高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册条件概率与全概率公式教案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册条件概率与全概率公式教案设计，共25页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

一、教学目标
1.结合古典概型，了解条件概率与概率的乘法公式；
2.了解条件概率与独立性的关系，能计算简单随机事件的条件概率；
3.通过条件概率的发现过程，提升数学抽象核心素养；通过对条件概率定义的验证及模型的应用，提升逻辑推理和数学建模等核心素养．

二、教学重难点
重点：条件概率的概念及运算，事件的独立性与条件概率的关系，概率的乘法公式及其应用..
难点：对条件概率意义的理解.

三、教学过程
（一）问题引入
在必修“概率”一章的学习中，我们遇到过求同一试验中两个事件A与B同时发生(积事件AB)的概率问题.当事件A与B相互独立时，P(AB)=P(A)P(B).如果事件A与B不相互独立，如何计算P(AB)？是否也有一个一般公式呢？
设计意图：通过设置问题情境，引出本节课要研究的课题，激发学生的求知欲.
（二）探究新知
任务一：条件概率的概念与计算公式
探究1：某个班级有45名学生，其中男生和女生的人数如表所示
在班级里随机选一人做代表：
（1）选到男生的概率是多少？
（2）如果选到的是团员，那么选到男生的概率是多少？
师生活动：教师出示问题并提出相关问题引导学生分析、思考.
思考1：古典概型需要具备什么特征？它的概率计算公式是什么？
答：有限性与等可能性．
概率计算公式为：PA=nAnΩ.
思考2：问题(1)是否满足古典概型？它的概率是多少？
师生活动：学生自主完成，教师要求学生用符号表示样本空间和相关事件，然后用古典概型的概率计算公式求解.
答：是古典概型.
随机选择一人做代表，设样本空间为Ω，A=“选到团员”， B=“选到男生”，则 nΩ=45；nA=30；nB=25.根据古典概型知识可知，选到男生的概率PB=nBnΩ=2545=59.
思考3：问题(2)是否满足古典概型？如果是，它的样本空间是什么？怎样计算它的概率？
师生活动：教师引导学生分析“在选到团员的条件下，选到男生”的概率就是“在事件A发生的条件下事件B发生”的概率，记作PB|A.此时相当于以A为样本空间来考虑事件B发生的概率.
答：是古典概型，样本空间是A且nA=30.
在新的样本空间中事件B就是积事件AB，包含的样本点数nAB=16，根据古典概型知识可知，PB|A=nABnA=1630=815.
思考4：事件A的发生对样本空间产生了什么影响？
答：事件A的发生使样本空间缩小了.
设计意图：通过具体实例，让学生对条件概率有初步的了解和认识，为引出条件概率的概念奠定基础.
探究2：假定生男生女等可能.现在考虑有两孩的家庭，随机选一个，那么
（1）该家庭中两个孩子都是女孩的概率是多少？
（2）如果已经知道这个家庭有女孩的情况下，两个小孩都是女孩的概率是多大？
师生活动：教师出示问题，让学生利用数学符号表示随机事件与样本空间，并判断是否满足古典概型的条件并引导学生互动、交流.
思考1：问题(1)是否是古典概型？它的概率是多大？
答：用b表示男孩，g表示女孩，则两孩家庭根据性别所得样本空间Ω=bg,bb,gb,gg，且所有样本点是等可能的，所以是古典概型.
记事件B=“选择的家庭中两个都是女孩”，则B=gg，根据古典概型的知识可知，该家庭中两个小孩都是女孩的概率PB=nBnΩ=14.
思考2：问题(2)是否满足古典概型的条件？它的概率是多大？
答：记事件A=“选择的家庭中有女孩”，则A=bg,gb,gg.
“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记作PB|A.
此时A成为样本空间，事件B就是积事件AB，根据古典概型知识可知，PB|A=nABnA=13.
总结：以上两个问题中，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率都是PB|A=nABnA.
设计意图：通过问题的分析，加深理解样本空间的变化对概率的影响，为抽象概括条件概率的概念作铺垫.
探究3：探索条件概率PB|A与PA，PB，PAB之间的关系.
思考：上述结论是否具有一般性？你能探索条件概率PB|A与PA，PB，PAB之间的关系吗？
师生活动：教师引导学生结合图形，利用古典概型知识进行分析，教师点评.
答：上述结论对一般的古典概型仍然成立.
如上图所示，若已知事件A发生，则A成为样本空间.此时，事件B发生的概率，是AB包含的样本点数和A包含的样本点数的比值，即PB|A=nABnA.
又因为PB|A=nABnA=nABnΩnAnΩ=PABPA，
所以，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率还可以通过PB|A=PABPA来计算.
师生活动：教师引导学生抽象出条件概率的定义，然后完善并出示.
总结：1.条件概率的定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且PA>0，我们称PB|A=PABPA为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
说明：(1)所谓的条件概率，就是已知试验结果的一部分信息（即在原随机试验的条件上，再加上一定的条件），求另一事件在此条件下发生的概率；
(2)在条件概率的概念中，要强调PA>0
(3)PB|A与PA|B含义不同.
2.条件概率的求法：
方法一：利用定义求条件概率PB|A=PABPA；
方法二：利用缩小的样本空间求条件概率PB|A=nABnA；
方法三：利用剔除法求条件概率PB|A=km，其中m为剔除事件A中条件后样本点的个数，k为事件AB包含的样本点的个数.
设计意图：通过具体问题的探究，抽象归纳出条件概率的概念，让学生经历条件概率概念的形成过程，提升学生的数学抽象核心素养，用图表示事件之间的关系，加深学生对条件概率的直观理解.
做一做：袋子中装有3个黑球和2个白球共5个小球，如果不放回地依次摸取2个小球，则在第1次摸到黑球的条件下，第2次还摸到黑球的概率为( )
A. 12 B. 310 C. 35 D. 34
解：方法一（定义法）：设第1次摸到黑球为事件A，第2次摸到黑球为事件B，
则P(A)=35，P(AB)=310，根据条件概率公式可知，P(B|A)=P(AB)P(A)=31035=12．
方法二（缩小样本空间法）：设第1次摸到黑球为事件A，第2次摸到黑球为事件B，
则n(A)=3×4=12，n(AB)=3×2=6，所以PB|A=nABnA=612=12.
方法三（剔除法）：在第1次摸到黑球的条件下袋子中还有4个球，其中有2个黑球，所以在第1次摸到黑球的条件下，第2次还摸到黑球的概率为P(B|A)=24=12.
故选：A．
设计意图：通过具体实例，让学生感受条件概率的计算方法，加强对条件概率概念的理解.
任务二：条件概率的性质
思考1：条件概率有什么性质？
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考条件概率的性质，然后教师点评完善.
答：条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质：
设PA>0，则
(1)0≤P(B|A)≤1；
(2)P(Ω|A)=1；
(3)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)；
(4)设B和B互为对立事件，则P(B|A)=1−P(B|A).
思考2：你能给出性质(3)的推导过程吗？
师生活动：学生尝试利用条件概率的概念域互斥事件的定义进行推导，教师评价并给出完整的证明过程.
答：因为事件B与事件C互斥，所以事件BA与事件CA互斥，且B∪CA=BA∪CA，所以P(B∪C|A)=PB∪CAPA=PBA∪CAPA=PBA+PCAPA=PBAPA+CAPA=P(B|A)+P(C|A).
注意：利用公式P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)求条件概率可使复杂的问题变得较为简单，但应注意只有在“事件B与事件C互斥”这一前提下才成立.
做一做：已知某盒子内装有红、黄、黑三种不同颜色的小球，现从中依次取出两个球.若第1次取出黑球的概率为0.5，在第1次取出黑球的条件下，第2次取出红球的概率为0.15，
在第1次取出黑球的条件下，第2次取出黄球的概率为0.2，则在第1次取出黑球的条件下，第2次取出红球或黄球的概率为_________.
答：设“取出的第1个球是黑球”为事件A，“取出的第2个球是红球”为事件B，“取出的第2个球是黄球”为事件C，则
PA=0.5，P(B|A)=0.15，P(C|A)=0.2.
所以，P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=0.15+0.2=0.35.
即所求的条件概率为0.35.
设计意图：总结归纳条件概率的性质，培养学生的数学抽象与逻辑推理核心素养.
任务三：条件概率与事件独立性的关系
探究：P(B|A)与PB的关系
思考1：在任务一的探究1与探究2的问题中，P(B|A)与PB是否相等？由此你能发现什么一般结论？
答：在上述两个问题中，都有P(B|A)≠PB，由此发现：P(B|A)与PB一般不相等.
思考2：你能解释P(B|A)=PB的意义吗？如果P(B|A)与PB相等，事件A与事件B应满足什么条件？
师生活动：教师引导学生分析相互独立事件的概率与条件概率之间的关系，学生交流、讨论.
答：直观上看，P(B|A)=PB，说明事件A的发生与否对事件B发生的概率没有影响，即它们相互独立.因此，当事件A与事件B相互独立时，等价于P(B|A)=PB.
思考3：你能用条件概率的定义及事件独立性的定义证明吗？
答：（充分性）若事件A与事件B相互独立，则PAB=PAPB且PA>0，
从而P(B|A)=P(AB)P(A)=PAPBP(A)=PB；
（必要性）反之，若P(B|A)=PB且PA>0，则P(AB)P(A)=PB，从而PAB=PAPB，即事件A与事件B相互独立.
因此，当PA>0时，当且仅当事件A与事件B相互独立时，有P(B|A)=PB.
做一做：根据独立性与条件概率的关系，下列说法正确的有( )
A. 若P(A|B)=0.5，P(A)=0.49，则A与B独立
B. 若P(A|B)=0.7，P(A)=0.3，则A与B独立
C. 若A与B独立，且P(A)=0.4，则P(A|B)=0.6
D. 若A与B独立，且P(AB)=49，P(B)=59，则P(A|B)=15
解：对于A，因为P(A)=1−P(A)=0.51，P(A|B)= 1−P( A| B)=0.5，P(A|B)≠P(A)，所以A与B不独立，故A错误；
对于B，因为P(A)=1−P(A)=0.7，满足P( A| B)=P(A)，所以A与B独立，故B正确；
对于C，因为A与B独立，且P(A)=0.4，
则P( A| B)=P(A)=1−P(A)=0.6，故C正确；
对于D，因为A与B独立，且P(AB)=49，P(B)=59，
则P(A|B)=P(AB)P(B)=45，
所以P(A|B)=1−P(A|B)=15，故D正确．
故选：BCD．
设计意图：通过对问题的探究，理解事件的独立性与条件概率的关系，发展学生的逻辑推理核心素养.
任务四：概率的乘法公式
思考：对任意两个事件A与B，如果已知P(B|A)与PA，如何计算PAB呢？
师生活动：引导学生对条件概率公式进行变形.
答：对任意两个事件A与B，若PA>0，由P(B|A)=P(AB)P(A)变形，得PAB=P(A)P(B|A).
称上式为概率的乘法公式.
特别地，当事件A与B相互独立时，PAB=P(A)P(B).
说明：(1)概率的乘法公式给出了一种计算积事件发生的概率的方法，即在事件A与B不相互独立时，可求出PA及P(B|A)或PB及P(A|B)，再利用概率的乘法公式计算，即可得到积事件发生的概率.
(2)涉及条件概率和概率的乘法公式的问题一般都比较复杂，建议在解题时先把题目中相关事件用符号表示出来，从而便于分析问题.
做一做：已知0