选择性必修 第三册离散型随机变量及其分布列学案

这是一份选择性必修 第三册离散型随机变量及其分布列学案，文件包含第十八章电功率综合题30道原卷版docx、第十八章电功率综合题30道解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。
1.通过具体实例，了解离散型随机变量的概念.
2.理解随机变量的分布列，会求一些离散型随机变量的分布列
教学重难点：
重点：了解离散型随机变量的概念。
难点：会求离散型随机变量的分布列
教学过程：
自主预习：
随机变量的概念及表示
概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量
离散型随机变量的概念：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量。
注意：取值有限或取值无限但可列
表示：通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；
用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z
作用：随机变量有利于我们简洁地表示随机事件，一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果.
2.离散型随机变量的分布列
(1)定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.
(2)表示：定义表示：P(xi)＝pi，i＝1，2，…，n.
表格表示
图形表示
(3)性质：
①pi≥0，i＝1，2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pn＝1.
(4)求离散型随机变量的分布列的一般步骤
(1)确定X的所有可能取值xi(i＝1，2，…)以及每个取值所表示的意义.
(2)利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…).
(3)写出分布列.
(6)离散型随机变量有特征：
(1)可用数值表示.
(2)试验之前可以判断其出现的所有值.
(3)在试验之前不能确定取何值.
(4)试验结果能一一列出.
作用：离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且也能看出取每一个值的概率的大小，从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量特征的基础.
3.两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验，若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布或0－1分布.
二、合作探究：
探究点1 随机变量的概念
(1)(多选)抛掷一枚均匀硬币一次，不能作为随机变量的是( )
A.抛掷硬币的次数
B.出现正面的次数
C.出现正面或反面的次数
D.出现正面和反面的次数之和
(2)(2021·湖南长沙市长郡中学高二月考)抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，则“ξ>4”表示试验的结果为( )
A.第一枚为5点，第二枚为1点
B.第一枚大于4点，第二枚也大于4点
C.第一枚为6点，第二枚为1点
D.第一枚为4点，第二枚为1点
【解析】 (1)抛掷一枚硬币一次，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以某一个为标准，如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0，1，故B正确.而A项中抛掷次数就是1，不是随机变量；C项中标准不明；D项中，出现正面和反面的次数之和为必然事件，试验前便知是必然出现的结果，也不是随机变量.
(2)由于ξ表示“第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差”，差的最大值为6－1＝5，而ξ>4只有一种情况，即ξ＝5，此时第一枚为6点，第二枚为1点，故选C.
【答案】 (1)ACD (2)C
跟踪训练：1、 (多选)下列随机变量是离散型随机变量的是( )
A.从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数
B.一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数
C.某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度
D.某加工厂加工的某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差
解析：选AB.A.只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.B.从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球、2个白球和1个黑球、1个白球和2个黑球、3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.C.林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0，30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量.D.实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量.
探究点2 离散型随机变量的分布列
在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖品.
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列.
【解】 (1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况.
P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(1,4),Ceq \\al(1,10))＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5)，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－eq \f(2,5)＝eq \f(3,5).
所以X的分布列为
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖.
故所求概率为P＝eq \f(Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(1,6)＋Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(0,6),Ceq \\al(2,10))＝eq \f(30,45)＝eq \f(2,3).
②Y的所有可能取值为0，10，20，50，60，则
P(Y＝0)＝eq \f(Ceq \\al(0,4)Ceq \\al(2,6),Ceq \\al(2,10))＝eq \f(15,45)＝eq \f(1,3)，
P(Y＝10)＝eq \f(Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,6),Ceq \\al(2,10))＝eq \f(18,45)＝eq \f(2,5)，
P(Y＝20)＝eq \f(Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(0,6),Ceq \\al(2,10))＝eq \f(3,45)＝eq \f(1,15)，
P(Y＝50)＝eq \f(Ceq \\al(1,1)Ceq \\al(1,6),Ceq \\al(2,10))＝eq \f(6,45)＝eq \f(2,15)，
P(Y＝60)＝eq \f(Ceq \\al(1,1)Ceq \\al(1,3),Ceq \\al(2,10))＝eq \f(3,45)＝eq \f(1,15).
所以随机变量Y的分布列为
eq \a\vs4\al()

跟踪训练：1. 为了参加亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表：
(1)从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一队的概率；
(2)中国女排奋力拼搏，战胜了韩国队获得冠军，若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列.
解：(1)“从这18名队员中选出两名，两人来自同一队”记作事件A，则P(A)＝eq \f(Ceq \\al(2,4)＋Ceq \\al(2,6)＋Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(2,5),Ceq \\al(2,18))＝eq \f(2,9).
(2)ξ的所有可能取值为0，1，2.
因为P(ξ＝0)＝eq \f(Ceq \\al(2,14),Ceq \\al(2,18))＝eq \f(91,153)，P(ξ＝1)＝eq \f(Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(1,14),Ceq \\al(2,18))＝eq \f(56,153)，P(ξ＝2)＝eq \f(Ceq \\al(2,4),Ceq \\al(2,18))＝eq \f(6,153)，
所以ξ的分布列为
2.某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列，且c＝ab.
则这名运动员得3分的概率是 .
解析：由题意得2b＝a＋c，
c＝ab，a＋b＋c＝1，
且a≥0，b≥0，c≥0，
联立得a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,3)，c＝eq \f(1,6)，
故得3分的概率是eq \f(1,6).
答案：eq \f(1,6)
探究点3 两点分布的应用
一个袋中有质地、大小完全相同的3个白球和4个红球.
(1)从中任意摸出1个球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，设X＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0，摸出白球，,1，摸出红球，))求X的分布列；
【解】 (1)由题意知，
P(X＝0)＝eq \f(Ceq \\al(1,3),Ceq \\al(1,7))＝eq \f(3,7)，P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(1,4),Ceq \\al(1,7))＝eq \f(4,7)，
所以X的分布列为

跟踪训练： 下列选项中的随机变量不服从两点分布的是( )
A.抛掷一枚骰子，所得点数X
B.某射击手射击一次，击中目标的次数X
C.从装有除颜色外其余均相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球，设X＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，取出白球，,0，取出红球))
D.某医生做一次手术，手术成功的次数X
解析：选A.由题意可知B，C，D中的随机变量均服从两点分布，而抛掷一枚骰子，所得点数X的取值范围为{1，2，3，4，5，6}，所以A中的随机变量不服从两点分布.故选A.
三、拓展提高
例4、(2021·湖南师大附中高三月考)某校园歌手大赛决赛中，有6位参赛选手(1号至6号)登台演出，由现场的100位同学投票选出最受欢迎的歌手，各位同学须彼此独立地在投票器上选出3位候选人，其中甲同学是1号选手的同班同学，必选1号，另在2号至6号选手中随机选2名；乙同学不欣赏2号选手，必不选2号，在其他5位选手中随机选出3名；丙同学对6位选手的演唱没有偏爱，因此在1号至6号选手中随机选出3名.
(1)求甲同学选中3号且乙同学未选中3号选手的概率；
(2)设3号选手得到甲、乙、丙三位同学的票数之和为X，求X的分布列.
解：设A表示事件“甲同学选中3号选手”，B表示事件“乙同学选中3号选手”，C表示事件“丙同学选中3号选手”则
(1)P(A)＝eq \f(Ceq \\al(1,4),Ceq \\al(2,5))＝eq \f(2,5)，P(B)＝eq \f(Ceq \\al(2,4),Ceq \\al(3,5))＝eq \f(3,5)，
所以P(Aeq \(B,\s\up10(－)))＝P(A)P(eq \(B,\s\up10(－)))＝eq \f(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,5)))＝eq \f(4,25).
(2)P(C)＝eq \f(Ceq \\al(2,5),Ceq \\al(3,6))＝eq \f(1,2)，X可能的取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝P(eq \(A,\s\up10(－))eq \(B,\s\up10(－))eq \(C,\s\up10(－)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＝eq \f(3,5)×eq \f(2,5)×eq \f(1,2)＝eq \f(3,25)，
P(X＝1)＝P(Aeq \(B,\s\up10(－))eq \(C,\s\up10(－)))＋P(eq \(A,\s\up10(－))Beq \(C,\s\up10(－)))＋P(eq \(A,\s\up10(－))eq \(B,\s\up10(－))C)＝eq \f(2,5)×eq \f(2,5)×eq \f(1,2)＋eq \f(3,5)×eq \f(3,5)×eq \f(1,2)＋eq \f(3,5)×eq \f(2,5)×eq \f(1,2)＝eq \f(19,50)，
P(X＝2)＝P(ABeq \(C,\s\up10(－)))＋P(Aeq \(B,\s\up10(－))C)＋P(eq \(A,\s\up10(－))BC)＝eq \f(2,5)×eq \f(3,5)×eq \f(1,2)＋eq \f(2,5)×eq \f(2,5)×eq \f(1,2)＋eq \f(3,5)×eq \f(3,5)×eq \f(1,2)＝eq \f(19,50)，
P(X＝3)＝P(ABC)＝eq \f(2,5)×eq \f(3,5)×eq \f(1,2)＝eq \f(3,25).
所以X的分布列为
跟踪训练：1、已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列.
解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P(A)＝eq \f(Aeq \\al(1,2)Aeq \\al(1,3),Aeq \\al(2,5))＝eq \f(3,10).
(2)由题意可知X的可能取值为200，300，400，
则P(X＝200)＝eq \f(Aeq \\al(2,2),Aeq \\al(2,5))＝eq \f(1,10)，
P(X＝300)＝eq \f(Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,2),Aeq \\al(3,5))＝eq \f(3,10)，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－eq \f(1,10)－eq \f(3,10)＝eq \f(3,5).
故X的分布列为
当堂检测
1.(2021·江西南昌二中高二月考)下列随机试验的结果，不能用离散型随机变量表示的是( )
A.将一枚均匀的正方体骰子掷两次，所得点数之和
B.某篮球运动员6次罚球中投进的球数
C.电视机的使用寿命
D.从含有3件次品的50件产品中，任取2件，其中抽到次品的件数
解析：选C.题目中A，B，D都属于离散型随机变量，而C电视机的使用寿命属于连续型随机变量.
2.袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球、5个黑球，每次任取一球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为X，则表示“放回4个球”的事件为( )
A.X＝4 B.X＝5
C.X＝6 D.X≤4
解析：选B.根据题意可知，若取到黑球，则将黑球放回，然后继续抽取，若取到红球，则停止抽取，所以“放回4个球”即前4次都是取到黑球，第5次取到了红球，故X＝5，故选B.
3.袋子中装有大小相同的8个小球，其中白球5个，分别编号1，2，3，4，5；红球3个，分别编号1，2，3.现从袋子中任取3个小球，它们的最大编号为随机变量X，则P(X＝3)＝( )
A.eq \f(5,28) B.eq \f(1,7)
C.eq \f(15,56) D.eq \f(2,7)
解析：选D.X＝3，第一种情况表示1个3，P1＝eq \f(Ceq \\al(1,2)·Ceq \\al(2,4),Ceq \\al(3,8))＝eq \f(3,14)；第二种情况表示2个3，P2＝eq \f(Ceq \\al(2,2)·Ceq \\al(1,4),Ceq \\al(3,8))＝eq \f(1,14)，所以P(X＝3)＝P1＋P2＝eq \f(3,14)＋eq \f(1,14)＝eq \f(2,7).
4.设随机变量ξ只能取5，6，7，…，16这12个值，且取每一个值的概率均相等，若P(ξ＜x)＝eq \f(1,12)，则x的取值范围是 .
解析：依题意知，ξ的分布列为
由分布列知，P(ξ＜x)＝P(ξ＝5)＝eq \f(1,12).
故x∈(5，6].
答案：(5，6]X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
X
0
1
P
1－p
p
X
0
1
P
eq \f(3,5)
eq \f(2,5)
Y
0
10
20
50
60
P
eq \f(1,3)
eq \f(2,5)
eq \f(1,15)
eq \f(2,15)
eq \f(1,15)
队别
北京
上海
天津
八一
人数
4
6
3
5
ξ
0
1
2
P
eq \f(91,153)
eq \f(56,153)
eq \f(6,153)
X
0
2
3
P
a
b
c
X
0
1
P
eq \f(3,7)
eq \f(4,7)
X
0
1
2
3
P
eq \f(3,25)
eq \f(19,50)
eq \f(19,50)
eq \f(3,25)
X
200
300
400
P
eq \f(1,10)
eq \f(3,10)
eq \f(3,5)
ξ
5
6
7
…
16
P
eq \f(1,12)
eq \f(1,12)
eq \f(1,12)
…
eq \f(1,12)