八年级数学第一学期期末试卷（解析版）

这是一份八年级数学第一学期期末试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，答题等内容，欢迎下载使用。
考生注意：全卷共有三道大题，满分100分，时量120分钟．
一、选择题：每小题3分，共10道小题，合计30分．
1. 下列长度的各组线段中，能组成三角形的是 （ ）
A. 1，2，3B. 4、6、7C. 5，5，D. 6，9，2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了构成三角形的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边只差小于第三边，据此即可判断；
详解】解：A：，故不能构成三角形；
B： 4、6、7满足三角形的三边关系，能构成三角形；
C：，故不能构成三角形；
D：，故不能构成三角形；
故选：B
2. “夜深知雪重，时闻折竹声．”这是白居易在《夜雪》里描写雪的诗句，从语句中体会到雪也是有重量的．单个雪花的重量其实很轻，只有左右，0.00003用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解： ，
故选：B．
3. 下列各命题是假命题的是（ ）
A. 两个锐角之和一定是钝角B. 同角的余角相等
C. 平行同一直线的两条直线平行D. 两直线平行，同旁内角互补
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．选项A错误，因为两个锐角之和不一定为钝角，可能为锐角或直角；选项B、C、D均为真命题，符合几何性质．
【详解】解：A、两个锐角之和可能小于（如），不一定为钝角，是假命题，符合题意；
B、同角的余角相等，是真命题，不符合题意；
C、平行于同一直线的两条直线平行，是真命题，不符合题意；
D、两直线平行，同旁内角互补，是真命题，不符合题意；
故选：A．
4. 如图所示，，，，则判定与全等的依据是（ ）
A. HLB. SASC. ASAD. AAS
【答案】A
【解析】
【分析】HL指的是：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此可得出答案．
此题主要考查了三角形全等的判定方法，掌握判定方法是解题关键．
【详解】解：，，
，
在和中，
，
故选：
5. 下列各式从左到右因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查因式分解的定义，把一个多项式整理成几个整式乘积的形式的过程为因式分解．据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、属于整式的乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意；
B、右边不是几个整式乘积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意；
C、符合题意因式分解的定义，故该选项符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：C．
6. 若关于的分式方程无解，则的值是（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查分式方程无解问题，分式方程无解的情况通常包括解出的根使分母为零（增根）或化简后方程矛盾．本题通过去分母化简后，得到解，再令分母为零，求的值即可．
【详解】解：原方程可化为，且分母，
两边同乘，得，
展开右边：，
移项：，
化简：，
∴，
当方程无解时，解为增根，即，
∴，解得，
当时，使分母为零，方程无解，
其他值均使方程有解，故，
故选：A．
7. 如图，在中，，，，于点，是的中点，则的长为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查含的直角三角形的基本性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟记并灵活运用与直角三角形相关的性质是解题关键．首先求出，然后利用三角形的外角性质求出，从而在中，利用“角所对的直角边为斜边的一半”求解即可．
【详解】解：∵E是中斜边的中点，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在中，．
故选：A．
8. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ）
A. 12B. 18C. 24D. 36
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，角平分线的性质.
过点G作于点H，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积．
【详解】解：过点G作于点H，
根据题意得，是的角平分线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
9. 实数a，b在数轴上位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
由数轴得，继而得出，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：由数轴得，
∴，
∴
，
故选：B．
10. 如图，在中，交于，平分交于，为延长线上一点，交的延长线于点，交的延长线于点，的延长线交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理，余角的性质等知识，利用余角的性质可判定①、②；利用角平分线的性质可判断③；利用全等三角形的判定可判定④．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∵无法判断，
∴无法判断，故①错误；
∵，，
∴，，
∴，故②正确；
∵平分，
∴E到、的距离相等，设这个距离为
∴，故③正确；
在和中，
，
∴，故④正确，
故选：C．
二、填空题：每小题3分，共6道小题，合计18分
11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，从而列出不等式求解．
【详解】解：由二次根式有意义的条件，得，解得．
故答案为：．
12. 如图，在中，，点D是的中点，，，则______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，先根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半即可得到答案．
【详解】解：∵在中，∠，，，
∴由勾股定理得，
∵点D是的中点，
∴，
故答案为：5．
13. 已知等腰三角形的两边长分别为5和12，则这个等腰三角形的周长为____．
【答案】
29
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形三边关系，分腰为5和腰为12两种情况讨论，利用三角形三边关系判断是否能构成三角形，再计算周长．
【详解】当腰长为5时，三边分别为5、5、12，∵，∴不能构成三角形；
当腰长为12时，三边分别为12、12、5，∵，∴能构成三角形，周长为
故答案为29．
14. 计算：__________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题关键是先化简二次根式，再按运算顺序计算，最后合并同类二次根式．
先将各二次根式化为最简形式，再计算二次根式的乘法，最后合并同类二次根式．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
15. 勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．如图所示，弦图由四个边长分别为a，b，的全等的直角三角形围成一个中间镂空的大正方形，若弦图中小正方形和大正方形的面积分别是1和9，则的值等于_____．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查完全平方公式和勾股定理的结合，根据正方形的面积求出，再根据直角三角形的面积和完全平方公式求出即可．
【详解】解：小正方形和大正方形的面积分别是1和9，
，
，负值舍去，
个直角三角形的面积和为，
，
，
∵，
，
．
故答案为：2．
16. 如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M，N分别为BD，BC上的动点，若BC＝4，△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题重点考查了等腰三角形的性质定理，等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”，角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质定理，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，正确画辅助线，同时熟练掌握等腰三角形、垂直平分线的性质定理是解题的关键．
先作辅助线，连接，过点作于点，利用等腰三角形的性质得到垂直平分，根据线段的垂直平分线的性质定理得到，再利用垂线段最短原理得到最小值即为的值，通过三角形的面积公式计算得到的值，完成求解．
【详解】解：连接，过点作于点，如图，
∵，平分，
∴且平分，
∴是线段的垂直平分线，则，
∴，
根据“垂线段最短”得，
即当点在线段上时，为最小，最小值为线段的长，
∵的面积为，，
∴，
∴，即的最小值为．
故答案为：．
三、答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）因式分解：
（2）解分式方程：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，解分式方程，掌握因式分解的常用方法和解分式方程的步骤是解题的关键．
（1）先提取公因式，再由平方差公式进行分解；
（2）先去分母，化为整式方程求解，再检验即可．
【详解】解：（1）；
（2）
解：方程两边同时乘以，得
解得
检验：当时，
∴原分式方程的解是．
18. （1）先化简，再求值：，其中．
（2）计算：．
【答案】（1），；（2）1
【解析】
【分析】（1）先计算括号内的分式减法，将除法转化成乘法，再利用提公因式法和公式法因式分解，然后约分化简，得到化简结果，之后代入，进行分母有理化，即可求解；
（2）先计算绝对值、负指数幂、二次根式的乘法和零指数幂，然后计算加减法即可．
【详解】（1）解：
，
，
，
当时， ；
（2）解：
，
．
19. 如图，在中，，点E、F在边上．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质：
（1）根据等腰三角形的性质可得，即可证明；
（2）根据全等三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，即可解答．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
在和中，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
20. 在人教版八下数学教材第36页数学活动一《测量学校旗杆高度》中，聪聪想到了一种新颖的求解方式，聪聪从点C观察旗杆顶端的仰角为（即），接着往前走10米到达点D，观察旗杆顶端的仰角为（即）．
（1）请你帮助聪聪判断的形状，并说明理由；
（2）根据聪聪的方法请你求出旗杆的高度．（人的身高忽略不计，结果保留根号）
【答案】（1）等腰三角形；理由见解析
（2）米
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性质，勾股定理.
（1）由题意可得，因此，根据等角对等边即可得出答案；
（2）根据含角的直角三角形的性质，可得， 在中，根据勾股定理即可求出答案．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【小问2详解】
由（1）可知，
∴，
∴，
在中，米．
21. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售决定采购新能源型和型两款汽车，已知每辆型汽车的进价是每辆型汽车的进价的1.5倍，若用1500万元购进型汽车的数量比1200万元购进型汽车的数量少20辆．
（1）型和型汽车的进价分别为每辆多少万元；
（2）该公司决定用不多于1200万元购进型和型汽车共100辆，最多可以购买多少辆型汽车？
【答案】（1）A型汽车的进价为每辆15万元，B型汽车的进价为每辆10万元
（2）最多可以购买40辆A型汽车
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
（1）设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆万元，根据用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆，列出方程求解即可．
（2）设购买m辆A型汽车，则购买辆B型汽车，根据购进A型和B型汽车共100辆的总价是不多于1200万元，列出不等式，求解即可．
【小问1详解】
解：设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆万元，依题意得：
，
解得：，
经检验，是方程的解，且符合题意，此时，
答：A型汽车的进价为每辆15万元，B型汽车的进价为每辆10万元；
【小问2详解】
解：设购买m辆A型汽车，则购买辆B型汽车，依题意得：
，
解得：，
答：最多可以购买40辆A型汽车．
22. 如图，于E，于F，若．
（1）求证：．
（2）与有什么数量关系？请写出结论并说明理由．
（3）请猜想之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2），理由见解析
（3），理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的性质和角平分线的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
（1）根据题意得，即可证明，有成立；
（2）由（1）知，，则平分，那么，，即有；
（3）由（1）知，，可证明，有，则，即有．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
在与中
，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：，理由如下：
∵，且，
∴平分，
∴，
即．
【小问3详解】
解：，理由如下：
由（1）知，，
∵，
∴，
在与中
，
∴，
∴，
∴，
即．
23. 【学习新知】等边对等角是等腰三角形的性质定理，如图1，可以表述为
∵
∴
【新知应用】已知：在中，，若，则______；若，则______．
【尝试探究】如图2，四边形中，，，若连接，则平分．
某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长到点，使得，连接，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明．请你参考他们的想法，写出完整的证明过程．
【拓展应用】借助上一问尝试，继续探究：如图3所示，在五边形中，，，，连接，平分吗?请说明理由．
【答案】新知应用：；
尝试探究：见解析
拓展应用：平分；见解析
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可；
（2）延长到点，使得，连接，证明得到，，从而得出平分；
（3）连接，延长到，使，连接，由，得到，，，再证明得到，从而得出平分．
【详解】新知应用：
∵，
∴，
若，则；
若，则，
∴；
故答案是；
尝试探究：
证明：如图，延长到点，使得，连接，
∵，
又∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
即平分；
拓展应用：
证明：连接，延长到，使，连接，
∵，，
∴
∵在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，，
∴
和中，
，
∴，
∴，
∴，
即平分；
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
24. 阅读材料：
已知a,b为非负实数，
，当且仅当时，等号成立．
这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．
例：已知，求代数式最小值．
解：令a=x, ，则由，得
当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4．
根据以上材料解答下列问题：
（1）已知，则当 时，代数式取到最小值，最小值为 ;
（2）用篱笆围一个面积为100的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？
（3）已知，则自变量x取何值时，代数式取到最值？最值为多少？
（4）若x为非零实数，代数式的值为m，则m范围为
【答案】（1），
（2）当长和宽都为10米时，篱笆最短，最短长度为40米
（3）当时，代数式取最大值，最大值为
（4）或
【解析】
【分析】本题主要考察了“均值不等式”这一知识点，即对于非负实数、，有，当且仅当时等号成立．解题的关键在于根据题目所给代数式的形式，合理地将其转化为符合“均值不等式”的结构，通过设a、b的值，利用不等式求出最值，并确定取最值时自变量的值．
(1)类比得出, 当时，即时，代数式取到最小值， 最小值为：;
(2)设矩形的长为, 宽为, 可得出，当时取等号，进而求得及最值；
(3)，由，时，取等号，进一步求最值；
(4)，分情况讨论：当时，当时，求的取值范围．
【小问1详解】
解：，
，当时，即时，代数式取得最小值，最小值为：．
故答案为：
【小问2详解】
设矩形的长为, 宽为，
，
当时，即时，的最小值为20，
当长和宽均为10时，篱笆长度最短，最短为；
【小问3详解】
，
，时，取等号，的最小值为6，
∴的最大值为．
【小问4详解】
当时，，，即时，取等号，
,
当时，，，，即时，取等号，
，，
综上，的范围为或．
故答案为：或．