人教A版 (2019)第一章 集合与常用逻辑用语1.2 集合间的基本关系学案及答案

第一章　集合与常用逻辑用语

第2节　集合间的基本关系

1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；

2．理解子集、真子集的概念；

3．能使用图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用，体会数形结合的思想。

教学重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念；

教学难点：属于关系与包含关系的区别．

一、集合间的基本关系基本概念

1. 如果集合A中          元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集。符号表示为               。

2. 如果集合A⊆B，但存在元素                 ，则称集合A是集合B的真子集。符号表示为               。

3. Venn图：用平面上          的内部代表集合，这种图称为Venn图．

4. 集合的相等：若         且B⊆A，则A＝B。

5.空集：             元素的集合，叫做空集．符号表示为：       .

规定：空集是任何集合的         。

二．子集的性质

1.任何一个集合是它本身的        ，即A⊆A；

2.对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么       

探究一    子集

1.观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：
① A={1,2,3},       B={1,2,3,4,5};
② A为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合,  B为这个班全体学生组成的集合;
③ A={x| x＞2},  B={x | x＞1}。

2.子集定义：

一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中      都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的      .
记作：

读作：            (或“            ”)
符号语言：任意           有                则            。

3.韦恩图（Venn图）：
用一条封闭曲线（圆、椭圆、长方形等）的内部来代表集合叫集合的韦恩图表示.

牛刀小试1：

图中A是否为集合B的子集？

牛刀小试2

判断集合A是否为集合B的子集，若是则在（     ）打√，若不是则在（     ）打×:
①A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6}          (    )
②A={1,3,5}, B={1,3,6,9}             (    )
③A={0},   B={x | x2+2=0}          (     )
④A={a,b,c,d},  B={d,b,c,a}          (     )
思考2：与实数中的结论 “若a ≥b,且b ≥a,则a=b ”。相类比，在集合中，你能得出什么结论?

探究二   集合相等

1.观察下列两个集合，并指出它们元素间的关系
（1）A＝｛x｜x是两条边相等的三角形｝，B＝｛x｜x是等腰三角形｝；

2.定义：如果集合Ａ的        都是集合Ｂ的元素，同时集合Ｂ         都是集合Ａ的元素，我们就说集合Ａ等于集合Ｂ，记作      。

牛刀小试3：

探究三   真子集
1.观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：

（1）          A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6}；

（2）          A={四边形}, B={多边形}。

2.定义：如果集合A⊆B,但存在元素         ，且         ，称集合A是集合B的真子集．
记作：         （或         ）  

读作：“A真含于B”（或B真包含A）。

探究四    空  集
1.我们把                  的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集。
空集是任何非空集合的真子集。即B，（B） 

例如:方程x2+1=0没有实数根,所以方程 x2+1=0的实数根组成的集合为。
问题：你还能举几个空集的例子吗？

2.深化概念：

（1）包含关系与属于关系有什么区别？

（2）集合 AB 与集合有什么区别 ？    

（3）.0，{0}与 Φ三者之间有什么关系?

3.结论：

由上述集合之间的基本关系,可以得到下列结论：

（1）任何一个集合是它本身的子集，即             。

（2）对于集合A、B、C，若则          （类比，则）。

例1.  写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.

例2.判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由。

1．集合A＝{－1,0,1}，A的子集中含有元素0的子集共有(        )

A．2个 B．4个

C．6个 D．8个

2．已知集合M＝{x|－3<x<2，x∈Z}，则下列集合是集合M的子集的为(  )

A．P＝{－3,0,1}

B．Q＝{－1,0,1,2}

C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z}

D．S＝{x||x|≤，x∈N}

3．①0∈{0}，②∅{0}，③{0,1}⊆{(0,1)}，④{(a，b)}＝{(b，a)}．上面关系中正确的个数为(  )

A．1 B．2

C．3 D．4

4．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围是(  )  

A．{a|a≤2} B．{a|a≤1}

C．{a|a≥1} D．{a|a≥2}

5．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．

答案

学习过程：

探究一   

1.   集合A的元素都属于集合B。
2.   任何一个元素   子集   集合A含于集合B   集合B包含集合A  

牛刀小试1  集合A不是集合B的子集

牛刀小试2    ① √   ②×  ③ ×   ④√

探究二  集合相等

1.（1）中集合A中的元素和集合B中的元素相同．

2.任何一个元素     任何一个元素  Ａ＝Ｂ

牛刀小试3    A=B。

探究三   真子集

1.集合A中元素都是集合B的元素，但集合B有的元素不属于集合A。

2.x∈B     xA    AB    BA

探究四    空  集

1.不含任何元素  

2.（1）前者为集合之间关系，后者为元素与集合之间的关系.

（2）  A = B或A B.

（3）{0}与Φ ：{0}是含有一个元素0的集合， Φ是不含任何元素的集合。如 Φ{0}不能写成Φ ={0}，Φ ∈{0}

3.（1）      （2）

例1.解：集合{a，b}的子集：，{a},{b} ,{a, b}。

 集合{a，b}真子集：，{a},{b}。

例2.解：（1）因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集。

三、达标检测

1.【解析】 根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0,1}、{0，－1}、{－1,0,1}四个，故选B.

【答案】 B

2.【解析】 集合M＝{－2，－1,0,1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{0,1}，不难发现集合P中的元素－3∉M，集合Q中的元素2∉M，集合R中的元素－3∉M，而集合S＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S⊆M.故选D.

【答案】 D

3.【解析】 ①正确，0是集合{0}的元素；②正确，∅是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0,1}含两个元素0,1，而{(0,1)}含一个元素点(0,1)，所以这两个集合没关系；④错误，集合{(a，b)}含一个元素点(a，b)，集合{(b，a)}含一个元素点(b，a)，这两个元素不同，所以集合不相等．故选B.

【答案】 B

4.【解析】 由A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，A⊆B，则{a|a≥2}．

【答案】 D

5.【解】 因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，

所以A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．

所以A的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．