2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用1.5　一元二次方程、不等式(4大考点+10大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用1.5　一元二次方程、不等式(4大考点+10大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共14页。
\l "_Tc199581257" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc199581257 \h 3
\l "_Tc199581258" 一、一元二次不等式 PAGEREF _Tc199581258 \h 3
\l "_Tc199581259" 二、高次不等式 PAGEREF _Tc199581259 \h 3
\l "_Tc199581260" 三、分式不等式 PAGEREF _Tc199581260 \h 3
\l "_Tc199581261" 四、无理不等式 PAGEREF _Tc199581261 \h 4
\l "_Tc199581262" 常用二级结论 PAGEREF _Tc199581262 \h 4
\l "_Tc199581263" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc199581263 \h 5
\l "_Tc199581264" 题型一：不含参的不等式 PAGEREF _Tc199581264 \h 5
\l "_Tc199581265" 题型二：含参的不等式 PAGEREF _Tc199581265 \h 5
\l "_Tc199581266" 题型三：三个二次之间的关系 PAGEREF _Tc199581266 \h 6
\l "_Tc199581267" 题型四：一元二次不等式恒(能)成立问题 PAGEREF _Tc199581267 \h 7
\l "_Tc199581268" 题型五：一元高次不等式的解法 PAGEREF _Tc199581268 \h 8
\l "_Tc199581269" 题型六：绝对值不等式 PAGEREF _Tc199581269 \h 8
\l "_Tc199581270" 题型七：一元二次函数根的分布问题 PAGEREF _Tc199581270 \h 9
\l "_Tc199581271" 题型八：探讨含参数绝对值不等式的求解方法 PAGEREF _Tc199581271 \h 9
\l "_Tc199581272" 题型九：根据不等式组的整数解个数或范围 PAGEREF _Tc199581272 \h 10
\l "_Tc199581273" 题型十：通过解不等式组确定参数的取值范围 PAGEREF _Tc199581273 \h 10
\l "_Tc199581274" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc199581274 \h 12
\l "_Tc199581275" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc199581275 \h 12
\l "_Tc199581276" ①数形结合 PAGEREF _Tc199581276 \h 12
\l "_Tc199581277" ②转化与化归 PAGEREF _Tc199581277 \h 12
\l "_Tc199581278" ③分类讨论 PAGEREF _Tc199581278 \h 13
\l "_Tc199581279" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc199581279 \h 14
\l "_Tc199581280" 基础过关篇 PAGEREF _Tc199581280 \h 14
\l "_Tc199581281" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc199581281 \h 16
1、会从实际情景中抽象出一元二次不等式.
2、结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.
3、了解简单的分式、绝对值不等式的解法.
一、一元二次不等式
一元二次不等式或的解法：
对于一元二次方程，设，（当时，方程两根为）
二、高次不等式
一元高次不等式通常先进行因式分解，化为(或)的形式，然后用穿针引线法求解.首先保证每个因式中的系数为正，然后从右侧画起，右侧第一个区间为正，从右向左依次正负出现，特别要注意“奇穿偶切”，“奇”(“偶”)指的是某个因式的次数.
三、分式不等式
解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解.
由于与均意味a，b同号，故与等价的；
与均意味a，b异号，故与等价的；
① ，且.
② ，且.
四、无理不等式
⑴或
⑵
⑶
常用二级结论
1、一元二次不等式恒成立常用结论：
⑴的解集为R，则一定满足
⑵的解集为，则一定满足
⑶的解集为R，则一定满足
⑷的解集为，则一定满足
⑸在上恒成立，则
⑹在上恒成立，则
题型一：不含参的不等式
【例1】（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
解一元二次不等式时，我们首先要找出与之对应的方程的根。将这些根标记在数轴上，有助于我们直观地理解不等式的解集分布。随后，结合二次函数的图象特征，我们可以清晰地确定不等式的解集范围，从而得出最终答案。
【变式1-1】不等式的解集为（ ）
A．B．
C．或D．或
【变式1-2】不等式的解集是（ ）
A．或B．或C．D．
【变式1-3】不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．或
题型二：含参的不等式
【例2】设函数．
(1)命题，使得成立．若p为假命题，求实数a的取值范围；
(2)求不等式的解集．
【解题总结】
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.
【变式2-1】若，则不等式的解集为（ ）
A．B．或
C．或D．
【变式2-2】设.
(1)若，求不等式的解集；
(2)解关于的不等式.
【变式2-3】已知．
(1)若的解集为，求实数a，t的值；
(2)当时，求关于x的不等式的解集．
题型三：三个二次之间的关系
【例3】（多选题）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是 （ ）
A．
B．的解集为
C．
D．的解集为
【解题总结】
已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负.
【变式3-1】（多选题）已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为或
D．不等式的解集为
【变式3-2】（多选题）已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．的最小值为6
【变式3-3】（多选题）关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为或
题型四：一元二次不等式恒(能)成立问题
【例4】（2025·江西上饶·二模）若不等式恒成立，则的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论.
【变式4-1】已知实数，，满足恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-3】（2025·高三·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．3C．D．6
【变式4-4】若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值为（ ）
A．9B．6C．D．5
题型五：一元高次不等式的解法
【例5】不等式的解集为 ．
【解题总结】
穿根法
【变式5-1】不等式的解集为
【变式5-2】不等式的解集是 ．
【变式5-3】（2025·上海浦东新·模拟预测）不等式的解集是 ．
题型六：绝对值不等式
【例6】不等式的解集是 .
【解题总结】
一般的，与或同解；与同解．
一般的，，需要注意的是，如果不等式中有多个绝对值，那么就需要对每个绝对值号进行讨论．
【变式6-1】（2025·上海·模拟预测）设，则不等式的解集为 .
【变式6-2】（2025·高三·全国·开学考试）不等式的解集为 ；
【变式6-3】不等式的解集是 ．
题型七：一元二次函数根的分布问题
【例7】（2025·河北石家庄·一模）已知方程有且仅有两个不相等的正实数根，则实数的取值范围是 .
【解题总结】
解决一元二次方程的根的分布时，常需考虑：判别式，对称轴与所给区间的位置关系，区间端点处函数值的符号，所对应的二次函数图象的开口方向．
【变式7-1】已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是 .
【变式7-2】（2025·高三·上海浦东新·期中）若关于的一元二次方程有两个同号实根， 则实数的取值范围是 .
【变式7-3】若关于x的方程在上有两个不等实根，则实数a的取值范围是
题型八：探讨含参数绝对值不等式的求解方法
【例8】若关于的不等式的解集为，则实数 ．
【解题总结】
对于含参型绝对值不等式，零点分段法与图象法是行之有效的求解途径。零点分段法通过剖析绝对值符号内表达式取零的点，将数轴划分为不同区间，进而在各区间内去除绝对值符号求解不等式；图象法则借助函数图象直观呈现绝对值函数与相关参数函数的交互关系，助力确定不等式的解集。
【变式8-1】若对任意，都有，则实数的最大值为
【变式8-2】存在使不等式成立，则实数的取值范围是 .
【变式8-3】若不等式的解集为，则实数a的取值集合为
题型九：根据不等式组的整数解个数或范围
【例9】已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为 ．
【解题总结】
在处理不等式组整数解以确定参数取值范围的问题时，分类讨论与数形结合是两种关键策略。通过分类讨论不同情况，并借助数轴等工具直观展示不等式关系，我们能更准确地找出符合条件的整数解，进而确定参数的合适值。
【变式9-1】已知不等式组只有一个整数解，则实数k的取值范围
【变式9-2】已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式9-3】已知关于的不等式组恰有两个整数解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
题型十：通过解不等式组确定参数的取值范围
【例10】已知不等式组的解集是关于的不等式解集的一个子集，则实数的取值范围为 .
【解题总结】
在求解含不等式（组）参数的问题时，关键在于巧妙运用不等式的相关性质，结合已知不等式（组）的解集信息，通过分析、推理，在参数与解集之间构建起明确的对应关系，进而求解出参数的值或取值范围。
【变式10-1】若不等式组的解集为空集，则实数的取值范围为 ．
【变式10-2】（2025·高三·河南周口·期末）若关于的不等式组恰有50个不等的实数解，则的取值范围为 .（结果用区间表示）
【变式10-3】若不等式组的解集是，则a的取值范围是
1．若时，恒成立，则a的取值范围为 ．
2．设函数，若对于，恒成立，则m的取值范围是 ．
①数形结合
1．关于x的方程有实数根，且，则下列结论错误的是
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
2．关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是
A．B．
C．D．
3．若至少存在一个，使得关于x的不等式成立，则实数m的取值范围是
A．B．C．D．
②转化与化归
4．已知a，且a，，若在上恒成立，则（ ）
A．B．C．D．
5．不等式的解集为，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知命题P：若命题P是假命题，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
③分类讨论
7．已知关于x的不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知使不等式成立的任意一个x，都满足不等式，则实数a的取值范围为
A．B．C．D．
9．关于x的不等式的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是
A．B．C．D．
基础过关篇
1．（2025·陕西安康·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·江西九江·三模）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2025·山西忻州·模拟预测）已知函数，且不等式的解集为，，则的极大值为（ ）．
A．0B．36C．72D．108
6．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，，若，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数正数满足，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．9
8．已知,是关于的一元二次方程的两个实数根，且,，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．（多选题）已知，满足，且，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．的最大值为2D．的最小值为
10．（多选题）（2025·辽宁·三模）若关于的不等式在上恒成立，则该不等式称为单位区间不等式.下列不等式是单位区间不等式的有（ ）
A．B．
C．D．
11．（多选题）在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
12．（多选题）已知关于的不等式的解集为，其中，则的取值可以是（ ）
A．2B．C．3D．4
13．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数是偶函数，且当时，，则不等式的解集为 ．（用区间表示）
14．已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是 .
15．已知不等式对满足的一切实数m恒成立，则x的取值范围为 ．
16．若不等式对任意恒成立，则实数m的值为
能力拓展篇
17．（2025·河南南阳·模拟预测）已知，若当时，不等式恒成立，则的取值范围是 .
18．设函数，若对于给定的负数a有一个最大的正数，使得在整个区间上，不等式恒成立，则当 时，最大，的最大值为 ．
19．设奇函数在上是单调函数，且．若函数对所有的都成立，则当时，的取值范围是 ．
20．（2025·湖南·模拟预测）若关于x的不等式的解集恰有50个整数元素，则a的取值范围是 ，这50个整数元素之和为 ．
21．（2025·贵州黔东南·模拟预测）若存在实数（），使得关于x的不等式对恒成立，则b的最大值是 .
的图象
的根
有两相异实根
有两相等实根
无实根
的解集
R
的解集
1.5 一元二次方程、不等式
目录 TOC \ "1-2" \h \z \u
\l "_Tc199581256" 01 课标要求 PAGEREF _Tc199581256 \h 2
\l "_Tc199581257" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc199581257 \h 3
\l "_Tc199581258" 一、一元二次不等式 PAGEREF _Tc199581258 \h 3
\l "_Tc199581259" 二、高次不等式 PAGEREF _Tc199581259 \h 3
\l "_Tc199581260" 三、分式不等式 PAGEREF _Tc199581260 \h 3
\l "_Tc199581261" 四、无理不等式 PAGEREF _Tc199581261 \h 4
\l "_Tc199581262" 常用二级结论 PAGEREF _Tc199581262 \h 4
\l "_Tc199581263" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc199581263 \h 6
\l "_Tc199581264" 题型一：不含参的不等式 PAGEREF _Tc199581264 \h 6
\l "_Tc199581265" 题型二：含参的不等式 PAGEREF _Tc199581265 \h 7
\l "_Tc199581266" 题型三：三个二次之间的关系 PAGEREF _Tc199581266 \h 10
\l "_Tc199581267" 题型四：一元二次不等式恒(能)成立问题 PAGEREF _Tc199581267 \h 12
\l "_Tc199581268" 题型五：一元高次不等式的解法 PAGEREF _Tc199581268 \h 14
\l "_Tc199581269" 题型六：绝对值不等式 PAGEREF _Tc199581269 \h 15
\l "_Tc199581270" 题型七：一元二次函数根的分布问题 PAGEREF _Tc199581270 \h 17
\l "_Tc199581271" 题型八：探讨含参数绝对值不等式的求解方法 PAGEREF _Tc199581271 \h 19
\l "_Tc199581272" 题型九：根据不等式组的整数解个数或范围 PAGEREF _Tc199581272 \h 21
\l "_Tc199581273" 题型十：通过解不等式组确定参数的取值范围 PAGEREF _Tc199581273 \h 23
\l "_Tc199581274" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc199581274 \h 26
\l "_Tc199581275" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc199581275 \h 28
\l "_Tc199581276" ①数形结合 PAGEREF _Tc199581276 \h 28
\l "_Tc199581277" ②转化与化归 PAGEREF _Tc199581277 \h 30
\l "_Tc199581278" ③分类讨论 PAGEREF _Tc199581278 \h 31
\l "_Tc199581279" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc199581279 \h 34
\l "_Tc199581280" 基础过关篇 PAGEREF _Tc199581280 \h 34
\l "_Tc199581281" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc199581281 \h 40
1、会从实际情景中抽象出一元二次不等式.
2、结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.
3、了解简单的分式、绝对值不等式的解法.
一、一元二次不等式
一元二次不等式或的解法：
对于一元二次方程，设，（当时，方程两根为）
二、高次不等式
一元高次不等式通常先进行因式分解，化为(或)的形式，然后用穿针引线法求解.首先保证每个因式中的系数为正，然后从右侧画起，右侧第一个区间为正，从右向左依次正负出现，特别要注意“奇穿偶切”，“奇”(“偶”)指的是某个因式的次数.
三、分式不等式
解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解.
由于与均意味a，b同号，故与等价的；
与均意味a，b异号，故与等价的；
① ，且.
② ，且.
四、无理不等式
⑴或
⑵
⑶
常用二级结论
1、一元二次不等式恒成立常用结论：
⑴的解集为R，则一定满足
⑵的解集为，则一定满足
⑶的解集为R，则一定满足
⑷的解集为，则一定满足
⑸在上恒成立，则
⑹在上恒成立，则
题型一：不含参的不等式
【例1】（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为为减函数，由，可得，
即，即，解得.
因此，不等式的解集为.
故选：D.
【解题总结】
解一元二次不等式时，我们首先要找出与之对应的方程的根。将这些根标记在数轴上，有助于我们直观地理解不等式的解集分布。随后，结合二次函数的图象特征，我们可以清晰地确定不等式的解集范围，从而得出最终答案。
【变式1-1】不等式的解集为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】B
【解析】不等式可化为，即，解得．
故选：B
【变式1-2】不等式的解集是（ ）
A．或B．或C．D．
【答案】D
【解析】由可得，解得，
故选：D
【变式1-3】不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】B
【解析】或，
的图象是开口向上的抛物线，
所以不等式的解集是.
故选：B
题型二：含参的不等式
【例2】设函数．
(1)命题，使得成立．若p为假命题，求实数a的取值范围；
(2)求不等式的解集．
【解析】（1）为假命题，
，为真命题，即不等式在R上恒成立，
当时，恒成立，则满足题意；
当时，需满足，解得，
综上，实数a的取值范围．
（2）不等式等价于．
当时，不等式可化为，解得；
当时，，由不等式解得；
当时，则，原不等式即为，解得；
当时，则，解得或；
当时，则，解得或；
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或．
【解题总结】
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.
【变式2-1】若，则不等式的解集为（ ）
A．B．或
C．或D．
【答案】D
【解析】当时，，
所以不等式的解集为.
故选：D.
【变式2-2】设.
(1)若，求不等式的解集；
(2)解关于的不等式.
【解析】（1）若，则由，
解得，所以不等式的解集为.
（2）不等式，
即，
当时，，解得；
当时，则，解原不等式可得；
当时，，解原不等式可得或；
当时，原不等式即为，即恒成立；
当时，，解原不等式可得或.
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【变式2-3】已知．
(1)若的解集为，求实数a，t的值；
(2)当时，求关于x的不等式的解集．
【解析】（1）的解集为，
所以，解得.
（2）当，，即，即，
当时，得，解得，
当时，方程只有一根，所以不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
综上所述：当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当，不等式的解集为，
当，不等式的解集为.
题型三：三个二次之间的关系
【例3】（多选题）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是 （ ）
A．
B．的解集为
C．
D．的解集为
【答案】AD
【解析】由题意得是方程的两根，且，A正确；
故，即，，
所以，B错误；
，C错误；
，
解得，D正确.
故选：AD
【解题总结】
已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负.
【变式3-1】（多选题）已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为或
D．不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】的解集为，故，且，即；
对A：，故A正确；
对B：，故B正确；
对CD：不等式，即，又，故，
也即，解得，即不等式解集为，故C错误，D正确.
故选：ABD.
【变式3-2】（多选题）已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．的最小值为6
【答案】ACD
【解析】对于A，根据题意，方程的两根，且，故A正确；
对于B，由，，，即，，则，故B错误；
对于C，因为，，
所以不等式为，又，
所以不等式变为，解得，即不等式的解集为，故C正确；
对于D，，，，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为6，故D正确.
故选：ACD.
【变式3-3】（多选题）关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为或
【答案】ACD
【解析】由一元二次不等式得解集结构可得：
且和是的两个根，
故，，得，，
A选项：由可判断A正确；
B选项：，故B错误；
C选项：由得得，故C正确；
D选项：由得，得，得或，故D正确；
故选：ACD
题型四：一元二次不等式恒(能)成立问题
【例4】（2025·江西上饶·二模）若不等式恒成立，则的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则，.
原不等式可化为：.
因为，所以，.
当时，，所以在恒成立，所以；
当时，，所以成立；
当时，，所以在上恒成立，所以.
综上可得：.
故选：A
【解题总结】
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论.
【变式4-1】已知实数，，满足恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，，则，故，
所以，而，
故，则，即的最小值为2.当且仅当时取到.
故选：A
【变式4-2】若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为是一元二次不等式，所以．
因为对一切实数都成立，
所以，解得．
故选：D.
【变式4-3】（2025·高三·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．3C．D．6
【答案】C
【解析】，恒成立，
即在上恒成立，
所以在上恒成立，
又，当且仅当，即时取等号，
所以，则实数的最大值为.
故选：C
【变式4-4】若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值为（ ）
A．9B．6C．D．5
【答案】D
【解析】关于x的不等式在区间上有解，
等价于在区间上有解，即在区间上有解，
又，当且仅当时，取最小值6.
故，可得.
故选：D
题型五：一元高次不等式的解法
【例5】不等式的解集为 ．
【答案】或
【解析】原不等式可化为．
将方程的各个根，，1标在数轴上，
用穿根法依次通过每一个根（如图所示）．
当时，必有成立，不合题意，
当时，，符合题意，
当时，，不合题意，
当时，，符合题意.
故原不等式的解集为或．
故答案为：或.
【解题总结】
穿根法
【变式5-1】不等式的解集为
【答案】或或
【解析】由题设得，
所以或或，故解集为或或.
故答案为：或或
【变式5-2】不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】根据题意可知，解得；
当时，易知，满足题意；
当时，，所以，符合题意；
当时，当时，，原不等式成立；
当时，，若要满足题意只需，解得，所以可得；
综上可知，原不等式的解集为.
故答案为：
【变式5-3】（2025·上海浦东新·模拟预测）不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】，即，即，
则，根据穿根法解得，
故答案为：.
题型六：绝对值不等式
【例6】不等式的解集是 .
【答案】
【解析】根据题意可知不等式等价于或，
解得或.
故答案为：
【解题总结】
一般的，与或同解；与同解．
一般的，，需要注意的是，如果不等式中有多个绝对值，那么就需要对每个绝对值号进行讨论．
【变式6-1】（2025·上海·模拟预测）设，则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】由.
所以不等式的解集为：.
故答案为：
【变式6-2】（2025·高三·全国·开学考试）不等式的解集为 ；
【答案】
【解析】左右两侧同时平方得，
所以，故，
化简得，解得.
故答案为：
【变式6-3】不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】当时，；
时，；
时，；
当时，，无解；
时，，解为；
时，，解为.
取并集，所以最终解集为.
故答案为：.
题型七：一元二次函数根的分布问题
【例7】（2025·河北石家庄·一模）已知方程有且仅有两个不相等的正实数根，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】（1）当时，方程化为：，此时无解，舍去；
（2）当时，考虑方程正实数根情况，只需研究当时方程解的情况，
即此时方程化为，
若此时方程有两个不相等的正实数根，则需
（3）当时，因为，
所以方程化为，
若此时方程有两个不相等的正实数根，则需
（4）当时，函数与轴有两个零点
函数与轴有两个零点
因为，所以即
作出函数与函数图象，

由图可知两图象有两个不同交点，且交点横坐标大于零，从而方程有两个不相等的正实数根，
综上，满足条件的取值范围为或，即
故答案为：
【解题总结】
解决一元二次方程的根的分布时，常需考虑：判别式，对称轴与所给区间的位置关系，区间端点处函数值的符号，所对应的二次函数图象的开口方向．
【变式7-1】已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是 .
【答案】
【解析】因为方程的两根一个比大另一个比小，
则，解得，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【变式7-2】（2025·高三·上海浦东新·期中）若关于的一元二次方程有两个同号实根， 则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题设，即实数的取值范围是.
故答案为：
【变式7-3】若关于x的方程在上有两个不等实根，则实数a的取值范围是
【答案】
【解析】由方程等价于，
设，可得，
即方程等价于在上有两个不等的实根，
设，
则满足，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
题型八：探讨含参数绝对值不等式的求解方法
【例8】若关于的不等式的解集为，则实数 ．
【答案】2
【解析】根据绝对值不等式的性质可得，
又，所以，则，
当时，不等式可化为，解得，即，
当时，不等式可化为，即恒成立，
当时，不等式可化为，即，
解得与矛盾，
综上不等式的解集为，
又不等式的解集为，所以，
故答案为：2.
【解题总结】
对于含参型绝对值不等式，零点分段法与图象法是行之有效的求解途径。零点分段法通过剖析绝对值符号内表达式取零的点，将数轴划分为不同区间，进而在各区间内去除绝对值符号求解不等式；图象法则借助函数图象直观呈现绝对值函数与相关参数函数的交互关系，助力确定不等式的解集。
【变式8-1】若对任意，都有，则实数的最大值为
【答案】
【解析】根据绝对值不等式.
对于，这里，，则.
当且仅当时等号成立，所以的最小值是.
因为对任意，都有恒成立.
这就意味着要不大于的最小值.
而最小值是，所以，那么实数的最大值就是.
故答案为：3.
【变式8-2】存在使不等式成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】存在,不等式成立，变形即成立，
由于，当且仅当时取等号，
因此有，
两边平方，解得或，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
【变式8-3】若不等式的解集为，则实数a的取值集合为
【答案】
【解析】不等式的解集为，则，所以，
当时，不等式的解为，所以，解得 ， 不符合条件，舍去；
当时，不等式的解为，所以 ，解得， 符合题意，
当时，显然不符合题意.
所以实数a的取值集合为.
故答案为：
题型九：根据不等式组的整数解个数或范围
【例9】已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由可得，解得或，
由可得（*）.
① 若，即时，由（*）可得，显然解集为，不合题意；
② 若，即时，由（*）可得，
因原不等式组仅有一个整数解，故，解得；
③ 若， 即时，由（*）可得，
因原不等式组仅有一个整数解，则，解得.
综上可得，实数的取值范围为.
故答案为：.
【解题总结】
在处理不等式组整数解以确定参数取值范围的问题时，分类讨论与数形结合是两种关键策略。通过分类讨论不同情况，并借助数轴等工具直观展示不等式关系，我们能更准确地找出符合条件的整数解，进而确定参数的合适值。
【变式9-1】已知不等式组只有一个整数解，则实数k的取值范围
【答案】
【解析】不等式解得，
不等式，即，
当时，不等式无解，不合题意；
当时，解得，则原不等式组无解，不合题意；
当时，解得，
不等式组只有一个整数解，则有，解得，
所以实数k的取值范围为.
故答案为：.
【变式9-2】已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由，即，解得或，
由，即，
当时，不等式为，无解；
当时，不等式解集为，
结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解，
所以，即，
当时，不等式解集为，
结合题意，要使不等式组仅有一个整数解，
则，即，
综上所述，k的取值范围为，
故选：D
【变式9-3】已知关于的不等式组恰有两个整数解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由，解得或，
由，解得或，
当时，的解为，
因为不等式有且仅有两个整数解，
所以，解得，
当时，的解为，
因为不等式有且仅有两个整数解，
所以，解得，
综上所述，实数的取值范围是
故选：C
题型十：通过解不等式组确定参数的取值范围
【例10】已知不等式组的解集是关于的不等式解集的一个子集，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】由即,解得,.
不等式相应的函数图象开口向上,
令,
故欲使不等式组的解集是关于的不等式解集的一个子集,
只需,即有即,
解得,.
故答案为：.
【解题总结】
在求解含不等式（组）参数的问题时，关键在于巧妙运用不等式的相关性质，结合已知不等式（组）的解集信息，通过分析、推理，在参数与解集之间构建起明确的对应关系，进而求解出参数的值或取值范围。
【变式10-1】若不等式组的解集为空集，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由，得，
因为不等式组的解集为空集，
所以，
即实数的取值范围为.
故答案为：
【变式10-2】（2025·高三·河南周口·期末）若关于的不等式组恰有50个不等的实数解，则的取值范围为 .（结果用区间表示）
【答案】
【解析】由，解得或，
当，即时，，
此时原不等式组不可能有个不等的实数解，
当，即时，，
此时原不等式组无解，
当，即时，
原不等式组的解集为，
因为原不等式组恰有50个不等的实数解，且区间内有个整数，
所以在区间内有个整数，
则区间的长度应满足，解得，
所以，
则在区间内只有两个整数，
所以区间内有个整数，
所以，解得，
综上，.
故答案为：.
【变式10-3】若不等式组的解集是，则a的取值范围是
【答案】
【解析】因为不等式组的解集是，
所以，不等式和对任意实数x恒成立。
由不等式 对任意实数x恒成立可得，即 ，解得；
由不等式对任意实数x 恒成立，即不等式 对任意实数x恒成立 ，所以或 ，解得或 ，所以故答案为：.
1．若时，恒成立，则a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】解法1：时，恒成立，
即恒成立，即恒成立，
令，则，，
当且仅当，即时，等号成立，
故，
即a的取值范围为
解法2：令，
则由题意知，当时，恒成立，即时，，
①当，即时，在单调递增，
此时成立，
所以恒成立；
②当，即时，在上单调递减，
在上单调递增，所以，
此时只需即可，即，
解得，，
综上所述，a的取值范围为
故答案为：
2．设函数，若对于，恒成立，则m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】方法一：要使在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，
当时，在上是增函数，
所以，
所以，
则；
当时，在上是减函数，
所以，
解得，
所以，
综上所述，m的取值范围是或
方法二：因为，
又不等式恒成立可化为：在恒成立，
所以，
因为函数在上的最小值为，
所以只需即可，
因为，
所以m的取值范围是或
故答案为： 或
①数形结合
1．关于x的方程有实数根，且，则下列结论错误的是
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】B
【解析】对于A，当时，方程的二实根为，故A正确；
对于B，方程，
即，
，解得，
当时，，故B错误；
对于C，令，
依题意，是函数的图象与直线交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图，
观察图象知，
当时，，故C正确；
对于D，当时，
，故D正确．
故选：
2．关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】函数的图象如图所示，
函数的对称轴为，
若关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，
则，即，
解得
故选：
3．若至少存在一个，使得关于x的不等式成立，则实数m的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】不等式可化为：
；
作函数与的图象如下，
当与相切时，
，，
由得，
当过点时，，
结合图象可知，当或时，恰好存在一个，满足题意．
于是根据图像平移可以得到当时，满足题意．
故实数m的取值范围为；
故选：
②转化与化归
4．已知a，且a，，若在上恒成立，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意知，时，不等式恒成立，即，
，可得，则至少有一个是小于0的，
若，，
则，，，
在时恒成立，符合题意；
若，，
若在上恒成立，则大于0的两根必须重合，
则，得，矛盾，不符合题意．
若，，
若在时恒成立，则大于0的两根必须重合，
则，则，符合题意．
综合，成立．
故选：
5．不等式的解集为，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】关于x的不等式的解集为，
不等式恒成立，
①当，即时，不等式化为，解得，不是对任意R恒成立；
②当时，即时，
对，要使恒成立，
则，且，
化简得：，
解得或，
又，
，
综上，实数m的取值范围是
故选
6．已知命题P：若命题P是假命题，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由于命题P是假命题，则是真命题，
即，是真命题，
，
解得，
故选：
③分类讨论
7．已知关于x的不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对于函数，
令，解得，满足恒成立，
因此，只需，即，所以
令，即或
设方程的两根分别为，，
则，
当时，方程有两个正根，存在，使得，不符合题意，舍去；
当时，方程有两个负根，
因此，只需，即，所以
综上所述，a的取值范围为
8．已知使不等式成立的任意一个x，都满足不等式，则实数a的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解不等式，得，解集为
由不等式，得，
因为使不等式成立的任意一个x，都满足不等式，
若，则不等式的解集为，满足符合题意．
若，则不等式的解集为，
则所以，解得
若，则不等式的解集为，
则所以
综上知，实数a的取值范围是
故选：
9．关于x的不等式的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】关于x的不等式，
不等式可化为，
当时，得，此时解集中的整数为2，3，4，
则，
当时，得，此时解集中的整数为，，0，
则，
当时，不等式的解集为，不符合题意．
故a的取值范围是
故选：
基础过关篇
1．（2025·陕西安康·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，
，所以，所以.
故选：C.
2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为关于的不等式的解集是，
所以且，
解得，所以的取值范围是.
故选：.
3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】集合，
，
则.
故选：B.
4．（2025·江西九江·三模）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知，，则.
故选：B
5．（2025·山西忻州·模拟预测）已知函数，且不等式的解集为，，则的极大值为（ ）．
A．0B．36C．72D．108
【答案】D
【解析】因为不等式的解集为，
则，
故，
又，故，，
故，则，
令，解得或，
由可得或，由可得，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故是函数的极大值点，
的极大值为．
故选D．
6．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，，若，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，，，
所以，或，解得，或.
故选：D.
7．已知函数正数满足，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．9
【答案】C
【解析】当时，恒成立，当时，恒成立，则在上单调递增，在上单调递增．
又因为，当时，，对时，0也成立，所以在上单调递增．
已知正数满足，则，解得或（负值舍去），所以，，
所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8．
故选：C.
8．已知,是关于的一元二次方程的两个实数根，且,，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得，为函数的两个零点．
因为，，结合二次函数图象，利用零点存在定理可得：
，即，所以．
所以，解得：．
故选：C．
9．（多选题）已知，满足，且，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．的最大值为2D．的最小值为
【答案】ACD
【解析】，
所以，
解得，故A正确；
所以，即，故B错误；
由得，，
，
构造以为两根的一元二次方程，
则，故CD正确；
故选：ACD．
10．（多选题）（2025·辽宁·三模）若关于的不等式在上恒成立，则该不等式称为单位区间不等式.下列不等式是单位区间不等式的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】的解集为，A错误；
当时，（当且仅当时，等号成立），因为，
所以在上恒成立，B正确；
的解集为，在上恒成立，C正确；
当时，（当且仅当时，等号成立），因为，
所以在上恒成立，D正确.
故选：BCD.
11．（多选题）在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】不等式对任意实数恒成立，
所以，即在R上恒成立，
，
解得，所以ACD选项符合，B选项不符合，
故选：ACD.
12．（多选题）已知关于的不等式的解集为，其中，则的取值可以是（ ）
A．2B．C．3D．4
【答案】CD
【解析】∵的解集为，
∴，且方程的两根为，，
∴，，∴，∵，，∴，
∴，即，当且仅当时取“=”，
故，而，对勾函数在上单调递增，
∴，∴的取值范围为.
故选：CD.
13．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数是偶函数，且当时，，则不等式的解集为 ．（用区间表示）
【答案】
【解析】当时，，
则不等式可化为或，
解之得或，即，
又函数是偶函数，则当时，
由不等式可得，.
综上，不等式的解集为.
故答案为： .
14．已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为二次不等式的解集为，
则的两根为，则，
所以，整理得，等价于，
解得或，
故答案为：或.
15．已知不等式对满足的一切实数m恒成立，则x的取值范围为 ．
【答案】
【解析】设，
则不等式对满足的一切实数m恒成立
对恒成立．
当时，
即解得
故x的取值范围是．
故答案为：
16．若不等式对任意恒成立，则实数m的值为
【答案】/
【解析】若，则当趋于时，趋于，不满足题意；
当时，是方程的一个根，
不等式对任意恒成立，
且方程的两根不相等，
所以是方程的根，
，
，得，
此时原不等式等价于，显然时恒成立，
实数m的值为，
故答案为：．
能力拓展篇
17．（2025·河南南阳·模拟预测）已知，若当时，不等式恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】令，则为单调函数或常数函数，
若当时，不等式恒成立，
则，
所以，所以，
所以.
故答案为：.
18．设函数，若对于给定的负数a有一个最大的正数，使得在整个区间上，不等式恒成立，则当 时，最大，的最大值为 ．
【答案】
【解析】方法一：
配方可得．
（ⅰ）当，即时，如下图：
由图可得为方程的较小根，
由得．
（ⅱ）当，即时，如下图：
由图可知为方程的较大根，
由得，
当时等号成立．
又，因此时，最大，最大值为．
方法二：
由得，即，即，
先解不等式，可得．
再解不等式．令，
此方程对应的判别式．
（ⅰ）当，即时，，
当时，等号成立．
（ⅱ）当，即时，或，
与取交集可得
或，
结合题意知．
因此当时，最大，最大值为．
故答案为：；.
19．设奇函数在上是单调函数，且．若函数对所有的都成立，则当时，的取值范围是 ．
【答案】
【解析】为奇函数，，，
又在上是单调函数，，
当时，恒成立，即恒成立．
令，其中，
所以，，解得或或．
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
20．（2025·湖南·模拟预测）若关于x的不等式的解集恰有50个整数元素，则a的取值范围是 ，这50个整数元素之和为 ．
【答案】 或1625
【解析】不等式等价于不等式．
当时，的解集为，不合题意；
当时，的解集为，
则50个整数解为，，…，5，6，
所以，这50个整数元素之和为；
当时，的解集为，
则50个整数解为8，9，…，56，57，所以，
这50个整数元素之和为．
综上，a的取值范围是，这50个整数元素之和为或1625．
故答案为：；或1625
21．（2025·贵州黔东南·模拟预测）若存在实数（），使得关于x的不等式对恒成立，则b的最大值是 .
【答案】
【解析】当，且时，由，得.
设，则.
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减.
所以，得，
等价于，而，
当且仅当时等号成立.
所以，则，
所以，
解得，所以b的最大值是.
故答案为：
的图象
的根
有两相异实根
有两相等实根
无实根
的解集
R
的解集