初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）20.2 勾股定理的逆定理及其应用完美版ppt课件

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）20.2 勾股定理的逆定理及其应用完美版ppt课件，共22页。PPT课件主要包含了学习目标，导入新知，探究新知，提出问题，动手实践，提出猜想，证明猜想，勾股定理的逆定理，是一组勾股数，随堂练习等内容，欢迎下载使用。
LEARNING GOALS
1. 掌握勾股定理逆定理的概念及勾股数.
2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.
前面我们学习了勾股定理，同学们能说出它的题设和结论吗？
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2 .
题设和结论交换，还成立吗？
如果a2 + b2 = c2，那么直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c .
这节课我们就来一起验证一下.
据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角.
把一根长绳打上等距离的 13 个结，然后以 3 个结间距、4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩将长绳钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
这种做法真能得到一个直角三角形吗？
这个三角形三边有什么关系吗？满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方的三角形都是直角三角形吗？
画一画，如果三角形的三边长分别为 2.5 cm，6 cm，6.5 cm，它们满足关系“2.52 + 62 = 6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边长分别为 4 cm，7.5 cm，8.5 cm，再试一试.
如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
如图，已知 △ABC 的三边长分别为 a，b，c，满足 a² + b² = c². 求证 △ABC 是直角三角形.
分析：直接证明△ABC是直角三角形比较困难.回顾已经学过的知识，可以作一个两条直角边长分别为a，b的直角三角形，如果能证明△ABC与所作的直角三角形全等，那么就能证明△ABC是直角三角形.
证明：作一个 Rt△A'B'C' ，使 B'C' = a，A′C′ = b，∠C' = 90°．
根据勾股定理，A'B' 2 = B'C' 2 + A'C' 2 = a2 + b2 .
因为 a2 + b2 = c2，所以 A'B' = c.
所以△ABC ≌ △A'B'C'（SSS）.
因此∠C = ∠C' = 90°，即△ABC 是直角三角形.
符号语言：在△ABC中，若a2 + b2 = c2，则△ABC是直角三角形.
如果三角形的三边长a，b，c满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
方法点拨：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
勾股定理的逆定理与勾股定理的关系：
在 Rt△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边长分别为 a，b，c，∠C = 90°
在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边长分别为a，b，c，且 a2 + b2 = c2
a2 + b2 = c2
△ABC 为直角三角形，且 ∠C = 90°
下面以a , b , c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？
(1) a=8 ， b=15 ，c=17;
解：(1)∵82+152=289，172=289，
(2) a=14，b=13，c=15.
(2)∵142+132=365，152=225，
∴82+152=172.
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.
∴142+132≠152，
不符合勾股定理的逆定理.∴这个三角形不是直角三角形.
总结：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即在 a² + b² = c²中，当a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数.
92+402=1 681
92+402= 412
两个较小数的平方和等于最大数的平方.
【2025·广东中考】 《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义。若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组 “勾股数”。下表中的每一组数都是勾股数。
（1）请补全上表中的勾股数。
（2）根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数.
（3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成。种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1 m。如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？
【题型1】勾股定理的逆定理
1.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）A.5，11 ， 12 B.2 ， 3 ， 4 C.4 ， 6 ， 7 D.3，4，5
3.以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是( )
4. 如图，以 △ABC 的三边为直径，分别画三个半圆， 三个半圆的面积分别为 S1，S2，S3. 若 S1 + S2 = S3，判断△ABC 是不是直角三角形，并说明理由.
解：△ABC 是直角三角形.理由如下：
∵ S1 + S2 = S3，
∴AB2 + BC2 = AC2. ∴△ABC 是直角三角形.
7. 给出下列数组：① 5, 13, 12；② 2, 3, 4；③ 2.5, 6, 6.5；④ 3², 4², 5².其中勾股数的组数是 ( )A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
(1)常见的勾股数有：①3，4，5；②5，12，13；③6，8，10；④8，15，17；⑤7，24，25；⑥9，12，15.(2)一般地，如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck (k为正整数)也是一组勾股数，如3，4，5是勾股数，则6，8，10和9，12，15也是勾股数.
【题型3】勾股定理逆定理规律探究
8.推理能力 张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形.
如果三角形的三边长a ，b ，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角.