5.2问题解决的策略：转化 表格式教学设计 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

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第5课时问题解决的策略：转化教学设计课型新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析《解决问题的策略—转化》是北师大版（2024）七年级数学下册第五章第3节的内容。本节课主要学习用转化的策略解决实际问题，体会用转化策略解决问题的基本思考方法和特点。学习者分析转化思想在小学数学中就有渗透，如分数乘法转化成分数乘法，圆的面积转化成长方形面积，学生已经掌握了一定用转化的策略解决实际问题，也掌握了一些方法和经验，这些转化思想为本节课的学习奠定基础，但这节经验和技巧是零散的，无意识的。在思维方面学生已从形象思维向抽象思维过渡，但具有很大程度的具体形象性。教学目标1. 理解“转化”的概念和在数学中的含义，掌握运用“转化”思想解决数学问题的基本方法 2.通过实例感受“转化”思想在数学学习中的重要性和广泛应用，培养学生将复杂问题转化为简单问题的数学思维能力 3.能够在实际解题中主动运用“转化”策略，提高解题效率，激发学生对数学学习的兴趣，增强探索新知识的欲望 教学重点学会运用转化的策略分析问题，并能根据问题的特点确定具体的转化方法。教学难点根据问题的特点确定具体的转化方法。学习活动设计 教师活动学生活动环节一：知识回顾教师活动1： 1.观察图形， 回答问题： 这两个图形的形状有什么特别的吗 ? 看图后你能提出什么数学问题。 （这两个图形都可以通过剪拼的方式由不规则图形转化为规则图形） 2.你猜测它们的面积有什么关系 ? 怎么来求它们的面积 （相同 . 利用图片可以通过折一折、 剪一剪、 数一数等方法， 把不规则图形转化为规则图形来求 .） 3、转化在代数中的应用 ① 三角形 ( 梯 形 ) 面积 →平行四边形面积 → 长方形面积 ② 圆形 → 长方形 ( 三角形、 梯形 ) ③ 小数乘法 →整数乘法 ④ 分数除法 → 分数乘法 …… 练一练 下面的推 导 过程中， 运用了“转化”思想的是 ( D ) A. ① 和 ② B. ② 和 ③ C. ① 和 ③ D. ①②③ 学生活动1： 1、小组讨论怎样快速正确的计算阴影部分的面积，解决问题用到的方法是什么。 2、复习转化策略在小学数学中的应用。 活动意图说明： 通过复习设计转化思想导入环节，让学生初步接触转化思想，为后续学习做铺垫。环节二：探究新知教师活动2 1 线段和“最短”问题 如图， 某工厂计划在一条笔直的道路上设立一 个储物点， 工作人员每天进人工厂大门后， 先到储物 点取物品， 然后再到车间 . 你认为该储物点应建在什 么地方， 才能使工作人员所走的路程最短 ? 理解问题 如果把大门、 车间和储物点所在的位置都 看作点， 把道路看作一条直线， 那么上述问题可以抽 象成怎样的数学问题 ? 试着写一写、 画一画 . 拟定计划 (1) 你以前遇到过类似的问题吗 ? 关于“最短”，你有哪些认识 ? （两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边。） （2) 相信你能解决以下问题： 如图， 直线 l 的两侧分 别有 A ， B 两点， 在直线 l 上确定一个点 C ， 使 AC + CB 最短 . （3）原问题与图中这个问题有什么区别和联系 ? 你能将原问题转化为图中这样 的问题吗 ? 说说你的想法 . 作A或B关于直线L的对称点.转化为直线的异侧两个点。 实施计划 如图1， 作点 B 关于 l 的对称点 B' ， 根据轴对称的 性质， 对于 l 上任意一点 C ， 都有 BC = B'C ， 因此 AC ＋ BC ＝ AC ＋ B'C ， 问题转化为： 在直线 l 上确定一个点 C ， 使 AC ＋ B'C 最短 . 根据“两点之间线段最短”， 连接 AB' ， 与 l 交于 点 C ， 点 C 就是所要确定的点 . 如图2， 作点 A 关于 l 的对称点 A' ， 根据轴对称的 性质， 对于 l 上任意一点 C ， 都有 AC = A'C ， 因此 BC ＋ AC ＝ BC ＋ A'C ， 问题转化为： 在直线 l 上确定一个点 C ， 使 BC ＋ A'C 最短 . 根据“两点之间线段最短”， 连接 A' B， 与 l 交于 点 C ， 点 C 就是所要确定的点 . 图1 图2 2、要点归纳 1.异侧两点求线段和的最小值：两点之间的连线 2.同侧两点求线段和的最小值：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点和另一点的线段长度 理论根据： ①两点之间线段最短。②轴对称图形的对应线段相等。 数学思想：转化。学生活动2： 1、理解问题实质把生活中的实例转化成几何知识。 2、拟定计划找出解决问题的策略。 3、总结归纳用转化的策略解法问题的方法和理论根据。活动意图说明： 在理解问题--拟定计划---实施计划的探索的过程中，充分发挥学生的自主性，既可以使他们对问题本身的特点有比较深入的认识，也有利于他们感受到运用策略解决问题的必要性。总结转化思想的要点和解题方法，丰富学生对转化策略运用的过程和特点的认识，感受转化策略应用的广泛性。环节三：典例精析教师活动3： 例 1: 如图， 已知牧马营地在 M 处， 每天牧马人要赶 马群先到河边饮水， 再到草地上吃草， 最后回到营地 ， 请你为牧马人设计出最短的牧马路线 . ( 保留画图痕迹 ） 解：M 关于河与草地所在直线的对称点， 记为 M' 、 M" ， 连接 M'M" 交河与草地所在直线于点 P ， Q . 由对称性知， PM = PM' ， QM = QM" ， ∴ MP + PQ + MQ = PM' + PQ + QM" = M'M" . 例 2: ( 如图， 等腰三角形 ABC的底边BC为4，面积24 ， 腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E ，F ，若D为 BC边的中点， M为线段EF上一动点， 求△ CDM 的周长的最小值 解：AD=24×2÷4=12，DC=2 连接 AD 交 EF 于 M ，M ， C△ CDM 最小值 ＝ CM + DM + CD ＝ AM + DM + CD ＝ AD + DC. =12+2=14 学生活动3 小组合作，完成例题的学习。并提出质疑。活动意图说明： 通过例题，学生再次体会转化策略的特点和价值，提高运用策略解决问题的能力。 板书设计 化繁为简 化难为易 问题解决的策略：转化 化不熟悉为熟悉 课堂练习【知识技能类作业】 必做题： 1.求下图中阴影部分的面积。  解：（1）左边的阴影部分对称过去，恰好与右边的合为直径为6的半圆，即阴影部分面积就是半圆的面积. （2）观察图形可知，图中阴影部分可以组合成一个三角形，组合成的三角形的面积正好是这个大正方形面积的 2.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（　B　） A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定 3.如图，正方形ABCD 的边长为2，则阴影部分的面积为 2 . 4.如图，在△ABC中，BA=BC=10，BD是边AC 的中线， E是边BD上的动点，F是边BC 上的动点.若CE+EF的最小值为9.6，则△ABC 的面积为( B ) A. 96 B. 48 C. 38 D. 24 第3题 第4题 5.如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P，使PM+PN 最短. ①②④ （1）画出点P 的位置.（如图所示） （2）下列依据中，在（1）中用到的有________.（填序号） ①两点之间线段最短: ②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的 距离相等; ③角的平分线上的点到角的两边的距离相等; ④三角形两边之和大于第三边. 选做题： 6.( 海珠区期中 ) 如图，在△ABC中， AB＝AC ，BC ＝4 ，△ABC 的面积是14 ， AC 的垂直平分线EF分别交 C ，AB于点E ，F .若点D为BC边的中点， 点M为线段 EF 上一动点，则CM + DM 的最小值为 ( B ) A.21 B.7 C.4 D.2 分析： 连接 AD 、 AM ， 则 CM + DM ＝ AM + DM ≥ AD. 【综合拓展类作业】 7.有两堆火柴，一堆80根，一堆74根。规则为甲、乙两人轮流从中拿走一根或者几根，甚至一堆，但每次只能在某一堆中拿火柴，谁拿走最后一根火柴，谁就获胜。试问甲如何获胜？ 解析：甲先从80根一堆中取走6根火柴，保证两堆火柴数目相同。再由乙取，这时甲在乙未取的另一堆中取出与乙取的火柴一样多的根数，直到最后，甲一定胜作业设计【知识技能类作业】 必做题： 转化成圆面积的 1 . 如图， 正方形的边长为1 ， 以各边为直径在正方形内画半圆 。求图中阴影部分的面积 . 2.求图中阴影部分的面积 【分析】把左下角的阴影平均分成两部分，分别移动到左上角和右上角，通过图可知，这个阴部分的面积正好是圆面积的1/4，再减去一个直角边是20cm的等腰直角三角形，根据圆的面积公式：S＝πr2，三角形的面积公式：底×高÷2，把数代入即可求解. 解：×20π－×20×20 ＝100π－200（cm2） ∴阴影部分的面积是（100π－200） 3. 如图， 定点 P 位于 ∠ AOB 的 内部 ， 在 射 线 OA 和 OB 上分别确定点 M ， N ， 使 得△ PMN 的 周 长最小 . （ 不写作法， 保留作图痕迹 ） 4.如图，在正方形网格中，点A，B，C，M，N 都在格点上. （1）以直线MN为对称轴，画出△ABC的对称图形△A′B′C′ . （2）在直线MN上找到一点P，使得△PAC 的周长最小. 解：如图，△A′B′C′ 即为所求. 选做题： 5.（2024·绥化）如图，已知∠AOB=50^∘ ，P 为 ∠AOB内部一点，M，N分别为射线OA、射线OB 上的 两个动点.当△PMN的周长最小时，∠MPN= 80°. ∙ C A B O A 【综合拓展类作业】 6.某中学八（2）班举行文艺晚会，如图所示，OA，OB分别表示桌面，其中OA桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后回到C处，请你帮他设计一条行走路线，使其所走的路程最短. 解：（1）如图所示，作点C关于OA的对称点C1； （2）作点C关于OB的对称点C2； （3）连接C1C2，分别交OA，OB于点D，E，连接CD，CE. ∙ C A B O C1 E C2 D 所以先到点D处拿橘子，再到点E处拿糖果，最后回到点C处，按照这样的路线所走的路程最短. 教学反思