高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册离散型随机变量及其分布列优秀课后复习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册离散型随机变量及其分布列优秀课后复习题，文件包含高二下学期期末复习第七章随机变量及其分布十四大题型专练+思维导图+知识清单原卷版docx、高二下学期期末复习第七章随机变量及其分布十四大题型专练+思维导图+知识清单解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共75页， 欢迎下载使用。

【知识清单1 条件概率与全概率公式】
1．条件概率
(1)条件概率的定义
一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)=为事件A发生的条件下，事件
B发生的条件概率，简称条件概率.
(2)性质
设P(A)>0，Ω为样本空间，则
①P(B|A)∈[0,1]，P(Ω|A)=1；
②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)；
③设和B互为对立事件，则P()=1-P(B|A).
2．概率的乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)·P(B|A).
3．求条件概率的常用方法
(1)定义法：P(B|A)=.
(2)样本点法：P(B|A)=.
4．全概率公式及应用
(1)全概率公式
一般地，设是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, ，
n，则对任意的事件，有P(B)=.我们称此公式为全概率公式.
(2)全概率公式的意义
全概率公式的意义在于，当直接计算事件B发生的概率P(B)较为困难时，可以先找到样本空间Ω的一
个划分Ω=，两两互斥，将看成是导致B发生的一组原
因，这样事件B就被分解成了n个部分，分别计算P()，P()，，P()，再利用全概率公式求
解.
题型一
条件概率的计算
1．（24-25高二下·辽宁·期中）袋子中有10个除颜色外完全相同的小球，其中7个白球，3个黑球，每次从袋子中随机摸出一个球，摸出的球不再放回.则在第一次摸到白球的条件下，第二次也摸到白球的概率为（ ）
A．23B．715C．79D．35
【解题思路】利用条件概率公式进行计算.
【解答过程】设事件A：第一次摸到白球，事件B：第二次摸到白球.
则PA=710，PAB=A72A102=715.
所以PB|A=PABPA =715×107=23.
故选：A.
2．（24-25高二下·云南昆明·期中）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻（yá）组成，其中爻分为阳爻“”和阴爻“”.在所有重卦中随机取一重卦，记事件A=“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件B=“取出的重卦中至少有4个阳爻”，则PBA=（ ）
A．516B．1132C．13D．721
【解题思路】根据条件概率的公式，分析PA,PAB求解即可.
【解答过程】P(A)=26−126=6364，事件AB=“取出的重卦中有4阳2阴或5阳1阴”，
则P(AB)=C64+C6526=2164，则P(B∣A)=P(AB)P(A)=721
故选：D.
3．（多选）（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动.决赛准备了3道选择题和2道填空题，每位参赛者从5道题中不放回地随机抽取两次，每次抽取1题作答.设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ）
A．PA=35B．PAB=310
C．PBA=25D．PBA=12
【解题思路】A选项，根据古典概型求概率公式得到A正确；B选项，根据PAB=35×24=310得到答案；C选项，在AB选项基础上，利用条件概率公式求出答案；D选项，求出PA=1−35=25，PAB=25×34=310，从而利用条件概率公式得到答案.
【解答过程】A选项，决赛准备了3道选择题和2道填空题，
每位参赛者从5道题中不放回地随机抽取两次，每次抽取1题作答，故PA=35，A正确；
B选项，从5道题中不放回地随机抽取两次，故PAB=35×24=310，B正确；
C选项，PBA=PABPA=310×53=12，C错误；
D选项，因为PA=35，所以PA=1−35=25，
又PAB=25×34=310，故PBA=PABPA=310×52=34，D错误.
故选：AB.
4．（24-25高二下·河南·期中）某学校组织乒乓球比赛，采取3局2胜制．甲、乙两同学进行淘汰赛，假设每局比赛中甲获胜的概率均为23，且各局比赛的结果相互独立．则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是 45 ．
【解题思路】根据条件概率公式求解.
【解答过程】设甲获胜为事件A，甲第一局获胜为事件B，
则PA=23×23+23×13×23+13×23×23=2027，
PAB=23×23+23×13×23=1627，
所以在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率PBA=PABPA=16272027=45．
故答案为：45.
5．（24-25高二下·新疆阿克苏·阶段练习）某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动．
(1)求男生甲被选中的概率；
(2)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；
(3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率．
【解题思路】（1）古典概型的概率求法，应用列举法求概率；
（2）记“男生甲被选中”为事件M，“女生乙被选中”为事件N，根据（1）有PMN=115且PM=13，应用条件概率公式求概率；
（3）记“挑选的2人一男一女”为事件S，“女生乙被选中”为事件N，根据（1）有PS=815且PSN=415，应用条件概率公式求概率；
【解答过程】（1）记4名男生为A(甲)，B，C，D，2名女生为a，b(乙)，
从6名成员中挑选2名成员有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab共有15种情况，
记“男生甲被选中”为事件M，则基本事件为AB，AC，AD，Aa，Ab共有5种，故PM=515=13．
（2）记“男生甲被选中”为事件M，“女生乙被选中”为事件N，则PMN=115，
由（1）知PM=13，故PNM=PMNPM=15．
（3）由（1）知：记“挑选的2人一男一女”为事件S，则PS=815，
“女生乙被选中”为事件N，则PSN=415，故PNS=PSNPS=12．
题型二
条件概率与其他知识综合
6．（24-25高二下·江苏无锡·期中）小明等5名同学准备分别从竹海风景区、善卷洞、云湖这3个景点随机选择一个游玩，设事件A=“每个景点都有人去”，事件B=“小明独自去了一个景点”，则PAB=（ ）
A．12B．58C．34D．78
【解题思路】由已知根据古典概型的概率计算公式求解PAB和PB，然后根据条件概率的计算公式求解即可.
【解答过程】5名同学从3个景点随机选择一个游玩，选法共有35种，
小明选择一个景点的方法共有C31=3种，
将剩下的4名同学分成两组并分配到2个景点，选法共有C42C22A22⋅A22+C41C33A22=14种，
所以PAB=3×1435=4235，
小明独自去一个景点，剩下的4名同学从剩下的2个景点中任选1个，
选法共有C31⋅24=48种，
所以PB=4835，
所以PAB=PABPB=42354835=4248=78.
故选：D.
7．（24-25高三下·福建龙岩·阶段练习）某医学院计划从4名男生和3名女生中选派2人分别到甲、乙两地参加义诊活动，则在派往甲地是男生的条件下，派往乙地是女生的概率是（ ）
A．13B．12C．47D．23
【解题思路】先分别求出事件A（派往甲地是男生）的概率P(A)和事件AB（派往甲地是男生且派往乙地是女生）的概率P(AB)，再代入公式计算在派往甲地是男生的条件下，派往乙地是女生的概率P(B|A).
【解答过程】从4名男生和3名女生共7人中选2人分别到甲、乙两地，总的选派方法数为A72=7×6=42种.
派往甲地是男生的情况：先从4名男生中选1人派往甲地，有C41=4种选法；再从剩下的6人中选1人派往乙地，有C61=6种选法.
根据分步乘法计数原理，派往甲地是男生的选派方法数为C41×C61=4×6=24种.所以P(A)=2442=47.
派往甲地是男生且派往乙地是女生的情况：先从4名男生中选1人派往甲地，有C41=4种选法；再从3名女生中选1人派往乙地，有C31=3种选法.
根据分步乘法计数原理，派往甲地是男生且派往乙地是女生的选派方法数为C41×C31=4×3=12种.所以P(AB)=1242=27.
根据条件概率公式，将P(A)=47，P(AB)=27代入可得：P(B|A)=2747=12.
在派往甲地是男生的条件下，派往乙地是女生的概率是12，
故选：B.
8．（多选）（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知口袋中有aa∈N*,a≥2个黑球和bb∈N*,b≥2个白球，这a+b个球除颜色外完全相同，每次不放回地随机摸出一个球，连续摸两次．记事件A表示“第一次摸得黑球”，记事件B表示“第二次摸得黑球”．则下列说法正确的是（ ）
A．PA=PBB．1−PABPA=PAB
C．存在a，b，使得事件A与B独立D．存在a,b，使得PAB=PAB
【解题思路】由已知根据古典概型计算方法可得PA，PB，即可判断A；根据相互独立事件的定义即可判断C；根据古典概型计算PAB和PAB，即可判断D，根据条件概率计算公式即可判断B.
【解答过程】由已知可得PA=aa+b，PB=aa−1+baa+ba+b−1=aa+b，
所以PA=PB，故A正确；
PAB=aba+ba+b−1，PAPB=aa+b⋅1−aa+b=aba+b2，
所以不存在a，b，使得PAB=PAPB，
所以事件A与B不独立，故C错误；
PAB=aa−1a+ba+b−1，PAB=aba+ba+b−1，
若PAB=PAB，则aa−1a+ba+b−1=aba+ba+b−1，
所以aa−1=ab，即a−1=b，
所以存在a,b，满足a−1=b，使得PAB=PAB，故D正确；
1−PABPA=1−aba+ba+b−1aa+b=1−ba+b−1=a−1a+b−1，
PAB=PABPB=aa−1a+ba+b−1aa+b=a−1a+b−1，
所以1−PABPA=PAB，故B正确.
故选：ABD.
9．（2024·吉林长春·模拟预测）春暖花开季节，小王､小李､小张､小刘四人计划“五･一”去踏青，现有三个出游的景点：南湖､净月､莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为 23 .
【解题思路】由古典概率结合条件概率的形式计算即可.
【解答过程】至少有两人去南湖的情况有三种：两人去，三人去，四人去，
其概率为C42C21C21+C43×2+C4434=3381，
至少有两人去南湖且有人去净月的概率为C42×3+C4334=2281，
所以在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为2233=23，
故答案为：23.
10．（23-24高三下·上海·开学考试）我们平时常用的视力表叫做对数视力表，视力呈现为4.8，4.9，5.0，5.1．视力5.0为正常视力．否则就是近视．某校进行一次对学生视力与学习成绩的相关调查，随机抽查了100名近视学生的成绩（按照各科占一定权重计算而得的满分100分的综合成绩），得到频率分布直方图如下：

(1)估计该校近视学生学习成绩的第85百分位数；（精确到0.1）
(2)已知该校学生的近视率为54%，学生成绩的优秀率为36%（成绩≥85分视作优秀），从该校学生中任选一人，若此人的成绩为优秀，求此人近视的概率．（以样本中的频率作为相应的概率）
【解题思路】（1）根据频率分布直方图，先估算出第85百分位数所在的组别，再运用所占比率即可算得结果；
（2）根据频率分布直方图及条件概率可得结果.
【解答过程】（1）由频率分布直方图可知，成绩90分以下所占比例为7%+13%+20%+24%=64%，
因此第85百分位数一定位于90,100内，由90+0.85−≈95.8，
可以估计该地区近视学生的学习成绩的第85百分位数约为95.8.
（2）设A=“该地区近视学生”，B=“该地区优秀学生”，
由频率分布直方图可得PBA=0.0242+0.036×10=0.48，
又PA=0.54,PB=0.36，
所以PAB=PABPB=PBAPAPB=0.48×，
即若此人的成绩为优秀，则此人近视的概率为0.72.
【知识清单2 离散型随机变量及其分布列】
1．随机变量与离散型随机变量
(1)随机变量
①定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们
称X为随机变量.
②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值.
③随机变量与函数的关系
联系：随机变量与函数都是一种对应关系，样本点ω相当于函数定义中的自变量，样本空间Ω相当于
函数的定义域.
区别：样本空间Ω不一定是数集，随机变量的取值X(ω)随着试验结果ω的变化而变化，而函数是从非
空数集到非空数集的一一对应.
(2)离散型随机变量
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量.
2．离散型随机变量的分布列
(1)定义
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=
pi，i=1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.
(2)分布列的表格表示
分布列也可以用等式形式表示为P(X=xi)=pi，i=1，2，，n，还可以用图形表示.
(3)离散型随机变量分布列具有的两个性质
①pi≥0，i=1，2，，n；
②p1+p2++pn=1.
3．离散型随机变量分布列的求解步骤
第一步，明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义；
第二步，求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率；
第三步，画表格：按规范要求形式写出分布列；
第四步，做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确.
题型三
离散型随机变量的判断
11．（23-24高二下·江苏·课前预习）下列随机变量是离散型随机变量的个数是（ ）
①掷一颗骰子出现的点数；
②投篮一次的结果；
③某同学在12：00至12：30到校的时间；
④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数.
A．1B．2
C．3D．4
【解题思路】根据离散型随机变量的定义逐个分析即可.
【解答过程】①中骰子出现的点数为1，2，3，4，5，6，可以一一列举出来.
②中投篮一次有两种情况，若用1表示投中，0表示不中，
则也可以一一列举出来.
④中所取3件产品的合格品数可能为0，1，2，3，共4种情况，
可以一一列举出来.
③中学生到校时间可以是12：00到12：30中的任意时刻，
不能一一列举出来，因此③不是离散型随机变量，
故只有①②④满足.
故选：C.
12．（23-24高二下·河南周口·期中）下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数ξ；
②一个沿x轴进行随机运动的质点，它在x轴上的位置η；
③某派出所一天内接到的报警电话次数X；
④某同学上学路上离开家的距离Y．
其中是离散型随机变量的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】根据离散型随机变量的定义判断即可.
【解答过程】对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量；
对于②，沿x轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量；
对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量；
对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量，
所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③．
故选：B．
13．（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）下列随机变量中属于离散型随机变量的是（ ）
A．高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数X
B．测量一个年级所有学生的体重，在60kg~70kg范围内的体重记为X
C．测量全校所有同学的身高，在170cm~175cm范围内的人数记为X
D．某电子元件的寿命X
【解题思路】根据离散型随机事件的定义判断即可.
【解答过程】半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量，选项A正确；
体重无法一一列举，选项B不正确；
人数可以列举，选项C正确；
某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，选项D不正确．
故选:AC．
14．（23-24高二下·新疆巴音郭楞·期末）袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X的可能取值是 2,3,4,5,6,7,8,9,10 ．（用集合表示）
【解题思路】本题考查随机变量的取值问题，注意题目中球是有放回的，结合列表法分析说明，
【解答过程】因为两球号码和可出现同号相加，如下表所示：
所以X的可能取值是2,3,4,5,6,7,8,9,10.
故答案为：2,3,4,5,6,7,8,9,10.
15．（24-25高二下·全国·课堂例题）下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由．
(1)某机场一年中每天运送乘客的数量；
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数；
(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；
(4)一瓶果汁的容量为500±2mL.
【解题思路】根据离散型随机变量概念性质可解.
【解答过程】（1）某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量．
（2）某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量．
（3）明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量．
（4）由于果汁的容量在498mL~502mL之间波动，是随机变量，但不是离散型随机变量,是连续性随机变量.
题型四
随机变量的分布列问题
16．（24-25高二下·广西河池·阶段练习）设随机变量X的概率分布列为
则P2≤X≤3=（ ）
A．12B．512C．14D．16
【解题思路】根据随机变量的概率和为1，即可求得a的值，再将X=2,X=3的概率相加，即可得解.
【解答过程】PX=2=1−13−14−14=16，
则P(2≤X≤3)=PX=2+PX=3=16+14=512.
故选：B．
17．（24-25高二下·全国·课后作业）设X是一个离散型随机变量，其分布列如下，则P(|X|=1)等于（ ）
A．23B．13C．14D．34
【解题思路】由离散型随机变量的分布列的性质列方程计算即可.
【解答过程】由离散型随机变量的性质可得13+1−2q+3q2−q+13=1，
即3q−13q−2=0，解得q=13或q=23，
q=23时1−2q3)=0.5
C．若m=0.9，则n=−0.2D．P(X=1)=2P(X=6)
【解题思路】根据分布列的性质，以及概率的定义与互斥事件概率的加法公式，逐项判定，即可求解.
【解答过程】对于A中，由分布列的性质，可得0.2+m+n+0.1=1，解得m+n=0.7，所以A正确；
对于B中，若m=0.3，可得n=0.4，则P(X>3)=P(X=4)+P(X=6)=0.5，故B正确；
对于C中，由概率的定义知m≥0,n≥0，所以C不正确；
对于D中，由P(X=1)=0.2，P(X=6)=0.1，则P(X=1)=2P(X=6)，所以D正确．
故选：ABD.
19．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）已知离散型随机变量X的分布列如下表，则m= 512 .
【解题思路】根据分布列性质利用概率之和为1得解.
【解答过程】由分布列性质可知，13+112+m+1−2m=1，
解得m=512，
故答案为：512.
20．（24-25高二下·广西河池·阶段练习）某校运动会4*100接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知1班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为23和23；2班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为23和34；3班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为34和45．
(1)1班，2班，3班中哪个班级进入决赛的可能性最大？
(2)设三个班中进入决赛的班级数为ξ，求ξ的分布列．
【解题思路】（1）根据概率乘法公式分别求出1班，2班，3班进入决赛的概率，比较大小确定结论；
（2）先确定ξ的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列.
【解答过程】（1）1班进入决赛的概率为23×23=49，
2班进入决赛的概率为23×34=12，
3班进入决赛的概率为34×45=35，
因为35>12>49，
所以3班进入决赛的概率最大，所以3班进入决赛的可能性最大.
（2）由（1）可知：1班、2班、3班进入决赛的概率分别为49，12，35，
ξ的可能取值为0，1，2，3，
Pξ=0=1−491−121−35=19，
Pξ=2=(1−49)×12×35+49×(1−12)×35+49×12×(1−35)=718，
Pξ=3=49×12×35=215，
Pξ=1=1−Pξ=0−Pξ=2−Pξ=3=1−19−718−215=1130，
所以ξ的分布列为：
【知识清单3 两点分布】
1．两点分布
(1)两点分布的定义
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X=
如果P(A)=p，则=1-p，那么X的分布列如下表所示.
我们称X服从两点分布或0—1分布.
(2)两点分布的理解
两点分布的试验结果只有两个可能值，且其概率之和为1.可设任意一个为0，另一个相应为1.
题型五
两点分布
21．（24-25高二下·山东·期中）已知随机变量X服从两点分布，且PX=0=0.4.设Y=3X−2，则PY=1=（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.6
【解题思路】根据两点分布可得PX=1=0.6，再根据Y=3X−2即可得结果.
【解答过程】由题意可知：PX=1=1−PX=0=0.6，
因为Y=3X−2，所以PY=1=PX=1=0.6.
故选：D.
22．（24-25高二下·山东聊城·期中）已知随机变量X服从两点分布，且PX=0=12a2−1，PX=1=3−7a，则实数a的值为（ ）
A．13B．14C．23D．14或13
【解题思路】根据两点分布的性质以及概率的取值范围来确定实数a的值.
【解答过程】因为随机变量X服从两点分布，所以P(X=0)+P(X=1)=1.
12a2−1+3−7a=1.
整理得12a2−7a+1=0，解得a1=13，a2=14.
当a=13时，P(X=0)=12×(13)2−1=12×19−1=43−1=13∈[0,1]，P(X=1)=3−7×13=3−73=23∈[0,1]；
当a=14时，P(X=0)=12×(14)2−1=12×116−1=34−1=−14∉[0,1]，故a=14不合题意.
综上，可得a=13.
故选：A.
23．（多选）（24-25高二·全国·课后作业）下列选项中的随机变量服从两点分布的是（ ）．
A．抛掷一枚骰子，所得点数X
B．某射手射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分，射手的得分X
C．从装有5个红球，3个白球的袋子中取1个球，定义：{X=1}=“取出白球”，{X=0}=“取出红球”
D．某医生做一次手术，手术成功的次数X
【解题思路】利用两点分布的定义，逐项分析判断即可作答.
【解答过程】两点分布又叫0-1分布，试验结果只有两个，并且随机变量的取值只有0，1两个，C，D满足题意；
抛掷一枚骰子，所得点数X可能的结果为1，2，3，4，5，6，共6个，不是两点分布，A不满足题意；
某射手射击一次的试验结果有两个，但随机变量X的取值是0，2，B不满足题意．
故选：CD.
24．（24-25高二下·全国·课堂例题）已知离散型随机变量X的分布列服从参数为p的两点分布，且PX=1=3−4PX=0，则p= 13 .
【解题思路】利用两点分布的概率和性质结合给定条件求解即可.
【解答过程】因为X的分布列服从参数为p的两点分布，所以PX=0+PX=1=1，且PX=1=p，
所以PX=1=3−41−PX=1即p=3−4(1−p)，∴p=13.
故答案为：13.
25．（23-24高二上·全国·课后作业）在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列．
【解题思路】先列出随机变量的可能值，然后求出随机变量可能值随对应的概率即可.
【解答过程】抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有1和0两种情况．
PX=1=C41C101=410=25，
则PX=0=1−PX=1=1−25=35.
因此X的分布列为：
【知识清单4 离散型随机变量的均值】
1．离散型随机变量的均值
(1)定义
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示：
则称E(X)=x1p1+x2p2++xipi++xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称
期望，它反映了随机变量取值的平均水平.
(2)对均值(期望)的理解
求离散型随机变量的期望应注意：
①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.
②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是
不变的，它描述X取值的平均状态.
③均值与随机变量有相同的单位.
2．均值的性质
若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且
E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.
特别地，当a=0时，E(b)=b；
当a=1时，E(X+b)=E(X)+b；
当b=0时，E(aX)=aE(X).
题型六
求离散型随机变量的均值
26．（24-25高二下·山西·期中）已知随机变量X的分布列如下表：
则EX=（ ）
A．1.2B．1.04C．1.02D．1
【解题思路】先由概率之和为1解出a=0.2，再由期望公式求解即可.
【解答过程】由题意可得0.12+1−2a+0.24+a2=1，
解得a=0.2或a=1.8，由概率不能大于1，所以舍掉a=1.8，
所以a=0.2，
EX=0×0.12+1×0.6+2×0.24+3×0.04=1.2.
故选：A.
27．（24-25高二下·浙江宁波·阶段练习）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．记X为比赛决出胜负时的总局数，则X的均值（数学期望）为（ ）
A．22481B．349C．249D．30481
【解题思路】设Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”，求出其概率值，确定随机变量X的所有可能的值，利用独立事件的概率乘法公式求出对应的概率，得到其分布列，利用期望公式计算即可.
【解答过程】设Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”，
则P(Ak)=23,P(Bk)=13,k=1,2,3,4,5，
由题意X的所有可能的值为2,3,4,5，
则P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=59，
P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)
=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=29，
P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4) =P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=1081，
P(X=5)=1−P(X=2)−P(X=3)−P(X=4)=881.
故X的分布列为：
则E(X)=2×59+3×29+4×1081+5×881=22481.
故选：A.
28．（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如表：
将频率视为概率，则（ ）
A．从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，其首次出现故障发生在保修期内的概率为15
B．若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，则EX1=2.86
C．若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，则EX2=2.99
D．该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，应生产甲品牌的轿车
【解题思路】由条件概率判断A，写出X1,X2的分布列，求出它们的期望可判断BCD.
【解答过程】设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A) =2+350=110，
依题意得，X1的分布列为
EX1=1×125+2×350+3×910=14350=2.86，
X2的分布列为
EX2=1.8×110+2.9×910=2.79．
因为EX1>EX2，所以应生产甲品牌轿车．
故选：BD.
29．（24-25高二下·湖南常德·期中）一个不透明的袋子中装有3个黑球，n个白球（n∈N∗），这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为920，设X为取出白球的个数，则EX= 32 .
【解题思路】根据取出2个黑球，1个白球的概率为920求出n的值，再求出X的分布列，根据数学期望的定义即可计算.
【解答过程】由题可知，C32Cn1Cn+33=920，即18nn+1n+2n+3=920，解得n=3，
则X的可能取值为0,1,2,3，
PX=0=C33C63=120，PX=1=C31C32C63=920，
PX=2=C32C31C63=920，PX=3=C33C63=120，
所以EX=0×120+1×920+2×920+3×120=1.5.
故答案为：32.
30．（23-24高二下·天津滨海新·期中）甲、乙、丙三位同学报名参加学校的社团活动，每个同学彼此独立地从足球、篮球、围棋、合唱四个社团中随机选报两个社团.
(1)求恰有两个同学选报的社团完全相同的概率.
(2)求同学甲选报足球社的概率.
(3)若甲已经报名参加了合唱社团，只需在其余三个社团中再选报一个，乙、丙从四个社团中随机选两个，设报名足球社的同学人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．
【解题思路】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解，
（2）由古典概型的概率公式求解即可，
（3）根据相互独立事件概率乘法公式求解概率，即可得到分布列，由期望公式求解期望.
【解答过程】（1）先从3个同学中选出2个同学，有C32=3,
从4个社团中选2个，有C42=6种方法，因此每位同学选报社团都有6种方法，
因此恰好两个同学选报的社团一样的概率为P=3×16×56=512
（2）同学甲选报足球社的概率为C31C42=12，
（3）甲报足球的概率为13，不报的概率为23，
乙丙报足球的概率均为12，不报的概率为12，
故X可取0,1,2,3，
PX=3=13×12×12=112,PX=2=13×12×1−12×2+23×12×12=13,
PX=1=13×1−12×1−12+23×12×1−12×2=512,PX=0=23×1−12×1−12=16,
故X的分布列为：
故EX=0+512+812+312=1612=43.
【知识清单5 离散型随机变量的方差】
1．离散型随机变量的方差、标准差
(1)定义
设离散型随机变量X的分布列为
则称为随机变
量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为.
(2)意义
随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程
度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
2．方差的有关性质
当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=.
特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1时，D(X+b)=D(X)；
当b=0时，D(aX)=.
3．两点分布的均值与方差
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p.
4．求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值.
(2)求ξ取每个值的概率.
(3)写出ξ的分布列.
(4)由均值的定义求E(ξ).
(5)由方差的定义求D(ξ).
题型七
求离散型随机变量的方差、标准差
31．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知随机变量X的取值为0，1，2，若PX=0=15，EX=1，则标准差为（ ）
A．25B．35C．105D．255
【解题思路】利用分布列求期望与方差即可得解.
【解答过程】设PX=1=p，则可得分布列如下表;
根据期望公式得：EX=0×15+1×p+2×45−p=85−p=1，
解得p=35，
所以根据方差公式得：DX=0−12×15+1−12×35+2−12×15=25，
即标准差为25=105，
故选：C.
32．（24-25高二下·云南昆明·期中）设1Eη,Dξ