人教A版 (2019)选择性必修 第三册离散型随机变量及其分布列课后测评

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1．随机变量
一般地，如果随机试验的样本空间为，而且对于中的每一个样本点，变量X都有 的实数值与之对应，就称X为一个随机变量．随机变量一般用用大写英文字母X，Y，Z，…或小写希腊字母，，，…表示．随机变量 组成的集合，称为这个随机变量的取值范围．
2．离散型随机变量的分布列
一般地，当离散型随机变量的取值范围是时，如果对任意，概率都是已知的，则称的概率分布是已知的.离散型随机变量的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为的 或 .
3．离散型随机变量的分布列必须满足：
①；② .
4．一般地，如果随机变量X的分布列能写成如下表格的形式：
则称随机变量X服从参数为 的 （或0-1分布）．
5．随机变量之间的关系
如果X是一个随机变量，a，b都是实数且，则也是一个 ，且 ．
自检自纠：
1．唯一确定， 所有可能的取值 2．概率分布，分布列 3．1 4．P，两点分布
5．随机变量，
二、分层小练：
A.基础训练
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．将一颗质地均匀的骰子掷两次，不能作为随机变量的是（ ）
A．两次掷出的点数之和 B．两次掷出的最大点数
C．第一次与第二次掷出的点数之差 D．两次掷出的点数
【答案】D
【详解】A中，将一个骰子掷两次，两次掷出的点数之和是一个变量，且随试验结果的变化而变化，是一个随机变量．
B中，两次掷出的最大点数是一个变量，且随试验结果的变化而变化，是一个随机变量．
C中，第一次与第二次掷出的点数是一个变量，且随试验结果的变化而变化，之差也都是随机变量，
D中，两次掷出的点数不是一个变量，所以不是随机变量．
故选：D.
2．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（ ）
A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局二次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
【答案】D
【详解】因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．故选：D．
3．下列表中能称为随机变量X的分布列的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对于A，由，故A错误；对于B，由，故B错误；
对于C，由，故C正确；对于D，由，故D错误.答案：C
4．已知一个离散型随机变量X的分布列为
则p的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意可得：，解得.故选：C.
5．下表是离散型随机变量的概率分布，则常数a的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由，解得，故选：C.
6．设随机变量的概率分布列如表所示，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，所以或，所以或．故选:D．
7．若某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量表示1次试验的成功次数，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意可设失败率为，则成功率为，则的分布列为
，解得，.故选：D.
8．已知随机变量的分布列为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】依题意，分布列概率之和为1，则，解得.即，所以. 故选：A.
二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分）
9．下列随机变量中，不是离散型随机变量的是（ ）．
A．从10张已编好号码的卡片（1号到10号）中任取一张，被取出的卡片的号码
B．一个袋子中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个球，其中所含白球的个数
C．某林场的树木最高可达30m，从此林场中任选一棵树，所选树木的高度
D．从某加工厂加工的某种铜管中任选一根，所选铜管的外径尺寸与规定的外径尺寸之差
【答案】CD
【详解】对于A，被取出的卡片的号码是1，2，3，…，10，共有10个值，是随机变化的，符合离散型随机变量的定义；对于B，从10个球中取3个球，所含白球的个数有0，1，2，3，共有4个值，是随机变化的，符合离散型随机变量的定义；对于C，所选树木的高度是随机变化的，它可以取内的一切值，无法一一列出，不是离散型随机变量；对于D，实际测量值与规定值之间的差值是随机变化的，它充满了某个区间，无法一一列出，不是离散型随机变量.故选：CD
10．随机变量X的概率分布如表，其中2b＝a＋c，且，
则（ ）
A．a＋b＋c＝1 B． C． D．
【答案】ABD
【详解】由概率的性质可得，由得，故选：ABD.
11．设随机变量的分布列为，（），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】选项A，由已知可得，，即，故该选项正确；
选项B，，故该选项正确；
选项C，，故该选项正确；
选项D，，故该选项错误.
故选：ABC.
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．10件产品中有2件次品，从中任取2件，其中次品数ξ的所有可能取值是 ．
【答案】0，1，2
【详解】题意可得，次品数ξ的取值最小为0，最大为2，且ξ为自然数，所以次品数ξ的所有可能取值是0，1，2.故答案为：0，1，2.
13．已知X服从参数为0.3的两点分布，则 ；若，则 .
【答案】
【详解】因为服从参数为0.3的两点分布，所以， .
当时，，所以.故答案为：0.7，0.3
14．已知随机变量X的概率分布为，则实数 ．
【答案】
【详解】依题意，，由分布列的性质得，解得，所以实数.故答案为：
B.提升强化
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．袋中有大小相同质地均匀的5个黑球、3个白球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（ ）
A．至少取到1个黑球 B．取到黑球的个数 C．至多取到1个黑球 D．取到的球的个数
【答案】B
【详解】根据离散型随机变量的定义，能够一一列出的只能是B选项，其中A、C选项是事件，D选项取到球的个数是2个为确定值，ACD错误；故选：B．
2．已知随机变量X的分布列为，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意得：．故选:A
3．已知随机变量的概率分布如下：
则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由离散型随机变量分布列的性质，可知，所以.故选：C.
4．某射击运动员射击一次所得环数的分布列如下表所示.
则（ ）
A．0.72B．0.75C．0.85D．0.90
【答案】C
【详解】由题意，解得.
∴＝．故选：C
5．甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】易知X的可能取值为0，1，2，，，，故X的分布列为
故选：D.
6．已知抛物线的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，，在这些抛物线中，记随机变量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由于抛物线的对称轴在y轴左侧，所以，即a，b同号且均不为零，c可取中的任意值，所以共有种不同的情况．因为，所以的取值范围是，其中的可能情况为且，所以，的可能情况为且，所以，的可能情况为且，所以，所以．故选：A．
7．已知随机变量的分布列为，则等于( )
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由，则，解得，则.故选：B
8．已知随机变量和，其中，且，若的分布列如下表，则的值为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】且，则，即，，解得.故答案选A
二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分）
9．下列选项中的随机变量服从两点分布的是（ ）．
A．抛掷一枚骰子，所得点数X
B．某射手射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分，射手的得分X
C．从装有5个红球，3个白球的袋子中取1个球，定义：“取出白球”，“取出红球”
D．某医生做一次手术，手术成功的次数X
【答案】CD
【详解】两点分布又叫0-1分布，试验结果只有两个，并且随机变量的取值只有0，1两个，C，D满足题意；抛掷一枚骰子，所得点数X可能的结果为1，2，3，4，5，6，共6个，不是两点分布，A不满足题意；某射手射击一次的试验结果有两个，但随机变量X的取值是0，2，B不满足题意．故选：CD
10．已知为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，．则下列结论正确的是（ ）
A．共有24对相交棱 B． C． D．
【答案】AC
【详解】若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，
所以共有对相交棱，因此，故A正确，B错误；
若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，故，
于是 ，故C正确，D错误．
故选：AC．
11．（多选）水果篮中有8个水果，其中有2个是石榴，现从水果篮中随机地抽取3个，那么概率是的事件为（ ）
A．恰有1个不是石榴 B．3个全不是石榴 C．恰有2个石榴 D．至少2个不是石榴
【答案】AC
【详解】水果篮中随机地抽取3个的总事件数为，
因为其中有2个石榴，所以可能出现的事件有：恰有0个石榴，恰有1个石榴，恰有2个石榴，
取法数分别为；
所以恰有1个不是石榴的概率为，3个全不是石榴的概率为，恰有2个石榴的概率为，
至少2个不是石榴的概率为，故选：AC．
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．一批产品的次品率为5%，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量X来描述次品出现的情况，即X=0表示抽取的一个产品为合格品，X=1表示抽取的一个产品为次品，则X的分布列为
则a= ，b= .
【答案】
【详解】X=0表示抽取的一个产品为合格品，概率为95%，即a=；
X=1表示抽取的一个产品为次品，概率为5%，即b=.
故答案为：；
13．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分的分布列如下表所示，其中成等差数列，且
则这名运动员得3分的概率是 ．
【答案】
【详解】由题知，，又成等差数列，有，由分布列的性质知，，且，，，联立，解得，，.由表可知，这名运动员得3分的概率是.故答案为：.
14．现有7张卡片，分别写上数字1，2，3，4，5，5，6，从这7张卡片中随机抽取3张，记所取卡片上数字的最大值为X，则= ．
【答案】
【详解】从这7张卡片中随机抽取3张的试验有个基本事件，其中的事件所含基本事件数为，所以.故答案为：...
...
...
...
X
1
0
P
p
1-p
X
1
2
3
4
P
p
3
4
5
6
2
3
4
0
1
X
2
4
6
P
a
b
c
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
5
6
7
8
9
10
0.03
0.05
0.07
0.08
0.26
0.23
X
0
1
2
P
0.06
0.38
0.56
ξ
1
2
3
4
P

m
n
X
0
1
P
a
b
0
2
3