2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用5.2平面向量的数量积及其应用(1大考点+8大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用5.2平面向量的数量积及其应用(1大考点+8大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共16页。
\l "_Tc211243679" 02落实主干知识 PAGEREF _Tc211243679 \h 3
\l "_Tc211243680" 一、平面向量的数量积 PAGEREF _Tc211243680 \h 3
\l "_Tc211243681" 常用二级结论 PAGEREF _Tc211243681 \h 4
\l "_Tc211243682" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc211243682 \h 5
\l "_Tc211243683" 题型一：数量积运算 PAGEREF _Tc211243683 \h 5
\l "_Tc211243684" 题型二：模长运算 PAGEREF _Tc211243684 \h 6
\l "_Tc211243685" 题型三：投影、投影向量运算 PAGEREF _Tc211243685 \h 7
\l "_Tc211243686" 题型四：夹角运算 PAGEREF _Tc211243686 \h 8
\l "_Tc211243687" 题型五：万能建系法 PAGEREF _Tc211243687 \h 8
\l "_Tc211243688" 题型六：利用向量平行垂直关系求解 PAGEREF _Tc211243688 \h 9
\l "_Tc211243689" 题型七：实际应用问题 PAGEREF _Tc211243689 \h 10
\l "_Tc211243690" 题型八：利用投影法求范围 PAGEREF _Tc211243690 \h 11
\l "_Tc211243691" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc211243691 \h 14
\l "_Tc211243692" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc211243692 \h 15
\l "_Tc211243693" ①数形结合 PAGEREF _Tc211243693 \h 15
\l "_Tc211243694" ②转化与化归 PAGEREF _Tc211243694 \h 16
\l "_Tc211243695" ③分类讨论 PAGEREF _Tc211243695 \h 16
\l "_Tc211243696" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc211243696 \h 17
\l "_Tc211243697" 基础过关篇 PAGEREF _Tc211243697 \h 17
\l "_Tc211243698" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc211243698 \h 18
（1）理解平面向量数量积的含义及其几何意义
（2）了解平面向量的数量积与投影向量的关系．
（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算
（4）会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题
一、平面向量的数量积
（1）基底的定义
如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，，使得．我们把不共线的向量、叫做表示这个平面内所有向量的一组基底．
（2）平面向量的直角坐标运算
特殊基底的应用:非0基底向量垂直时，可利用平面直角坐标系坐标化解题，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴正方向相同的两个单位向量，作为基底，对平面内任一向量，有且仅有一个实数对，使得，则实数对叫做向量的坐标，记作，其中，分别叫做在轴、轴上的坐标，相等向量的坐标相同，坐标相同的向量是相等向量．
①已知点，，则，
②已知，，则，，
（3）数量积的运算律
已知向量、、和实数，则：
①；
②；
③．
（4）数量积的坐标运算
已知非零向量，，为向量、的夹角．
常用二级结论
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．
（2）平面向量数量积的几何意义
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．
②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．
题型一：数量积运算
【典例1-1】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知与的夹角为，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【典例1-2】中，，则（ ）
A．6B．C．D．3
【解题总结】
（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路．
（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量7．已知向量，若，则（ ）
A．B．2C．-2D．
【变式1-1】在矩形中，为的中点，点满足，则（ ）
A．32B．16C．D．
【变式1-2】（2025·高三·湖南·开学考试）如图， 为等边三角形的中线上任一点，，，则（ ）

A．B．
C．D．
【变式1-3】已知向量满足，则（ ）
A．0B．2C．D．
【变式1-4】（2025·高三·河南·开学考试）在矩形中，已知，点为线段的中点，且，则（ ）
A．2B．4C．8D．16
题型二：模长运算
【典例2-1】已知向量，则（ ）
A．1B．C．2D．
【典例2-2】（2025·高三·四川成都·开学考试）已知向量与的夹角为，，则等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题总结】
求模长，用平方，．
【变式2-1】（2025·高三·安徽合肥·开学考试）已知两个单位向量满足，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式2-2】（2025·辽宁大连·一模）设单位向量，已知，则的最小值为（ ）
A．0B．1C．D．
【变式2-3】如图，在平行四边形ABCD中，，，E是边BC的中点，F是CD上靠近D的三等分点，若，则等于（ ）
A．4B．C．D．8
【变式2-4】已知两个单位向量满足，则（ ）
A．5B．4C．3D．2
题型三：投影、投影向量运算
【典例3-1】已知向量，满足，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【典例3-2】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．
【变式3-1】若向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】（2025·高三·甘肃白银·期末）已知两个非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-3】已知向量，满足，且，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-4】（2025·高三·安徽·开学考试）已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-5】若向量，，，，，，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
题型四：夹角运算
【典例4-1】已知向量满足，则向量与的夹角为 ．
【典例4-2】（2025·高三·湖南永州·开学考试）若向量，，，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是 ．
【解题总结】
求夹角，用数量积，由得，进而求得向量的夹角．
【变式4-1】（2025·高三·河北保定·开学考试）若向量，，且，则 ．
【变式4-2】在中，为的中点，，与相交于点F，则 ．
【变式4-3】（2025·广东·模拟预测）已知向量满足，则 .
【变式4-4】已知向量，满足，，则 ．
【变式4-5】若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为 ．
题型五：万能建系法
【典例5-1】在等腰直角中，为边上的两个动点（不与重合），且满足，则的取值范围为 ．
【典例5-2】（2025·高三·内蒙古·开学考试）蒽，是一种含三个环的稠环芳烃，化学式为，蒽的三个环的中心在一条直线上，蒽是菲的同分异构体，其分子结构图如图1所示（由三个正六边形组成），将蒽的分子结构图中的14个C原子分别记为，如图2所示，设，则 ．
【解题总结】

边长为的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形
平行四边形 直角梯形 等腰梯形 圆
【变式5-1】已知在中，是内一点，且，则 .
【变式5-2】已知在中，，，是线段上的动点，且，则的取值范围为 .
【变式5-3】已知在平行四边形中，，边的长分别为1，2，若分别是边上的点，且满足，则的取值范围是 ．
【变式5-4】在中，，，点在线段上，若，则 ；若，当取得最小值时， .
题型六：利用向量平行垂直关系求解
【典例6-1】已知向量，的夹角为，，且，若，则 .
【典例6-2】已知，，，若，则a的值为 .
【解题总结】
①已知点，，则，
②已知，，则，，
，． ，
【变式6-1】已知向量，的模相等且夹角为，若向量与向量垂直，则实数 ．
【变式6-2】已知平面向量，若与垂直，且，则 ．
【变式6-3】已知平面向量，若，则实数 .
【变式6-4】（2025·上海嘉定·二模）已知向量，若，则 ．
题型七：实际应用问题
【典例7-1】冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．在冰球运动中冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小华同学在练习冰球的过程中，以力，作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功的最大值为（ ）（动力做的功）
A．B．3C．4D．5
【典例7-2】（2025·福建泉州·模拟预测）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的某地出发，向河对岸航行．已知船在静水的速度大小为，且船在航行过程中受水流的影响．当船以路程最短的方式航行到对岸时，所需时间为6分钟，则水流速度的大小为（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
用向量方法解决实际问题的步骤
【变式7-1】（2025·高三·山东泰安·开学考试）如图，飞机飞行中的地面速度（GS）是指飞机相对于地面的实际速度，由飞机相对于周围空气的实际运动速度（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中风速顺风为正，逆风为负，DA为偏流角. 已知某飞机逆风飞行，在某时刻测得风速对应向量为，地面速度对应的向量为，则飞机在该时刻的实际飞行速度（单位：）为（ ）
（参考数据：，，）
A．B．C．D．
【变式7-2】某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-3】（2025·广东广州·模拟预测）某货船执行从A港口到B港口的航行任务，B港口在A港口的正北方向．已知河水的速度为向东2m/s．若货船在静水中的航速为4m/s，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（ ）
A．2m/sB．m/sC．4m/sD．m/s
【变式7-4】共点力，作用在物体上，产生位移，则共点力对物体做的功为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-5】（2025·宁夏·一模）如图所示，质点P从点A出发，沿AB，BC，CD运动至点D，已知，，则质点P位移的大小是（ ）
A．9B．C．D．
题型八：利用投影法求范围
【典例8-1】如图所示，弧是以为圆心，OB为半径的圆的一部分，是OB的中点，在弧BD上运动，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．1
【典例8-2】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解题总结】
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．
（2）平面向量数量积的几何意义
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．
②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．
【变式8-1】（2025·全国·模拟预测）如图，已知正六边形的边长为2，对称中心为，以为圆心作半径为1的圆，点为圆上任意一点，则的取值范围为（ ）

A．B．C．D．
【变式8-2】邢台一中数学探索馆中“圆与非圆—搬运”的教具中出现的勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的一点，且，则的最小值为（ ）
A．0B．C．D．2
1．在中，，，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在平面四边形 ABCD中，，，，若点E为边CD上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
3．在中，，，，点E是BD的中点，则
A．B．C．8D．12
①数形结合
1．在等边中，D、E分别是BC、AD的中点，有以下两个结论：①，②，则下列说法正确的是
A．①成立，②成立B．①成立，②不成立
C．①不成立，②不成立D．①不成立，②成立．
2．已知正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内部不含边界的动点，且满足，则的取值范围是
A．B．C．D．
3．已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
②转化与化归
4．已知平面直角坐标系xOy中，，，设，则的取值范围是
A．B．C．D．
5．中，，，O是外接圆圆心，则的最大值为
A．0B．1C．3D．5
6．能使命题“给定m个非零向量可以相同，若其中任意个向量之和的模等于另外个向量之和的模，则这m个向量之和为零向量”成为真命题的一组m､的值为 ①，②，③，④，
A．①②B．③④C．①③D．②④
③分类讨论
7．已知向量满足，，且对一切实数x，恒成立，则，的夹角的大小为 ．
8．如图，将边长为1的正五边形ABCDE的各边延长，得到一个正五角星．若点在正五角星的内部含边界，则的最小值为 ．
9．已知平面向量满足，，，与的夹角为，则的最大值为 ．
基础过关篇
1．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
2．（2024年北京高考数学真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．1
4．（2023年北京高考数学真题）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．0D．1
5．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A．B．3C．D．5
6．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
9．记向量，设甲：向量与向量的夹角为锐角；乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10．（2025·贵州·模拟预测）已知向量，，则＝（ ）
A．1B．C．D．
11．（2025·河北衡水·模拟预测）已知向量，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．在方向上的投影向量为
12．（2025·高三·浙江·开学考试）已知向量.若向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．1D．
13．（2025·全国·模拟预测）已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
14．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知为的高，且，则（ ）
A．B．2C．D．
15．（2025·陕西西安·模拟预测）已知向量 ，若 ，则 （ ）
A．2B．C．2 或 D．3
16．（2025年高考全国二卷数学真题）已知平面向量若，则
17．（2023年上海秋季高考数学试题）已知,，求
能力拓展篇
1．（2025年高考北京卷数学真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024年天津高考数学真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ．
4．（2023年天津高考数学真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．
5．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在等腰中，，点是边上的动点，则（ ）
A．为定值16B．为定值32
C．最大值为32D．与的位置有关
6．（2025·陕西西安·模拟预测）若非零向量，相互垂直，且，则满足的的值为（ ）
A．2B．C．D．
7．（2025·四川广安·模拟预测）已知，，，，则函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2025·湖南益阳·模拟预测）在中，为的中点，为平面内一点，且，则（ ）
A．的最大值为
B．的最大值为
C．的最大值为
D．的最大值为
9．（2025·全国·模拟预测）已知，是圆上的两点，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．（2025·江西新余·模拟预测）已知非零向量满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知直线与：交于两点，若在上的投影向量的模为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
12．（多选题）（2025·河北衡水·模拟预测）在边长为3的等边三角形中，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
13．（多选题）（2025·全国·模拟预测）已知和是平面中两个相互垂直的单位向量，若该平面中的与分别满足，，设，则下列说法中正确的有（ ）
A．动点的轨迹是以为半径的圆B．的最小值是12
C．的最大值是80D．在方向上投影的最大值是
14．（2025·高三·山东菏泽·开学考试）已知满足，且对任意的实数，不等式恒成立，设的夹角为，则 .
15．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知是所在平面内一点，且，则的最大值为 .
结论
几何表示
坐标表示
模
数量积
夹角
的充要条件
的充要条件
与的关系
(当且仅当时等号成立)
5.2 平面向量的数量积及其应用
目录 TOC \ "1-2" \h \z \u
\l "_Tc211243678" 01 课标要求 PAGEREF _Tc211243678 \h 2
\l "_Tc211243679" 02落实主干知识 PAGEREF _Tc211243679 \h 3
\l "_Tc211243680" 一、平面向量的数量积 PAGEREF _Tc211243680 \h 3
\l "_Tc211243681" 常用二级结论 PAGEREF _Tc211243681 \h 4
\l "_Tc211243682" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc211243682 \h 5
\l "_Tc211243683" 题型一：数量积运算 PAGEREF _Tc211243683 \h 5
\l "_Tc211243684" 题型二：模长运算 PAGEREF _Tc211243684 \h 8
\l "_Tc211243685" 题型三：投影、投影向量运算 PAGEREF _Tc211243685 \h 10
\l "_Tc211243686" 题型四：夹角运算 PAGEREF _Tc211243686 \h 13
\l "_Tc211243687" 题型五：万能建系法 PAGEREF _Tc211243687 \h 16
\l "_Tc211243688" 题型六：利用向量平行垂直关系求解 PAGEREF _Tc211243688 \h 20
\l "_Tc211243689" 题型七：实际应用问题 PAGEREF _Tc211243689 \h 22
\l "_Tc211243690" 题型八：利用投影法求范围 PAGEREF _Tc211243690 \h 26
\l "_Tc211243691" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc211243691 \h 31
\l "_Tc211243692" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc211243692 \h 35
\l "_Tc211243693" ①数形结合 PAGEREF _Tc211243693 \h 35
\l "_Tc211243694" ②转化与化归 PAGEREF _Tc211243694 \h 37
\l "_Tc211243695" ③分类讨论 PAGEREF _Tc211243695 \h 39
\l "_Tc211243696" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc211243696 \h 44
\l "_Tc211243697" 基础过关篇 PAGEREF _Tc211243697 \h 44
\l "_Tc211243698" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc211243698 \h 50
（1）理解平面向量数量积的含义及其几何意义
（2）了解平面向量的数量积与投影向量的关系．
（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算
（4）会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题
一、平面向量的数量积
（1）基底的定义
如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，，使得．我们把不共线的向量、叫做表示这个平面内所有向量的一组基底．
（2）平面向量的直角坐标运算
特殊基底的应用:非0基底向量垂直时，可利用平面直角坐标系坐标化解题，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴正方向相同的两个单位向量，作为基底，对平面内任一向量，有且仅有一个实数对，使得，则实数对叫做向量的坐标，记作，其中，分别叫做在轴、轴上的坐标，相等向量的坐标相同，坐标相同的向量是相等向量．
①已知点，，则，
②已知，，则，，
（3）数量积的运算律
已知向量、、和实数，则：
①；
②；
③．
（4）数量积的坐标运算
已知非零向量，，为向量、的夹角．
常用二级结论
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．
（2）平面向量数量积的几何意义
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．
②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．
题型一：数量积运算
【典例1-1】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知与的夹角为，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】，
所以，
即，解得．
故选：B．
【典例1-2】中，，则（ ）
A．6B．C．D．3
【答案】A
【解析】设所对的边分别为，
由余弦定理：
则.
故选：A
【解题总结】
（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路．
（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量7．已知向量，若，则（ ）
A．B．2C．-2D．
【答案】D
【解析】因为 ，且.
所以 ，故.
化简得.即.
故选：
【变式1-1】在矩形中，为的中点，点满足，则（ ）
A．32B．16C．D．
【答案】A
【解析】在矩形中，由为的中点，点满足，得，
，而，
所以.
故选：A
【变式1-2】（2025·高三·湖南·开学考试）如图， 为等边三角形的中线上任一点，，，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】方法一：
因为为等边三角形，是边的中点.所以.故.
所以.
因为是边上的中点，所以有.
因此.
故选：D
方法二：
以为原点，，为轴，轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
设，，，.
则，，，.
所以.
又因为，，所以有
两式作差得.故.
故选：D
【变式1-3】已知向量满足，则（ ）
A．0B．2C．D．
【答案】C
【解析】由，得
，，即．
故选：C．
多如图，在平行四边形中，设，则，
由，可知平行四边形OADB为菱形，且，
所以，即向量的夹角为，
所以．
故选：C．
【变式1-4】（2025·高三·河南·开学考试）在矩形中，已知，点为线段的中点，且，则（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】C
【解析】如图所示，以为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，
设，则，，，，，，
依题意，因为，即，
所以，
结合，解得，
则，，，，
因此，.
故选：C.
题型二：模长运算
【典例2-1】已知向量，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，
所以.
故选：D.
【典例2-2】（2025·高三·四川成都·开学考试）已知向量与的夹角为，，则等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】，
即，即，
解得或（舍）.
故选：.
【解题总结】
求模长，用平方，．
【变式2-1】（2025·高三·安徽合肥·开学考试）已知两个单位向量满足，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】由，得，所以，
所以．
故选：C．
【变式2-2】（2025·辽宁大连·一模）设单位向量，已知，则的最小值为（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】C
【解析】设，
因为单位向量，，
则，
则，等号成立时方向相反，
故的最小值为.
故选：C
【变式2-3】如图，在平行四边形ABCD中，，，E是边BC的中点，F是CD上靠近D的三等分点，若，则等于（ ）
A．4B．C．D．8
【答案】A
【解析】记，
因为，且四边形ABCD为平行四边形，
则
，
可得，解得（舍）或，
所以．
故选：A.
【变式2-4】已知两个单位向量满足，则（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】A
【解析】由题意可知：，，
所以.
故选：A．
题型三：投影、投影向量运算
【典例3-1】已知向量，满足，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由向量的夹角公式得，
由投影向量公式得在上的投影向量为，故D正确.
故选：D
【典例3-2】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，可得，即，
可得，所以，即，
如图所示，设，则四边形为矩形，且，
则在上的投影向量为.
故选：A.
【解题总结】
设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．
【变式3-1】若向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，，由可得：，
以向量在向量上的投影向量为．
故选：C．
【变式3-2】（2025·高三·甘肃白银·期末）已知两个非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以，所以向量在向量上的投影向量为．
故选：D.
【变式3-3】已知向量，满足，且，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，
，解得，
向量在向量方向上的投影向量为：，
故选：B．
【变式3-4】（2025·高三·安徽·开学考试）已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由向量，得，，则，
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故选：C
【变式3-5】若向量，，，，，，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由可得，则，
又，可得，解得，则，
于是，，
则，
则向量在方向上的投影向量为.
故选：A．
题型四：夹角运算
【典例4-1】已知向量满足，则向量与的夹角为 ．
【答案】
【解析】由题意，，则，
,
则向量与的夹角为．
故答案为：
【典例4-2】（2025·高三·湖南永州·开学考试）若向量，，，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由，，则，
又与的夹角为钝角，
则，即，解得，
当与反向共线时，，解得，此时夹角不是钝角，
综上所述，k的取值范围是．
故答案为：．
【解题总结】
求夹角，用数量积，由得，进而求得向量的夹角．
【变式4-1】（2025·高三·河北保定·开学考试）若向量，，且，则 ．
【答案】
【解析】因为，所以，则，
，
所以
【变式4-2】在中，为的中点，，与相交于点F，则 ．
【答案】
【解析】由余弦定理可知,
所以为直角三角形，
不妨以C为中心分别为轴，建立平面直角坐标系，
则由题意可知：，
即，且，
易知，
即是钝角，
所以.
故答案为：
【变式4-3】（2025·广东·模拟预测）已知向量满足，则 .
【答案】/
【解析】如图：
设，，作平行四边形，则，，
因为，即，所以平行四边形为矩形.
又，所以.
所以.
故答案为：
【变式4-4】已知向量，满足，，则 ．
【答案】
【解析】结合题意：，所以
因为，所以
所以．
故答案为：.
【变式4-5】若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为 ．
【答案】/
【解析】是夹角为的两个单位向量，则，
，
，
，，
，.
故答案为：
题型五：万能建系法
【典例5-1】在等腰直角中，为边上的两个动点（不与重合），且满足，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】不妨设点靠近点，点靠近点，以等腰直角三角形的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，
线段的方程为．
由，设，则有，，，
，则由二次函数的知识可得．
故答案为：
【典例5-2】（2025·高三·内蒙古·开学考试）蒽，是一种含三个环的稠环芳烃，化学式为，蒽的三个环的中心在一条直线上，蒽是菲的同分异构体，其分子结构图如图1所示（由三个正六边形组成），将蒽的分子结构图中的14个C原子分别记为，如图2所示，设，则 ．
【答案】
【解析】以为坐标原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则，
则，
所以.
故答案为：
【解题总结】

边长为的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形
平行四边形 直角梯形 等腰梯形 圆
【变式5-1】已知在中，是内一点，且，则 .
【答案】40
【解析】解法1：设，，，
则由得，
由得，
所以，，
所以.
解法2：如图，取的中点，取的中点，
则，即，
故，，
所以.
故答案为：40.
【变式5-2】已知在中，，，是线段上的动点，且，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】依题意作图并建立坐标系，如图，，
可设，
则，，
则，
由，
得，，，
又因为，所以，故.
故答案为：
【变式5-3】已知在平行四边形中，，边的长分别为1，2，若分别是边上的点，且满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，
设，，，
由得，
从而有
所以
．
【变式5-4】在中，，，点在线段上，若，则 ；若，当取得最小值时， .
【答案】 3
【解析】由题意知为等腰三角形，，，
当时，P为的中点，则，则，
则；
若，则以的中点为坐标原点O，以为x轴建立平面直角坐标系，
则，设,
则，
当时，取最小值，符合题意，
又，即，
则，
故答案为：3；
题型六：利用向量平行垂直关系求解
【典例6-1】已知向量，的夹角为，，且，若，则 .
【答案】
【解析】因为向量，的夹角为，，且，
可得，得，
又因为，所以，解得.
故答案为：.
【典例6-2】已知，，，若，则a的值为 .
【答案】或
【解析】，
，即，
所以或，
故答案为：或.
【解题总结】
①已知点，，则，
②已知，，则，，
，． ，
【变式6-1】已知向量，的模相等且夹角为，若向量与向量垂直，则实数 ．
【答案】2
【解析】由向量，的模相等且夹角为，得，
由向量与向量垂直，得，
而，所以.
故答案为：2
【变式6-2】已知平面向量，若与垂直，且，则 ．
【答案】1
【解析】向量，则，，
由与垂直，得，又，
所以.
故答案为：1
【变式6-3】已知平面向量，若，则实数 .
【答案】7
【解析】因为平面向量，
所以，又因为，
所以，
则实数.
故答案为：7.
【变式6-4】（2025·上海嘉定·二模）已知向量，若，则 ．
【答案】8
【解析】由题设.
故答案为：8
题型七：实际应用问题
【典例7-1】冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．在冰球运动中冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小华同学在练习冰球的过程中，以力，作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功的最大值为（ ）（动力做的功）
A．B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】由题，可得，又，
，其中，
当且仅当，时，取得最大值5.
故选：D.
【典例7-2】（2025·福建泉州·模拟预测）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的某地出发，向河对岸航行．已知船在静水的速度大小为，且船在航行过程中受水流的影响．当船以路程最短的方式航行到对岸时，所需时间为6分钟，则水流速度的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图：
船的实际过河速度为：.即.
又，即.
所以，
所以，
所以.
即水流速度为：.
故选：B
【解题总结】
用向量方法解决实际问题的步骤
【变式7-1】（2025·高三·山东泰安·开学考试）如图，飞机飞行中的地面速度（GS）是指飞机相对于地面的实际速度，由飞机相对于周围空气的实际运动速度（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中风速顺风为正，逆风为负，DA为偏流角. 已知某飞机逆风飞行，在某时刻测得风速对应向量为，地面速度对应的向量为，则飞机在该时刻的实际飞行速度（单位：）为（ ）
（参考数据：，，）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设飞机的地面速度向量为，实际运动速度向量和风速向量分别为，
由已知可得，且，，
所以，
故.
故选：B.
【变式7-2】某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则，
且，设，由船需要准确到达正北方向的B点，得，
则，解得，而，于是，
，
所以该船完成此段航行的实际速度为.
故选：B
【变式7-3】（2025·广东广州·模拟预测）某货船执行从A港口到B港口的航行任务，B港口在A港口的正北方向．已知河水的速度为向东2m/s．若货船在静水中的航速为4m/s，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（ ）
A．2m/sB．m/sC．4m/sD．m/s
【答案】B
【解析】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则，
则，设，
由船需要准确到达正北方向的B点，得，
则，解得，
而，于是，
，
所以该船完成此段航行的实际速度为m/s.
故选：B.
【变式7-4】共点力，作用在物体上，产生位移，则共点力对物体做的功为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意得：共点力的合力是，
对物体做的功为.
故选：D.
【变式7-5】（2025·宁夏·一模）如图所示，质点P从点A出发，沿AB，BC，CD运动至点D，已知，，则质点P位移的大小是（ ）
A．9B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可得质点P位移为，
所以
因为，，所以，
设的夹角为，所以，
因为所以，
所以.
故选：D
题型八：利用投影法求范围
【典例8-1】如图所示，弧是以为圆心，OB为半径的圆的一部分，是OB的中点，在弧BD上运动，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】C
【解析】由题意可知，，则．
因为点在弧上运动，所以，
而余弦函数在上单调递减，
所以当时，取得最小值，为．
故选：C．
【典例8-2】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，
可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，
故选：A.
【解题总结】
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．
（2）平面向量数量积的几何意义
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．
②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．
【变式8-1】（2025·全国·模拟预测）如图，已知正六边形的边长为2，对称中心为，以为圆心作半径为1的圆，点为圆上任意一点，则的取值范围为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解法一 ：如图所示：
连接，设，连接，依题意得，，，，
则，
．
因为，所以，（三角函数的有界性）
所以．
故选：C．
解法二 如图，
以为坐标原点，以直线为轴，过且和垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，
则依题意可得，，，
因为圆的半径为1，所以可设，
所以，，所以，
又，（三角函数的有界性）
所以．
故选：C．
解法三 如图所示：
设，则．
可看成是在上的投影，
当点与重合时最小，最小值为，
当点与重合时最大，最大值为0，
故．
故选：C．
【变式8-2】邢台一中数学探索馆中“圆与非圆—搬运”的教具中出现的勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的一点，且，则的最小值为（ ）
A．0B．C．D．2
【答案】C
【解析】因为为弧上的一点，则，且，
可知，
由图形可知：当点与点重合时，向量在方向上的投影取到最小值，
此时，
所以的最小值为.
故选：C.
1．在中，，，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：法一：建立如图所示坐标系，
由题易知，设，，，，设，
法二：注意：，，，且
，，
，，
其中，，
2．如图，在平面四边形 ABCD中，，，，若点E为边CD上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【解析】解：解法1：如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，
建立平面直角坐标系，
易求得，
则，，，
令，，
，
当时，取得最小值，
，
故选
解法2：令，由已知可得，
，
，
当时，取得最小值
故选
3．在中，，，，点E是BD的中点，则
A．B．C．8D．12
【答案】B
【解析】解：方法一：因为，，点E是BD的中点，
所以和在上的投影向量分别为和，
又，
所以
方法二：以A为原点，AC所在直线为y轴，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
所以，，，，
所以
故选：
①数形结合
1．在等边中，D、E分别是BC、AD的中点，有以下两个结论：①，②，则下列说法正确的是
A．①成立，②成立B．①成立，②不成立
C．①不成立，②不成立D．①不成立，②成立．
【答案】C
【解析】解：建立以BC为x轴，DA为y 轴的直角坐标系，
不妨设，，，，
则，
，
设AB中点为F，与相交不平行，
故选
2．已知正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内部不含边界的动点，且满足，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：以AB中点为原点建立如下直角坐标系；则，，，，
设，则，，
则，
即x22，则x22，其中，，
则，，
则
故选：
3．已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】解：由，得，
，
如图，
不妨设，
则的终点在以为圆心，以1为半径的圆周上，
又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线上．
不妨以为例，则的最小值是到直线的距离减
即
故选：
②转化与化归
4．已知平面直角坐标系xOy中，，，设，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：因为，，
由平方可得，，所以⟨⟩，
，，
所以
，
，
又，
当且仅当与共线时，等号成立，
即，
所以，即
故选：
5．中，，，O是外接圆圆心，则的最大值为
A．0B．1C．3D．5
【答案】C
【解析】解：因为O为外接圆圆心，所以，
又，所以，即外接圆半径为1，，
，
因为，所以，
所以，所以，
从而
即的最大值是
故选：
6．能使命题“给定m个非零向量可以相同，若其中任意个向量之和的模等于另外个向量之和的模，则这m个向量之和为零向量”成为真命题的一组m､的值为 ①，②，③，④，
A．①②B．③④C．①③D．②④
【答案】D
【解析】解：记 ，
则 ，
其中 ，规定 ，
对上式两边平方得 ， ，
累加得 ，
所以 时，必有 ，
故选：
③分类讨论
7．已知向量满足，，且对一切实数x，恒成立，则，的夹角的大小为 ．
【答案】
【解析】解：令与的夹角为，
由得： ，
因为，，
所以 对一切实数x恒成立，
当时，式子显然成立；
当时， ，由于，故；
当时， ，由于，故；
所以，
又，故，
故答案为
8．如图，将边长为1的正五边形ABCDE的各边延长，得到一个正五角星．若点在正五角星的内部含边界，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】解：要使最小，它们夹角必定为钝角或平角，若在五角星内，
只要延长与边界相交于点，在保持夹角不变情形下，
，则，
所以必定在五角星边界上先考察点P位置，根据对称性，分两种情形：
点P在边DY上：
①先考虑极端情形：若点P与右顶点Y重合，
则在上投影向量的模最长且与反向的就是即Q与M重合，所以此时最小；
②再考虑一般情形：利用微调法分析，当点P在边DY上由Y向D移动时，变小，
且在上投影向量的模也变小为，故变大，不合题意；
点P在的边DF上：
①先考虑极端情形：若点P与顶点F重合，则此时，但注意到在上投影向量的模最长且反向的是，
且根据相交弦定理知：，所以此时；
②再考虑一般情形：利用微调法分析，当点P在边CF上由F向C移动时，变小，而在上投影向量的模会变大，
过P作AB的垂线PN，垂足为N，则四点共圆，
由相交弦定理知，
所以此时，
如图：在顶角为的等腰三角形，设，
取，则，所以，解得，
所以，
综上，当P，Q分别与顶点重合时，取最小值，
由于黄金分割比，
，而，则，
同理，则，
所以
故答案为：
9．已知平面向量满足，，，与的夹角为，则的最大值为 ．
【答案】5
【解析】【解析】解：，可以方向为x轴正方向，方向为y轴正方向建立直角坐标系，如图所示：
令，，，，，
以线段AB为一边可作两个等边三角形：和，
由图可知，，以为圆心，AB长为半径作出圆，同理作出圆
与的夹角为，即与的夹角为，即，
则点C的轨迹为圆中弦AB所对应的优弧以及圆中弦AB所对应的优弧不包括端点A、
①当C在圆中弦AB所对应的优弧中时，
由图可知，设点，则有，
令，
则
，
当时，即时，上式不等式可取等号，此时取得最大值
故的最大值为5；
②当C在圆中弦AB所对应的优弧中时，同理可得的最大值为5；
综上所述，的最大值为
故答案为
基础过关篇
1．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以即，故，
故选：D.
2．（2024年北京高考数学真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为，可得，即，
可知等价于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，无法得出或，
例如，满足，但且，可知充分性不成立；
综上所述，“”是“或”的必要不充分条件.
故选：B.
3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】因为，所以，即，
又因为，
所以，
从而.
故选：B.
4．（2023年北京高考数学真题）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】B
【解析】向量满足，
所以.
故选：B
5．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A．B．3C．D．5
【答案】B
【解析】方法一：以为基底向量，可知，
则，
所以；
方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，可得，
所以；
方法三：由题意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故选：B.
6．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
则，，
所以.
故选：B.
7．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
.
故选:D.
8．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
9．记向量，设甲：向量与向量的夹角为锐角；乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】,
由向量与向量的夹角为锐角，故，且与不共线，
所以，
解得，
又与不共线，则可得，解得.
故向量与向量的夹角为锐角，可得且.
故若且，则可得，即充分性成立；
反之，若，则推不出且，即必要性不成立；
故甲是乙的充分不必要条件,
故选：.
10．（2025·贵州·模拟预测）已知向量，，则＝（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，
即．
故选：D
11．（2025·河北衡水·模拟预测）已知向量，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．在方向上的投影向量为
【答案】C
【解析】对于A，因为，所以，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，，
所以，故B正确；
对于C，因为，所以，所以，故C错误；
对于D，因为，所以，，
在方向上的投影向量为，故D正确.
故选：C.
12．（2025·高三·浙江·开学考试）已知向量.若向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【解析】因为向量，所以.
所以向量在向量上的投影向量为：
.
所以，解得.
故选：B.
13．（2025·全国·模拟预测）已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
.
.
.
.
.
.
故选：C.
14．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知为的高，且，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【解析】
因为为的高，所以
,
故选：A.
15．（2025·陕西西安·模拟预测）已知向量 ，若 ，则 （ ）
A．2B．C．2 或 D．3
【答案】C
【解析】因为 ，所以 .
因为 ，
所以 .
因为 ，所以 ，
解得 或 ，
故选 ：C.
16．（2025年高考全国二卷数学真题）已知平面向量若，则
【答案】
【解析】，因为，则，
则，解得.
则，则.
故答案为：.
17．（2023年上海秋季高考数学试题）已知,，求
【答案】4
【解析】由题意得
故答案为：4
能力拓展篇
1．（2025年高考北京卷数学真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，，
由平方可得，，所以．
，，
所以，
，
又，即，
所以，即，
故选：D.
2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得
当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，
则：
，则
当时，有最大值.
当点位于直线同侧时，设，
则：
，
，则
当时，有最大值.
综上可得，的最大值为.
故选：A.
3．（2024年天津高考数学真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】解法一：因为，即，则，
可得，所以；
由题意可知：，
因为为线段上的动点，设，
则，
又因为为中点，则，
可得
，
又因为，可知：当时，取到最小值；
解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则，
可得，
因为，则，所以；
因为点在线段上，设，
且为中点，则，
可得，
则，
且，所以当时，取到最小值为；
故答案为：；.
4．（2023年天津高考数学真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】空1：因为为的中点，则，可得，
两式相加，可得到，
即，则；
空2：因为，则，可得，
得到，
即，即.
于是.
记，
则，
在中，根据余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，当且仅当取得等号，
则时，有最大值.
故答案为：；.
5．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在等腰中，，点是边上的动点，则（ ）
A．为定值16B．为定值32
C．最大值为32D．与的位置有关
【答案】B
【解析】如图，取的中点为，连接，
因为为等腰三角形，所以，又，
所以.
所以.
所以为定值32.
故选：.
6．（2025·陕西西安·模拟预测）若非零向量，相互垂直，且，则满足的的值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】因为向量，相互垂直，且，不妨设，，
则，
解得.
故选：B．
7．（2025·四川广安·模拟预测）已知，，，，则函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，，
则，，
.
故选：C.
8．（2025·湖南益阳·模拟预测）在中，为的中点，为平面内一点，且，则（ ）
A．的最大值为
B．的最大值为
C．的最大值为
D．的最大值为
【答案】A
【解析】
以为坐标原点，，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
所以，设，
所以，
因为，
所以，即，即，
所以为以为圆心，半径为圆上一点，
对于A，，所以，几何意义为到原点的距离，
所以的最大值为到原点的距离的最大值，
最大值为原点到圆心距离加上半径，即，故A正确；
对于B，，，几何意义为到的距离，
所以的最大值为到的距离的最大值，
最大值为到圆心距离加上半径，即，故B错误；
对于C，，令，即，
即，当与圆相切时有最值，即，
解得，所以的最大值为，即的最大值为5，故C错误；
对于D，，因为为以为圆心，半径为圆上一点，
所以的最大值为，所以的最大值为，故D错误，
故选：A.
9．（2025·全国·模拟预测）已知，是圆上的两点，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】圆的圆心为，半径.
∵，是圆上的两点，∴，，.
∴，，
∴，
.
∵，∴.
设，则，.
∴由向量数量积性质可得，即，
当且仅当与反向时；当且仅当与同向时.
∴的取值范围是.
故选：B.
10．（2025·江西新余·模拟预测）已知非零向量满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由于，则，
又由可得，
即，即，
对于选项，，故错误；
对于选项，由于，则，即，
所以，故正确；
对于选项，，故错误；
对于选项，，故错误．
故选：．
11．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知直线与：交于两点，若在上的投影向量的模为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为的标准方程为，圆心为，半径为，
又易知直线过定点，
如图，过作于，因为在上的投影向量的模为，
则，所以，则，解得，
故选：D.
12．（多选题）（2025·河北衡水·模拟预测）在边长为3的等边三角形中，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】对于A：，A错误；
对于B：，所以
，B正确；
对于C：因为，
所以，
所以，C正确；
对于D：
，D正确.
故选：BCD.
13．（多选题）（2025·全国·模拟预测）已知和是平面中两个相互垂直的单位向量，若该平面中的与分别满足，，设，则下列说法中正确的有（ ）
A．动点的轨迹是以为半径的圆B．的最小值是12
C．的最大值是80D．在方向上投影的最大值是
【答案】BCD
【解析】因为和是平面中两个相互垂直的单位向量，不妨设，
则，，
因为，，所以，，
又，所以此时（为坐标原点）动点的轨迹是以3为半径，为圆心的圆，故A错误，
设，此时（为坐标原点）动点的轨迹是以为半径，为圆心的圆，
所以知，，且与可以同时取得各自的最大值与最小值，
所以，故BC正确，
在方向上投影为，如图易知对于任意，当与圆在第一象限相切时最大，
过作，交直线于，过作交直线于，
此时在方向上投影为，
易知，所以，
又由圆的几何性质可知当与圆相切时，最大，最大值为，
综上在方向上投影的最大值为，故D正确；
故选：BCD
14．（2025·高三·山东菏泽·开学考试）已知满足，且对任意的实数，不等式恒成立，设的夹角为，则 .
【答案】
【解析】由题意可知，对任意的实数恒成立，
即，即，
即，
即对任意的实数恒成立，
则，即，得，
因，则，
则.
故答案为：
15．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知是所在平面内一点，且，则的最大值为 .
【答案】/
【解析】因为，
所以，所以，
即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图所示：
由图可知，当与圆相切时，取得最大值，
因为，，所以，即的最大值为．
故答案为：
结论
几何表示
坐标表示
模
数量积
夹角
的充要条件
的充要条件
与的关系
(当且仅当时等号成立)