2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用第三章一元函数的导数及其应用(单元测试)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用第三章一元函数的导数及其应用(单元测试)(学生版+解析)，共9页。试卷主要包含了设，，，则，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如果质点按规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（ ）
A．8 m/s B．7m/s C．6 m/s D．5 m/s
2．曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．若函数的极大值点与极小值点分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
5．设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
6．已知定义在R上的函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（ ）
A．是的极值点
B．在区间上单调递增
C．是在区间上的最小值点
D．曲线在点处的切线斜率小于零
7．定义在上的函数为奇函数，其导数为，且当时，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
8．若函数有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，则（ ）
A．是奇函数B．
C．在区间单调递减D．有且仅有2个零点
10．生物学家为了研究某生物种群的数量情况，经过数年的数据采集，得到该生物种群的数量（单位：千只）与时间（，单位：年）的关系近似的符合，且在研究刚开始时，该生物种群的数量为5000只．则下列结论正确的是（ ）
A．该生物种群的数量逐年增加
B．该生物种群的数量不超过40000只．
C．该生物种群数量的增长速度逐年减小
D．该生物种群数量的年增长量不超过10000只
11．Swish函数和函数是人工智能领域的两个重要激活函数，关于这两个函数下列说法正确的是（ ）
A．函数在定义域上单调递增
B．不等式的解集为
C．若函数满足恒成立，则称为“可交换算子”，Swish函数和ReLU函数是“可交换算子”
D．，当时，
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，则 .
13．若是函数的极值点，则
14．若函数的最小值为1，则实数的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知函数.
(1)求函数的单调区间以及极值；
(2)求函数在上的最小值.
16．（15分）
消毒液已成为生活必需品，日常的消费需求巨大．某商店销售一款酒精消毒液，每件的成本为元，销售人员经调查发现，该款消毒液的日销售量（单位：件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式．
(1)求该款消毒液的日利润与销售价格间的函数关系式；
(2)求当该款消毒液每件售价为多少元时，每日销售该款消毒液所获得的利润最大，并求出日最大利润．
17．（15分）
已知函数．
(1)若，讨论函数在的单调性；
(2)若在上有唯一的零点，求实数a的最小值．
18．（17分）
已知函数．
(1)若曲线与在处相交，且曲线在处的切线与直线平行，求的值；
(2)若，对于任意，都有，求实数的取值范围；
(3)若，不等式恒成立，求的最大值．
19．（17分）
英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题．
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围．
第三章 一元函数的导数及其应用（单元测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如果质点按规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（ ）
A．8 m/s B．7m/s C．6 m/s D．5 m/s
【答案】B
【解析】，
则质点在2s末的瞬时速度为7m/s.
故选：B
2．曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由已知，
则，
即切线斜率，
又，
所以切线方程为，
即，
故选：D.
3．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题知在上恒成立，所以，得.
故选：D.
4．若函数的极大值点与极小值点分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，得，
则当时，；当或时，，
故在和上单调递增，在上单调递减，
所以函数的极大值点与极小值点分别为，，
则，，所以，
故选：C.
5．设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由在上恒成立，当且仅当时等号成立，则，
即，综上可得，
故选：B.
6．已知定义在R上的函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（ ）
A．是的极值点
B．在区间上单调递增
C．是在区间上的最小值点
D．曲线在点处的切线斜率小于零
【答案】C
【解析】由的图象可知：当时，，当时，，
故在单调递减，在单调递增，
故是函数的极小值点，也是上的最小值点，故A错误，B错误，C正确，
由图可知：，因此曲线在点处的切线斜率大于零，故D错误，
故选：C
7．定义在上的函数为奇函数，其导数为，且当时，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，当时，，
所以在上单调递减，又因为函数为定义在上奇函数，
为定义在上奇函数，所以为定义在上的奇函数，
则在上单调递减，即函数在上单调递减，
所以由可得：，
即，所以，
故选：C.
8．若函数有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为有两个零点，
故有两个不同的解，
所以有两个不同的解，
故有两个不同的解，
设，则，故为上的单调增函数，
而时，，时，，故的值域为，
故在上有两个不同的零点，
设，则，
当时，；当时，；
故在上为增函数，在上为减函数，
故即，
此时当时，，时，，
故时，确有两个不同的零点，综上.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，则（ ）
A．是奇函数B．
C．在区间单调递减D．有且仅有2个零点
【答案】AC
【解析】函数的定义域为R，
对于A，，是奇函数，A正确；
对于B，求导得，，B错误；
对于C，，当时，，，
奇函数在上递减，则在上递减，因此在上递减，C正确；
对于D，奇函数满足，因此零点个数必为奇数，D错误.
故选：AC
10．生物学家为了研究某生物种群的数量情况，经过数年的数据采集，得到该生物种群的数量（单位：千只）与时间（，单位：年）的关系近似的符合，且在研究刚开始时，该生物种群的数量为5000只．则下列结论正确的是（ ）
A．该生物种群的数量逐年增加
B．该生物种群的数量不超过40000只．
C．该生物种群数量的增长速度逐年减小
D．该生物种群数量的年增长量不超过10000只
【答案】ABD
【解析】由题意可得，，解得，则，
由在上，函数单调递增，函数单调递减，则函数单调递增，
由，则，故AB正确；
因为，
所以易知函数在上单调递增，在上单调递减，
故该生物种群数量的增长速度先增大后减小，故C错误；
当时，取最大值，最大值为，
则该生物种群数量的年增长量不超过只，故D正确.
故选：ABD.
11．Swish函数和函数是人工智能领域的两个重要激活函数，关于这两个函数下列说法正确的是（ ）
A．函数在定义域上单调递增
B．不等式的解集为
C．若函数满足恒成立，则称为“可交换算子”，Swish函数和ReLU函数是“可交换算子”
D．，当时，
【答案】BCD
【解析】对于A中，由函数，
可得，
令，可得，所以单调递增，
因为，
由零点存在定理，存在，使得，
当时，，即，函数递减，所以A错误；
对于B中，由函数 ，则函数其图象（如图所示），
，则满足或
解得或，所以B正确；
对于C中，已知，对于函数，
当时，，所以；
当时，，所以，
即，
对于函数，
当时，，所以；
当时，，所以，
即，可得，
所以函数和函数是“可交换算子”，所以C正确．
对于D中，当时，可得，因为，
所以对任意，存在使得时，使得，即误差小于，所以D正确．
故选：BCD．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，则 .
【答案】
【解析】由 ，
因为，所以.
故答案为：.
13．若是函数的极值点，则
【答案】
【解析】由题意有，
所以，
因为是函数极值点，所以，得，
当时，，
当单调递增，当单调递减，
当单调递增，
所以是函数的极小值点，符合题意；
所以.
故答案为：.
14．若函数的最小值为1，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】，
令，
原式可化为，
当单调递增，当单调递减，
当且仅当时，取得最小值1，
所以有解，
即有解.
记，
当在单调递增，当在单调递减，
故，且当，
所以，所以，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知函数.
(1)求函数的单调区间以及极值；
(2)求函数在上的最小值.
【解析】（1）函数的定义域是.
又，令，得，令，得，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以函数的极大值为，无极小值.
（2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最小值为.
因为，所以，
所以函数在上的最小值为1.
16．（15分）
消毒液已成为生活必需品，日常的消费需求巨大．某商店销售一款酒精消毒液，每件的成本为元，销售人员经调查发现，该款消毒液的日销售量（单位：件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式．
(1)求该款消毒液的日利润与销售价格间的函数关系式；
(2)求当该款消毒液每件售价为多少元时，每日销售该款消毒液所获得的利润最大，并求出日最大利润．
【解析】（1）由题意知：，
即.
（2）由（1）得：，
令，解得：（舍），，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
又，当时，；当时，；
当该款消毒液每件售价为元时，每日销售该款消毒液所获得的利润最大，最大利润为元.
17．（15分）
已知函数．
(1)若，讨论函数在的单调性；
(2)若在上有唯一的零点，求实数a的最小值．
【解析】（1）由条件，
则，
由，所以，
令，则，得或，
令，则，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
（2）由，则，
令，则，
所以当时，单调递增，
又，所以，
，
所以在上单调递增，，
由题意，，解得，
所以a的最小值为1．
18．（17分）
已知函数．
(1)若曲线与在处相交，且曲线在处的切线与直线平行，求的值；
(2)若，对于任意，都有，求实数的取值范围；
(3)若，不等式恒成立，求的最大值．
【解析】（1）函数的定义域为，由曲线与在处相交，
所以，所以．
所以，则，
因为曲线在处的切线与直线平行，
所以，即，所以；
（2）当时，对任意，
不等式，
当时，令，求导得，
函数在上递增，，因此，
当时，，即恒成立，则；
当时，，由，得，
当时，，函数在上单调递减，
，不符合题意，所以实数的取值范围是；
（3）依题知，，不等式恒成立，
即恒成立，
设，
则
当时，恒成立，故在上单调递增，
因为，所以不符合题意；
当时，由，得，由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则恒成立，
整理得．
设，则恒成立，
所以在上单调递增,
又，且，
故的最大值为．
19．（17分）
英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题．
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围．
【解析】（1）设，则．
当时，：当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因此，，即．
（2）由泰勒公式知，①
于是，②
由①②得，
，
所以
．
即．
（3），
则，设．
设，则，当时，
故在上为增函数.
由基本不等式知，，当且仅当时等号成立．
所以当时，，所以在R上单调递增．
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
因此，是的极小值点．
下面证明：当时，不是的极小值点．
当时，，
又因为是R上的偶函数，且在上单调递增，
所以当时，．
因此，在上单调递减．
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减．
因此，是的极大值点，不是的极小值点．
综上，实数的取值范围是．