第六章 平面向量、复数（综合检测）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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1．已知点在所在平面内，满足，则点是的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
【答案】A
【分析】根据点到的距离相等可得答案.
【详解】因为，即点到的距离相等，
所以点是的外心.
故选：A
2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（ ）
A．1＋3iB．1－3iC．－1＋3iD．－1－3i
【答案】D
【分析】由点的坐标确定，再利用复数乘法法则进行计算
【详解】由题知，，则．
故选：D．
3．已知向量，，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】平面向量的减法坐标运算，计算向量的模
【详解】向量，，
则.
故选：D
4．已知向量，不共线，，，，则（ ）
A．B．C．6D．
【答案】A
【分析】
由向量平行的性质计算即可.
【详解】
因为，所以，
，则
解得.
故选：A.
5．中，内角、所对的边分别为、，若，则角等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正弦定理边角互化思想求出的值，再结合的范围可求出角的值.
【详解】，由正弦定理得，
，，则，可得.
又，因此，.
故选：C.
【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，在计算时要结合角的取值范围来得出角的值，考查运算求解能力，属于基础题.
6．在中，内角，，的对边分别为，，，若，则该三角形的形状是（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形
C．锐角三角形D．不确定的
【答案】A
【分析】根据正弦定理进行边角互化，进而可判断三角形形状.
【详解】因为，
由正弦定理得，
则该三角形的形状是直角三角形，
故选：A.
7．在中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理将边化角，即可求出，从而得解.
【详解】因为，由正弦定理可得，即，
又，所以.
故选：B
8．在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可.
【详解】建立如图所示的直角坐角坐标系，过作，垂足为，
因为，
所以有，

，设，，
因此有
因为，
所以有，
而，
所以，
当时，有最大值，当，xy有最小值，
所以的取值范围是
故选：B
【点睛】关键点睛：建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式是解题的关键.
二、多项选择题
9．已知为虚数单位，复数，下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
【答案】AC
【分析】根据复数运算、共轭复数、复数相等等知识确定正确答案.
【详解】A选项，，A选项正确.
B选项，，B选项错误.
C选项，，
，
若，则，解得，所以C选项正确.
D选项，当时，，所以D选项错误.
故选：AC
10．已知为的外接圆圆心，，下列说法正确的是（ ）
A．三点共线
B．
C．
D．向量在向量上的投影向量为
【答案】ACD
【分析】作出图，根据平面向量的基本定理运算判断选项A，利用圆周角的性质判断得，再结合是等边三角形，可判断得，从而得可判断选项B，在直角三角形中，利用三角函数列式计算可判断选项C，根据投影的概念，再结合三角函数计算可判断选项D.
【详解】如图，根据平行四边形法则，即，
所以为的中点，即为与的交点，
所以为的中点，所以三点共线，故A正确；
因为为的外接圆圆心，所以为圆的直径，
所以，所以，
又，所以是等边三角形，
所以，，故B错误；
在中，，所以，故C正确；
作于点，则向量为向量在向量上的投影向量，
因为，所以，，
所以，即向量在向量上的投影向量为，故D正确.
故选：ACD

11．在中，角所对的边分别为，已知，则下列判断中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则该三角形有两解
C．周长有最大值12D．面积有最小值
【答案】ABC
【分析】对于ABC，根据正、余弦定理结合基本不等式即可解决；对于D，由正弦定理得，根据三角恒等变换解决即可.
【详解】对于A，，，由正弦定理得，
所以，故A正确；
对于B，由正弦定理得得，所以，
因为，则有两个解，所以该三角形有两解，故B正确；
对于C，由，得
，
所以，当且仅当时取等号，此时三角形周长最大为等边三角形，周长为12，故C正确；
对于D，由得,
故
由于，无最小值，
所以面积无最小值，有最大值为，故D错误.
故选：C.
三、填空题
12．已知复数，则 ．
【答案】
【分析】先化简复数，然后由复数模的公式直接计算可得.
【详解】因为，所以.
故答案为：
13．已知非零向量，的夹角为，，，则 ．
【答案】
【分析】根据向量垂直满足的关系可得，进而根据数量积的定义即可求解.
【详解】，，，
，，
非零向量，的夹角为，
．
故答案为：．
14．抚仙湖，位于澄江市、江川区、华宁县之间，湖面积仅次于滇池和洱海，为云南省第三大湖，也是我国最大的深水型淡水湖泊．如图所示，为了测量抚仙湖畔M，N两点之间的距离，现取两点E，F，测得公里，，，，则M，N两点之间的距离为 公里．

【答案】
【分析】在中由正弦定理可得，在中等边对等角可得，则在 中由余弦定理可得.
【详解】在中=
由正弦定理可得：
即
在中
所以，则,
中由余弦定理可得：
即
故答案为：.
四、解答题.
15．在中，内角的对边分别为，已知，且满足.
（1）求边长；
（2）若是锐角三角形，且面积，求外接圆的半径.
【答案】（1）;（2）.
【详解】试题分析：（1）由结合正弦定理可得，可得.
（2）由，和（1）中所得可求，又由余弦定理，再用正弦定理求得外接圆的半径.
试题解析：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
（2）∵，
∴，∴，
又为锐角，
∴，
∴，
∴，
∴外接圆的半径.
16．如图，在中，，，，P是内一点，且.
（1）若，求线段的长度；
（2）若，设，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）先由中条件，求出，，，再由余弦定理，即可得出结果；
（2）由，得，根据题中条件，求出，在中，由正弦定理，得到，进而可求出结果.
【详解】（1）因为，
所以在中，，，，所以；
在中，，，，
由余弦定理，得，
所以；
（2）由，得，
在中，，，，所以，
在中，，，，，
由正弦定理得，
所以，又，所以，
由，得．
【点睛】思路点睛：
平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值，优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想.
17．在①，②，③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．
问题：在中，角所对的边分别为，且________．
（1）求C；
（2）若的面积为为的中点，求的值．
【答案】选择见解析；（1）；（2）．
【分析】（1）选①,正弦定理化边为角后，由三角恒等变换求得；
选②，由正弦定理化边为角，同时切化弦，转化后可得；
选③，由正弦定理化边为角，然后由两角差的正弦公式变形求得；
（2）由面积求得，从而可求得，由向量数量积得，可计算．
【详解】解：选①：
（1）因为，，三角形中，
所以，
所以，又因为C为的一个内角，所以
（2）因为的面积为
所以，所以
因为D为的中点，所以，
从而，所以
选②：
（1）因为所以，三角形中，
所以，又因为C为的一个内角，所以
（2）下同选①．
选③：
（1）因为，所以，三角形中，
所以
所以，又因为C为的一个内角，所以
（2）下同选①．
18．在中，，，的对边分别为，，，已知.
(1)求证：；
(2)若，求边的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据，移项后平方消元，求出再应用同角三角函数关系求出即可；
（2）因为再应用余弦定理结合基本不等式求出的最小值.
【详解】（1）依题意,否则，则，矛盾，
由得，即得
故，
整理得，从而又因为可得，
从而.
（2）由，由（1）可得
故为锐角，，
故，
从而当且仅当时取等号， 的最小值为.
19．如图，某公园内有两条道路，，现计划在上选择一点，新建道路，并把所在的区域改造成绿化区域．已知，．
（1）若绿化区域的面积为，求道路的长度；
（2）若绿化区域改造成本为10万元，新建道路成本为10万元．设，当为何值时，该计划所需总费用最小？
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据三角形的面积公式，和余弦定理即可求出，
（2）先根据正弦定理结合三角形的面积可得，，令，利用导数求出函数的最值．
【详解】解：（1）在中，，，
，
解得，
在中，由余弦定理得：，
；
（2）由，则，，
在中，，，由正弦定理得，
，，
记该计划所费用为，
则，，
令，
则，
由，解得，
当时，，单调递减，
当，时，，单调递增，
时，该计划所需费用最小．