初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）20.1 勾股定理及其应用同步练习题

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\l "_Tc17924" 题型二、勾股定理与无理数 PAGEREF _Tc17924 \h 3
\l "_Tc24643" 题型三、用勾股定理理解三角形 PAGEREF _Tc24643 \h 4
\l "_Tc2593" 题型四、已知两点坐标求两点距离 PAGEREF _Tc2593 \h 4
\l "_Tc16807" 题型五、边长面积问题 PAGEREF _Tc16807 \h 5
\l "_Tc24296" 题型六、勾股定理与网格问题 PAGEREF _Tc24296 \h 6
\l "_Tc21019" 题型七、勾股定理的证明方法 PAGEREF _Tc21019 \h 8
\l "_Tc5197" 题型八、以弦图为背景的计算题 PAGEREF _Tc5197 \h 9
\l "_Tc17481" 题型九、勾股定理折叠问题 PAGEREF _Tc17481 \h 11
\l "_Tc13003" 题型十、用勾股定理构造图形解决问题 PAGEREF _Tc13003 \h 13
通用解题策略
直角优先 · 找/构直角
设元列方程 · 平方关系
数形结合 · 根号联想斜边
折叠对称 · 对应边相等
⑤ 网格无惧 · 构造Rt△
题型一、勾股树（数）问题
1．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．2，3，4B．0.3，0.4，0.5C．3，2，7D．5，12，13
2．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．2，3，4B．3，4，5C．4，5，6D．5，6，7
3．勾股数又名毕氏三元数，下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3B．5,3,8C．3，4，5D．3，6，8
4．下列各组数中，是一组勾股数的是（ ）
A．1，1，2B．13,14,15C．0.3,0.4,0.5D．5，12，13
5．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．0.6，0.8，1.0B．1，2，3C．13，14，15D．9，40，41
题型二、勾股定理与无理数
6．如图，在数轴上点A表示的实数是 ．
7．如图，在数轴上点M表示的实数是（ ）
A．2.2B．3C．5D．7
8．如图所示,数轴上点A所表示的数为a,则a的值是 .
9．如图，在数轴上A、B两点所表示的数是−3，1，BC与数轴垂直，且BC=2，连接AC，以点A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点D，则点D所表示的数为 ．
10．如图，点A是以点O为圆心，OM为半径画弧与数轴的交点，点B是以点O为圆心，ON为半径画弧与数轴的交点，数轴上点A，B表示的数分别为a，b．化简a+b2+a−b2为 ．
题型三、用勾股定理理解三角形
11．已知直角三角形的两边长分别为4、5，那么第三边的长为（ ）
A．3B．41C．3或41D．6
12．已知直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长可能为（ ）
A．3B．4C．5D．5或7
13．某建筑屋顶的钢架截面的主体结构是等腰三角形（AB=AC），如图，钢架AB的长为13米，中柱AD（D为BC的中点）的长为5米，则BC的长为 米．
14．如图△ABC是直角三角形，∠C=90°,AC=6,BC=8，以直角三角形的三条边向外作三个等边三角形△ACD,△BCF,△ABE，则△ABE的面积为 ．
15．一个直角三角形，若三边的平方和为338，则斜边长为（ ）
A．11B．12C．13D．14
题型四、已知两点坐标求两点距离
16．已知点A1,0，B−3,−1，则线段AB的长为
17．点C在第二象限，距离y轴3个单位长度，距离原点5个单位长度，则点C的坐标为（ ）
A．−3,5B．−3,4C．5,3D．−4,3
18．若点P的坐标为−3,4，则点P到x轴的距离是 ，到原点的距离是 ．
19．如图所示是一足球场的半场平面示意图，已知球员A的位置为−1,−1，球员C的位置为0,1.
(1)请画出相应的平面直角坐标系；
(2)写出球员B的位置坐标；
(3)求出球员B与球员A的距离.
20．已知点A1,0，点B3,4，P点在x轴上，并且满足PA=PB，则点P的坐标为（ ）
A．6.5,0B．6,0C．5,0D．4,0
题型五、边长面积问题
21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足4S1+S2=S3，则下列说法正确的是（ ）
A．AB=ACB．2AB=ACC．2AB=BCD．2AC=BC
22．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1,S2,S3，若S3+S1−S2=12，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
23．如图，Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长作等腰直角三角形△ABE，△BCF，△ACD，面积分别记为S1、S2、S3，若S1+S3−S2=10，则阴影部分面积为（ ）
A．5B．10C．15D．20
24．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为36，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为 ．
25．如图，在直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别是S1，S2，S3，S4．
（1）计算：S1+S2+S3+S4= ；
（2）按此规律继续摆放正方形，倾斜放置的正方形面积依次增加1，则S1+S2+S3+S4+…+S99+S100= ．
题型六、勾股定理与网格问题
26．如图，在边长为1的小正方形网格中，已知△ABC为格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）．
(1)线段AB的长度为_________；
(2)请使用无刻度直尺在图中作△ABC的角平分线BD．
27．如图，在8×8的网格图中，每个小正方形的边长都是1，借助网格图画Rt△ABC，使点A，C在格点上，AC=2，∠ACB=90°，AB=41，请简要说明作法，保留作图痕迹，并求出BC的长．
28．如图，在3×3的正方形网格中，每个小方格的边长为1，连接任意两个格点所得的线段中，长度不可能等于（ ）
A．2B．3C．10D．13
29．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线AC的距离为 ．
30．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．
(1)在图（1）中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
(2)在图（2）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为2,5，13．
题型七、勾股定理的证明方法
31．如下图，2个全等的直角三角形与1个小直角梯形恰好拼成1个大直角梯形，这个图形能证明勾股定理．请你写出证明过程．
32．下面四幅图中，能证明勾股定理的有 个．
33．勾股定理是几何学中的明珠，它的证明方法已超过五百种．我国数学家赵爽通过“弦图”证明了勾股定理，它由四个如图1的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形如图2所示．用它证明勾股定理的思路是用两种求法来表示同一个图形的面积，从而得到等式．
(1)在图2中，因为大正方形的面积可以看成四个直角三角形与一个小正方形的面积的和，即S大正方形=4×12ab+b−a2=_____；也可直接表示为大正方形边长的平方，即_____，所以_____，勾股定理得到了验证．
(2)小数同学发现，把两个图1的直角三角形（△ABC，△DEA）按图3摆放（其中点E在AC上）构造图形，也可以验证勾股定理．请按下列小数同学的思路进行验证．
①求证：AB⊥DE．
②用两种方法表示同一图形的面积验证勾股定理．
34．如图所示的“赵爽弦图”，由三国时期吴国数学家赵爽创制，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．利用面积关系证明直角三角形三边之间的数量关系，即在直角三角形中，c2=a2+b2（c为斜边）．
（1）请利用“赵爽弦图”证明结论：c2=a2+b2（c为斜边）．
【动手试一试】
（2）现有三边长为a,b,c的直角三角形若干个，边长为c的等腰直角三角形若干个（如右图）拼成一个四边形，两种类型三角形都需要用上，三角形使用个数不限．
（3）用其中一个图形证明a2+b2=c2（提示：用面积法）
35．（1）【阅读材料】
如图1，在边长为a的正方形边上挖去一个边长为b的正方形，再将剩余部分中长方形①剪下，与其它部分拼成图2所示的长方形．由面积的不同算法可得乘法公式：________；
（2）【类比探究】
如图3，Rt△ABC的三条边长分别记为a，b，c，Rt△DAE≌Rt△ABC，点C，A，E在同一条直线上，连接BD．请推导出a，b，c之间的等量关系．
（3）【应用结论】
如图4，Rt△ABC的两条直角边及斜边上的高分别记为a，b，h．应用上面结论求证1a2+1b2=1ℎ2．
题型八、以弦图为背景的计算题
36．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的 “赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交DE于点P．如图所示，若S△CFP−S△AEP=4.5，AE+ED=7，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．28B．29C．30D．24
37．（1）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，请求图2中大正方形的面积．
（2）已知关于x,y的二元一次方程组2ax+by=3ax−by=1的解为x=1y=1，求a+2b的值．
38．如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的图形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，设直角三角形中较长直角边为b，较短直角边为a，则a+b2的值是（ ）
A．36B．25C．19D．4
39．小明利用“赵爽弦图”设计了如图1所示的“七巧板”，并用它拼成如图2所示的“火箭”图案．若图1中大正方形的边长为25，则该“火箭”的高度ℎ是（ ）
A．8B．45C．10D．12
40．【问题情境】
数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法．某综合与实践小组通过阅读课本学习了我国汉代数学家赵爽证明勾股定理的方法．赵爽在注解《周髀算经》时，给出了“赵爽弦图”（图1），通过此图的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．
【定理探究】
（1）若直角三角形ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，请你利用图1中的“赵爽弦图”证明勾股定理．
【实践应用】
（2）有两个正方形如图2所示放置在网格中，请你通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，请设计出你的方案（画出分割线和拼成的大正方形）．
题型九、勾股定理折叠问题
41．如图，长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内的点C′处，BC′与AD交于点E．AD=8,AB=4，则DE=（ ）
A．3B．4C．4.5D．5
42．如图，在长方形ABCD中，AB=4,AD=8，将此长方形沿EF折叠，使点D与点B重合，则AE的长度为（ ）
A．3B．4C．5D．6
43．如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，AC=12，BC=5，将直角边BC沿BP折叠，使它落在斜边AB上，点C与点C′重合，则线段AP的长度为 ．
44．如图，在长方形纸片ABCD中，AB=5，BC=4．点E在边CD上，将这张纸片沿AE翻折，使点D落在长方形内的点F处．若直线EF恰好经过点B，则DE的长为 ．
45．如图，长方形纸片ABCD,AB=6,AD=10，将这张长方形纸片翻折，点D落到BC边点H处，点C落到点G处，折痕交边AD,BC于点E，F，若BH=1，则AE的长为 ．
题型十、用勾股定理构造图形解决问题
46．如图，在长为5dm、宽为3dm、高为4dm的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点B处．则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A．50dm B．74dm C．80dm D．90dm
47．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？”意思是：一根竹与地面垂直，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为 尺．
48．为了探索代数式x2+1+8−x2+25的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=1，DE=5，BD=8，设BC=x．则AC=x2+1，CE=8−x2+25则问题即转化成求AC+CE的最小值．
(1)我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得，x2+1+8−x2+25的最小值等于________；
(2)请你根据上述方法，试构图求出代数式x2+4+10−x2+9的最小值．
(3)若x，y为正实数，且x+y=2．求x2+3+y2+2的最小值．
49．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈等于十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，设竹子折断处离地面的高度为x尺，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
x2+32=10−x2B．x2+32=102
C．x2−32=10−x2D．x2+10−x2=32
50．如下图，长方体的长为10，宽为8，高为6，点B与点C的距离为2，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．求蚂蚁需要爬行的最短距离．
题型
核心知识点
⚠️ 易错点与特别注意
题型一
勾股树（数）
a b c
S₁+S₂ = S₃ 以直角三角形三边向外作正方形，两小正方形面积和等于大正方形面积。
勾股树无限延伸
• 分清斜边对应的大正方形，避免面积加减错位。
• 多个勾股树嵌套时用整体面积减去重叠。
• 等腰直角三角形斜边 = 2 × 直角边。
题型二
勾股与无理数
5 2 1
在数轴上构造直角三角形，斜边长即无理数（如 2,5 ）。原点起，圆弧交数轴。
• 尺规作图必须保留圆弧痕迹。
• 负半轴对称，勿漏 −n。
• 核心拆解：a²+b²。
题型三
理解三角形
高 底
直接使用a²+b²=c²（直角）；非直角三角形作高构造直角三角形。
• 优先“双勾股”列方程，避免盲目设未知数。
• 钝角三角形高可能在外部。
• 30°、45°特殊三边比例快速求解。
题型四
坐标距离
(x₁,y₁) (x₂,y₂)
d =(x₁−x₂)²+(y₁−y₂)² 水平、竖直直角边。
• 横纵坐标差对应直角边，不是简单相减。
• 结果保留最简二次根式，不化为小数。
题型五
边长面积
已知两边及夹角作高；已知三边用面积法求高；斜边高 h=abc。
• 已知两边及第三边高，可能有两解（锐角/钝角）。
• 灵活运用面积恒等，避免复杂方程。
题型六
网格问题
利用网格线垂直特性，斜线段作为直角三角形斜边，格点距离求斜边长。
• 边长常为无理数，验证是否为有理数。
• 垂直判定：斜率积=-1 或 1:2与2:1对角线。
• 割补法或皮克定理求面积。
题型七
证明方法
面积法：赵爽弦图、总统证法、毕达哥拉斯拼图。整体面积 = 各部分面积和。
• 证明逻辑清晰：总面积 = 小面积 + 4×直角三角形。
• 必须标注全等三角形，字母标记明确。
题型八
弦图计算
赵爽弦图：c² = (a-b)² + 2ab，大正方形=小正方形+4×直角△。
• 中间小正方形边长 = |a-b|。
• 联立方程组求a,b,c，注意勾股弦称谓。
题型九
折叠问题
折叠前后对应边相等、角相等。折痕是对称轴，在直角三角形中列勾股方程。
• 关键：找出折叠后形成的直角三角形。
• 长方形、直角三角形纸片是常客。
• 设未知数，利用勾股列方程。
题型十
构造图形
最短路径（圆柱/长方体展开）、测量问题（树折断、梯子滑动）、动态最值。
• 立体图形必须展开成平面，再连线。
• 实际问题需写答并检验合理性。
• 将实际问题抽象为直角三角形模型。