以是方程的根，
综上，甲是乙的充分必要条件.
（2）因为，所以，
函数在上单调递增，
由（1）知“是方程的根”与“是的根”等价，
故只需求：当时有唯一的，满足的值.
令，则.
因为为上的单调递减函数，又，当趋向于无穷大时，趋近于，
故存在唯一的使，并得.
此时在上单调递增，在上单调递减，
故.
要方程在内有唯一实数根，即要，解得.
所以，.
第二章 函数与基本初等函数（单元测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】对于A，函数是奇函数，在上单调递增，A是；
对于B，函数是偶函数，不是奇函数，B不是；
对于C，函数是偶函数，不是奇函数，C不是；
对于D，函数是偶函数，不是奇函数，D不是.
故选：A
2．设函数是奇函数.若函数，则（ ）
A．28B．33C．38D．43
【答案】A
【解析】由函数是奇函数可知，
因此可得；
又，因此；
两式相加可得；
又，因此.
故选：A.
3．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由已知，定义域为，且，
所以函数为偶函数，
故图象关于轴对称，
又，排除B，D选项；
当时，，排除C，故A正确．
故选：A．
4．在跳水运动中，水花半径（单位：米）与运动员入水速度、入水时身体倾斜角度（弧度）、入水截面积相关．实验表明，当入水速度时，水花半径满足公式：，其中为实验常数．某次比赛中一位运动员完成动作时，入水速度、入水时身体倾斜角度、入水截面积，则入水产生的水花半径是（ ）（注：结果保留3位小数，其中）
A．0.026mB．0.027mC．0.028mD．0.029m
【答案】C
【解析】由题意可得：．
故选：C．
5．若函数在上有零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为在上单调递增，
所以，即，
解得．
故选：D.
6．已知,是关于的一元二次方程的两个实数根，且,，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得，为函数的两个零点．
因为，，结合二次函数图象，利用零点存在定理可得：
，即，所以．
所以，解得：．
故选：C．
7．若函数有最大值，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时， ，
当时，，
若，在上单调递增，此时没有最大值，
若，在上单调递减，
要想函数有最大值，则，解得；
若，，函数有最大值1，符合题意；
故实数的取值范围为.
故选：A.
8．已知函数，，，若，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．9
【答案】C
【解析】由题意可知：的定义域为，
令，解得；令，解得；
则当时，，故，所以；
当时，，故，所以，
所以；
故，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】因为，，
所以，故A正确；
由可得（，等号不成立），故B错误；
由可得（，等号不成立），故C正确；
因为，故D正确.
故选：ACD
10．已知函数，则（ ）
A．在上单调递增
B．关于直线对称
C．的值域为
D．关于的方程在区间上有实根，则所有根之和组成的集合为
【答案】BCD
【解析】对于A：当时，，，
令，则有在单调递增，，
所以当，单调的递增，当时，单调的递递减，
所以在上不单调，故A错误；
对于B：，所以关于直线对称，故B正确；
对于C：由A有：，
所以，所以的值域为，故C正确；
对于D： 结合A的分析可得在上先增再减，由B选项的分析，函数的图象关于对称，函数草图如下：
当方程在区间有一个实数根时，所有根之和；
当方程在区间有两个实数根时，所有根之和；
当方程在区间有四个实数根时，所有根之和；
所以所有的根之和组成的集合为，故D正确．
故选：BCD.
11．函数对于任意的，满足，且，则（ ）
A．为偶函数B．是函数的一个周期
C．点是图象的对称中心D．
【答案】BCD
【解析】由题知，
对于选项A：令，得，所以，
令，得，即，所以为偶函数，
所以函数为奇函数，故选项A不正确；
对于选项B：令，，即，
，所以周期为，故选项B正确；
对于选项C： 由B中，即，所以关于 对称，且，又周期为，所以，故选项C正确；
对于选项D：令，得，即，
令，得，所以，
所以，
故，故选项D正确. 故选：BCD..
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．函数满足条件：①图象为轴对称图形，②至少有一个最值，③至少有两个零点，请写出的一个表达式 ．
【答案】（答案不唯一，写出一个即可）
【解析】函数的对称轴为y轴，有一个最小值－1，两个零点，，符合题意．
故答案为：（答案不唯一，写出一个即可）
13．若函数在上的最大值为2，则实数 ．
【答案】2
【解析】令，则在上的最大值，
最小值．
当时，，解得．
当时，，解得（舍去）．
综上，．
故答案为：2
14．已知函数满足，且，则函数的最大值为 ；方程的实数解的个数为 ．
【答案】 2
【解析】由函数满足，则，所以的周期为，
由，则，
可得的图象如图，则函数的最大值为2，
方程的解，即为与的交点横坐标，
计算可得：，所以在有一个交点，
，，
且当时，无交点.
由图可知两图象交点个数为，即方程的实数解的个数为.
故答案为：；
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
化简：
(1)；
(2)；
(3)；
【解析】（1）；
（2）原式；
（3）
.
16．（15分）
已知二次函数的最小值为1，函数是偶函数，且．
(1)求的解析式；
(2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围．
【解析】（1）因为函数是偶函数，所以的图象关于直线对称，
又因为的最小值为1，可设，
且，解得，
所以．
（2）由（1）可知：在内单调递减，在内单调递增，
因为在区间上单调，
则或，解得或，
所以实数的取值范围为．
17．（15分）
春节是中华民族的第一大节，在中华文明史上有着重要地位.2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.据不完全统计，如今有近20个国家和地区将春节作为法定节假日，春节民俗活动已走进近200个国家和地区，成为全球文化盛事.四川省南充市阆中市是中国传统节日——春节的发源地.阆中不仅在历史上对春节文化的形成有着重要贡献，至今仍保留着丰富的春节庆祝活动.每年的春节期间，阆中会举行各种传统民俗活动，如舞龙、舞狮、打鼓、唱歌、书法展览和民间艺术表演等，这些活动展现了浓厚的年味和地方文化特色.为了促进阆中旅游业的发展，阆中市文旅局计划在阆中古城开发新的游玩项目，全年需投入固定成本500万元，若该项目在2025年接待x万名游客，则需追加管理及维修成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为80元．
(1)求2025年该项目的利润（万元）关于游客数量x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）；
(2)当2025年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？
【解析】（1）当时，
，
当时，
，
故；
（2）当时，
，故当万人时，取得最大值，最大值为万元，
当时，
（万元），
当且仅当，即时，等号成立，
由于，故当游客量为60万人时，该项目年利润最大，最大利润为350万元.
18．（17分）
定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称函数是上的有界函数，其中称为函数在的上界．
(1)判断函数在其定义域内是否属于有界函数；
(2)若函数，且，则函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围．
【解析】（1）令，则，
当时，函数的最大值为，
所以，即，所以为有界函数．
（2），
，在上递增，
，，
，所以，
存在上界的范围是．
（3）由题意知，在上恒成立，
，，
因此在上恒成立，
，
设，由知，
设，则
，
在上单调递减，在上单调递增，
在上的最大值为在上的最小值为，
．的取值范围．
19．（17分）
已知是定义在区间上的单调递增函数，对于有如下甲、乙两个命题：
甲：是方程的根；
乙：是方程的根.
(1)求证：甲是乙的充分必要条件；
(2)设，若，方程有唯一实数根，求的值.
【解析】（1）①充分性：若是方程的根，则，
所以，即是的根，充分性成立；
②必要性：若是方程的根，则.
如果，那么，由函数在定义域内单调递增，得，矛盾.
如果，那么，由函数在定义域内单调递增，得，矛盾.
所以是方程的根，
综上，甲是乙的充分必要条件.
（2）因为，所以，
函数在上单调递增，
由（1）知“是方程的根”与“是的根”等价，
故只需求：当时有唯一的，满足的值.
令，则.
因为为上的单调递减函数，又，当趋向于无穷大时，趋近于，
故存在唯一的使，并得.
此时在上单调递增，在上单调递减，
故.
要方程在内有唯一实数根，即要，解得.
所以，.