2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用第六章数列单元测试(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用第六章数列单元测试(学生版+解析)，共20页。试卷主要包含了若，数列满足，则的值是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，则 （ ）
A．B．C．D．
3．设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．8B．10C．14D．18
4．已知依次成等差数列，依次成等比数列，则的最小值是（ ）
A．2B．C．4D．8
5．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、图②、图③、图④中图形的周长依次记为，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知首项为1的数列，其前n项积是公差为3的等差数列，则＝（ ）
A．4B．3C．D．
7．行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（ ）
A．31B．63C．127D．255
8．若，数列满足，则的值是（ ）
A．2024B．4048C．3036D．2025
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．数列为等差数列，为其前项和，已知，则（ ）
A．B．
C．D．当或时，最大
10．已知数列是公比为的等比数列，其前项和为，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），即．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，前项和为．则下列结论正确的是（ ）
A．时，使得要6步雹程B．时，
C．时，D．使得的的值有6个
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在等差数列中，.则公差 .
13．在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为 ．
14．若，已知数列中，首项，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求证：.
16．（15分）
已知等差数列的公差为，前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)设为数列的前项和，求使得的的最小值.
17．（15分）
已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)对于任意，求实数的取值范围.
18．（17分）
在数列中，，其前n项和为．数列是公差为d的等差数列．
(1)求d；
(2)若，
（i）求数列的通项公式；
（ii）若，数列满足的前n项和，证明：．
19．（17分）
已知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式．
(2)记，证明：．
(3)记（），证明：．
第六章 数列单元测试
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为等差数列满足，，且，故，
又，即，故.
故选：A.
2．已知函数，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函数在 时定义为 ，
取 得：，
令，得：，
，
则数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
故.
故选：D
3．设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．8B．10C．14D．18
【答案】A
【解析】等比数列中，成等比数列，
成等比数列，
，
故选：A．
4．已知依次成等差数列，依次成等比数列，则的最小值是（ ）
A．2B．C．4D．8
【答案】A
【解析】成等差数列，成等比数列，
所以，且，则，
当且仅当时取等号，
故选：A.
5．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、图②、图③、图④中图形的周长依次记为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】观察图形知，各个图形的周长依次排成一列构成数列，
从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍，边长是相邻前一个图形的，
则从第二个图形开始，每一个图形的周长是相邻前一个图形周长的，即有，
故数列是首项，公比为的等比数列，则，故.
故选：B.
6．已知首项为1的数列，其前n项积是公差为3的等差数列，则＝（ ）
A．4B．3C．D．
【答案】C
【解析】因为数列的首项为1，且其前n项积是公差为3的等差数列.
所以，令，得.
所以数列是公差为3，首项为1的等差数列.
故，即.
所以.
故选：C.
7．行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（ ）
A．31B．63C．127D．255
【答案】C
【解析】根据题意可得：，
因为数列是等比数列，，则化简得，
因为，所以.
所以.
故选：C.
8．若，数列满足，则的值是（ ）
A．2024B．4048C．3036D．2025
【答案】B
【解析】，
，
则.
因为
令，得
；
；
；
…………
又.
故
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．数列为等差数列，为其前项和，已知，则（ ）
A．B．
C．D．当或时，最大
【答案】AB
【解析】设等差数列的公差为，则，故B正确；
所以，故A正确；
，故C错误；
由，可得，
由于二次函数的对称轴为，开口向上，
所以当或时，最小，故D错误；
故选：AB
10．已知数列是公比为的等比数列，其前项和为，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】根据题意，，
两式相除得，A正确；
又即可得，B正确；
，C错误；
根据选项A，可知为首相为，公比为的等比数列，
所以
.
D正确.
故选：ABD
11．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），即．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，前项和为．则下列结论正确的是（ ）
A．时，使得要6步雹程B．时，
C．时，D．使得的的值有6个
【答案】ACD
【解析】若，则，
则需要6步雹程，故A正确；
若，则，
因，则，故B错误；
若，则，
，
则，故C正确；
若，则或，
若，则，，，；
若，则，，，；
若，则，，，；
若，则，，，；
若，则，，，；
若，则，，，；
故的所有取值为，共个，故D正确.
故选：ACD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在等差数列中，.则公差 .
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，在等差数列中，，所以,解得:，所以;
故答案为：
13．在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为在公差不为0的等差数列中，是与的等差中项，
所以，所以，
因此，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：
14．若，已知数列中，首项，则 ．
【答案】158
【解析】，
，即，
，
时，，两式相减得，
时，，故，
又时也符合上式，故，
，
．
记，
则，
两式相加得，，即，则．
故答案为：158
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求证：.
【解析】（1）在等差数列中，，则.
又，所以该等差数列公差.故.
所以，
故数列的通项公式为.
（2）因为，所以，
则
化简得.
因为，所以，故.
16．（15分）
已知等差数列的公差为，前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)设为数列的前项和，求使得的的最小值.
【解析】（1）由于，
故解得
所以.
（2）由（1）知，所以，
则数列是以4为首项，3为公差的等差数列；
所以.
由，得，
即，
则，或，
又因为，所以的最小值为4.
17．（15分）
已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)对于任意，求实数的取值范围.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由已知可得，
因为，解得，
又，
得，
所以.
（2）由（1）可知，则，
由可得，
令，
，
当时，，
当时，，
则数列的最大项为，
故，
即实数的取值范围为.
18．（17分）
在数列中，，其前n项和为．数列是公差为d的等差数列．
(1)求d；
(2)若，
（i）求数列的通项公式；
（ii）若，数列满足的前n项和，证明：．
【解析】（1）因为，且数列是公差为d的等差数列，
所以或，
于是或，且，所以或．
（2）（i）当时，，即，
所以，
相减整理得，即得
所以，
所以，累乘得，
也满足上式，所以．
（ii）证明：，显然．
，
所以，
累加得，得证．
19．（17分）
已知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式．
(2)记，证明：．
(3)记（），证明：．
【解析】（1）由，可得．
当时，，解得，
当时，，整理得（），
∴数列是以2为首项、2为公比的等比数列，
∴.
（2）∵，
∴．
又，
∴．结论得证.
（3）由题意知，
，得证.