2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用培优点2平面向量中的范围与最值问题(8大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用培优点2平面向量中的范围与最值问题(8大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共20页。试卷主要包含了向量等和线的定义，向量等和线的证明等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc211456640" 01 重点解读 PAGEREF _Tc211456640 \h 2
\l "_Tc211456641" 02 思维升华 PAGEREF _Tc211456641 \h 3
\l "_Tc211456642" 03 典型例题 PAGEREF _Tc211456642 \h 6
\l "_Tc211456643" 题型一：定义法 PAGEREF _Tc211456643 \h 6
\l "_Tc211456644" 题型二：基底法 PAGEREF _Tc211456644 \h 6
\l "_Tc211456645" 题型三：万能建系法 PAGEREF _Tc211456645 \h 8
\l "_Tc211456646" 题型四：极化恒等式 PAGEREF _Tc211456646 \h 8
\l "_Tc211456647" 题型五：等和线、等差线、等商线 PAGEREF _Tc211456647 \h 9
\l "_Tc211456648" 题型六：矩形大法、平行四边形大法 PAGEREF _Tc211456648 \h 10
\l "_Tc211456649" 题型七：三角向量不等式法 PAGEREF _Tc211456649 \h 11
\l "_Tc211456650" 题型八：向量投影法 PAGEREF _Tc211456650 \h 12
\l "_Tc211456651" 04 课时精练 PAGEREF _Tc211456651 \h 13
平面向量中的范围与最值问题是高考热点与难点，常涉及向量的模、数量积、夹角等。解题关键在于建立函数关系或利用数形结合，常用方法有定义法、坐标法、基底法及几何意义法，需灵活运用二次函数、不等式等知识求解。
技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：
（1）定义法
第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系
第二步：运用基木不等式求其最值问题
第三步：得出结论
（2）坐标法
第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标
第二步：将平面向量的运算坐标化
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
（3）基底法
第一步：利用其底转化向量
第二步：根据向量运算律化简目标
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
（4）几何意义法
第一步：先确定向量所表达的点的轨迹
第二步：根据直线与曲线位置关系列式
第三步：解得结果
技巧二．极化恒等式
（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
（2）极化恒等式：
上面两式相减，得：
①平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
②三角形模式：（M为BD的中点）
A
B
C
M
技巧三．矩形大法
矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：．
技巧四．等和线
1、向量等和线的定义
给定一组基底，则平面内的任一向量都唯一分解，记为．
若点在直线上或在平行于的直线上，则为定值，反之也成立，我们把直线及与直线
平行的直线称为等和线．
如图（其中为与平行的直线，点在上，交于点，分别为与的交点）
注意：等和线的位置影响的取值：
（1）当等和线恰为直线时，；
（2）当等和线在点和直线之间时，；
（3）当直线在点和等和线之间时，；
（4）当等和线过点时，；
（5）当等和线与直线在点的两侧时，；
解题关键：先找到系数和等于1的等和线，把它和基底起始点的距离定义为1倍远，看目标等和线的远近和方向，离起始点越远，值的绝对值越大，几倍远，的绝对值就是几，正负由方向决定．
（方向定正负，倍数定值）．
2、向量等和线的证明
如图，已知点在与平行的直线上，且．
记直线与直线相交于点，因为三点共线，所以存在实数使得，
则根据向量共线定理可知，记（定值），
则，于是，当点在直线上运动时，始终有 ，于是恒成立．
技巧五．平行四边形大法
1、中线长定理
2、平行四边形大法
技巧六．向量对角线定理
题型一：定义法
【例题1】已知向量满足，，则的最小值与最大值的和是（ ）
A．B．C．D．4
【例题2】已知平面向量满足，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】已知是两个非零向量，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．2
【变式2】（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在等腰中，，点是边上的动点，则（ ）
A．为定值16B．为定值32
C．最大值为32D．与的位置有关
【变式3】（2025·北京丰台·一模）在平行四边形中，E为边上的动点，O为外接圆的圆心，，且，则的最大值为（ ）
A．3B．4C．6D．8
题型二：基底法
【例题3】在中，，,点为的中点，点为的中点，若，则的最大值为 ．
【例题4】（2025·天津河北·二模）如图，已知矩形的边，，点，分别在边，上.若，，则用和表示 ；若，则的最小值为 .
【变式4】（2025·上海黄浦·三模）设、是平面内相交成的两条射线，、分别是与、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.已知在如图所示的仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，且，点、、分别为、、的中点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式5】如图所示，点为正八边形的中心，已知，点为线段上一动点，则的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三：万能建系法
【例题5】在中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为 .
【例题6】已知平面向量满足，则的最小值是 ．
【变式6】在中，.P为所在平面内的动点，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式7】（2025·湖南益阳·模拟预测）在中，为的中点，为平面内一点，且，则（ ）
A．的最大值为
B．的最大值为
C．的最大值为
D．的最大值为
题型四：极化恒等式
【例题7】勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC（含端点）上的一点，则的范围为（ ）
A．B．C．D．
【例题8】已知为双曲线上经过原点的一动弦，为圆上一动点，则的最大值为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【变式8】已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【变式9】（多选题）（2025·黑龙江大庆·模拟预测）圆的相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦，均过点，则下列说法正确的是（ ）

A．当时，面积的最大值为
B．的取值范围是
C．当时，为定值
D．当时，四边形面积的最大值为8
题型五：等和线、等差线、等商线
【例题9】如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆为圆上任一点，若，则的最大值为 ．
【例题10】（2025·浙江宁波·二模）已知矩形中，，，动点、分别在射线、上运动，且满足.对角线交于点，设，则的最大值是 .
【变式10】已知点在以为圆心的圆弧上运动，，．若，其中，则的最大值是 ．
【变式11】如图所示，是的中点，是平行四边形内（含边界）的一点，且，则当时，的范围是 .
题型六：矩形大法、平行四边形大法
【例题11】已知圆与，定点，A、B分别在圆和圆上，满足，则线段AB的取值范围是 ．
【例题12】如图，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是___________.
【变式12】如图，C，D在半径为1的上，线段是的直径，则的取值范围是_________.
【变式13】在平面内，已知，，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型七：三角向量不等式法
【例题13】（2025·高三·浙江金华·开学考试）已知向量满足，，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【例题14】（2025·辽宁大连·一模）设单位向量，已知，则的最小值为（ ）
A．0B．1C．D．
【变式14】已知平面向量满足，．若对任意平面向量都有成立，则实数的最大值是（ ）．
A．B．1C．D．2
【变式15】已知向量满足，，若对任意实数都有，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
题型八：向量投影法
【例题15】已知向量是平面向量，，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【例题16】已知，是半径为2的圆上的两点，动点满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．－1D．－2
【变式16】已知在直角梯形中，，，，，设是的中点，是梯形内或边界上的一个动点，则的最大值是（ ）．
A．4B．6C．8D．10
1．已知向量，，其中，则的最大值是（ ）
A．4B．3
C．2D．1
2．在中，，D为所在平面内的动点，且，则最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．设圆的半径为为圆上的动点，且圆心到弦的距离为，则的最大值为（ ）
A．3B．5C．6D．9
4．已知非零向量满足，且不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．已知向量，，，，对于任意的向量，都有，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
6．平行四边形中，，，以C为圆心作与直线BD相切的圆，P为圆C上且落在四边形内部任意一点，，若，则角的范围为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，菱形的边上有一点，边上有一点（，不与顶点重合）且，若是边长为的等边三角形，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（多选题）已知点A、B、P在上，则下列命题中正确的是（ ）
A．，则的值是
B．，则的值是
C．，则的范围是
D．，且，则的范围是
9．已知在中，，若的最小值是2，则对于内一点的最小值是 ．
10．（2025·海南·模拟预测）已知平面向量，满足，且，则向量在向量方向上的投影的最小值为 ．
11．已知平面向量、、、，且，若，，则的最小值为 .
12．若等边的边长为3，N为AB的中点，且AB上一点M满足：（，），则当取得最小值时， ．
13．已知中，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是 .
14．（2025·河北衡水·三模）已知向量，，若且，则的最小值为 .
15．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知是所在平面内一点，且，则的最大值为 .
16．2024年12月4日，我国“春节”正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．贴窗花是春节的常见习俗，如图①是一种窗花，可将其视为如图②的正八边形，已知是其边上任意一点，，则的最大值为 ．

17．设向量，，满足，，，则的最大值为 ．
18．（2025·高三·江西南昌·期中）圆的直径，弦，点在弦上，则的最小值是 ．
19．已知梯形ABCD中，,，，，，点P，Q在线段BC上移动，且，则的最小值为 .
20．、、三点在半径为的圆上运动，且，是圆外一点，，则的最大值是 ．
21．已知和是互相垂直的两个单位向量，且，则的最大值为 ．
22．若，，，则的最大值是 .
23．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知为弧（含端点）上的一点，则的范围为 ．
24．已知，且关于x的函数在R上有两个极值，则向量与的夹角的范围是 ．
25．（2025·甘肃·一模）已知单位向量满足，则的范围是 .
26．（2025·重庆·三模）已知点，，若圆上存在点P满足，则实数a的取值的范围是 ．
27．（2025·高三·上海宝山·期末）已知半径为3和5的两个圆和内切于点，点分别在两个圆和上，则的范围是
28．已知，，则的范围是 .
29．（2025·河南新乡·二模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以在高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮的最高点距离地面的高度为12，转盘的直径为10，A，B为摩天轮在地面上的两个底座，，点P为摩天轮的座舱，则的范围为 ．
30．若向量满足，且对任意的单位向量，求的最大值和最小值．
培优点2 平面向量中的范围与最值问题
目录 TOC \ "1-2" \h \z \u
\l "_Tc211456640" 01 重点解读 PAGEREF _Tc211456640 \h 2
\l "_Tc211456641" 02 思维升华 PAGEREF _Tc211456641 \h 3
\l "_Tc211456642" 03 典型例题 PAGEREF _Tc211456642 \h 6
\l "_Tc211456643" 题型一：定义法 PAGEREF _Tc211456643 \h 6
\l "_Tc211456644" 题型二：基底法 PAGEREF _Tc211456644 \h 8
\l "_Tc211456645" 题型三：万能建系法 PAGEREF _Tc211456645 \h 12
\l "_Tc211456646" 题型四：极化恒等式 PAGEREF _Tc211456646 \h 16
\l "_Tc211456647" 题型五：等和线、等差线、等商线 PAGEREF _Tc211456647 \h 19
\l "_Tc211456648" 题型六：矩形大法、平行四边形大法 PAGEREF _Tc211456648 \h 23
\l "_Tc211456649" 题型七：三角向量不等式法 PAGEREF _Tc211456649 \h 26
\l "_Tc211456650" 题型八：向量投影法 PAGEREF _Tc211456650 \h 28
\l "_Tc211456651" 04 课时精练 PAGEREF _Tc211456651 \h 31
平面向量中的范围与最值问题是高考热点与难点，常涉及向量的模、数量积、夹角等。解题关键在于建立函数关系或利用数形结合，常用方法有定义法、坐标法、基底法及几何意义法，需灵活运用二次函数、不等式等知识求解。
技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：
（1）定义法
第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系
第二步：运用基木不等式求其最值问题
第三步：得出结论
（2）坐标法
第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标
第二步：将平面向量的运算坐标化
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
（3）基底法
第一步：利用其底转化向量
第二步：根据向量运算律化简目标
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
（4）几何意义法
第一步：先确定向量所表达的点的轨迹
第二步：根据直线与曲线位置关系列式
第三步：解得结果
技巧二．极化恒等式
（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
（2）极化恒等式：
上面两式相减，得：
①平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
②三角形模式：（M为BD的中点）
A
B
C
M
技巧三．矩形大法
矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：．
技巧四．等和线
1、向量等和线的定义
给定一组基底，则平面内的任一向量都唯一分解，记为．
若点在直线上或在平行于的直线上，则为定值，反之也成立，我们把直线及与直线
平行的直线称为等和线．
如图（其中为与平行的直线，点在上，交于点，分别为与的交点）
注意：等和线的位置影响的取值：
（1）当等和线恰为直线时，；
（2）当等和线在点和直线之间时，；
（3）当直线在点和等和线之间时，；
（4）当等和线过点时，；
（5）当等和线与直线在点的两侧时，；
解题关键：先找到系数和等于1的等和线，把它和基底起始点的距离定义为1倍远，看目标等和线的远近和方向，离起始点越远，值的绝对值越大，几倍远，的绝对值就是几，正负由方向决定．
（方向定正负，倍数定值）．
2、向量等和线的证明
如图，已知点在与平行的直线上，且．
记直线与直线相交于点，因为三点共线，所以存在实数使得，
则根据向量共线定理可知，记（定值），
则，于是，当点在直线上运动时，始终有 ，于是恒成立．
技巧五．平行四边形大法
1、中线长定理
2、平行四边形大法
技巧六．向量对角线定理
题型一：定义法
【例题1】已知向量满足，，则的最小值与最大值的和是（ ）
A．B．C．D．4
【答案】B
【解析】设向量的夹角为，则，
可得，
，
则，
令，可得，
则，，
即的最小值与最大值的和是.
故选：B.
【例题2】已知平面向量满足，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，，
则可设，，，
，
则当，即时，取得最大值，
此时取得最大值.
故选：D.
【变式1】已知是两个非零向量，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【解析】由题意，令，，所以，，
所以，由向量加法、减法的几何意义可得，
所以，
所以，当且仅当，且时取等号，
所以的最大值为.
故选：B.
【变式2】（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在等腰中，，点是边上的动点，则（ ）
A．为定值16B．为定值32
C．最大值为32D．与的位置有关
【答案】B
【解析】如图，取的中点为，连接，
因为为等腰三角形，所以，又，
所以.
所以.
所以为定值32.
故选：.
【变式3】（2025·北京丰台·一模）在平行四边形中，E为边上的动点，O为外接圆的圆心，，且，则的最大值为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】C
【解析】由可知O为的中点，又因为O为外接圆的圆心，
所以为直角三角形，，所以，
又因为所以所以，
又因为E为边上的动点，所以
，
因为，所以即
所以的最大值为6.
故选：C
题型二：基底法
【例题3】在中，，,点为的中点，点为的中点，若，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】
如图，设中角所对的边分别为，
因点为的中点，点为的中点，，，
则，
，
则
，
因，由余弦定理，，即，
于是，
因，可得，当且仅当时等号成立，
此时，
即当时，的最大值为.
故答案为：.
【例题4】（2025·天津河北·二模）如图，已知矩形的边，，点，分别在边，上.若，，则用和表示 ；若，则的最小值为 .
【答案】
【解析】由，，则，，
由，
若且，，则，
所以，，
所以
，而，，
所以的最小值为.
故答案为：；
【变式4】（2025·上海黄浦·三模）设、是平面内相交成的两条射线，、分别是与、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.已知在如图所示的仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，且，点、、分别为、、的中点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意，则，
设则，
则，
整理得：，不妨设，，则.
因点、分别为、的中点，
则，，
同理可得，
故
，
将，代入上式，
可得：
，
其中是锐角，且，故的最大值为.
故选：A.
【变式5】如图所示，点为正八边形的中心，已知，点为线段上一动点，则的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】点为正八边形的中心，，故，
取的中点，连接，则⊥，，
其中，
故，，
故，
其中，⊥，
当点在上运动时，过点过⊥，交的延长线于点，
则，，
则
，
由图象可知，此时为最大值，
当点在上运动时，，
显然当与重合时，取得最小值，
最小值为，
所以的范围是
故选：D
题型三：万能建系法
【例题5】在中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】在中，由余弦定理，故为钝角；
又，故点在底边的高线上，
则以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系如下所示：
又，则，
故，；
则，设，，
故，当且仅当时取得等号；
也即的最小值为.
故答案为：.
【例题6】已知平面向量满足，则的最小值是 ．
【答案】1
【解析】已知且，
由点积公式，所以夹角.
设，因为，，设，
则 ，解得 ，不妨取，
设，则，；
由，得
化简得，
即向量对应的点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆；
则，需在圆上求的最小值,
因为圆心横坐标为，半径1，故的最小值为；
因此的最小值为，即为最小值.
故答案为：1.
【变式6】在中，.P为所在平面内的动点，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为在中，，
所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
因为，所以点在以为圆心，2为半径的圆上运动，
所以设点的坐标为，
所以，，，
所以
（其中），
所以当时，取得最小值.
故选：D
【变式7】（2025·湖南益阳·模拟预测）在中，为的中点，为平面内一点，且，则（ ）
A．的最大值为
B．的最大值为
C．的最大值为
D．的最大值为
【答案】A
【解析】
以为坐标原点，，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
所以，设，
所以，
因为，
所以，即，即，
所以为以为圆心，半径为圆上一点，
对于A，，所以，几何意义为到原点的距离，
所以的最大值为到原点的距离的最大值，
最大值为原点到圆心距离加上半径，即，故A正确；
对于B，，，几何意义为到的距离，
所以的最大值为到的距离的最大值，
最大值为到圆心距离加上半径，即，故B错误；
对于C，，令，即，
即，当与圆相切时有最值，即，
解得，所以的最大值为，即的最大值为5，故C错误；
对于D，，因为为以为圆心，半径为圆上一点，
所以的最大值为，所以的最大值为，故D错误，
故选：A.
题型四：极化恒等式
【例题7】勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC（含端点）上的一点，则的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】取中点为，连接，显然，
所以
.
故选：A
【例题8】已知为双曲线上经过原点的一动弦，为圆上一动点，则的最大值为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【答案】D
【解析】如下图示，，，，
所以，
由图知：，且可以同时取到，
所以的最大值为.
故选：D
【变式8】已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】依题意得，半径，设点坐标，
易知直线恒过点，
直线恒过，且，则，即，
点轨迹为圆，圆心为，半径为，但是去掉点，
若点为弦的中点，位置关系如图：
，连接，由，易知，
，
又点分别为圆、圆上的点，
所以，当在处取等号，
所以
，
即的最大值为．
故选：B．
【变式9】（多选题）（2025·黑龙江大庆·模拟预测）圆的相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦，均过点，则下列说法正确的是（ ）

A．当时，面积的最大值为
B．的取值范围是
C．当时，为定值
D．当时，四边形面积的最大值为8
【答案】BC
【解析】
对于A，当时，由正弦定理，，
要使得面积的最大，则在圆上，到的距离要最大，
此时即为等边三角形，
所以面积的最大值为，
故A错误；
对于B，若为中点，连接，则
，
由题意，则，故B正确；
对于C，若，故，
则，
又
，
则，同理可得，故，
故C正确；
对于D，设圆心到的距离为，由，可得
当时四边形面积为
，当且仅当又时，取等号，所以面积的最大值为7，故D错误．
故选：BC
题型五：等和线、等差线、等商线
【例题9】如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆为圆上任一点，若，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】解法一：
如图，以为坐标原点，过点平行于的直线为轴，建立平面直角坐标系，
由题意可得，，．
因为是边长为2的等边三角形，所以其外接圆的半径为，
由点在的外接圆上，可设，其中，
则．
又，
所以，
所以，
当，即时，取得最大值，
所以的最大值为．
解法二：
如图，过点P作的平行线，与直线相交于点，与直线相交于点，
设，则，
由，可设，
当过点且与圆相切时，取最小值0，
当点位于与同侧，且与圆相切于点时，取最大值，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以的最大值为．
故答案为：
【例题10】（2025·浙江宁波·二模）已知矩形中，，，动点、分别在射线、上运动，且满足.对角线交于点，设，则的最大值是 .
【答案】
【解析】由于，所以，
所以，所以，所以点到的距离为，所以，而，所以，
设，则，
所以，则.
则.
故答案为：
【变式10】已知点在以为圆心的圆弧上运动，，．若，其中，则的最大值是 ．
【答案】2
【解析】设，
则
即，
所以，
即的最大值为2．
故答案为：2．
【变式11】如图所示，是的中点，是平行四边形内（含边界）的一点，且，则当时，的范围是 .
【答案】
【解析】如图，过作，交于，作，交的延长线于，
则：，
又因为，，则点为中点，
又是的中点，所以，则点在上，
由图形看出，当与重合时：，此时取最小值，
当与重合时：，此时取最大值，
所以的范围是
故答案为：
题型六：矩形大法、平行四边形大法
【例题11】已知圆与，定点，A、B分别在圆和圆上，满足，则线段AB的取值范围是 ．
【答案】
【解析】以为邻边作矩形，则
由得
，即，
的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
，
．
【例题12】如图，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】连接，，设是线段的中点，连接，则有.
设为和的夹角.
则
，
，
（当即时取等）
因为，所以当时，有最小值.
，
（当即时取等）
当时，有最大值为3，
即有最大值3，所以的取值范围是.
故答案为：
【变式12】如图，C，D在半径为1的上，线段是的直径，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】以点O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
设点，，
则，，
则，
其中，
所以的最大值为：
，
则当时，取得最大值，
最小值为，
则当时，取得最小值，
综上，的取值范围为.
故答案为：.
【变式13】在平面内，已知，，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以四边形是平行四边形，
又，所以四边形是矩形，
从而，因为，所以，即
题型七：三角向量不等式法
【例题13】（2025·高三·浙江金华·开学考试）已知向量满足，，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，
由于：，
，
当且仅当时等号成立.
所以，
所以，
所以.
故选：B
【例题14】（2025·辽宁大连·一模）设单位向量，已知，则的最小值为（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】C
【解析】设，
因为单位向量，，
则，
则，等号成立时方向相反，
故的最小值为.
故选：C
【变式14】已知平面向量满足，．若对任意平面向量都有成立，则实数的最大值是（ ）．
A．B．1C．D．2
【答案】C
【解析】不妨设，，，，
则，
所以，即
构造，
由基本不等式可得：
，
，
令，解得
则有，
要使，则，
解得：
故选：C．
【变式15】已知向量满足，，若对任意实数都有，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，所以，
，
根据二次函数性质可得在处取得最小值的平方为2，
所以最小值为.
故选：B.
题型八：向量投影法
【例题15】已知向量是平面向量，，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设向量共起点，由，得，
令，则，，
因此点的轨迹是以线段为直径的圆，令圆心为，则，圆半径为1，
由与的夹角为，得向量的终点在与所成角为的两条射线上，如图，
而是圆上的点与射线上的点间距离，过作垂直于射线于，，
所以的最小值为.
故选：B
【例题16】已知，是半径为2的圆上的两点，动点满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．－1D．－2
【答案】B
【解析】作出示意图如图所示，当向量确定时，要使最小，
由图形可知，此时只需且与共线反向即可，
连接，则与共线反向时，最小，
设，则
，
当时，的最小值为.
故选：B.
【变式16】已知在直角梯形中，，，，，设是的中点，是梯形内或边界上的一个动点，则的最大值是（ ）．
A．4B．6C．8D．10
【答案】B
【解析】在直角中，，所以，
只要看在上投影的最大值，可知当点在点处时投影最大，
过作交延长线于，
可得，所以，所以，所以
即投影的长度最大为，所以，
故选：B．
1．已知向量，，其中，则的最大值是（ ）
A．4B．3
C．2D．1
【答案】B
【解析】，，
，
，当且仅当时取等号，
的最大值是3．
故选：B．
2．在中，，D为所在平面内的动点，且，则最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，则，故，
故，所以，所以当垂直于时，取得最小值.
在中，由余弦定理得，
在中，，
由直线外一点垂线段最短可知当垂直于时，取得最小值，
此时，即的最小值为.
故选：A.
3．设圆的半径为为圆上的动点，且圆心到弦的距离为，则的最大值为（ ）
A．3B．5C．6D．9
【答案】C
【解析】如图，直径，过作.垂足为，易知是等边三角形.
因为，
所以可看作在上的投影与的乘积.
所以由图可知当与重合时，在上的投影最大，所以最大为.
设为的中点，则，所以，
故的最大值为.
故选：C.
4．已知非零向量满足，且不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】根据题意，作出相关图形，
设，，为中点，
以为直径作圆，设 ，
有
由于，
即，即所以在圆上运动，
所以,
因为恒成立，变形可得：
恒成立，结合前面关系，
有，所以，
故选：D.
5．已知向量，，，，对于任意的向量，都有，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设向量，记，则，，
由得，所以；
而
，
当且仅当即时等号成立，
而对于给定的，总有解，
故的最大值为，故，
故，所以，即的最大值是.
故选：B．
6．平行四边形中，，，以C为圆心作与直线BD相切的圆，P为圆C上且落在四边形内部任意一点，，若，则角的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，当在直线上时，，
当圆与的切点在延长线上时，圆落在四边形内部部分与直线没有公共点，此时，
当恰好切于点时，则，又，，
所以，则，
所以，则，故.
故选：B
7．如图，菱形的边上有一点，边上有一点（，不与顶点重合）且，若是边长为的等边三角形，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示：过作于，于，则，
是等边三角形，，则，故，
则，，设，，，
根据余弦定理：，
，设，则，，，
故，即，
，函数在上单调递减，
故，即，即，解得.
故选：C
8．（多选题）已知点A、B、P在上，则下列命题中正确的是（ ）
A．，则的值是
B．，则的值是
C．，则的范围是
D．，且，则的范围是
【答案】BCD
【解析】由
当时， ，则A错，B正确；
由
因为，所以的范围是，故C正确；
设方程为，
由得
则，得
所以，故D正确．
故选：BCD
9．已知在中，，若的最小值是2，则对于内一点的最小值是 ．
【答案】
【解析】，其中，由条件知该式的最小值是2．
设，则点在直线上，
又，故当长度最小时，为的中点，，如图，得．
取的中点，连结，取的中点，连结，
则，
当点与点重合时，上式有最小值，此时．
故答案为：.
10．（2025·海南·模拟预测）已知平面向量，满足，且，则向量在向量方向上的投影的最小值为 ．
【答案】/
【解析】因为，所以，所以，
又，所以，
因为向量在向量方向上的投影为
，
当且仅当时等号成立，
故向量在向量方向上的投影的最小值为.
故答案为：．
11．已知平面向量、、、，且，若，，则的最小值为 .
【答案】
【解析】因为，可得，故，
不妨设，，
设，，则，解得，
，所以，
可得，
不妨设，可得，即，
所以，
所以
，
因为，故，
所以，
当且仅当时，取最小值.
故答案为：.
12．若等边的边长为3，N为AB的中点，且AB上一点M满足：（，），则当取得最小值时， ．
【答案】
【解析】由AB上一点M满足：，得，而，
则，当且仅当，即时取等号，
因此当取得最小值时，，，而，
由等边的边长为3，得，
所以
.
故答案为：
13．已知中，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是 .
【答案】
【解析】取，连接，如图所示，
则，
设，则B，D，E三点共线，
由，可知当时，有最小值，
故，即为等腰直角三角形，
以A为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，
则，，设，，
则，，
故，
故当时，可得的最小值是
故答案为：
14．（2025·河北衡水·三模）已知向量，，若且，则的最小值为 .
【答案】
【解析】由题意得，，，
因，则
，则，
因，则，等号成立时，
故的最小值为.
故答案为：
15．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知是所在平面内一点，且，则的最大值为 .
【答案】/
【解析】因为，
所以，所以，
即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图所示：
由图可知，当与圆相切时，取得最大值，
因为，，所以，即的最大值为．
故答案为：
16．2024年12月4日，我国“春节”正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．贴窗花是春节的常见习俗，如图①是一种窗花，可将其视为如图②的正八边形，已知是其边上任意一点，，则的最大值为 ．

【答案】
【解析】如图，取的中点，
则
，
当点与点或点重合时，取得最大值，
易得正八边形的内角为135°，
可解得，
所以，
故的最大值为．
故答案为：
17．设向量，，满足，，，则的最大值为 ．
【答案】；
【解析】如图，设，由题可得，，
取AB中点为D，过D做AB垂线，在垂线上取点E，F，使，
从而可使，再以E，F为圆心，为半径作圆，
则当一点G分别在两圆优弧上时，.
注意到，则，即终点C在两圆优弧上.
由图可得，当C在圆E优弧上，且C，E，O三点共线时最大.
则.
故答案为：
18．（2025·高三·江西南昌·期中）圆的直径，弦，点在弦上，则的最小值是 ．
【答案】/
【解析】由题意可得，，
要使取得最小值，则要最小，
根据圆的性质，只需，此时为中点，
又，则，
所以，
则的最小值为.
故答案为：.
19．已知梯形ABCD中，,，，，，点P，Q在线段BC上移动，且，则的最小值为 .
【答案】
【解析】以B为坐标原点,BC所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示：
则.不妨设,则.
所以
所以.
所以当时，的最小值为.
故答案为：.
20．、、三点在半径为的圆上运动，且，是圆外一点，，则的最大值是 ．
【答案】
【解析】连接，如下图所示：
因为，则为圆的一条直径，故为的中点，
所以，，
所以，，
，当且仅当共线且同向时，等号成立．
故答案为：
21．已知和是互相垂直的两个单位向量，且，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】几何法：如图，设，连接，，
则，
依题意，是等腰直角三角形，且，由，
得向量的终点在以为直径的圆上运动，而点在此圆上，所以的最大值为.
代数法：由和是互相垂直的两个单位向量，得，，
由，得，即，
则或（当且仅当与同向时取等号），
所以的最大值为.
故答案为：
22．若，，，则的最大值是 .
【答案】2
【解析】法一：当时，，
当时，因为，所以，
所以，而，，
则，
令，则，
令，由二次函数性质得，当时，最小，
得到，
解得，则，故所求最大值为2.
法二：如图，设， ，，
因为，所以，
则，，
由正弦定理得，
得到，
由正弦函数性质得，当且仅当时取等，故所求最大值为2.
故答案为：2
23．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知为弧（含端点）上的一点，则的范围为 ．
【答案】
【解析】取中点为，
则
，
其中易得，故．
故答案为：.
24．已知，且关于x的函数在R上有两个极值，则向量与的夹角的范围是 ．
【答案】
【解析】设与的夹角为θ．
∵，
∴，
∵函数在R上有两个极值，
∴方程有两个不同的实数根，
即，∴，
又，
∴，即，又，
∴．
故答案为：.
25．（2025·甘肃·一模）已知单位向量满足，则的范围是 .
【答案】
【解析】设的夹角为，
因为，
又为单位向量，得到，
又，得到，所以，
故答案为：.
26．（2025·重庆·三模）已知点，，若圆上存在点P满足，则实数a的取值的范围是 ．
【答案】
【解析】设点，则，而，
则，整理得，即点的轨迹是原点为圆心，2为半径的圆，
因为点在圆，即圆与圆有公共点，
而圆的圆心为，半径为1，
因此，即，解得或，
所以实数a的取值的范围是.
故答案为：
27．（2025·高三·上海宝山·期末）已知半径为3和5的两个圆和内切于点，点分别在两个圆和上，则的范围是
【答案】
【解析】不妨设切点，，，
因为点分别在两个圆和，
所以设，
所以
，
其中.
令，则，
所以，
且，
所以.
故答案为：
28．已知，，则的范围是 .
【答案】
【解析】设，，
，…①；
，…②；
①②得：，，
（当且仅当时取等号），
则，；
，
的取值范围为.
故答案为：.
29．（2025·河南新乡·二模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以在高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮的最高点距离地面的高度为12，转盘的直径为10，A，B为摩天轮在地面上的两个底座，，点P为摩天轮的座舱，则的范围为 ．
【答案】
【解析】设C为AB的中点，如图示：由题意可知： ,
则，
又因为，所以的取值范围是,
故答案为：
30．若向量满足，且对任意的单位向量，求的最大值和最小值．
【解析】先求最大值．
解法1：由题意知，
则，从而，所以．
平方得，所以．
解法2：如图，易知，
在中，有，得．
再求最小值．
易得，
则，从而，所以．
平方得，所以．
综上知的最大值为，最小值为．