2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用第一章集合、常用逻辑用语、不等式(单元测试)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用第一章集合、常用逻辑用语、不等式(单元测试)(学生版+解析)，共20页。试卷主要包含了已知集合，，，则，已知正数，满足，则的最小值是，若，且，则的最大值为，图中阴影部分所表示的集合是，已知实数满足，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，则“”是“向量共线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．集合，则的子集个数为（ ）
A．3B．4C．8D．16
4．已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A．B．9C．D．13
6．由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出，该公司是一家专注于人工智能（）的中国初创公司．其模型于2024年年底发布，此模型足以媲美，一经推出便成为全球热门话题．利用进行学习已经成为一种学生自主学习的全新方式，但是目前市场各种模型运算参差不齐．技术人员对n个模型进行测试，测试由m道题组成，每个模型都对这道题逐一进行求解．若一道题至少有个模型未解对，则称此题为难题；若一个模型至少解出了道题，则该模型测试成绩合格．如果测试至少有个模型成绩合格，且测试中至少有道题为难题，那么的最小值为（ ）
A．6B．9C．18D．27
7．若，且，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
8．两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作和的笛卡尔积，又称直积，记为，即．关于非空集合，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若集合的元素个数分别为，则的元素个数为
C．
D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A．B．C．D．
10．已知实数满足，则（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
11．已知，若对一切实数恒成立，且一元二次方程有实数根，则（ ）
A．B．C．D．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．命题“”的否定是 .
13．设集合，，在集合的所有元素中，绝对值最小的元素是 .
14．设，我们常用来表示不超过的最大整数．如：．若，则 ，若是方程的实数解，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知集合，集合或．
(1)若是成立的必要不充分条件，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围．
16．（15分）
已知集合，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若，求实数的取值范围．
17．（15分）
美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成：
①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元；
②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数．
(1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？
(2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元．
18．（17分）
关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础.两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一.通过运算代数变形可以解决很多关于基本不等式的问题.
例如此题：已知a，b为正实数，且，则的最小值为_____.
其解法如下，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”.根据上述材料解决以下问题.
(1)已知a，b，c为正实数，且，求证：；
(2)已知，，且，则的最小值是多少？
(3)某同学在解决题目“已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值是多少？”时，给出如下解法：
令则化为
原式当且仅当即，即，时，等号成立.
利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知a，，，则的最大值是多少？
19．（17分）
若为定义域D上的单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的“优美函数”.
(1)写出的一组值，使得函数为“优美函数”，并说明理由;
(2)若函数为“优美函数”，求实数t的取值范围;
(3)若函数为“优美函数”，求实数m的取值范围.
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式（单元测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
∵，解得，
∴，又，
所以
故选：C
2．已知向量，则“”是“向量共线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，向量，因为，所以向量共线成立；
由向量，共线，有，此时，
所以“”是“向量共线”的充分不必要条件．
故选：A
3．集合，则的子集个数为（ ）
A．3B．4C．8D．16
【答案】C
【解析】因为，
故子集个数为，
故选：C.
4．已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，
则，，
故.
故选:D.
5．已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A．B．9C．D．13
【答案】C
【解析】由，则，即，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是.
故选：C.
6．由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出，该公司是一家专注于人工智能（）的中国初创公司．其模型于2024年年底发布，此模型足以媲美，一经推出便成为全球热门话题．利用进行学习已经成为一种学生自主学习的全新方式，但是目前市场各种模型运算参差不齐．技术人员对n个模型进行测试，测试由m道题组成，每个模型都对这道题逐一进行求解．若一道题至少有个模型未解对，则称此题为难题；若一个模型至少解出了道题，则该模型测试成绩合格．如果测试至少有个模型成绩合格，且测试中至少有道题为难题，那么的最小值为（ ）
A．6B．9C．18D．27
【答案】B
【解析】设有个模型合格，道题为难题，则，
依题意有，
所以
所以，
同理
，
要使两式有整数解，则，所以．
当时，若3个模型生答题情况如下表：
则有2个模型合格，2个难题，符合题意，所以的最小值为9．
故选：B
7．若，且，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，
当且仅当，即时取等号.
故选：B.
8．两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作和的笛卡尔积，又称直积，记为，即．关于非空集合，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若集合的元素个数分别为，则的元素个数为
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，，故A错误；
对于B，设，，则，的元素个数为，不是3，故B错误；
对于C，结合B的实例，，而，两者不相同，故C错误；
对于D，任意，则存在，
使得，因为且，故且，
故，故
任意，则存在，使得，
故，故，故，
故，
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】
如图，
A选项：①+②，则②，故A正确；
B选项：①+④，则④， 故B错误；
C选项：③，①+②+④，则②，故C正确；
D选项：①，故D错误.
故选：AC.
10．已知实数满足，则（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
【答案】BC
【解析】对于A，当时，，故A错误；
对于B，因，则，，则，
等号成立时，故B正确；
对于C，因且，则，则，故C正确；
对于D，若，则，故D错误.
故选：BC
11．已知，若对一切实数恒成立，且一元二次方程有实数根，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】因为对一切实数恒成立，所以，
因为一元二次方程有实数根，所以，
所以，故，即，，
所以，
当且仅当时不等式取等号.
故选：AD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．命题“”的否定是 .
【答案】
【解析】由存在量词命题的否定为全称量词命题可得：
“”的否定是“”，
故答案为：“”.
13．设集合，，在集合的所有元素中，绝对值最小的元素是 .
【答案】
【解析】，，
显然集合的所有元素中，绝对值最小的元素是.
故答案为：.
14．设，我们常用来表示不超过的最大整数．如：．若，则 ，若是方程的实数解，则 ．
【答案】 或或
【解析】若，则，故
因为，故，
因为，故，故，故，
若，则，又，故符合；
若，则，故，又，不符合，均舍；
若，则，故，又，故符合；
若，则，故，又，故符合；
综上，或或．
故答案为：，或或
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知集合，集合或．
(1)若是成立的必要不充分条件，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围．
【解析】（1）由是成立的必要不充分条件，得集合真包含于集合，
则或，解得或，
所以的取值范围是或.
（2）依题意，，由，得，
则，解得，
所以的取值范围是.
16．（15分）
已知集合，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若，求实数的取值范围．
【解析】（1）由，则，故；
（2）由，则，可得；
（3）由，即，
若，则，可得；
若，则，无解；
综上，.
17．（15分）
美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成：
①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元；
②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数．
(1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？
(2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元．
【解析】（1）由题设，平均每万套的成本，
当且仅当万套时取等号，平均每万套的成本最低为12万元/万套；
（2）由题设，该套装每月的利润为，
所以，可得，
所以，即该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元.
18．（17分）
关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础.两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一.通过运算代数变形可以解决很多关于基本不等式的问题.
例如此题：已知a，b为正实数，且，则的最小值为_____.
其解法如下，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”.根据上述材料解决以下问题.
(1)已知a，b，c为正实数，且，求证：；
(2)已知，，且，则的最小值是多少？
(3)某同学在解决题目“已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值是多少？”时，给出如下解法：
令则化为
原式当且仅当即，即，时，等号成立.
利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知a，，，则的最大值是多少？
【解析】（1），
当且仅当，即时，等号成立，得证．
（2），
当且仅当，即，时，等号成立，
则的最小值是
（3），
令，原式，令，
原式，
当且仅当，即，时，等号成立．
所以的最大值为
19．（17分）
若为定义域D上的单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的“优美函数”.
(1)写出的一组值，使得函数为“优美函数”，并说明理由;
(2)若函数为“优美函数”，求实数t的取值范围;
(3)若函数为“优美函数”，求实数m的取值范围.
【解析】（1）因为函数单调递增，
若在定义域区间上存在，使得的值域，
则，，即为方程的两根，又，得，，
又在区间上的值域为，故，符合题意.
（2）因为函数为递增函数，
要使在定义域区间上存在，使得的值域，
则只需有两个不等的非负实根，
令，，则在有两个不等的实根，
故，即，得，
即t的取值范围是.
（3）函数在定义域内单调递减，
依题意得，两式相减，得，
则，
得①
将①式代入方程组得，则是方程的两根，
令，则在上有两个不同的实根，
则，解得，
故实数m的取值范围为
题目1
题目2
题目3
1
√
√
×
2
√
×
√
3
√
×
×