人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.2 离散型随机变量及其分布列课时练习

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考点一： 随机变量的基本概念
①随机变量的概念：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量.常用希腊字母、等表示．
②离散型随机变量的概念：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
③连续型随机变量的概念：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量．
考点二： 离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量ξ可能取得值为 x1，x2，…，x3，…，
ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列．
注：分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足：，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
①，； ②，．
【题型目录】
题型一：随机变量概念
题型二：离散型随机变量与连续型随机变量
题型三：离散型随机变量分布列
题型四：离散型随机变量分布列的性质
【典型例题】
题型一：随机变量概念
【例1】甲､乙两队在一次对抗赛的某一轮中有个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得分，抢到题并回答正确的得分，抢到题但回答错误的扣分（即得分）.若是甲队在该轮比赛获胜时的得分（分数高者胜），则的所有可能取值之和是（ ）
A．B．C．D．
【例2】袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（ ）．
A．至少取到1个白球B．取到白球的个数
C．至多取到1个白球D．取到的球的个数
【例3】甲、乙两班进行足球对抗赛，每场比赛赢了的队伍得3分，输了的队伍得0分，平局的话，两队各得1分，共进行三场．用表示甲的得分，则表示（ ）．
A．甲赢三场B．甲赢一场、输两场
C．甲、乙平局三次D．甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次
【例4】袋中装有除颜色外，质地大小完全相同的4个小球，其中有1个红球、3个白球，从中任意取出1个观察颜色，取后不放回，如果取出的球的颜色是红色，则停止取球，如果是白色，则继续取球，直到取到红球时停止，记停止时的取球次数为，则所有可能取值的集合为______，的意义为______．
【题型专练】
1．先后抛掷一个骰子两次，记随机变量ξ为两次掷出的点数之和，则ξ的取值集合是（ ）
A．｛1，2，3，4，5，6｝B．{2，3，4，5，6，7}
C．{2，4，6，8，10，12}D．{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}
2．袋中装有5个红球、10个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球后则另外换1个红球放回袋中，直到取得红球为止.若抽取的次数为，则表示事件“放回3个红球”的是（ ）
A．B．C．D．
3．（多选题）一副扑克牌共有54张牌，其中52张是正牌，另2张是副牌（大王和小王），从中任取4张，则随机变量可能为（ ）
A．所取牌数B．所取正牌和大王的总数
C．这副牌中正牌数D．取出的副牌的个数
4．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比賽，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则表示______.
题型二：离散型随机变量与连续型随机变量
【例1】下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（ ）
①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数；
②一个沿直线进行随机运动的质点离坐标原点的距离；
③某同学射击3次，命中的次数；
④某电子元件的寿命；
A．①②B．③④C．①③D．②④
【例2】下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数ξ；
②一个沿直线y＝2x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η；
③某指挥台5分钟内接到的雷达电话次数X；
④某同学离开哈尔滨市第三中学的距离Y；
其中是离散型随机变量的为（ ）
A．①②B．③④C．①③D．②④
【题型专练】
1．下面是离散型随机变量的是（ ）
A．电灯炮的使用寿命
B．小明射击1次，击中目标的环数
C．测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值
D．一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置
2．（多选题）下列随机变量中属于离散型随机变量的是（ ）
A．某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X
B．测量一个年级所有学生的体重，在60kg~70kg之间的体重记为X
C．测量全校所有同学的身高，在170cm~175cm之间的人数记为X
D．一个数轴上随机运动的质点在数轴上的位置记为X
3．（多选题）下列随机变量是离散型随机变量的是（ ）
A．某景点一天的游客数X
B．某寻呼台一天内收到寻呼次数X
C．水文站观测到江水的水位数X
D．某收费站一天内通过的汽车车辆数X
题型三：离散型随机变量分布列
【例1】从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，则随机变量的概率分布为：___________．
【例2】袋中装有一些大小相同的球，其中标号为1号的球1个，标号为2号的球2个，标号为3号的球3个，，标号为号的球个.现从袋中任取一球，所得号数为随机变量，若，则______.
【例3】在高考结束后，程浩同学回初中母校看望数学老师，顺便帮老师整理初三年级学生期中考试的数学成绩，并进行统计分析，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于90分为优秀．
(1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于70分，问这名学生数学成绩为优秀的概率；
(2)在样本中，采取分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，再从这13名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为X，求X的分布列．
【题型专练】
1．某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列．
2．某城市为了加快“两型社会”（资源节约型，环境友好型）的建设，本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列．
3．某学院为了调查本校学生2014年9月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0，5]，(5，10]，(10，15]，…，(25，30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；
(2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列．
4．学校组织解题能力大赛，比赛规则如下：依次解答一道解析几何题和两道立体几何题，解析几何正确得2分，错误得0分；两道立体几何全部正确得3分，只正确一道题得1分，全部错误得0分；总分是两部分得分之和．小明同学准备参赛，他目前的水平是：解析几何解答正确的概率是；每道立体几何解答正确的概率均为．假设小明同学每道题的解答相互独立，
(1)求小明同学恰好有两道题解答正确的概率；
(2)求小明同学获得的总分X的分布列．
题型四：离散型随机变量分布列的性质
【例1】设随机变量的分布为，则______．
【例2】已知随机变量的分布列是：
则（ ）A．B．C．1D．
【例3】已知随机变量X的概率分布为：，其中是常数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【例4】随机变量的概率分布满足（，1，2，…，10），则的值为___________.
【例5】两对孪生兄弟共4人随机排成一排，设随机变量表示孪生兄弟相邻的对数，则（ ）
A．B．
C．D．
【题型专练】
1．随机变量X的分布列如下表，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数）：
则等于（ ）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
3．已知离散型随机变量X的分布列为，其中a为常数，则（ ）
A．B．C．D．
4．若离散型随机变量X的分布列为，，则a的值为（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
5．设随机变量的概率分布为，为常数，，，，，则 ______ ．
6．某同学参加门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二､第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为：
则的值为___________；则的值为___________.
ξ
x1
x2
…
xi
…
P
P1
P2
…
Pi
…
0
1
2
1
2
3
X
0
1
P
a
c
X
0
1
2
3
4
5
P
0.1
0.1
a
0.3
0.2
0.1
0
1
2
3