八年级数学第一学期期末试卷（解析版）

这是一份八年级数学第一学期期末试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共有6题，每小题3分，共18分）
1. 下列各式①，②，③，④中，是分式的有（ ）
A. ①③B. ③④C. ①②D. ①③④
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】解：式子，中分母均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式，
，的分母中含有字母，因此是分式，
所以分式有①③．
故选：A．
2. 下列各数是无理数的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据无理数的概念判断即可．
【详解】解：A. 是分数，不是无理数，不符合题意；
B. ，是整数，不是无理数，不符合题意；
C. 是分数，不是无理数，不符合题意；
D. 是无理数，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了无理数的定义，熟知无理数的概念和常见形式是解题关键．
3. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】确定点的横纵坐标的符号，进行判断即可.
【详解】解：∵，
∴点在第四象限.
4. 下列函数中，函数值随自变量增大而增大的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质即正比例函数的性质，一次函数的图象有两种情况：①当， y的值随x的值增大而增大；②当时， y的值随x的值增大而减小．正比例函数的图象有两种情况：①当，y的值随x的值增大而增大；②当，y的值随x的值增大而增小．据此，逐一判断即可．
【详解】解：A、，一次项系数为，函数值y随自变量x的值增大而减小，故不符合题意；
B、，比例系数为1，函数值y随自变量x的值增大而增大，故符合题意；
C、，一次项系数为，函数值y随自变量x的值增大而减小，故不符合题意；
D、，比例系数为，函数值y随自变量x的值增大而减小，故不符合题意；
故选：B．
5. 等腰三角形一个角为，则顶角的度数可能为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
等腰三角形中，已知角可能为顶角或底角，分两种情况讨论顶角度数即可．
【详解】∵等腰三角形有两个角相等，
∴若为顶角，则顶角为；
若为底角，则另一底角也为，顶角为：；
∴顶角为或，
故选：D．
6. 中，，，在外，且．若要求的面积，则需要添加的条件是（ ）
A. 的长度B. 的长度C. 的长度D. 的长度
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，合理构造全等三角形是解题的关键．
根据题意过点作延长线与点，则，可证，得到，由，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作延长线与点，则，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴若要求的面积，则需要添加的条件是的长度，
故选： ．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
7. 计算：______．
【答案】
4
【解析】
【详解】解： .
8. 若分式有意义，则应该满足的条件是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不等于0，是解题的关键．根据分式有意义，分母不等于0，列出不等式，即可求解．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得．
故答案为：．
9. 把多项式分解因式时，应提取的公因式是______．
【答案】
【解析】
【分析】公因式：多项式的每一项都含有的因式．
【详解】解：的公因式是．
10. 小亮的体重为44.85kg，精确到0.1kg得到的近似值为_____kg．
【答案】44.9
【解析】
【分析】把百分位上的数字5进行四舍五入即可．
【详解】解：44.85kg精确到0.1kg得到的近似值为44.9kg．
故答案为44.9．
【点睛】本题考查了近似数和有效数字；掌握好相关的基础知识是关键．
11. 点在直线上，则代数式的值是___．
【答案】-3
【解析】
【分析】直接把点代入函数，得到，再代入代数式即可得出结论．
【详解】解：∵点 在函数的图象上，
∴，
∴
故答案为：-3．
【点睛】本题考查了一次函数图象 上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
12. 若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围为_______．
【答案】且．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的解，先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并合并同类项：，
∵分式方程的解为正数，
∴，且，
∴且，
故答案为：且．
13. 我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道题，（如图）题目是：“今有立木，系所其末，委地三尺．去本八尺而索尽．问索长几何？”题意是：今有一竖立的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面部分还有3尺．牵着绳索退行，在木柱根部八尺处时，绳索用完，问绳索长是多少？如果设绳索长为尺，根据题意列方程为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用．设绳索长为x尺，根据勾股定理即可列出方程．
【详解】解：设绳索长为x尺，则木柱长为尺，
根据勾股定理可列方程：，
故答案为：．
14. 如图，已知△ABC的面积为18，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是_____．
【答案】9
【解析】
【分析】根据已知条件证得△ABP≌△DBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PD，得出S△ABP＝S△DBP，S△ACP＝S△DCP，推出S△PBC＝S△ABC，代入求出即可．
【详解】解：如图，延长AP交BC于点D，
∵BP平分∠ABC
∴∠ABP＝∠DBP，且BP＝BP，∠APB＝∠DPB
∴△ABP≌△DBP（ASA）
∴AP＝PD，
∴S△ABP＝S△BPD，S△APC＝S△CDP，
∴S△PBC＝S△ABC＝9，
故答案：9．
【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．
15. 在平面直角坐标系中，点是一次函数图像上一点，将线段绕点顺时针方向旋转后，点的对应点恰好落在一次函数图像上，则点的坐标是______
【答案】
【解析】
【分析】先设出点的坐标，利用一次函数表达式表示其纵坐标，再根据点绕原点顺时针旋转后的对应点坐标为得到点的坐标，最后将代入一次函数解析式，解方程求出参数，进而得到点的坐标．
【详解】解：因为点在一次函数的图像上，
设点的坐标为，
则点旋转后的对应点的坐标为，
因为点在一次函数图像上，
所以，解得
将代入点的纵坐标表达式，得，
故点的坐标为．
16. 如图，在长方形中，，，点是边上的一个动点，把沿折叠，点的对应点为．若存在点使得是以为底的等腰三角形，则的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】求出点与点重合，点恰好落在的垂直平分线上和点恰好落在的中点上，两种情况进行求解，即可得出结果．
【详解】解：在长方形中，，，
当是以为底的等腰三角形时，，
∴点在的垂直平分线上，
当点与点重合，点恰好落在的垂直平分线上时，如图，
则，，
由折叠可得，，
在中，，
在中，，
∴，解得，
当点恰好落在边的中点上时，如图，则，
∴；
∴当存在点使得是以为底的等腰三角形时，且．
三、解答题（本大题共10小题，共102分）
17. （1）计算：；
（2）求的值：．
【答案】（）；（）或．
【解析】
【分析】（）根据算术平方根，立方根和零指数幂进行化简，再计算求解；
（）直接开平方即可求解；
本题考查了算术平方根，立方根，平方根和零指数幂，理解算术平方根，立方根，平方根和零指数幂的性质及掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：（）原式，
，
；
（），
或，
或．
18. 先化简，再求值：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
【答案】，当时，原式
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，掌握相关知识是解决问题的关键．
先运用分式的混合运算法则化简，然后再选择合适的x的值代入求解即可．
【详解】解：原式，
；
，，且x为整数，
∴x可取，0，1，
当时，原式．
19. 因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）平方差公式法进行因式分解即可；
（2）十字相乘法进行因式分解即可．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
解：原式．
20. 解下列方程:
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）无解
【解析】
【分析】本题主要考查分式方程的解法，正确的掌握解分式方程的解法是关键，需要注意的是准确的找到最简公分母和去分母不漏乘.
（1）方程两边同乘以，进行计算，并验证是否是方程的解；
（2）方程两边同乘以，进行计算，并验证是否是方程的解.
【小问1详解】
解：两边同时乘以得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴原方程的解为；
【小问2详解】
解：两边同时乘以得：，
解得：，
经检验：是原方程增根，
∴原方程无解.
21. 客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李质量超过规定时，需付的行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数，且部分对应关系如表所示．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求旅客最多可免费携带行李的质量；
（3）当行李费2≤y≤7（元）时，可携带行李的质量x（kg）的取值范围是 ．
【答案】（1）y＝0.2x﹣2；（2）x=10（3）20≤x≤45．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（2）令y=0时求出x的值即可；
（3）分别求出2≤y≤7时的x的取值范围，然后解答即可．
【详解】解：（1）∵y是 x的一次函数，
∴设y＝kx+b（k≠0）
将x＝30，y＝4；x＝40，y＝6分别代入y＝kx+b，得
，
解得：
∴函数表达式为y＝0.2x﹣2，
（2）将y＝0代入y＝0.2x﹣2，得0＝0.2x﹣2，
∴x＝10，
（3）把y＝2代入解析式，可得：x＝20，
把y＝7代入解析式，可得：x＝45，
所以可携带行李的质量x（kg）的取值范围是20≤x≤45，
故答案为20≤x≤45．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握是解题的关键.
22. 如图，直线的解析式为，与轴交于点，直线：经过点，与直线交于点，且与轴交于点．
（1）直接写出点的坐标；
（2）求直线的解析式；
（3）点P是直线上一点（不与点重合），当与的面积相等时，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）把点坐标代入，进行求解即可；
（2）待定系数法求出函数解析式即可；
（3）根据与的面积相等，得到为的中线，进而得到为的中点，进行求解即可．
【小问1详解】
解：把代入，得，
∴；
【小问2详解】
解：把，，代入，得：
，解得，
∴；
【小问3详解】
解：∵与的面积相等，且点P与点不重合，
∴点在点上方，为的中线，
∴为的中点，
∵，
∴当时，，
∴，
∵，
∴，即．
23. 如图，，，，，交于F．
（1）求证：，；
（2）连接、，若，，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）26
【解析】
【分析】（1）证明，即可得证；
（2）根据勾股定理将转化为即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
设交于点，则，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，，
∴，
由（1）可知：，
∴，，
∴
．
24. 综合与实践
【答案】任务1：①减小；②减小；任务2：①2；②；任务3：
【解析】
【分析】任务1：由、随x的变化情况，判断、的变化情况即可；
任务2：①由，即可求解；
②由推出为整数，，即可求解；
任务3：可求出，根据题意求出的取值范围即可得到答案．
【详解】解：任务1：∵当时，随着的增大而减小，
∴随着的增大，的值减小；
∵当时，随着的增大而减小，且
∴随着的增大，的值减小；
任务2：①，
∵当时，随着的增大，（把看成一个整体）的值随之减小，并无限接近0，
∴当时，随着的增大，的值无限接近；
②∵为整数，x的值为整数，
∴为整数，
∴或或，
解得或或或或或
∴x的值可为；
任务3：，
∵，
∴，
∵（把看成一个整体）随着的增大而减小，并无限接近0，
∴，
∴，即．
25. 如图，在中，，点P，Q分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段．
（1）如图1，当点与点重合时，求证：是的中点；
（2）如图2，当点与点重合时，请只使用圆规一次，在图2中画出点的对应点的位置（保留作图痕迹，不写作法）；
（3）如图3，若点也绕着点顺时针旋转某个角度后刚好落在边上的点，当点落在边时，连接，过作交于点，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）旋转得到，进而求出，等角对等边，得到，同角的余角相等得到，得到，进而得到即可；
（2）根据等边对等角，易得，得到点在边上，以为圆心，的长为半径画弧，交于点即可；
（3）取的中点，连接，根据旋转的性质，求出，证明，进而得到，进而得到，平行得到，斜边上的中线得到，进而得到，三角形的外角的性质，得到，等角对等边得到，进而得到，等量代换，得到，即可．
【小问1详解】
证明：连接，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，点与点重合，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即是的中点；
【小问2详解】
解：如图，点即为所求；
【小问3详解】
解：取的中点，连接，如图：
∵旋转，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，即．
26. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：对于一次函数、，若存在常数和，满足函数，那我们称函数为函数、的“线性函数”．
（1）若，，试判断函数是否为函数，的“线性函数”，说明理由；
（2）设函数，的图像交于点，且，判断点是否在函数、的“线性函数”的图像上，说明理由．
（3）设函数，的图像交于点．若，，求证：点一定在函数、的“线性函数”图像的上方．
【答案】（1）是，理由见解析；
（2）是，理由见解析；
（3）见解析．
【解析】
【分析】本题考查新定义问题的理解和应用，一次函数的性质，函数图象的交点问题．
（1）根据定义新运算的运算规则即可求解；
（2）先求出点的坐标，再将点的坐标代入“线性函数”，判断是否满足函数关系；
（3）先求出点的坐标，再求出“线性函数”在点横坐标处的函数值，通过比较点的纵坐标与“线性函数”在该点的函数值的大小来证明点在“线性函数”图象的上方．
【小问1详解】
解：函数是为函数，的“线性函数”．
理由：函数，的“线性函数”为：，
把，代入上式，得，
∴函数是函数，的“线性函数”．
【小问2详解】
解：点在函数、的“线性函数”的图像上．
理由：，
两式相加可得，，
把代入，
∵是一次函数，
∴，
∴，
∴,
把代入“线性函数”，
，
∴点在函数、的“线性函数”的图像上．
【小问3详解】
证明：，
两式相加得，，
把代入，
得，
∴，
“线性函数”为，
将代入，
，
已知，，
∴，
∴，
即点的纵坐标大于“线性函数”在该点的函数值，
因此点一定在函数、的“线性函数”图像的上方．x（kg）
…
30
40
50
…
y（元）
…
4
6
8
…
素材1
为了研究分式与分母的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据：
x
…
0
1
2
3
4
…

…
无意义
1
…
从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小．
素材2
对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分子的次数不低于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：．
问题解决
任务1
①当时，随着的增大，的值______（增大或减小）；
②当时，随着的增大，的值______（增大或减小）；
任务2
①当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请写出这个数；
②当为整数时，请求出整数x的值；
任务3
若分式的值为，求的取值范围．