2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用5.1平面向量的概念及线性运算(4大考点+6大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用5.1平面向量的概念及线性运算(4大考点+6大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共17页。
\l "_Tc211241179" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc211241179 \h 3
\l "_Tc211241180" 一、向量的有关概念 PAGEREF _Tc211241180 \h 3
\l "_Tc211241181" 二、向量的线性运算 PAGEREF _Tc211241181 \h 3
\l "_Tc211241182" 三、平面向量基本定理和性质 PAGEREF _Tc211241182 \h 4
\l "_Tc211241183" 四、平面向量的坐标表示及坐标运算 PAGEREF _Tc211241183 \h 4
\l "_Tc211241184" 常用二级结论 PAGEREF _Tc211241184 \h 5
\l "_Tc211241185" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc211241185 \h 6
\l "_Tc211241186" 题型一：平面向量的基本概念 PAGEREF _Tc211241186 \h 6
\l "_Tc211241187" 题型二：平面向量的线性运算 PAGEREF _Tc211241187 \h 7
\l "_Tc211241188" 题型三：三点共线定理及鸡爪定理 PAGEREF _Tc211241188 \h 8
\l "_Tc211241189" 题型四：平面向量基本定理 PAGEREF _Tc211241189 \h 9
\l "_Tc211241190" 题型五：坐标运算 PAGEREF _Tc211241190 \h 10
\l "_Tc211241191" 题型六：坐标表示 PAGEREF _Tc211241191 \h 11
\l "_Tc211241192" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc211241192 \h 12
\l "_Tc211241193" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc211241193 \h 14
\l "_Tc211241194" ①数形结合 PAGEREF _Tc211241194 \h 14
\l "_Tc211241195" ②转化与化归 PAGEREF _Tc211241195 \h 14
\l "_Tc211241196" ③分类讨论 PAGEREF _Tc211241196 \h 14
\l "_Tc211241197" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc211241197 \h 16
\l "_Tc211241198" 基础过关篇 PAGEREF _Tc211241198 \h 16
\l "_Tc211241199" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc211241199 \h 17
（1）理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．
（2）掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．
（3）了解平面向量基本定理及其意义
（4）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算
一、向量的有关概念
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．
（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．
（3）特殊向量：
①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
②单位向量：长度等于1个单位的向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行．
④相等向量：长度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．
二、向量的线性运算
（1）向量的线性运算
三、平面向量基本定理和性质
1、共线向量基本定理
如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
2、平面向量基本定理
如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式．
四、平面向量的坐标表示及坐标运算
（1）平面向量的坐标表示．
在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作．
（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有
向量向量点．
（3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．
（4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．
（5）平面向量的直角坐标运算
①已知点，，则，
②已知，，则，，
，．
，
常用二级结论
（1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．
即．
（2），当且仅当至少有一个为0时，向量不等式的等号成立．
（3）特别地：或当且仅当至少有一个为0时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立．
（4）减法公式：，常用于向量式的化简．
（5）、、三点共线，则，这是直线的向量式方程．
题型一：平面向量的基本概念
【典例1-1】下列命题中，假命题是（ ）
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．是向量的必要不充分条件
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
【典例1-2】下列说法中，正确的是（ ）
A．模为的向量与任意向量共线
B．单位向量只有一个
C．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
D．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
【解题总结】
准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键．共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相等向量．共线向量或相等向量均与向量起点无关．
【变式1-1】下列说法中正确的是（ ）
A．时间能称为向量B．所有单位向量都是相等向量
C．模为0的向量与任一非零向量平行D．若，则
【变式1-2】关于平面向量，下列正确的是（ ）
A．若是单位向量，零向量，则
B．若向量与不共线，则存在一对实数，使
C．海拔、温度、角度都是向量
D．若，则四边形ABCD是菱形
【变式1-3】以下说法中，正确的是（ ）
A．两个具有公共终点的向量一定是共线向量
B．零向量的长度为0，没有方向
C．单位向量都是共线向量
D．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小
题型二：平面向量的线性运算
【典例2-1】四面体中，，，，且，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【典例2-2】在中，点在边上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
（1）两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此类问题又以“爪子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型”公式更有利于快速解题．
（2）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．
（3）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．
【变式2-1】（2025·高三·安徽·开学考试）如图，5×5的方格里，每个方格长度为1，则向量＝（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】在边长为1的正方形中，若，，，则（ ）
A．0B．1C．2D．
题型三：三点共线定理及鸡爪定理
【典例3-1】已知是不共线的向量，，三点共线，则满足（ ）
A．B．C．D．
【典例3-2】已知，是平面内的一组基底，，，，若，，三点共线，则实数的值为（ ）
A．9B．13C．15D．18
【解题总结】
要证明A，B，C三点共线，只需证明与共线，即证=（）．若已知A，B，C三点共线，则必有与共线，从而存在实数，使得=．
【变式3-1】，是平面内不共线两向量，已知，，若，，三点共线，则的值为（ ）
A．B．C．-4D．4
【变式3-2】是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值为（ ）
A．3B．-3C．-2D．2
【变式3-3】已知，，（和不共线），则三点共线（ ）
A．B．C．D．
【变式3-4】如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（ ）

A．2B．9C．10D．18
题型四：平面向量基本定理
【典例4-1】在平行四边形中，是的中点，点在线段上．若，则（ ）
A．B．C．D．
【典例4-2】在中，点在边上，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【解题总结】
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：
（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止．
（2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
（3）三点共线定理：A，B，P三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，O为AB外一点．
【变式4-1】（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（2025·甘肃定西·模拟预测）已知在梯形中，，，记，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-3】如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式4-4】如图，在平行四边形中，，和相交于点，且为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型五：坐标运算
【典例5-1】已知向量，，则 ．
【解题总结】
（1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
（2）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解．
【典例5-2】已知点，向量，，点满足，则点的坐标为 ．
【变式5-1】（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点均在正方形网格的格点上.若，则 .
题型六：坐标表示
【典例6-1】已知，点在直线上，且满足，则 ．
【典例6-2】已知向量，，若向量，则使 成立的 可能是 .（填序号）① ;② ;③ ;④ .
【解题总结】
（1）两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若，，则的充要条件是；②若，则．
（2）向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．
【变式6-1】已知为正方形内一点，且满足，则 ．
【变式6-2】在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足，其中且，则点的轨迹是 ．
【变式6-3】在中，是边上靠近的一个三等分点，若与平行，则实数 ．
1．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律．如图是由八卦模型图抽象出来的正八边形ABCDEFGH，其中心为O，若，则
A．B．C．2D．
2．如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，P是以AB为直径的半圆弧上任意一点与A点不重合，设，则的最小值为
A．B．1C．2D．3
3．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
①数形结合
1．在中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则
A．B．C．D．
2．已知点O为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为
A．B．C．D．
3．已知点P是的重心，则
A．B．
C．D．
②转化与化归
4．已知平面向量满足，则的取值范围为 ．
5．已知，，，，，是平面内两两互不相等的向量，满足，且，其中，2，，2，，，则k的最大值是 ．
6．如图，在中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N若，，则的最小值为 ．
③分类讨论
7．在直角坐标平面内，横，纵坐标均为整数的点称为整点，点P从原点出发，在直角坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处．则点P到达点所跳跃次数的最小值是 ．
8．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，则的取值范围为 ．
9．已知向量，且，则实数 ．
基础过关篇
1．（2025年高考全国一卷数学真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ）
A．轻风B．微风C．和风D．劲风
2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的充分条件
3．（2024年上海秋季高考数学试题）已知向量，，若，则 ．
4．（2025年高考天津卷数学真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则
5．（2023年天津高考数学真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．
6．设与都是非零向量．下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）
A．且B．C．D．
7．在中，，P是BN上一点．设，，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．（多选题）下列关于向量的说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若向量与是共线向量，则，，，四点必在同一条直线上
C．对于任意向量，，必有
D．若，则存在唯一实数，使
9．已知，，则与向量的一个单位向量的坐标为 .（写出一个即可）
10．已知向量，则与向量共线的单位向量的坐标为 ．
能力拓展篇
1．（2025·广东·模拟预测）若平面向量，，满足，则的最大值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．已知平面内有四点，若，则“三点共线”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2025·高三·江苏南京·开学考试）解决平面向量问题一个重要的定理：，的充要条件是三点共线.如图所示，分别是的中点，则=（ ）
A．1B．2C．D．
4．点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．在直角中，点是斜边的中点，点为线段的中点，则（ ）
A．2B．4C．5D．10
6．（2025·高三·山东·开学考试）如图，在矩形中，E，F分别为，的中点，G为线段上的一点，且，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
7．若向量满足，则的取值范围是 ．
8．设M是所在平面上的一点，且，D是的中点，则 ．
9．已知是内一点，，若，则 ．
10．在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为 ．
11．设分别为的外心和垂心，，，，，则 ．
12．如图，正方形中，，是线段上的动点，且，则的最小值为 ．
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算

三角形法则 平行四边形法则
①交换律
②结合律
减法
求与的相反向量的和的运算，叫做与的差
三角形法则
数乘
求实数与向量的积的运算
（1）
（2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相反；当时，
级数
名称
风速大小（单位：m/s)
2
轻风
1.6~3.3
3
微风
3.4~5.4
4
和风
5.5~7.9
5
劲风
8.0~10.7
5.1平面向量的概念及线性运算
目录 TOC \ "1-2" \h \z \u
\l "_Tc211241178" 01 课标要求 PAGEREF _Tc211241178 \h 3
\l "_Tc211241179" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc211241179 \h 4
\l "_Tc211241180" 一、向量的有关概念 PAGEREF _Tc211241180 \h 4
\l "_Tc211241181" 二、向量的线性运算 PAGEREF _Tc211241181 \h 4
\l "_Tc211241182" 三、平面向量基本定理和性质 PAGEREF _Tc211241182 \h 5
\l "_Tc211241183" 四、平面向量的坐标表示及坐标运算 PAGEREF _Tc211241183 \h 5
\l "_Tc211241184" 常用二级结论 PAGEREF _Tc211241184 \h 6
\l "_Tc211241185" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc211241185 \h 7
\l "_Tc211241186" 题型一：平面向量的基本概念 PAGEREF _Tc211241186 \h 7
\l "_Tc211241187" 题型二：平面向量的线性运算 PAGEREF _Tc211241187 \h 9
\l "_Tc211241188" 题型三：三点共线定理及鸡爪定理 PAGEREF _Tc211241188 \h 11
\l "_Tc211241189" 题型四：平面向量基本定理 PAGEREF _Tc211241189 \h 13
\l "_Tc211241190" 题型五：坐标运算 PAGEREF _Tc211241190 \h 17
\l "_Tc211241191" 题型六：坐标表示 PAGEREF _Tc211241191 \h 18
\l "_Tc211241192" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc211241192 \h 22
\l "_Tc211241193" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc211241193 \h 26
\l "_Tc211241194" ①数形结合 PAGEREF _Tc211241194 \h 26
\l "_Tc211241195" ②转化与化归 PAGEREF _Tc211241195 \h 28
\l "_Tc211241196" ③分类讨论 PAGEREF _Tc211241196 \h 30
\l "_Tc211241197" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc211241197 \h 32
\l "_Tc211241198" 基础过关篇 PAGEREF _Tc211241198 \h 32
\l "_Tc211241199" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc211241199 \h 37
（1）理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．
（2）掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．
（3）了解平面向量基本定理及其意义
（4）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算
一、向量的有关概念
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．
（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．
（3）特殊向量：
①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
②单位向量：长度等于1个单位的向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行．
④相等向量：长度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．
二、向量的线性运算
（1）向量的线性运算
三、平面向量基本定理和性质
1、共线向量基本定理
如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
2、平面向量基本定理
如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式．
四、平面向量的坐标表示及坐标运算
（1）平面向量的坐标表示．
在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作．
（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有
向量向量点．
（3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．
（4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．
（5）平面向量的直角坐标运算
①已知点，，则，
②已知，，则，，
，．
，
常用二级结论
（1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．
即．
（2），当且仅当至少有一个为0时，向量不等式的等号成立．
（3）特别地：或当且仅当至少有一个为0时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立．
（4）减法公式：，常用于向量式的化简．
（5）、、三点共线，则，这是直线的向量式方程．
题型一：平面向量的基本概念
【典例1-1】下列命题中，假命题是（ ）
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．是向量的必要不充分条件
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
【答案】D
【解析】选项A：由空间向量的定义知，空间向量具有大小和方向，
所以任意两个空间向量不能比较大小，故A为真命题；
选项B：两个向量模长相等，方向不一定相同，充分性不成立，
两个相等向量模长一定相等，必要性成立，故B为真命题；
选项C：长度为0的向量叫做零向量，只有零向量的模长等于0，故C为真命题；
选项D：共线的单位向量是相等向量或相反向量，故D为假命题；
故选：D
【典例1-2】下列说法中，正确的是（ ）
A．模为的向量与任意向量共线
B．单位向量只有一个
C．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
D．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
【答案】A
【解析】对A，模为的向量为零向量，零向量与任意向量共线，故A正确；
对B，单位向量的模为，但方向为任意方向，故B错误；
对C，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故C错误；
对D，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故D错误．
故选：A．
【解题总结】
准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键．共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相等向量．共线向量或相等向量均与向量起点无关．
【变式1-1】下列说法中正确的是（ ）
A．时间能称为向量B．所有单位向量都是相等向量
C．模为0的向量与任一非零向量平行D．若，则
【答案】C
【解析】时间只有大小，没有方向，不是向量，故A错误；
所有单位向量的模都为，但方向不一定相同，所以不一定是相等向量，故B错误；
模为0的向量是零向量，零向量与任何一个非零向量平行，故C正确；
相等向量要求大小和方向都相同，故D错误．
故选：C．
【变式1-2】关于平面向量，下列正确的是（ ）
A．若是单位向量，零向量，则
B．若向量与不共线，则存在一对实数，使
C．海拔、温度、角度都是向量
D．若，则四边形ABCD是菱形
【答案】B
【解析】对于A，因是单位向量，零向量，则，故A错误；
对于B，因向量与不共线，则与可作为一组基底，则由平面向量基本定理可得：
存在一对实数x，y，使，故B正确；
对于C，向量为既有大小，又有方向的量，则海拔、温度、角度都不是向量，故C错误；
对于D，因，则，则四边形ABCD是平行四边形，条件不足，无法判断是否是菱形，故D错误.
故选：B.
【变式1-3】以下说法中，正确的是（ ）
A．两个具有公共终点的向量一定是共线向量
B．零向量的长度为0，没有方向
C．单位向量都是共线向量
D．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小
【答案】D
【解析】对于A，如果两个向量的起点，终点不在同一直线上，它们不是共线向量，故A错；
对于B，零向量的长度（大小）为0，方向是任意的，B错，
对于C，单位向量可以垂直，它们不一定是共线向量，C错；
对于D，向量既有大小又有方向，因此两个向量不能比较大小，
而它们的模是表示它们的有向线段的长度，是非负实数，可以比较大小，D正确；
故选：D．
题型二：平面向量的线性运算
【典例2-1】四面体中，，，，且，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，，
所以，
所以，
故选：B.
【典例2-2】在中，点在边上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，作出符合题意的图形，且，
∵，∴，
则
，故B正确.
故选：B
【解题总结】
（1）两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此类问题又以“爪子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型”公式更有利于快速解题．
（2）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．
（3）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．
【变式2-1】（2025·高三·安徽·开学考试）如图，5×5的方格里，每个方格长度为1，则向量＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示，．
故选：B
【变式2-2】（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由.
故选：D
【变式2-3】在边长为1的正方形中，若，，，则（ ）
A．0B．1C．2D．
【答案】C
【解析】．
故选：C
题型三：三点共线定理及鸡爪定理
【典例3-1】已知是不共线的向量，，三点共线，则满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，，
若A，B，C三点共线，则，则存在实数,使得，所以，
即，化简得，
故选：B.
【典例3-2】已知，是平面内的一组基底，，，，若，，三点共线，则实数的值为（ ）
A．9B．13C．15D．18
【答案】C
【解析】因为，，，
所以，
，
又因为，，三点共线，
所以存在实数，使得，
即，
因为，是平面内的一组基底，
所以由平面向量基本定理可得：，
解得.
故选：C．
【解题总结】
要证明A，B，C三点共线，只需证明与共线，即证=（）．若已知A，B，C三点共线，则必有与共线，从而存在实数，使得=．
【变式3-1】，是平面内不共线两向量，已知，，若，，三点共线，则的值为（ ）
A．B．C．-4D．4
【答案】A
【解析】由，，三点共线，得，又，，，不共线，
则，所以.
故选：A
【变式3-2】是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值为（ ）
A．3B．-3C．-2D．2
【答案】B
【解析】由，，得，
由，，三点共线，得，又，不共线，
则，所以.
故选：B
【变式3-3】已知，，（和不共线），则三点共线（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，所以共线，
即三点共线，故A正确；
，，，不共线，故B错误；
，，，不共线，故C错误；
，，，
不共线，故D错误；
故选：A
【变式3-4】如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（ ）

A．2B．9C．10D．18
【答案】B
【解析】因为是的中点，所以.
因为，所以.
由于三点共线，所以可以表示为的线性组合，
即.
所以，即.
因为，所以.
当且仅当时，即时等号成立.
由于，所以解得，此时最小值为9.
故选：B.
题型四：平面向量基本定理
【典例4-1】在平行四边形中，是的中点，点在线段上．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，所以，
则，，故;
故选：B
【典例4-2】在中，点在边上，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以.
因为，而，
所以.
代入可得：
故选：A
【解题总结】
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：
（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止．
（2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
（3）三点共线定理：A，B，P三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，O为AB外一点．
【变式4-1】（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因，则，
故，
因三点共线，故设，则，
因，则，解得．
故选：D．
【变式4-2】（2025·甘肃定西·模拟预测）已知在梯形中，，，记，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，，，
所以，
因为，，
所以，，
所以.
故选：B.
【变式4-3】如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】，
因为，，所以，
又三点共线，所以，即.
故选：C
【变式4-4】如图，在平行四边形中，，和相交于点，且为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，设，
则,
因为三点共线，
所以，即，
所以，
所以，
又三点共线，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
故选：B.
题型五：坐标运算
【典例5-1】已知向量，，则 ．
【答案】5
【解析】由题意可得：，
所以.
故答案为：5.
【解题总结】
（1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
（2）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解．
【典例5-2】已知点，向量，，点满足，则点的坐标为 ．
【答案】
【解析】因为点，向量，，
所以，，
设，则，
，
因为，所以，解得，所以.
故答案为：
【变式5-1】（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点均在正方形网格的格点上.若，则 .
【答案】/
【解析】以A为原点，为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图，
不妨设小正方形的边长为1，则，
所以，，
则有，
所以，解得，
所以.
故答案为：
题型六：坐标表示
【典例6-1】已知，点在直线上，且满足，则 ．
【答案】/0.5
【解析】解法1：坐标法
建立平面直角坐标系并标出点的坐标，如图，
由，
代入坐标即得，
得，即，所以．
解法2：向量转化法
，
由三点共线，得，则，
从而，
即，所以．
【典例6-2】已知向量，，若向量，则使 成立的 可能是 .（填序号）① ;② ;③ ;④ .
【答案】①③
【解析】因为 ， ，
所以向量 .
当 时， ，满足题意；
当 时， ，不满足题意；
当 时， ，满足题意；
当 时， ，不满足题意.
故答案为：①③
【解题总结】
（1）两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若，，则的充要条件是；②若，则．
（2）向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．
【变式6-1】已知为正方形内一点，且满足，则 ．
【答案】
【解析】解法1：坐标法
建立平面直角坐标系，如图，设正方形边长为1，，，，，．
由得：
，
解得，，所以．
故答案为：.
解法2：由，
得，即．
如图，延长至点，使，延长至点，使，过点作交于点．
易知，，，不妨假设，
易得，所以．
故答案为：.
【变式6-2】在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足，其中且，则点的轨迹是 ．
【答案】直线
【解析】方法1：因为，，
所以.
所以三点共线.
所以点的轨迹是直线.
方法2：设，因为，
所以.
因为，所以，化简得：.
又直线的方程为：，化简得：.
所以点的轨迹是直线.
故答案为：直线
【变式6-3】在中，是边上靠近的一个三等分点，若与平行，则实数 ．
【答案】4
【解析】根据题意可得，
所以，
由与平行可得，
即，又不共线，
所以，解得.
故答案为：4
1．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律．如图是由八卦模型图抽象出来的正八边形ABCDEFGH，其中心为O，若，则
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】解：以OE，OG所在直线分别为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设，则，
因为，
所以，，
由，
得，
解得，故
故选：A
2．如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，P是以AB为直径的半圆弧上任意一点与A点不重合，设，则的最小值为
A．B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】解：方法1：以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设，，则，，，
半圆的方程为，
所以，，，
因为，即，
所以，即，
所以，
又是半圆上的任意一点与A点不重合，
所以，，
所以，
令，则k的几何意义是单位圆的上半部分中的任意一点与点连线的斜率，
结合图象可知，斜率k的最大值为0，
所以当时，取得最小值
故选
方法2：如图，取AD中点F，则，
直线FP交AE于G，设，
、P、G三点共线，
，
当P为中点时，G与E重合，此时t取到最小值，
3．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：法一过点F作于点G，不妨设，，
则，，所以，
所以，
所以，
所以，，
所以
故选：
法二，
即，解得，
即
故选：
①数形结合
1．在中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：如图，
，
所以
故选
2．已知点O为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：，
，即，即三点共线，
又为的外心，则，
，
则
，
即，且O为斜边BC的中点，
过A作BC的垂线AQ，垂足为Q，
易得向量在向量上的投影向量为，
向量在向量上的投影向量为，
，
不妨设，则，
易知∽，
，即，
故，
故选：
3．已知点P是的重心，则
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
选项A，B均错误；
，选项C错误；
，选项D正确；
故选
②转化与化归
4．已知平面向量满足，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】解：如下图，设，
，，
，
令，
，
所以点M的轨迹是，所以
因为，
所以，
所以，
即的取值范围为
故答案为：
5．已知，，，，，是平面内两两互不相等的向量，满足，且，其中，2，，2，，，则k的最大值是 ．
【答案】6
【解析】解：如图，设，，
由，且，，
分别以，为圆心，以1和2为半径画圆，其中圆的公共点共有6个．
故满足条件的k的最大值为
故答案为：
6．如图，在中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N若，，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】解：因为P满足，故……①，
由，得，
代入①式得：，
又因为M、P、N三点共线，则，
所以，
当且仅当，即 时取等号．
故答案为：
③分类讨论
7．在直角坐标平面内，横，纵坐标均为整数的点称为整点，点P从原点出发，在直角坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处．则点P到达点所跳跃次数的最小值是 ．
【答案】10
【解析】解：每次跳跃的路径对应的向量为，，，，，，，，
因为求跳跃次数的最小值，则只取，，，，
设对应的跳跃次数分别为，其中，
可得，
则，两式相加可得，
因为，则或，
当时，则次数为；
当时，则次数为；
综上所述：次数最小值为
故答案为：
8．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】解：由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，则，，
，
当时，有，，可得，故有
当时，有，，
当时，有，，
当时，有，，
综上可得：
故的取值范围为
故答案为
9．已知向量，且，则实数 ．
【答案】
【解析】解：由，得，两边平方得，
设与的夹角为，则，因为、均不为0，
所以，又，所以，
所以与共线且反向，所以，解得或
当时，，即，则与同向，舍去；
当时，，即，则与反向，符合题意，
所以
基础过关篇
1．（2025年高考全国一卷数学真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ）
A．轻风B．微风C．和风D．劲风
【答案】A
【解析】由题意及图得，
视风风速对应的向量为：，
视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，
船速方向和船行风速的向量方向相反，
设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为，
∴，船行风速：，
∴，
，
∴由表得，真风风速为轻风，
故选：A.
2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的充分条件
【答案】C
【解析】对A，当时，则，
所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
3．（2024年上海秋季高考数学试题）已知向量，，若，则 ．
【答案】15
【解析】因为，所以，所以.
故答案为：15
4．（2025年高考天津卷数学真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则
【答案】 ；
【解析】如图，
因为，所以，所以．
因为D为线段的中点，所以；
又因为，所以，
，所以
所以，
所以
．
故答案为：；.
5．（2023年天津高考数学真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】空1：因为为的中点，则，可得，
两式相加，可得到，
即，则；
空2：因为，则，可得，
得到，
即，即.
于是.
记，
则，
在中，根据余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，当且仅当取得等号，
则时，有最大值.
故答案为：；.
6．设与都是非零向量．下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）
A．且B．C．D．
【答案】C
【解析】对于A，向量与满足且，若向量与反向，则，故A不符合题意；
对于B，由，则，故B不符合题意；
对于C，由，则向量与同向，所以，故C符合题意；
对于D，向量与满足，若向量与反向，则，故D不符合题意.
故选：C.
7．在中，，P是BN上一点．设，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得，则，
因为B，P，N三点共线，所以，所以.
故选：B
8．（多选题）下列关于向量的说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若向量与是共线向量，则，，，四点必在同一条直线上
C．对于任意向量，，必有
D．若，则存在唯一实数，使
【答案】AC
【解析】对于A，若，则，故A正确；
对于B，若向量与是共线向量，则，，，四点不一定在同一条直线上，也可以平行，故B错误；
对于C，若，方向相同，则，若，方向相反，则，
若，不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边可知．
综上可知对于任意向量，，必有，故C正确；
对于D，若，，则，此时不存在实数，使，故D错误．
故选：AC
9．已知，，则与向量的一个单位向量的坐标为 .（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】依题意，，
当单位向量与向量方向相同时，，
当单位向量与向量方向相反时，，
答案为：（答案不唯一）
10．已知向量，则与向量共线的单位向量的坐标为 ．
【答案】或
【解析】因为，所以，
所以与向量共线的单位向量的坐标为
或．
故答案为：或．
能力拓展篇
1．（2025·广东·模拟预测）若平面向量，，满足，则的最大值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】，
当与同向时取等号，
故选：B
2．已知平面内有四点，若，则“三点共线”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时，，
因此，所以三点共线；
另一方面，当三点共线时，
若四点也共线，设，
则，
若系数和恒为1，则有恒为1， 恒为1，
显然因的不确定性，假设不成立，因此系数和并不一定恒为1．
则“三点共线”是“”的必要不充分条件.
故选：B．
3．（2025·高三·江苏南京·开学考试）解决平面向量问题一个重要的定理：，的充要条件是三点共线.如图所示，分别是的中点，则=（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【解析】由三点共线，是的中点，得，①
令，
由三点共线，是的中点，
可得，②
比较①、②，得，解得．
则.
故选：B.
4．点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，
因为中点，则，
代入可得，从而三点共线，，
即点是线段上靠近点的四等分点.
则，而，故.
故选：B
5．在直角中，点是斜边的中点，点为线段的中点，则（ ）
A．2B．4C．5D．10
【答案】D
【解析】以为坐标原点，以所在的直线分别为轴和轴建立平面直角坐标系，
如图所示，设，
因为点是斜边的中点，点为线段的中点，
可得，则，
所以，
所以.
故选：D.
6．（2025·高三·山东·开学考试）如图，在矩形中，E，F分别为，的中点，G为线段上的一点，且，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题可设，
则
，
因为，所以，解得.
故选：A
7．若向量满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】如图，设，不妨设为定点，则为动点，且点到点距离是点到点距离的2倍，所以点在阿波罗尼斯圆上，如图.
当点在时，最小，，且，即得．
当点在时，最大，，且，即得．
所以有.
故答案为：
8．设M是所在平面上的一点，且，D是的中点，则 ．
【答案】
【解析】因为是中点，
所以，
所以．
故答案为：.
9．已知是内一点，，若，则 ．
【答案】4
【解析】法一：设，，以为邻边作平行四边形，
如图，则，，
因为，所以．
法二：因为，
所以，所以，
所以，
所以．
故答案为：4
10．在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为 ．
【答案】3
【解析】如图1，过点作，交的延长线于点，
由，则，
由共线得，可得．
当最大时，取到最大值，此时，
如图2．作，又，则，即，
由，即，则四边形为平行四边形，故，
易知，可得，，
而，，得，
所以，
因此的最大值为3．
故答案为：3
11．设分别为的外心和垂心，，，，，则 ．
【答案】
【解析】设为的中点，为的中点，
因为，所以，
即，又，所以，
则，所以．
因为，
所以，，．
由正弦定理，即，
又，所以，则，
又．
故答案为：.
12．如图，正方形中，，是线段上的动点，且，则的最小值为 ．
【答案】/
【解析】在正方形中，，
则，
而，则，
又点共线，所以，即，
因为是线段上的动点，所以，
令，则，
则，
令，易知在上单调递减，
所以，所以，
故，即的最小值为．
故答案为：
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算

三角形法则 平行四边形法则
①交换律
②结合律
减法
求与的相反向量的和的运算，叫做与的差
三角形法则
数乘
求实数与向量的积的运算
（1）
（2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相反；当时，
级数
名称
风速大小（单位：m/s)
2
轻风
1.6~3.3
3
微风
3.4~5.4
4
和风
5.5~7.9
5
劲风
8.0~10.7