高中人教A版 (2019)集合间的基本关系学案设计

这是一份高中人教A版 (2019)集合间的基本关系学案设计，共44页。学案主要包含了知识点梳理，题型归纳目录，典型例题，技巧总结，同步练习等内容，欢迎下载使用。
知识点一．集合与集合的关系
（1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集.
记作：
读作：A包含于B(或B包含A).
图示：
（2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等.
记作：A=B
读作：A等于B.
图示：
知识点诠释：
（1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出．
（2）当不是的子集时，我们记作“(或)”，读作：“不包含于”（或“不包含”）．
知识点二．真子集
若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集。
记作：AB（或BA）
读作：A真包含于B（或B真包含A）
知识点三．空集
不含有任何元素的集合称为空集，记作：.
规定：空集是任何集合的子集。
结论：（1）（类比）
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
（3）若则（类比，则）
（4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。
【题型归纳目录】
题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题
题型二：韦恩图及其应用
题型三：由集合间的关系求参数的范围
题型四：集合间的基本关系
题型五：判断两集合是否相等
题型六：根据两集合相等求参数
题型七：空集的性质
【典型例题】
题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题
例1．（2022·广东·金山中学高一期中）已知集合， 则的真子集有________个；若，则________．
【答案】 ； .
【解析】
【分析】
空一：根据集合真子集个数公式进行求解即可；
空二：利用代入法，结合集合元素互异性进行求解即可.
【详解】
空一：因为集合中元素的个数为，所以的真子集的个数为：；
空二：因为，所以有或，
当时，，这样不符合集合元素的互异性，
当时，，或，
当时，集合
当时，，这样不符合集合元素的互异性，
所以，
故答案为：；
例2．（2022·安徽·高一期中）设集合，则集合的子集个数为________
【答案】16
【解析】
【分析】
先化简集合A，再利用子集的定义求解.
【详解】
解：，
故A的子集个数为，
故答案为：16
例3．（2022·天津·静海一中高一阶段练习）已知集合．
（1）若有两个子集，求的取值范围；
（2）若中至多有两个子集，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由子集的个数得集合中有且只有一个元素，从而可得参数值或范围；
（2）由中元素个数为1或0可得结论．
【详解】
（1）①时，为一次方程，，符合题意；
②时，若中只有一个元素，则，即．
或．
（2）中至多只有一个元素：
①中只有一个元素，由（1）知或；
②中没有元素，则此时，解得，
所以的取值范围为．
例4．（2022·湖南·高一课时练习）设是由6的全体正约数组成的集合，写出的所有子集.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
首先写出的正约数，即可得到集合，再用列举法列出的所有子集；
【详解】
解：因为的正约数有、、、，所以，所以的子集有：、、、、、、、、、、、、、、、共16个；
例5．（2022·内蒙古·乌兰浩特一中高一期中）已知集合，且．
(1)求实数的值；
(2)写出集合A的所有子集．
【答案】(1)1
(2)，，，，，，，
【解析】
【分析】
（1）分类讨论哪个元素为3，并检验是否满足集合中元素的互异性；（2）结合第一问求出的集合A，写出所有子集.
(1)
∵，
当时，，此时，由于集合中的元素不能重复，故舍去
当时，或，当时，符合要求；当时，，此时集合A中有两个0，故舍去，综上：
(2)
由（1）知，，故A的所有子集为：，，，，，，，
例6．（2022·全国·高一课前预习）写出集合｛a，b，c｝的所有子集，并指出哪些是它的真子集?
【答案】子集为：φ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}；真子集为：φ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}.
【解析】
【分析】
利用子集和真子集定义求解.
【详解】
由子集的定义得：φ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}；
由真子集定义得：φ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}.
例7．（2022·全国·高一课前预习）已知集合满足，求所有满足条件的集合．
【答案】集合为，，，，，，，．
【解析】
【分析】
根据集合中元素个数分类写出集合．
【详解】
解：①当中含有2个元素时，为；
②当中含有3个元素时，为，，；
③当中含有4个元素时，为，，；
④当中含有5个元素时，为．
故满足条件的集合为，，，，，，，．
【技巧总结】（分类讨论是写出所有子集的方法）
1.分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏.
2.若集合A中有n个元素，则集合A有个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集，该结论可在选择题或填空题中直接使用.
题型二：韦恩图及其应用
例8．（2022·上海·高一专题练习）已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求得集合，判断出的关系，由此确定正确选项.
【详解】
N={x|x2-x=0}={0，1}，M={-1，0，1}，所以N⊆M，所以选B.
故选：B
例9．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
由图可得，由选项即可判断.
【详解】
解：由图可知：，
，
由选项可知：，
故选：D.
例10．（2022·全国·高一课时练习）已知集合U、S、T、F的关系如图所示，则下列关系正确的是( )
①S∈U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊆F；⑤S∈F；⑥F⊆U.
A．①③B．②③
C．③④D．③⑥
【答案】D
【解析】
【分析】
观察Venn图中集合U，S，T，F的关系，分别进行判断，能够得到正确答案．
【详解】
观察Venn图中集合U，S，T，F的关系，
①S∈U，故错误；
②F⊆T，故错误，
③S⊆T，故正确；
④S⊆F；故错误，
⑤S∈F；故错误，
⑥F⊆U故正确
故选D．
【点睛】
本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算．Venn图：也叫文氏图，用于显示元素集合重叠区域的图示．
【技巧总结】(Venn图应用)
Venn是集合的又一种表示方法，使用方便，表达直观，可迅速帮助我们分析问题、解决问题，但它不能作为严密的数学工具使用.
题型三：由集合间的关系求参数的范围
例11．（2022·天津市红桥区教师发展中心高一期中）已知，，若，则的值为( )
A．1或－1B．0或1或－1C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
A＝{－1，1}，若，则＝±1，据此即可求解﹒
【详解】
，，
若，则＝1或－1，故a＝1或－1．
故选：A．
例12．（2022·安徽宣城·高一期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分、两种情况讨论，结合可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
【详解】
当时，即当时，，合乎题意；
当时，即当时，由可得，解得，此时.
综上所述，.
故选：A.
例13．（2022·江苏镇江·高一期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是__.
【答案】
【解析】
【分析】
由可知集合中的元素都在集合中，即把集合中的元素带入集合应该满足，从而得到的取值范围.
【详解】
解：，且，
，解得，
故的取值范围是.
例14．（2022·广东·化州市第三中学高一阶段练习）已知集合，集合，若，则实数a的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】
结合数轴图与集合包含关系，观察即可得到参数的范围.
【详解】
在数轴上表示出集合A，B，
由于，如图所示，则.
例15．（2022·湖南·永州市第二中学高一阶段练习）已知
(1)若求实数a的取值范围
(2)若，求实数的取值范围
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由题可得，即得；
（2）根据，结合集合的包含关系，即可求得的取值范围．
(1)
∵，
∴，即，
∴实数a的取值范围为；
(2)
∵，，
∴，解得，
故实数的取值范围为.
例16．（2022·安徽·泾县中学高一阶段练习）已知.
(1)若是的子集，求实数的值；
(2)若是的子集，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)或.
【解析】
【分析】
（1）由题得，解即得解；
（2）由题得，再对集合分三种情况讨论得解.
(1)
解：由题得.
若是的子集，则，
所以.
(2)
解：若是的子集，则.
①若为空集，则，解得；
②若为单元素集合，则，解得.
将代入方程，
得，即，符合要求；
③若为双元素集合，，则.
综上所述，或.
例17．（2022·重庆·高一阶段练习）已知集合．
(1)若是的子集，且至少含有元素，写出满足条件的所有集合；
(2)若，且，求实数的取值集合．
【答案】(1)，，，；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据集合包含关系和可直接得到结果；
（2）分别在和两种情况下，根据构造方程可求得结果.
(1)
，，可能的集合为：，，，；
(2)
当时，，满足；
当时，；若，则或或，
解得：或或；
综上所述：实数的取值集合为.
例18．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，若，求实数p的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
根据集合之间的基本关系，列式即可求解.
【详解】
由，可知，
①当，即时，，满足题意．
②当，即时，由得，，．
综上可得，实数p的取值范围为．
例19．（2022·湖南·高一课时练习）已知集合，，若，求实数的取值范围．
【答案】或
【解析】
【分析】
分析得出，求得，对方程，计算得出，分、、三种情况讨论，在、的前题下，验证成立，在时，可得出，可求得实数的值，综合可得出实数的取值范围.
【详解】
因为，
对于方程，.
当时，，则，合乎题意；
当时，，此时，合乎题意；
当时，即当时，则，所以，，解得.
综上所述，实数的取值范围是或.
【技巧总结】（根据集合之间关系，求参数的值或范围）
1.求解此类问题通常是借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，同时还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示.
2.涉及“A⊆B”或“A⫋B，且B≠⌀”的问题，一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论，其中A=⌀的情况容易被忽略，应引起足够的重视.
题型四：集合间的基本关系
例20．（2022·湖南·高一课时练习）已知集合，，，，求集合，，，之间的关系．
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
直接利用四边形的关系，判断即可．
【详解】
解：因为矩形、正方形、菱形都是特殊的平行四边形，所以，，；
又正方形是特殊的矩形、特殊的菱形，所以，；
例21．（2022·湖南·高一课时练习）判断下列每对集合之间的关系：
(1)，；
(2)，{是的约数}；
(3)，.
【答案】(1)BA
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）分析A，B集合中元素的关系，即得解；
（2）列举法表示集合D，即得解；
（3）列举法表示集合E，即得解
(1)
由题意，任取，有，故
且，故BA
(2)
由于{是的约数}
故
(3)
由于
故
例22．（2022·全国·高一课时练习）集合与之间的关系为（ ）
A．B．C．D．不确定
【答案】C
【解析】
【分析】
分别求出集合，中的元素，即可得集合，的关系，进而可得正确选项.
【详解】
由于集合，中的元素均为的整数倍，且、（、）都可表示出所有的奇数，因此．
故选：C．
例23．（2022·新疆巴音郭楞·高一期末）已知集合，为自然数集，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题设可得，结合集合与集合、元素与集合的关系判断各选项的正误即可.
【详解】
由题设，，而为自然数集，则，且，
所以，，故A、B、D错误，C正确.
故选：C
例24．（2022·河南南阳·高一阶段练习）若集合，，则、、的关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分析出集合、为奇数集，可得出，再讨论集合、的包含关系，即可得解.
【详解】
由已知可知，集合、为奇数集，则，
，故.
故选：A.
【技巧总结】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）.
题型五：判断两集合是否相等
例25．（2022·江西新余·高一期末）下列集合与集合相等的是( )
A．(1,2022)B．
C．D．{(2022,1)}
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合相等，元素相同即可求解.
【详解】
(1,2022)表示一个点，不是集合，A不符；
集合的元素是点，与集合A不相等，B不符；
，故C符合题意；
集合{(2022,1)}的元素是点，与集合A不相等，D不符题意.
故选：C.
例26．（2022·全国·高一）下列各组两个集合和表示同一集合的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用集合相等的定义逐一判断求解.
【详解】
解：A选项中集合中的元素为无理数，而中的元素为有理数，故；
B选项中集合中的元素为实数，而中的元素为有序数对，故；
C选项中因为，则集合，故；
D选项中集合中的元素为0，1，而中的元素为1，故．
故选：C．
（多选题）例27．（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列选项中的两个集合相等的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】AC
【解析】
【分析】
对于A、C：直接解出集合P、Q，即可判断；
对于B：取特殊值1，由，而，即可判断；
对于D：由集合P、Q的类别不一样，即可判断.
【详解】
对于A，，，所以P和Q都只含有两个元素1，2，所以；故A正确；
对于B，，而，所以；故B错误；
对于C，，，所以；故C正确；
对于D，集合P是数集，而集合Q是点集，所以．
故选：AC．
题型六：根据两集合相等求参数
例28．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高一阶段练习）集合，则的值为（ ）
A．0B．1C．－1D．±1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两个集合相等，那么两个集合中的元素完全一致，求出的值，进而计算的值.
【详解】
因为，且，
所以，即，
所以，，
又因为，所以，
所以，
故选B.
例29．（2022·全国·高一课时练习）若，则的值为（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意得出或，求解即可.
【详解】
因为，所以或，
由可解得（不符合，舍去）或，
由可解得，
综上，，则.
故选：C.
例30．（2022·全国·高一课时练习）集合，，若，则______．
【答案】或##或
【解析】
【分析】
由元素互异性可得，即且，可得，再由可得，，在讨论、时，根据元素的确定性列方程组可得的值即可求解.
【详解】
因为，所以即，
所以且，可得，
因为，所以，，
当时，，，
当时，可得：，
当时，，可得：，
所以或，
故答案为：或.
例31．（2022·江苏省海头高级中学高一阶段练习）含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成，则=___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据集合相等求得值，然后计算．
【详解】
由题意，所以，即，
所以，，时，与元素互异性矛盾，舍去，
时，两个集合 为．满足题意．
所以．
故答案为：．
例32．（2022·全国·高一课时练习）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】
根据集合相等的定义和集合的定义求解．
【详解】
由，可得，（否则不满足集合中元素的互异性）．
所以，或解得或．
经检验，满足题意．
所以．
题型七：空集的性质
例33．（2022·全国·高一课时练习）在下面的写法中：①；②；③；④；⑤，错误的写法的序号是______．
【答案】②③⑤
【解析】
【分析】
根据集合与集合的关系，元素与集合的关系确定正确答案.
【详解】
①，空集是任何非空集合的真子集，①正确.
②，集合与集合间是包含关系，不是“属于”，元素与集合之间是属于关系，②错误.
③，空集没有任何元素，③错误.
④，根据集合元素的无序性可知④正确.
⑤，集合与集合间是包含关系，不是“属于”，元素与集合之间是属于关系，⑤错误.
故答案为：②③⑤
例34．（2019·山东·菏泽一中高一阶段练习）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.
【详解】
①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；
②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，正确；
③空集是任意集合的子集，故，正确；
④空集没有任何元素，故，错误；
⑤两个集合所研究的对象不同，故为不同集合，错误；
⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；
∴②③正确.
故选：B.
（多选题）例35．（2022·四川巴中·高一期中）下列关系中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据空集、子集、真子集的定义即可求解.
【详解】
解：对A：因为空集是任何非空集合的真子集，所以，故选项A正确；
对B：因为空集没有任何元素，所以错误，故选项B错误；
对C：由子集的定义可得，故选项C正确；
对D：因为不一定等于，所以错误，故选项D错误.
故选：AC.
（多选题）例36．（2022·全国·高一课时练习）下列关系式正确的为( )
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据集合相关的基本概念逐项判断即可﹒
【详解】
A：集合里面的元素没有顺序，且一个集合是其本身的子集，故A正确；
B：空集里面没有元素，故B错误；
C：元素与集合是属于或不属于的关系，故C错误；
D：空集是任何集合的子集，故D正确﹒
故选：AD﹒
例37．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一阶段练习）已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围：
(1)；
(2)恰有一个元素.
【解析】
(1)若，则关于x的方程没有实数解，
则，且，
所以，实数m的取值范围是；
(2)若A恰有一个元素，
所以关于x的方程恰有一个实数解，
讨论：当时，，满足题意；
当时，，所以．
综上所述，m的取值范围为．
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·海南·三亚市崖州区崖城中学高一期中）若，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用元素与集合的关系，集合与集合的关系判断即可得解.
【详解】
元素与集合的关系用符合“”，1是集合A中的元素，所以，故A正确，B错误；
集合与集合的关系用符号“”，所以，故C错误；
空集是任何集合的子集，所以，故D错误；
故选：A
2．（2022·安徽·蚌埠二中高一阶段练习）若集合的子集只有一个，则实数的取值情况是（ ）
A．或B．C． D．
【答案】C
【解析】
集合是空集的时候满足题意， 求无解时的取值范围即可.
【详解】
集合的子集只有一个，所以集合是空集，
当时，不满足条件；
当时，有，即，集合是空集，满足条件，
综上所述，集合的子集只有一个时，，
故选：C.
【点睛】
本题考查了集合的性质，空集的性质.
3．（2022·江西·南城县第二中学高一阶段练习）设A={(x, y)| |x+1|+(y-2)2=0}，B={-1, 2}，则必有（ ）
A． B． C．A=B D．A∩B=
【答案】D
【解析】学生易错选C.错因是未正确理解集合概念，误以为A={-1，2}，
其实{(x, y)| |x+1|+(y-2)2=0}={(-1, 2)}，A是点集而B是数集，故正确答案应选D.
4．（2022·河南·高一阶段练习）已知集合，，，则（ ）
A．9B．0或1C．0或9D．0或1或9
【答案】C
【解析】
【分析】
根据可得或，根据集合元素的互异性求得答案.
【详解】
由可得：或，
当时， ，符合题意；
当时，或，但 时，不合题意，
故m的值为0或9,
故选：C
5．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学高一阶段练习）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
讨论和，求得集合，再由新定义，得到的方程，即可解得的值．
【详解】
解：集合，，
，，
若，则，
即有；
若，可得，，
不满足；
若，两个集合有公共元素，但互不为对方子集，
可得或，解得或．
综上可得，或或2.
故选：A.
6．（2022·安徽·霍邱县第一中学高一阶段练习）已知集合，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合，分，，依次讨论两个集合是否相等，即可
【详解】
由题意，集合，即
（1）若，则，此时，成立；
故
（2）若，则，此时两个集合不可能相等，不成立；
（3）若，即或
当时，，此时两个集合不可能相等，不成立；
当时，，集合A中有两个相同的元素，不成立
综上：，，
故选：A
7．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，若，则实数的取值集合是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
化简集合，再对分三种情况讨论得解.
【详解】
由题得，
因为，
所以
当时，
当时，；
当时，；
故实数的取值集合是.
故选：C
8．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一阶段练习）若集合，，，则A，B，C之间的关系是（ ）
A．B．AB=CC．ABCD．BCA
【答案】B
【解析】
【分析】
先将A,B,C三个集合里面的分母统一为6，再去比较每个集合的关系.
【详解】
将各集合中元素的公共属性化归为同一形式，集合A中，，；集合B中，，；集合C中，，．由与p均表示整数，且，可得AB=C．
故选B.
【点睛】
此题考查和整数相关的集合的性质，比较灵活，属于较难题.
二、多选题
9．（2022·广西·高一阶段练习）已知集合，为自然数集，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
将集合用列举法表示，再结合元素与集合、集合与集合间的关系逐项判断即可.
【详解】
解：对A，集合，所以，故A正确；
对B，集合，故B正确；
对C，是集合的子集，所以，故C正确；
对D，因为，故集合不包含于自然数集，故D错误.
故选：ABC.
10．（2022·福建福州·高一期中）已知集合，集合，则集合可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据集合的包含关系，逐一检验四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】
因为集合，
对于A：满足，所以选项A符合题意；
对于B：满足，所以选项B符合题意；
对于C：满足，所以选项C符合题意；
对于D：不是的真子集，故选项D不符合题意，
故选：ABC.
11．（2022·河北·石家庄一中高一阶段练习）已知集合，，下列说法正确的是（ ）
A．不存在实数使得
B．当时，
C．当时，
D．存在实数使得
【答案】AD
【解析】
【分析】
选项A由集合相等列方程组验算；选项B由得，故不满足；选项C、D通过假设求出实数的取值范围可判定.
【详解】
选项A：若集合，则有，因为此方程组无解，所以不存在实数使得集合，故选项A正确.
选项B：当时，，不满足，故选项B错误.
若，则
①当时，有，；
②当时，有此方程组无实数解；
所以若，则有，故选项C错误，选项D正确.
故选：AD.
12．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）设集合，则对任意的整数，形如的数中，是集合中的元素的有
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
将分别表示成两个数的平方差，故都是集合中的元素，再用反证法证明.
【详解】
∵，∴.
∵，∴.
∵，∴.
若，则存在使得，
则和的奇偶性相同.
若和都是奇数，则为奇数，而是偶数，不成立；
若和都是偶数，则能被4整除，而不能被4整除，不成立，∴.
故选ABD.
【点睛】
本题考查集合描述法的特点、代表元元素特征具有的性质，考查平方差公式及反证法的灵活运用，对逻辑思维能力要求较高.
三、填空题
13．（2022·全国·高一单元测试）若集合，且下列四个关系中有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是______．
①； ②； ③； ④．
【答案】6
【解析】
【分析】
依次假设其中一项是正确的，再结合集合关系推理求解即可.
【详解】
解：若①正确，则②③④不正确，可得不正确，即，与矛盾，故①不正确．
若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得；由，，，得满足条件的有序数组为，，，或，，，．
若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得；由②不正确，得，则满足条件的有序数组为，，，．
若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得；由，，，得满足条件的有序数组为，，，或，，，或，，，．
综上所述，满足条件的有序数组的个数为6．
故答案为：6
14．（2022·江苏·高一）下列三个命题中
①若A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝2（n﹣1），n∈Z}，则A＝B；
②若M﹣{x|x＝2n﹣1，n∈N}，B＝{x|x＝2n+1，n∈N}，则M＝N；
③若C＝{x|x2﹣x＝0}，D＝{x|x，n∈Z}，则C＝D；
④若P＝{x|x＝2k，k∈Z}，Q＝{x|x＝4k，k∈Z}，则P⊆Q．
其中真命题的是_____．
【答案】①③
【解析】
【分析】
根据集合相等的定义逐一进行判断即可．
【详解】
①集合和集合都是偶数集，故，①正确；
②集合是由1，3，所有正奇数组成的集合，
是由3，5，所有大于1的正奇数组成的集合，所以；
③，，中，当为奇数时，，
当为偶数时，，，，所以，③正确．
④集合是所有偶数的集合，集合是0，，，，8，，部分偶数的集合，所以，故④错误．
故答案为：①③．
15．（2022·广东·广州誉恩教育咨询有限公司高一期中）设是实数，集合，若，则的取值集合是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
先求解集合中的一元二次方程可得，由，分，，三种情况讨论，即得解
【详解】
由题意，集合
若，且集合中至多有一个元素
则当时，即时，满足题意；
当时，即，即时，满足题意；
当时，即，即时，满足题意；
综上，的取值集合是
故答案为：
16．（2022·河北·石家庄市第三十八中学高一阶段练习）已知集合，集合是集合M的含有两个元素的子集，且满足对任意的，都有，这里表示两个数x，y中的较大者，则k的最大值为___________.
【答案】11
【解析】
【分析】
写出集合M的含两个元素的所有子集，再求出不符合要求的子集个数即可得解.
【详解】
集合M的含有两个元素的子集有：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，
但是在子集，，中只能取一个，在子集，中只能取一个，在子集，中只能取一个，
综上满足条件的两个元素的子集最多有个，
所以k的最大值为11.
故答案为：11
四、解答题
17．（2022·四川凉山·高一期末）已知集合，是否存在这样的实数m，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由.
【答案】存在，
【解析】
【分析】
当方程有一解时，集合A只有一个元素即可满足题意.
【详解】
存在实数m满足条件，理由如下：
若集合A有且仅有两个子集，则A有且仅有一个元素，
即方程只有一个根，
∴，解得.
∴所有的m的值组成的集合.
18．（2022·全国·高一课时练习）已知集合.
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)若，，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)分为空集和不为空集两种情况分别求解，最后再求并集即可；
(2)，则是的子集，列出不等式组求解即可.
(1)
①若，则，即，此时；
②若，则，解得.
综合①②，得实数的取值范围是.
(2)
（2）若，则，解得，
所以实数的取值范围是.
19．（2022·上海浦东新·高一期中），.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)1
(2)或.
【解析】
【分析】
（1）根据，由-4和0是方程的两个根求解；
（2 ）根据，分，，，讨论求解.
(1)
解：，
因为，
所以-4和0是方程的两个根，
所以，
解得，
所以实数的值是1；
(2)
解：，
因为，
所以当时，，解得，符合题意；
当时，，解得，符合题意；
当时，，解得，符合题意；
当时，，解得，
综上：实数的取值范围是或.
20．（2022·河北·石家庄市第三十八中学高一阶段练习）已知集合，，
（1）若A为空集，求实数a的取值范围；
（2）若B是A的真子集，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件，利用空集的意义列式作答；
(2)利用集合的包含关系列出不等式组求解即得.
【详解】
（1）因是空集，则，解得，
所以实数a的取值范围是；
（2）且B是A的真子集，则，解得，
显然，a-1=0与2a+1=1不同时成立，于是得，
所以实数a的取值范围.
21．（2022·全国·高一课时练习）已知集合．
（1）若是的真子集，求的范围；
（2）若，且是的子集，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）根据是的真子集可得得解；
（2）由是的子集对集合进行讨论可求解.
【详解】
（1）∵若是的真子集
∴，
∴，
∴；
（2），
∵，∴，，，，
，则，∴；
是单元素集合，，∴此时
，符合题意；
，不符合.
综上，．
【点睛】
本题考查了集合的基本运算，分类讨论集合的包含关系求参数，属于基础题.
22．（2022·全国·高一专题练习）设且，有限集合，其中，若对任意（），都有，则称集合为“含差集合”.
（1）分别判断集合和集合是否是“含差集合”，并说明理由；
（2）已知集合，集合，若集合C是“含差集合”，试判断集合与集合的关系，并加以证明.
【答案】（1）A是，B不是；（2），证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据含差集合的定义判断即可；
（2）根据“含差集合”的定义，可求出集合，再与集合比较即可.
【详解】
（1）由，可知或或，
因为，所以集合是“含差集合”，
由，可知或或，
因为，所以不是“含差集合”，
（2）因为是含差集合，
所以，且对任意（），都有，
因为最小，所以，
因为，所以或（舍）
所以，
又且，，
可得，；，；
当时，；
当时，；
当时，；因为，，此种情况不成立，
当时，；
所以，
又且，，，，
可得，，；，，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，因为，此种情况不成立，
当时，；
当时，；
所以，，，或，
所以或此种情况，不成立，
所以，
而，
所以.