数学选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.2 离散型随机变量及其分布列教案设计

这是一份数学选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.2 离散型随机变量及其分布列教案设计，共11页。教案主要包含了复习引入，探究新知，典例剖析，课堂总结，布置作业等内容，欢迎下载使用。

《离散型随机变量及其分布列》教学设计
一、复习引入
教师提出问题:你还记得我们以前学习过的随机试验与函数吗?
给学生留几分钟思考时间,然后指名学生回答.
(1)随机试验:对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验.
一般地,一个试验如果满足下列条件:
①试验可以在相同的条件下重复进行;
②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.
这种试验就是一个随机试验.
(2)函数:一般地,设是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称:为从集合到集合的一个函数,记作,.
学生回答完后,教师提问:随机试验的样本空间与实数集之间能否建立某种对应关系呢?
师:求随机事件的概率时,我们往往需要为随机试验建立样本空间,并会涉及样本点和随机事件的表示问题.类似函数在数集与数集之间建立对应关系,如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应,将不仅可以为一些随机事件的表示带来方便,而且能更好地利用数学工具研究随机试验.
设计意图:通过让学生回忆随机试验和函数的相关知识,为引入随机变量作准备.
二、探究新知
1.有些随机试验的样本点与数值有关系,我们可以直接与实数建立对应关系.例如,掷一枚骰子,用实数表示“掷出的点数为”;又如,掷两枚骰子,样本空间为,用表示“两枚骰子的点数之和”,样本点就与实数对应.
2.有些随机试验的样本点与数值没有直接关系,我们可以根据问题的需要为每个样本点指定一个数值.例如,随机抽取一件产品,有“抽到次品”和“抽到正品”两种可能结果,它们与数值无关.如果“抽到次品”用1表示,“抽到正品”用0表示,即定义那么这个试验的样本点与实数就建立了对应关系.
类似地,掷一枚硬币,可将试验结果“正面朝上”用1表示,“反面朝上”用0表示;随机调查学生的体育综合测试成绩,可将等级成绩优、良、中等、及格、不及格分别赋值;等等.
教师总结:对于任何一个随机试验,总可以把它的每个样本点与一个实数对应.即通过引入一个取值依赖于样本点的变量,来刻画样本点和实数的对应关系,实现样本点的数量化.因为在随机试验中样本点的出现具有随机性,所以变量的取值也具有随机性.
设计意图:通过上述实例,让学生了解随机试验的样本点不论是否与数值直接有关,都可以数量化.
3.考察下列随机试验及其引入的变量:
试验1:从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验,变量表示三个元件中的次品数.
试验2:抛掷一枚硬币直到出现正面为止,变量表示需要的抛掷次数.
师:这两个随机试验的样本空间各是什么?各个样本点与变量的值是如何对应的?变量有哪些共同的特征?
设计意图:通过两个试验,提出问题,引发学生思考,为抽象概念作进一步准备.
师生活动:教师展示两个试验,提出问题,让学生思考、讨论、交流,然后找代表发言.教师进行适时点评与指导.
对于试验1,如果用0表示“元件为合格品”,1表示“元件为次品”,用0和1构成的长度为3的字符串表示样本点,则样本空间,.各样本点与变量的值的对应关系如图所示.

对于试验2,如果用表示“正面朝上”,表示“反面朝上”,例如用表示第3次才出现“正面朝上”,则样本空间包含无穷多个样本点.各样本点与变量的值的对应关系如图所示.

设计意图:通过画图展示各样本点与变量的值的对应关系,让学生更直观形象地建立样本点与实数的对应关系.
追问:在上面两个随机试验中,变量有哪些共同点?
(1)取值依赖于样本点;
(2)所有可能取值是明确的.
在此基础上,教师和学生一起得出随机变量与离散型随机变量的定义.
随机变量的定义:一般地,对于随机试验样本空间中的每个样本点,都有唯一的实数与之对应,我们称为随机变量.
离散型随机变量的定义:可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称为离散型随机变量.通常用大写英文字母表示随机变量,例如;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如.
设计意图:让学生亲身经历由特殊到一般,获得随机变量与离散型随机变量定义的过程,发展学生的直观想象与数学抽象核心素养.
4.随机变量与函数的关系
(1)联系:样本点相当于函数定义中的自变量,而样本空间相当于函数的定义域.
(2)区别:样本空间不一定是数集.
设计意图:通过辨析随机变量与函数的关系,深化对随机变量的理解.
师:现实生活中,离散型随机变量的例子有很多.例如,某射击运动员射击一次可能命中的环数,它的可能取值为;某网页在内被浏览的次数,它的可能取值为;等等.
师:现实生活中还有大量不是离散型随机变量的例子.例如,种子含水量的测量误差;某品牌电视机的使用寿命;测量某一个零件的长度产生的测量误差.这些都是可能取值充满了某个区间、不能一一列举的随机变量.本节我们只研究取有限个值的离散型随机变量.
师:你能再举出一些离散型随机变量和不是离散型的随机变量的例子吗?
教师提出问题让学生思考后回答,学生回答后教师评价.
巩固训练1 下列变量中,哪些是随机变量,哪些不是随机变量?并说明理由.
(1)2020年10月1日上海国际机场候机室中的旅客数量;
(2)2021年某天D36次列车到达终点的时间;
(3)2021年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数;
(4)体积为的球的半径.
答案:(1)候机室中的旅客数量可能是,出现哪一个结果是随机的,因此是随机变量.
(2)D36次列车到达终点的时间每次都是随机的,可能提前,可能准时,亦可能晩点,故是随机变量.
(3)2021年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数是随机变化的,可能多,也可能少,因此是随机变量.
(4)体积为的球的半径为定值,故不是随机变量.
设计意图:通过对具体问题的分析与判断,巩固对随机变量定义的理解.
巩固训练2 下列变量中是离散型随机变量的是_______.
(1)下期《诗词大会》节目中过关的人数;
(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差;
(3)在郑州至武汉的电气化铁道线上,每隔50m有一电线铁塔,从郑州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号,其中某一电线铁塔的编号;
(4)江西九江市长江水位监测站所测水位(单位:m)在(0,29]这一范围内变化,该水位站所测水位.
答案:(1)(3)
点拨:(1)是离散型随机变量.因为过关人数可以一一列举出来.
(2)不是离散型随机变量.因为实际测量值与规定值之间的差值无法一一列举出来.
(3)是离散型随机变量.因为电线铁塔为有限个,其编号从1开始可以一一列举出来.
(4)不是离散型随机变量.因为水位(单位:)在,29]这一范围内变化,对水位值不能按一定次序一一列举出来.
归纳总结:判断一个随机变量是否为离散型随机变量的具体方法:
(1)明确随机试验的所有可能结果;
(2)将随机试验的试验结果数量化;
(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列举出来,如果能一一列举出来,则该随机变量是离散型随机变量,否则不是.
设计意图:通过训练,让学生掌握判断随机变量和离散型随机变量的方法,深化对随机变量和离散型随机变量概念的理解,发展学生的数学抽象和逻辑推理核心素养.
5.离散型随机变量的分布列
探究 抛掷一枚质地均匀的骰子,掷出的点数有哪些取值?取每个值的概率各是多少?
师生活动:教师引导学生思考,讨论交流,归纳结论.
的可能取值是,且,,这一规律可以用下表表示.

该表不仅列出了随机变量的所有可能取值,而且列出了的每一个取值的概率.
(1)分布列的定义
一般地,设离散型随机变量的可能取值为,,我们称取每一个值的概率,为的概率分布列,简称分布列.
(2)分布列的表示
函数可以用解析式、表格、图形表示,离散型随机变量的分布列也可以用解析式、表格、图形表示.
①解析法
.
②列表法

③图象法(以探究问题中的离散型随机变量的分布列为例)

(3)分布列的两个性质
①;
②.
求离散型随机变量的分布列的关键点:①列出离散型随机变量的所有可能取值;②求出离散型随机变量的每一个取值的概率.
巩固训练3 下列表格中,可以作为离散型随机变量的分布列的是( )
A.
B.
C.
D.
答案:D
设计意图:通过探究,得出分布列的定义、表示方法以及两个性质.通过训练,巩固对离散型随机变量分布列的理解.
三、典例剖析
例1 一批产品中次品率为,随机抽取1件,定义求的分布列.
解:根据的定义,“抽到次品”,“抽到正品”,的分布列为.
根据例1,教师给出两点分布的定义.
对于只有两个可能结果的随机试验,用表示“成功”,表示“失败”,定义
如果,则,那么的分布列如下表所示.

我们称服从两点分布或分布.
实际上,为在一次试验中成功(事件发生)的次数(0或1).像购买的彩券是否中奖,新生婴儿的性别,投篮是否命中等,都可以用两点分布来描述.
练习：分布列

是两点分布吗?为什么?
答案:不是.因为的取值不是0和1.
跟踪训练1 设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量描述一次试验的成功次数,则( )
A.0
B.
C.
D.
答案:B
点拨:设,则.依题意知,,解得.故.
例2 某学校高二年级有200名学生,他们的体育综合测试成绩分5个等级,每个等级对应的分数和人数如下表所示.

从这200名学生中任意选取1人,求所选同学分数的分布列,以及.
解:由题意知,是一个离散型随机变量,其可能取值为,且“不及格”,“及格”,“中等”,“良”,“优”.根据古典概型的知识,可得的分布列,如下表所示.


例3 一批笔记本电脑共有10台,其中品牌3台,品牌7台.如果从中随机挑选2台,求这2台电脑中品牌台数的分布列.
解:设挑选的2台电脑中品牌的台数为,则的可能取值为.根据古典概型的知识,可得的分布列为
,
,
.
用表格表示的分布列,如下表所示.

通过例2和例3,教师引导学生归纳总结求离散型随机变量的分布列时应注意的问题.
归纳总结 求离散型随机变量的分布列时应注意的问题:
(1)确定离散型随机变量的分布列的关键是要清楚取每一个值对应的随机事件,进一步利用排列、组合知识求出取每一个值的概率.
(2)在求离散型随机变量的分布列时,要充分利用分布列的性质,这样不但可以减少运算量,还可以验证分布列是否正确.
跟踪训练2 一袋中装有除颜色外其他都相同的5个球,编号为,在袋中同时取3个球,以表示取出的3个球中的最大号码,写出随机变量的分布列.
答案:随机变量的可能取值为.
当时,即取出的3个球中的最大号码为3,则其他2个球的编号只能是1,2,故有;当时,即取出的3个球中的最大号码为4,则其他2个球只能在编号为的3个球中取2个,故有;当时,即取出的3个球中的最大号码为5,则其他2个球为在编号为的4个球中取2个,故有.
因此的分布列为

设计意图:通过例题和训练题,巩固所学知识,加深对概念的理解.
四、课堂总结
1.通过类比函数的定义引入随机变量的定义,对你有什么启发?
2.为什么要研究离散型随机变量的分布列?离散型随机变量的分布列有什么作用?
3.根据本节课所列举的例题,归纳求离散型随机变量分布列的一般步骤.
4.离散型随机变量的分布列的性质在求随机事件概率的过程中起到什么作用?
设计意图:通过问题设计,让学生梳理本节课所学的内容及主要数学思想方法,引发学生深度思考.
五、布置作业
1.教材第60页练习第3,4题.
2.教材第61页习题7.2第4,5,6题.
板书设计:
离散型随机变量及其分布列
1.随机变量的定义
一般地,对于随机试验样本空间中的每个样本点,都有唯一的实数与之对应,我们称为随机变量
2.离散型随机变量的定义
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称为离散型随机变量.通常用大写英文字母表示随机变量,例如;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如
3.随机变量与函数的关系
(1)联系:样本点相当于函数定义中的自变量,而样本空间相当于函数的定义域
(2)区别:样本空间不一定是数集
4.离散型随机变量的分布列
(1)分布列的定义
一般地,设离散型随机变量的可能取值为,,我们称取每一个值的概率为的概率分布列,简称分布列
(2)分布列的表示
离散型随机变量的分布列也可以用解析式、表格、图形表示
(3)分布列的性质
(1);
(2)
5.例题
例1
例2
例3