初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）第二十章 勾股定理20.2 勾股定理的逆定理及其应用练习

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A．1，1，3B．3，4，5C．4，5，6D．6，8，11
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理逆定理判定直角三角形．根据三角形中，两较短边的平方和等于较长边的平方，则该三角形是直角三角形，由此进行判定即可．
【详解】解：A、12+12≠32，不能构成直角三角形，该选项不符合题意；
B、32+42=52，能构成直角三角形，该选项符合题意；
C、42+52≠62，不能构成直角三角形，该选项不符合题意；
D、62+82≠112，不能构成直角三角形，该选项不符合题意；
故选：B．
2．下列各组中的三条线段，能组成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．5，12，13D．4，5，6
【答案】C
【分析】本题主要考查三角形的三边关系和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是做题的关键．若三角形的三条边满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，据此逐一验证选项即可．
【详解】解：对于选项A：∵1+2=3，∴这三条线段不能构成三角形，故不符合题意；
对于选项B：∵22+32=4+9=13，42=16，13≠16，∴这三条线段不能组成直角三角形，故不符合题意；
对于选项C：∵52+122=25+144=169，132=169，169=169，∴这三条线段能组成直角三角形，故符合题意；
对于选项D：∵ 42+52=16+25=41，62=36，41≠36，∴这三条线段不能组成直角三角形，故不符合题意．
故选：C．
3．小明同学用长度是7cm，15cm，20cm，24cm，25cm的木棒拼三角形，一共能拼出 个直角三角形．
【答案】2
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，据此可求出能构成三角形的组合，三角形中，若两较小的边的长的平方和等于最大边的长的平方，那么该三角形是直角三角形，据此可确定能构成直角三角形的组合．
【详解】解：7+15=22>20，7+15=2225，7+24=31>25，15+20=35>24，15+20=35>25，
15+24=39>25，20+24=44>25，
∴能构成三角形的组合为7cm，15cm，20cm，7cm，20cm，24cm，7cm，20cm，25cm，
7cm，24cm，25cm，15cm，20cm，24cm，15cm，20cm，25cm，15cm，24cm，25cm，
20cm，24cm，25cm，
∵72+152=49+225=274≠202=400，72+202=49+400=449≠242=576，
72+202=49+400=449≠252=625，72+242=49+576=625=252，
152+202=225+400=625≠242=576，152+202=225+400=625=252，
152+242=225+576=801≠252=625，202+242=400+576=976≠252=625，
∴能构成直角三角形的组合为7cm，24cm，25cm，15cm，20cm，25cm，
∴一共能拼出2个直角三角形，
故答案为：2．
4．下列四组数：9,12,15；12,18,22；12,35,36；15,36,39．能作为直角三角形三条边长度的组数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，通过验证每组数中两个较小数的平方和是否等于最大数的平方，判断能否构成直角三角形，统计符合条件的组数即可求解．
【详解】解：∵92+122=81+144=225，152=225
∴92+122=152，第一组数能作为直角三角形三边长
∵122+182=144+324=468，222=484，468≠484
∴第二组数不能作为直角三角形三边长
∵122+352=144+1225=1369，362=1296，1369≠1296
∴第三组数不能作为直角三角形三边长
∵152+362=225+1296=1521，392=1521
∴152+362=392，第四组数能作为直角三角形三边长
综上，符合条件的有2组，
故选：B．
5．下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的一组是（ ）
A．3，4，5B．5，12，13
C．1，1，2D．3，2，5
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，掌握勾股定理逆定理的概念是解题关键．勾股定理的逆定理，即若三角形三边长a、b、c（c为最长边）满足a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形，只需验证每组线段中较小两边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【详解】解：选项A中，32+42=9+16=25=52，能组成直角三角形，选项A不符合题意；
选项B中，52+122=25+144=169=132，能组成直角三角形，选项B不符合题意；
选项C中，12+12=1+1=2=22，能组成直角三角形，选项C不符合题意；
选项D中，32+22=3+4=7,52=5，7≠5，不能组成直角三角形，选项D符合题意．
故选：D．
6．已知三条线段长分别是8，15，17，那么这三条线段能围成一个（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形三边关系和勾股定理逆定理，通过验证三条线段是否满足三角形不等式，并利用勾股定理逆定理判断三角形类型即可．
【详解】解：∵8+15>17，8+17>15，15+17>8，
∴三条线段能围成三角形；
∵82+152=64+225=289，172=289，
∴82+152=172，
∴该三角形为直角三角形，
故选：A．
7．已知△ABC三边长分别为a，b，c，且满足a−3+b−7+c−22=0，则△ABC是（ ）
A．以c为斜边长的直角三角形B．以b为斜边长的直角三角形
C．以a为斜边长的直角三角形D．等腰三角形
【答案】C
【分析】本题考查非负数的性质及勾股定理的逆定理，先利用非负数的性质求出△ABC的三边长，再通过勾股定理的逆定理判断三角形形状及斜边．
【详解】解：∵a−3≥0，b−7≥0，c−22≥0，且a−3+b−7+c−22=0，
∴a−3=0，b−7=0，c−22=0，
∴a−3=0，b−7=0，c−2=0，
解得a=3，b=7，c=2，
∵b2+c2=72+22=7+2=9，a2=32=9，
∴b2+c2=a2，
根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，且a为斜边长，
故选C．
8．下列选项中，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．∠A:∠B:∠C=3:4:5B．AB2=BC2−AC2
C．∠A=∠B−∠CD．△ABC的三条边之比是5:12:13
【答案】A
【分析】本题考查了三角形内角和定理及勾股定理的逆定理．
根据三角形内角和定理及勾股定理的逆定理对各选项逐一分析
【详解】解：A．设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x
∵三角形内角和为180°
∴3x+4x+5x=180°
解得x=15°，则最大角∠C=5×15°=75°≠90°
∴△ABC不是直角三角形
B．由AB2=BC2−AC2变形得AB2+AC2=BC2
∴△ABC是直角三角形
C．由∠A=∠B−∠C得∠A+∠C=∠B
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠B+∠B=180°，解得∠B=90°
∴△ABC是直角三角形
D．设△ABC的三边为5x，12x，13x（x>0）
∵(5x)2+(12x)2=25x2+144x2=169x2=(13x)2，符合勾股定理的逆定理
∴△ABC是直角三角形
故选：A
9．如图，△ABC的顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c．
(1)若a−52+b−12+c−13=0，试说明△ABC是直角三角形；
(2)在（1）的条件下，BC边所在的直线上是否存在一点D，使得△ABD是等腰三角形？若存在，请直接写出CD的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)存在，5或8或18或11910
【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质等知识点．
（1）先根据非负数性质求解a,b,c，再由勾股定理逆定理求解即可；
（2）分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质以及勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵a−52+b−12+c−13=0，
∴a−5=0,b−12=0,c−13=0
∴a=5，b=12，c=13
∵52+122=132，
∴a2+b2=c2，
∴∠C=90°
∴△ABC是直角三角形
（2）解：存在，
①AB=AD时，以A为圆心，AB长为半径画弧，交直线CB于点D1，
∵AC⊥BD1
∴CD1=BC=5；
②BA=BD=13时，以B为圆心，BA长为半径画弧，交直线CB于点D2、D3，
∴CD3=BD3+BC=13+5=18；CD2=BD2−BC=13−5=8；
③DA=DB时，作AB的垂直平分线交直线CB于点D4，设CD4=x，则D4A=D4B=CD4+BC=x+5
∵AC⊥CD4，
∴AC2+CD42=AD42，
∴122+x2=x+52
解得x=11910，即CD4=11910
综上：CD的值为5或8或18或11910．
10．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A−∠C=∠BB．∠A:∠B:∠C=3:4:5
C．b2=a2+c2D．a:b:c=5:12:13
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形的判定方法，涉及三角形内角和定理及勾股定理的逆定理，直角三角形的判定需满足一个角为90°或三边满足勾股定理，通过三角形内角和定理或勾股定理验证每个选项是否能判定直角三角形．
【详解】解：∵三角形内角和为180°，
A项：由∠A−∠C=∠B，代入∠A+∠B+∠C=180°得∠A+(∠A−∠C)+∠C=180°，解得∠A=90°，∴△ABC为直角三角形；
B项：设∠A=3k，∠B=4k，∠C=5k，则3k+4k+5k=12k=180°，解得 k=15°，得出∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，无90°角，∴△ABC不是直角三角形；
C项：b2=a2+c2，符合勾股定理，∴△ABC为直角三角形，∠B=90°；
D项：设a=5k，b=12k，c=13k，则a2+b2=25k2+144k2=169k2，c2=169k2，∴a2+b2=c2，△ABC为直角三角形，∠C=90°，
综上所述，不能判定的是B，
故选：B．
11．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点A,B,C构成一个三角形，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上都不对
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．
【详解】解：∵设正方形地砖边长为1，
∴AC2=22+12=5，
AB2=42+22=20，
BC2=32+42=25，
在△ABC中，
∵AC2+AB2=5+20=25，BC2=25，
∴AC2+AB2=BC2，
∴△ABC是直角三角形．
故选：A．
12．如图，在网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在格点上，点A和点B关于y轴的对称点的坐标分别为A12,2和B15，−2．
(1)根据上述条件，在网格中画出平面直角坐标系xOy；
(2)画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
(3)判断△ABC的形状，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)△ABC是直角三角形．见解析
【分析】此题考查点的坐标、轴对称的作图、勾股定理及其逆定理的应用，正确作图是关键．
（1）根据已知点的坐标建立平面直角坐标系即可；
（2）找到A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，顺次连接即可；
（3）利用勾股定理求出三边的长度，再用勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示：
（2）解：如图，△A1B1C1即为所求；
（3）解：结论：△ABC是直角三角形．
理由：∵AC=12+22=5，BC=22+42=25，AB=32+42=5，
∴AC2+BC2=52+252=25=52=AB2，
∴△ABC是直角三角形，其中∠ACB=90°．
13．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点A，B，C都在格点上，则下列说法不正确的是（ ）
A．AC=5B．AB=25C．∠BAC=90°D．S△ABC=10
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用．
先由勾股定理求解AB,AC,BC，再由勾股定理逆定理证明∠BAC=90°，即可求解△ABC的面积．
【详解】解：∵在正方形网格中，每个小正方形的边长是1，
∴由勾股定理得，AC=12+22=5,AB=22+42=25,BC=32+42=5，
∴AC2+AB2=52+252=5+20=25，BC2=52=25，
∴AC2+AB2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∴S△ABC=12AC×AB=12×5×25=5，
故D错误，A、B、C正确，
故选：D．
14．请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图．
(1)在图1中找一个格点C，以AB为腰，使△ABC为等腰三角形．
(2)在图2中画一个格点C，以AB为底，使△ABC为等腰直角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查格点作图，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质作图即可；
（2）根据等腰三角形的性质和勾股定理的逆定理作图即可．
【详解】（1）解：找一个格点C，以AB为腰，使AB=AC=22+42=25，则△ABC为等腰三角形．
（2）在图2中画一个格点C，以AB为底，使AC=BC=10，△ABC为等腰直角三角形．
理由：∵AC2+BC2=12+32+12+32=20，AB2=22+42=20，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
15．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上．
(1)判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)求△ABC的面积．
【答案】(1)△ABC是直角三角形，理由见解析
(2)5
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理求出△ABC的三边长，再利用勾股定理的逆定理求解即可；
（2）根据（1）可得∠ABC=90°，AB=5，BC=25，再根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：△ABC是直角三角形，理由如下：
由勾股定理和网格的特点可得AB=12+22=5，BC=22+42=25，AC=32+42=5，
∴AB2+BC2=52+252=25=52=AC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：由（1）可得∠ABC=90°，AB=5，BC=25，
∴S△ABC=12AB⋅BC=12×5×25=5．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A−3,2,B3,0,C−1,−2．
(1)△ABC 的形状是_________；
(2)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1 (点A1，B1，C1分别对应点A，B，C)，并写出点A1，C1的坐标；
(3)在y轴上存在点 P，使得P到点A和点C的距离和最小，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)等腰直角三角形
(2)图见解析，A1−3,−2，C1−1,2；
(3)图见解析，P0,−1．
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，坐标与轴对称．
（1）利用勾股定理的逆定理，即可判断△ABC的形状；
（2）利用轴对称的性质，画出△A1B1C1，进而写出A1点的坐标即可；
（3）作出点C关于y轴的对称点C′，连接AC′，AC′与y轴的交点即为点P．
【详解】（1）解：∵AC2=22+42=20，BC2=22+42=20，AB2=22+62=40，
∴AC=BC，AB2=AC2+BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角三角形；
（2）解：如图，△A1B1C1即为所求；
；
由图可知：A1−3,−2，C1−1,2；
（3）解：如图，点P即为所求，由图可知：P0,−1．
17．如图所示的边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点B到边AC的距离等于 ．
【答案】22
【分析】本题以网格背景考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理判断直角三角形，是解题的关键．
先用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，即得点B到AC的距离为边AB=8=22．
【详解】解：∵AB2=22+22=8，AC2=32+32=18，BC2=12+52=26，
∴AB2+AC2=26=BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴点B到AC的距离为AB=8=22．
故答案为：22．
18．在4×4的正方形网格中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．
(1)在图①中，画出一条以格点为端点，长度为25的线段AB；
(2)在图②中，以格点为顶点，画出一个直角三角形，其中三边长均为无理数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据勾股定理进行作图即可；
（2）根据勾股定理的逆定理进行作图即可．
【详解】（1）解：如图，线段AB为所作的线段．
理由如下：
AB=22+42=25．
（2）解：如图，△ABC即为所作的三角形．
理由如下：
∵AC=12+12=2,BC=32+32=32,AB=25，
∴AC2+BC2=22+322=20,AB2=252=20，
即AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，且三边长均为无理数．
19．如图，正方形网格的边长为1，A，B，C，D网格中的格点，以其中三个点为三角形的顶点，可以构成直角三角形的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握以上知识点是做题的关键．根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析即可．
【详解】解：由勾股定理得，
AB2=12+22=5，AC2=42+32=25，AD2=22+12=5，BC2=32+12=10，BD2=32+12=10，CD2=22+42=20，
∵AB2+BC2=5+10=15≠AC2，
∴△ABC不是直角三角形；
∵AB2+AD2=5+5=10=BD2，
∴△ABD为直角三角形；
∵AD2+CD2=5+20=25=AC2，
∴△ACD为直角三角形；
∵BC2+BD2=10+10=20=CD2，
∴△BCD为直角三角形，
综上，可以构成直角三角形的有3个．
故选：C．
20．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，若△ABC的顶点都在格点上，则∠B+∠C= ．
【答案】45°
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理．延长至点D，连接CD，根据勾股定理逆定理可得△ACD为等腰直角三角形，从而得到∠CAD=45°，即可求解．
【详解】解：如图，延长至点D，连接CD，
∵AD2=CD2=12+32=10,AC2=22+42=20，
∴AD2+CD2=AC2,AD=CD，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴∠CAD=45°，
∴∠BAC=180°−∠CAD=135°，
∴∠B+∠C=180°−∠BAC=45°
故答案为：45°
21．如图，以△ABC的三边为边长向外作正方形，已知这三个正方形构成的图形中，S1+S4+S5=S2+S3=16，则S5=（ ）
A．7B．8C．9D．12
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，直角三角形的性质，难度较大，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
过点G作GF⊥BI于点F，先由面积关系证明∠BAC=90°，然后证明△ABC≌△EDCSAS，△BFG≌△CABAAS，△GFI≌△BAHAAS，最后得到S2=S3=S5，再由S1+S4+S5=S2+S3=16求解即可．
【详解】解：如图，过点G作GF⊥BI于点F
由题意得，S2+S3=BC2−S①−S②，S1+S4+S5=AB2−S①+AC2−S②
∵S1+S4+S5=S2+S3=16
∴BC2−S①−S②=AB2−S①+AC2−S②，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°，
由正方形可得，∠BCD=∠ACE=90°，CA=CE,CB=CD
∴∠1=∠2=90°−∠3，
∴△ABC≌△EDCSAS，
∴S3=S5，
∵∠GBC=∠BAC=90°
∴∠1=∠4=90°−∠5，
∵∠GFB=∠BAC=90°，BG=BC，
∴△BFG≌△CABAAS，
∴S△BFG=S△CAB，GF=AB，
同理可证明：△GFI≌△BAHAAS，
∴S△GFI=S△BAH，
∴S△BFG=S2，
∴S2=S3，
∴S2=S3=S5
∵S2+S3=16，
∴S2=S3=S5=8，
故选：B．
22．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=8，AC=6，且△ABD的面积为4，则△ABC的面积为 ．
变式：若BC=10，则BD= ，AD= ．
【答案】 7 407 2472
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，角平分线的性质定理等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，运用勾股定理以及角平分线的性质求解．
过点D分别作AB,AC的垂线，垂足分别为E,F，根据角平分线性质定理得到DE=DF，由面积法得到S△ABDS△ACD=ABAC=43，即可求解S△ADC=3，即可求解△ABC的面积；过点A作AG⊥BC于点G，由面积法得到S△ABDS△ACD=BDCD，则BDCD=ABAC=43，即可求解BD=47BC=407，然后通过勾股定理逆定理证明∠BAC=90°，则∠BAD=45°，可得△ADE为等腰直角三角形，DE=AE，通过等面积得到AG=6×810=245，DE=407×2458=247，最后再由勾股定理求解AD即可．
【详解】解：如图所示，过点D分别作AB,AC的垂线，垂足分别为E,F，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，
∵AB=8，AC=6，
∴S△ABDS△ACD=12AB⋅DE12AC⋅DF=ABAC=43，
又∵△ABD的面积为4，
∴S△ADC=3
∴△ABC的面积为3+4=7；
过点A作AG⊥BC于点G，
∴S△ABDS△ACD=12BD⋅AG12CD⋅AG=BDCD，
∵S△ABDS△ACD=12AB⋅DE12AC⋅DF=ABAC=43
∴BDCD=ABAC=43，
∴BD=47BC=47×10=407，
∵AB=8，AC=6，BC=10，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=45°，
∵DE⊥AB，
∴△ADE为等腰直角三角形，DE=AE
∵S△ABC=12AB×AC=12BC×AG，
∴AG=6×810=245，
∵S△ABD=12BD×AG=12AB×DE，
∴DE=407×2458=247，
∴DE=AE=247，
∴AD=DE2+AE2=2472，
故答案为：7，407，2472．
23．在△ABC中，AB=17cm，BC=30cm，BC上的中线AD=8cm，则AC= cm．
【答案】17
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理及线段垂直平分线的性质是关键．先根据勾股定理的逆定理，证明AD⊥BC，再根据线段垂直平分线的性质，即可求得答案．
【详解】解：∵AD是BC上的中线，
∴BD=CD=12BC=15cm，
∴AD2+BD2=82+152=289=AB2，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵BD=CD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AC=AB=17cm．
故答案为：17．
24．如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2，BC=4，CD=25，AD=210．
(1)求AC的长；
(2)求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)25
(2)14
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）先运用勾股定理的逆定理判定△ADC为直角三角形，再根据四边形ABCD的面积等于△ABC与△ADC的面积之和，即可解答．
【详解】（1）解：∵∠B=90°，AB=2，BC=4，
∴AC=AB2+BC2=22+42=25．
（2）解：∵AC=25，CD=25，AD=210
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，
∴S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD
=12AB⋅BC+12AC⋅CD
=12×2×4+12×25×25
=14．
25．如图，BD=BC=5，AB=1，AC=2，AD=2．则∠C+∠D=_____°．
A．15B．30C．45D．60
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理及逆定理、全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造直角三角形，结合全等三角形转化角的关系是解题的关键．
过点D作DE⊥AB，垂足为E，AE=x，在Rt△ADE和Rt△BDE中，以DE为桥利用勾股定理列方程得AE=1，即可得DE=1，由AE=DE得∠EAD=45°，由AB=DE，BC=BD可证Rt△ABC≌Rt△EBDHL，可得∠C=∠EBD，由∠EBD+∠ADB=∠EAD=45°即可得∠C+∠ADB=45°．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，
∴DE2=AD2−AE²，DE2=BD2−BE²，∠E=90°，
∴AD2−AE2=BD2−BE²，
设AE=x，则BE=AE+AB=x+1，
∴22−x2=52−x+1²，
解得x=1，即AE=1，
∴DE=AD2−AE²=1，
又∵AB=1，
∴AE=DE=AB，
∴∠EAD=180°−∠E2=45°，
∵AB²+AC²=1²+2²=5，BC2=52=5，即AB²+AC²=BC2，
∴∠BAC=90°，
在Rt△ABC和Rt△EBD中，
BC=BDAB=DE，
∴Rt△ABC≌Rt△EBDHL，
∴∠C=∠EBD，
∵∠EBD+∠ADB=∠EAD=45°，
∴∠C+∠ADB=45°
故选：C．
26．如图，已知在△ABC中，AD为BC边的中线，AB=5，AC=3，AD=2．求△ABC的面积．
【答案】△ABC的面积为6
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，掌握相应知识的运用是解题的关键．
延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，可证△BED≌△CAD，则BE=AC，S△BED=S△CAD，则S△ABC=S△ABE，根据勾股定理逆定理可得∠E=90°，计算出△ABE的面积即可求解．
【详解】解：如图，延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，
∵AD为BC边的中线，
∴BD=CD，
在△BED和△CAD中
DE=DA∠ADC=∠EDBDB=DC，
∴△BED≌△CADSAS，
∴BE=AC=3，S△BED=S△CAD，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=S△ABD+S△BED=S△ABE，
∵AD=2，
∴AE=AD+DE=4，
在△ABE中，AB=5，BE=3，AE=4，
∴BE2+AE2=32+42=52=AB2，
∴∠E=90°，
∴S△ABC=S△ABE=12BE⋅AE=12×3×4=6．
27．如图，在△ABD和△BCD中，∠ABD=∠CBD，AB=4，BC=7，CD=32，AD=3．求证：AD⊥AB．
【答案】见解析
【分析】要证明AD⊥AB，只需证明△ABD为直角三角形且∠A=90∘．我们通过在BC上截取BE=AB，构造全等三角形△ABD≅△EBD，将AD转化为DE，再在△DEC中用勾股定理逆定理判定直角，求出BD的长度，最后回到△ABD验证勾股定理逆定理即可．
【详解】解：在BC上截取BE=AB=4，连接DE，
∵BE=AB，∠ABD=∠CBD，BD=BD，
∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴DE=AD=3，BE=AB=4，
∵BC=7，
∴EC=BC−BE=7−4=3，
在△DEC中，
DE2+EC2=32+32=9+9=18CD2=(32)2=18，
∴DE2+EC2=CD2，
∴∠DEC=90∘，
∴∠BED=180∘−∠DEC=90∘，
∵△ABD≌△EBD，
∴∠A=∠BED=90∘，
∴AD⊥AB．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理，熟练掌握通过构造全等三角形实现线段与角的转化，再结合勾股定理逆定理判定直角是解题的关键．
28．如图，在四边形ABCD中，AB=3,BC=4,∠B=90°,AD=5,CD=52，求四边形ABCD的面积．
【答案】18.5
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解答的关键．
连接AC，根据勾股定理的逆定理判断出△ADC为直角三角形，且∠DAC=90°，然后利用三角形的面积求解即可．
【详解】解：如图，连接AC．
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴AC2=AB2+BC2=9+16=25，则AC=5．
∵AD=5，CD=52，
∴AC2+AD2=25+25=50=CD2．
∴△ADC为直角三角形，且∠DAC=90°．
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=12×3×4+12×5×5=18.5．
29．如图，在△ABC中，AC=12，BC=20，BC边的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接CD，若△ACD的周长为28，则AD的长为（ ）
A．3.5B．4C．4.5D．5
【答案】A
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理．根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC，根据三角形的周长公式计算，得到AB=16，再利用勾股定理的逆定理求得∠A=90°，设AD=x，在Rt△ACD中，利用勾股定理列式计算即可求解．
【详解】解：∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∵△ACD的周长为28，
∴AC+AD+DC=28，
∴AC+AD+DB=AC+AB=28，又AC=12，
∴AB=28−12=16，
设AD=x，DB=DC=16−x，
∵AC=12，BC=20，AB=16，162+122=400=202，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠A=90°，
在Rt△ACD中，AC=12，AD=x，DC=16−x，
由勾股定理得AD2+AC2=CD2，即x2+122=16−x2，
解得x=3.5，
即AD=3.5，
故选：A．
30．如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°．
(1)求AC的长
(2)四边形ABCD的面积．
【答案】(1)5
(2)36
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）在△ABC中， 根据勾股定理求得AC的长即可；
（2）在△ACD中，根据AC2+CD2=AD2得到△ACD是直角三角形，利用S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD进行求解即可．
【详解】（1）解： 在△ABC中，∠B=90°，
由勾股定理得AC=AB2+BC2=32+42=5；
（2）解：在△ACD中，
由于52+122=132，即AC2+CD2=AD2，
则△ACD是直角三角形，
因此S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=3×42+5×122=6+30=36．
31．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形ABCD进行改建，将四边形ABCD全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米150元．经测量∠B=90°,AB=9m,BC=12m,CD=8m,AD=17m．求购买运动型塑胶地板的费用．
【答案】17100元
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形和四边形的面积计算等知识点，解题的关键是通过连接对角线AC，将不规则四边形ABCD的面积转化为两个直角三角形△ABC和△ACD的面积之和．
先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长度；再根据AC、CD、AD的长度，利用勾股定理的逆定理判断△ACD为直角三角形；然后分别计算△ABC和△ACD的面积，求和得到四边形ABCD的总面积；最后根据每平方米地板的价格，计算出总费用．
【详解】解：如图，连接AC，
∵∠B=90°,AB=9m,BC=12m，
∴AC=AB2+BC2=92+122=15m，
∵CD=8m,AD=17m，
∴CD2+AC2=82+152=289=172=AD2，
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，
∴四边形ABCD的面积=S△ABC＋S△ACD
=12AB⋅BC＋12AC⋅CD
=12×9×12＋12×15×8
=114 m2，
∵运动型塑胶地板每平方米150元，
∴购买运动型塑胶地板的费用为114×150=17100（元），
答：购买运动型塑胶地板的费用为17100元．
32．为贯彻党的教育方针，培养“德智体美劳”全面发展的社会主义建设者和接班人．某校准备将校内一块四边形土地（如图所示）改造成学生劳动实践基地，其中∠A=90°，AB=3m,AD=4m,BC=12m,CD=13m．
(1)试判断图中△BDC的形状，并说明理由；
(2)经测算，该地块改造费用每平方米的成本约50元，请你为学校计算一下改造这块土地约需要多少费用？
【答案】(1)△BDC是直角三角形，见解析
(2)1800元
【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）先由勾股定理求出BD2=25，再由勾股定理的逆定理求解即可；
（2）求出四边形ABCD的面积，即可求解费用．
【详解】（1）解：△BDC是直角三角形，理由如下：
∵∠A=90°，AB=3m,AD=4m，
∴BD2=AB2+AD2=32+42=25，则BD=5（舍负）
∵BC=12m,CD=13m，
∴BD2+BC2=25+122=169，CD2=132=169，
∴BD2+BC2=CD2，
∴∠CBD=90°，
∴△BDC是直角三角形．
（2）解：由（1）知∠CBD=90°，而∠A=90°
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=12AB×AD+12BD×BC=12×3×4+12×5×12=36，
∴费用为：36×50=1800（元）
33．某小区准备将辖区内一块如图所示的四边形平地ABCD进行改造，经测量，∠A=90°，AB=7米，AD=24米，CD=20米，BC=15米，连接BD．
(1)求BD的长度；
(2)若在四边形ABCD地面上全部铺设运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，请计算该小区购买运动型塑胶地板所需的费用．
【答案】(1)BD的长度为25米；
(2)该小区购买运动型塑胶地板所需的费用为46800元．
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）在Rt△ABD中利用勾股定理即可求出BD的长度；
（2）由（1）得，BD=25米，利用勾股定理的逆定理证出∠C=90°，利用三角形的面积公式计算出四边形ABCD的面积，结合运动型塑胶地板每平方米200元，即可求解．
【详解】（1）解：∵∠A=90°，AB=7米，AD=24米，
由勾股定理得：BD=AB2+AD2=72+242=25（米），
答：BD的长度为25米；
（2）解：∵BC2+CD2=152+202=625，BD2=625，
∴BC2+CD2=BD2，
∴△BCD是直角三角形．
∴S四边形ABCD=S△BAD+S△BCD
=12AB⋅AD+12BC⋅CD
=12×7×24+12×15×20
=234（平方米）
则200×234=46800（元）
答：该小区购买运动型塑胶地板所需的费用为46800元．
34．渭河是黄河的最大支流，流经陕西省关中平原的宝鸡、咸阳、西安、渭南等地．如图，渭河一侧有一村庄C，河边原有两个观景台A，B，其中AB=BC，现建设美丽乡村，决定在渭河边新建一个观景台D（点A，D，B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得AC=3km，CD=2.4km，AD=1.8km．
(1)通过计算说明，CD是从村庄C到渭河边最短的路线；
(2)求原来的路线BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)原来的路线BC的长为2.5km
【分析】本题考查了勾股定理逆定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由勾股定理逆定理得出△ACD是直角三角形，即CD⊥AB，即可得出结果；
（2）设AB=BC=xkm，则在Rt△BCD中，BC=xkm，BD=(x−1.8)km，CD=2.4km，最后结合勾股定理计算即可得出结果．
【详解】（1）解：在△ACD中，AC=3km，CD=2.4km，AD=1.8km，
∴CD2+AD2=2.42+1.82=9，AC2=32=9，
∴CD2+AD2=AC2，
∴△ACD是直角三角形，即CD⊥AB，
∴CD是从村庄C到渭河边的最短路线；
（2）解：设AB=BC=xkm，
在Rt△BCD中，BC=xkm，BD=(x−1.8)km，CD=2.4km，
由勾股定理，得BC2=BD2+CD2，即x2=(x−1.8)2+2.42，
解这个方程，得x=2.5，
∴原来的路线BC的长为2.5km．
35．某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理了一块可以绿化的空地．如图，已知AB=9m，BC=12m，CD=17m，AD=8m，∠ABC=90°．

(1)连接AC，求AC的长；
(2)若平均每平方米空地的绿化费用为500元，则绿化这片空地共需花费多少元？
【答案】(1)15m
(2)57000元
【分析】本题主要考查勾股定理及逆定理的应用，掌握相关定理的应用是解题的关键．
（1）根据勾股定理计算AC即可；
（2）由勾股定理逆定理可得△ACD是直角三角形，再计算面积，进而得到绿化费用即可．
【详解】（1）解：∵∠ABC=90°,AB=9m,BC=12m，
∴AC=AB2+BC2=92+122=15(m)；
答：AC的长为15m；
（2）解：∵CD=17m,AD=8m，
∴AD2+AC2=82+152=289=172=CD2，
∴△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°，
∴S△ACD=12AD⋅AC=12×8×15=60m2，
S△ABC=12AB⋅BC=12×9×12=54m2，
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=60+54=114m2，
∴500×114=57000（元）．
答：绿化这片空地共需花费57000元．
36．冬季第一场瑞雪沿东西方向的省道AB由A向B平稳移动，为沿途村庄带来有利于农作物越冬的积雪．已知点C为一村庄，村庄C与省道上的两点A、B的距离分别为AC=30km，BC=40km，且AB=50km．经观测，降雪中心周围25km以内都会被雪覆盖．
(1)∠ACB的度数为_____；
(2)村庄C距省道的最短距离为_____km；
(3)如图2，该降雪中心的移动速度为20km/h，当降雪中心移动到点E处时，村庄C开始降雪；当降雪中心移动到点F处时，村庄C刚好结束降雪（即CE=CF=25km）．求此次村庄C持续降雪多长时间．
【答案】(1)90°
(2)24
(3)0.7小时
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、直角三角形的面积公式、勾股定理的应用以及行程问题的计算，解题的关键是利用勾股定理逆定理判断三角形形状，结合面积法求高，再通过勾股定理计算线段长度，最终结合速度公式求解时间．
（1）利用勾股定理逆定理，由AC2+BC2=AB2判断△ACB为直角三角形，得∠ACB=90°；
（2）用直角三角形面积公式S=12AC×BC=12AB×h，求出点C到AB的距离h；
（3）过点C作AB的垂线，设垂足为D，在Rt△CDE中用勾股定理求出EF的长度，再结合速度公式t=路程速度计算降雪持续时间．
【详解】（1）解：∵ 在△ACB中，AC=30 km，BC=40 km，AB=50 km，
∴ AC2+BC2=302+402=900+1600=2500，AB2=502=2500．
∴ AC2+BC2=AB2．
∴ △ACB是直角三角形，且∠ACB=90°．
故答案为：90°．
（2）解：设点C到AB的距离为h，
∵ △ACB是直角三角形，
∴ S△ACB=12AC×BC=12AB×h，
即12×30×40=12×50×h，
解得h=24 km．
故答案为：24．
（3）解：过点C作CD⊥AB于点D，则CD=24 km，
在Rt△CDE中，CE=25 km，CD=24 km，
由勾股定理得DE=CE2−CD2=252−242=49=7 km．
同理，DF=7 km，
∴ EF=DE+DF=7+7=14 km．
∵ 降雪中心移动速度为20 km/h，
∴ 持续时间t=EF20=1420=0.7 h．
答：此次村庄C持续降雪0.7小时．
37．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离CA、CB分别为300km、400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域．
(1)海港C受台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心移动的速度为50 km/h，台风影响海港C持续的时间有多长？
【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析
(2)台风影响海港C持续的时间有4h
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理的应用，关键是将实际台风影响问题转化为直角三角形的几何模型，通过几何计算与运动公式结合求解．
（1）先利用勾股定理的逆定理，验证CA2+CB2=AB2，判断△ABC为直角三角形；再通过直角三角形的面积公式求出点C到AB的距离CD，将CD与台风影响半径260km比较，若CD0且m>n，c=2m2+2mn+2n2，a=m2+4mn+n2，b=3m+n，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式x3−3x2+p有一个因式x−m+n，求该多项式的另一个因式．
【答案】(1)是
(2)见解析
(3)x2−2x−2
【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用．
（1）根据完美勾股数的定义可得答案；
（3）利用完全平方公式证明即可；
（3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入x−m+n，根据多项式x3−3x2+p有一个因式x−m+n，求解即可．
【详解】（1）解：∵102=62+82，
∴数10是“完美勾股数”，
故答案为：是；
（2）证明：a2−6a+9+b2−8a+16+c2−10c+25=0
∴(a−3)2+(b−4)2+(c−5)2=0
∵(a−3)2≥0;(b−4)2≥0;(c−5)2≥0.
∴a=3,b=4,c=5，
∴c2=a2+b2，
∴c是“完美勾股数”；
（3）解：由题意得：c2=a2+b2，
∴2m2+2mn+2n22=m2+4mn+n22+3(m+n)2，
∴2m2+2mn+2n22−m2+4mn+n22=3(m+n)2，
∴3m2+6mn+3n2m2−2mn+n2=3(m+n)2，
∴(m+n)2(m−n)2=(m+n)2，
∴(m+n)2(m−n)2−1=0，
又∵m,n>0;m>n，
∴(m−n)2−1=0，即m−n=1，
∴m=n+1，
∴x3−3x2+p有一个因式为x−m+n=x−1，
∴x3−3x2+P=x−1x2−2x−2，
∴另一个因式为x2−2x−2．
49．【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积为S=pp−ap−bp−c．
【解决问题】：已知在△ABC中，AC=4，BC=7.5，AB=8.5．
(1)请你用“海伦—秦九韶公式”求△ABC的面积．
(2)除了利用“海伦—秦九韶公式”求△ABC的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．
【答案】(1)15
(2)有，见解析
【分析】（1）直接用海伦—秦九韶公式计算面积即可；
(2)计算得到AC2+BC2=AB2，即△ABC为直角三角形，直接两直角边的积除以2求面积，
【详解】（1）∵AC=4，BC=7.5，AB=8.5
∴p=4+7.5+8.52=10
∴S△ABC=10×10−4×10−7.5×10−8.5=10×6×2.5×1.5=225=15
（2）证明：∵AC=4，BC=7.5，AB=8.5
∴AC2=42=16=644，BC2=1522=2254，AB2=1722=2894
∴AC2+BC2=644+2254=2894=AB2
∴∠C=90°
所以∆ABC为直角三角形；
∴S△ABC=12AC⋅BC=12×4×7.5=15
【点睛】本题考查了代数式求值，勾股定理逆定理，准确计算是解题关键．
50．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ， ．
（2）如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相同的所有勾股四边形OAMB．
（3）如图（2），以△ABC边AB作如图正三角形ABD，∠CBE＝60°，且BE＝BC，连接DE、DC，∠DCB＝30°．求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
【答案】（1）直角梯形，长方形；（2）图见解析；（3）证明见解析
【分析】（1）利用含有直角的四边形找出特殊四边形中是勾股四边形的两种图形即可；
（2）利用勾股定理计算画出即可；
（3）首先证明△ABC≌△BDC，得出AC＝DE，BC＝BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解．
【详解】解：（1）填直角梯形，长方形；
（2）如图，
（3）证明：∵△ABD为等边三角形，
∴AB＝AD，∠ABD＝60°，
∵∠CBE＝60°，
∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC，
即∠ABC＝∠DBE，
又∵BE＝BC，
∴△ABC≌△DBE，
∴BE＝BC，AC＝ED；
连接EC，连接AC．则△BCE为等边三角形，
∴BC＝CE，∠BCE＝60°，
∵∠DCB＝30°，
∴∠DCE＝90°，
在Rt△DCE中，
DC2+CE2＝DE2，
∴DC2+BC2＝AC2．
【点睛】此题主要考查勾股定理，三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，是一道综合性很强的题目．