人教版（2024）八年级下册（2024）20.1 勾股定理及其应用测试题

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如图2，①方方先将竹竿顶端A与墙角顶端重合，测竹竿底部B到墙角底部C的距离为1米；②在墙根处取与B距离1米的点A′（即A′B=BC）；③将竹竿顶部滑到A′处，底部位于C′，此时BC′即为教室高度．
(1)请根据圆圆测量的数据，求出教室的高度．
(2)方方直接通过测量BC′就得到教室的高度（AB=BC′），请证明．
【答案】(1)AB=15
(2)见解析
【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质．熟练掌握它们的性质是解题的关键；
（1）直接应用勾股定理求解直角三角形的未知边．
（2）通过寻找全等三角形的条件，证明两个直角三角形全等，从而得到对应边相等．
【详解】（1）在图1中，△ABC是直角三角形，其中：
斜边AC=4 米（竹竿长度），直角边BC=1米（竹竿底部到墙角的距离），直角边AB为教室高度
根据勾股定理：
AB2+BC2=AC2
AB2=16−1=15
AB=15
所以，教室的高度为15米
（2）证明：在 Rt△ABC 和 Rt△A′BC′ 中：
AC=C'A'BC=BA'
∴Rt△ABC≌Rt△C'BA'HL
∴AB=BC′．
2．消防队的云梯是一种伸缩梯，它通过液压系统驱动，能够快速调整高度，方便消防员迅速到达高层建筑进行灭火或救援．如图，一架伸缩梯AB斜靠在墙上，此时它伸长至最长，达17米，量得它在地面上的位置A与墙的距离（OA的长）为15米．
(1)求B处与地面的距离；
(2)若此伸缩梯向墙面靠近6米到点C处，其上端到达B处上方4米的点D处，求此时伸缩梯CD的长度；
(3)现有一辆高4米的消防车，它上面的新型云梯最多伸长到25米．一天，某栋楼高24米处一老人需要救援，消防员将此云梯伸到最长，要想顺利救下老人，则此云梯底端应距离高楼_____米．（不考虑其他因素）
【答案】(1)B处与地面的距离是8米
(2)伸缩梯CD的长度是15米
(3)15
【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
（1）直接根据勾股定理在Rt△AOB中求解即可；
（2）先求出OC，DO，再根据勾股定理在Rt△COD中求解即可；
（3）根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：由题意得∠AOB=90°，AB=17米，OA=15米，
∴BO=AB2−OA2=172−152=8（米），
答：B处与地面的距离是8米．
（2）解：由题意得AC=6米，BD=4米，
∴OC=OA−AC=15−6=9（米），
DO=BO+BD=8+4=12（米），
∴在Rt△COD中，CD=OC2+DO2=92+122=15（米），
答：此时伸缩梯CD的长度是15米．
（3）解：如图，
由题意可得BO=4米，CD=25米，DO=24米，∠DBC=90°，
∴DB=DO−BO=24−4=20（米），
∴在Rt△BCD中，BC=CD2−DB2=252−202=15（米）．
答：此云梯底端应距离高楼15米．
故答案为：15．
3．如下图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离OC为2m，顶端B距墙顶的距离AB为1m．若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离OF为3m，顶端E距墙顶D的距离DE为2m．已知点A，B，C在一条直线上，点D，E，F在一条直线上，点C，O，F在一条直线上，AC⊥CF，DF⊥CF．
(1)求墙的高度．
(2)求竹竿的长度．
【答案】(1)墙的高度为4m
(2)竹竿的长度为13m
【分析】（1）这是一个勾股定理的实际应用问题。我们可以设墙的高度为h米，那么两次竹竿斜靠时的顶端到地面的距离分别是 h−1和h−2．竹竿长度不变，所以可以利用勾股定理分别表示出两次竹竿的长度，建立方程求解．
（2）在求出墙高后，代入勾股定理表达式即可求出竹竿的长度．
【详解】（1）解：设墙的高度为 h 米，竹竿长度为 L 米．
在Rt△BCO中，L2=h−12+22；
在Rt△EFO中，L2=h−22+32．
∵两次竹竿长度相等，
∴h−12+4=h−22+9．
展开并化简：
h2−2h+1+4=h2−4h+4+9
−2h+5=−4h+13
2h=8
h=4．
故墙的高度为4 m．
（2）解：将h=4代入Rt△BCO的勾股定理式：
L2=4−12+22=9+4=13
L=13
故竹竿的长度为13m．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题关键是通过设未知数，利用“竹竿长度不变”这一等量关系建立方程，从而将几何问题转化为代数方程求解．
4．如图，地面上放着一个小凳子（凳宽AB与地面平行，墙面OC与地面OD垂直），点A到地面的距离为80cm．在图①中，一根长100cm的木杆一端与墙角O重合，另一端靠在点A处．
(1)求小凳子顶点A与墙面OC的距离；
(2)在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处，若OC=130cm，木杆BC比凳宽AB长70cm，求小凳子宽AB和木杆BC的长度．
【答案】(1)顶点A与墙面的距离为60cm；
(2)凳子宽AB的长度为60cm，木杆BC的长度为130cm．
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理并结合题意构造直角三角形是解题的关键．
（1）通过作垂线构造直角三角形，利用勾股定理计算小凳子顶点A与墙面的距离；
（2）延长线段构造直角三角形，设未知数表示各边长度，再通过勾股定理列方程求解小凳子宽和木杆长．
【详解】（1）解：过A作AM垂直于墙面，垂足M，根据题意可得，OM=80cm，
在Rt△AOM中，AM=AO2−OM2=1002−802=60，
即顶点A与墙面的距离为60cm；
（2）解：延长BA交墙面于点N，可得∠BNC=90°，
设AB=xcm，则CB=x+70，BN=x+60，CN=130−80=50，
在Rt△BCN中，BN2+CN2=BC2，即x+602+502=70+x2，
解得x=60，
∴AB=60cm，BC=60+70=130cm，
∴凳子宽AB的长度为60cm，木杆BC的长度为130cm．
5．如图，数学兴趣小组要测量旗杆AB的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为8米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为16米．
(1)求旗杆AB的高度；
(2)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即CD的长）？（3≈1.732，结果保留1位小数）
【答案】(1)旗杆AB的高度为12米
(2)小明需要后退约1.3米
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键．
（1）设旗杆AB的高度为x米，则AC=x+8米，由勾股定理可得x2+162=x+82，解方程即可得到答案；
（2）过E作EG⊥AB于点G，可证明AB∥DE，EG∥BD，BG=DE=2米，EG=BD，利用勾股定理求出EG的长，进而求出CD的长即可得到答案．
【详解】（1）解：设旗杆AB的高度为x米，则AC=x+8米，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2+BC2=AC2，
∴x2+162=x+82，
解得x=12，
答：旗杆AB的高度为12米；
（2）解：如图，过E作EG⊥AB于点G，
由题意得，AB⊥BD，DE⊥BD，
∴AB∥DE，
又∵EG⊥AB，
∴EG∥BD，
∴BG=DE=2米，EG=BD，
∴AG=AB−BG=12−2=10（米），
由（1）可知，AE=AC=12+8=20（米），
在Rt△AGE中，由勾股定理得EG=AE2−AG2=202−102=103（米），
∴BD=103米，
∴CD=BD−BC=103−16米=1.32≈1.3米，
答：小明需要后退约1.3米．
6．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间测量校园内旗杆的高度．第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作QE，用皮尺量出QE的长度为3m．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出QF的长度为9m．则旗杆的高度为 m．
【答案】12
【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，由①得，绳子的长度比旗杆的高度多3m，设旗杆PQ的高度为xm，则绳子的长度PF为x+3m，在Rt△PQE中，由勾股定理得PQ2+QF2=PF2，列出方程，并解方程即可得到答案．
【详解】解：由①得，绳子的长度比旗杆的高度多3m，
设旗杆PQ的高度为xm，则绳子的长度PF为x+3m，
在Rt△PQF中，PF=x+3，QF=9，
由勾股定理得：PQ2+QF2=PF2，则x2+92=x+32，
整理得：6x+9=81，
解得：x=12，
∴旗杆的高度为12m，
故答案为：12．
7．如图是某俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小明，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为27米，长方形ADCG和长方形DEFC均为木质平台的横截面，点G在AB上，点C在GF上，点D在AE上，经过现场测量得知CD=2米，AD=15米．

(1)小明猜想立柱AB的长为8米，请判断小明的猜想是否正确？如果正确，写出理由；如果错误，请求出立柱AB的正确长度；
(2)为加强游戏的安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索BF，经测量DE=3米，请你求出要焊接的钢索BF的长．
【答案】(1)不正确的，10米
(2)297米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理、求出BG的长是解题的关键．
（1）设BG=x米，则BC=26−1−x米，在Rt△BGC中，利用勾股定理列方程，求出x，结合AB=BG+GA即可得出结论；
（2）由题意得CF=DE=3米，则GF=GC+CF=18米，在Rt△BGF中，由勾股定理求出BF的长即可．
【详解】（1）解：小明的猜想不正确；理由如下：
由题意可知：AB+BC=27，AG=CD=EF=2，AD=GC=15，
∴BG+BC=25，
在Rt△BGC中，由勾股定理得：BG2+CG2=BC2，
即BG2+152=25−BG2，
解得：BG=8，
∴AB=BG+AG=8+2=10，
∴小明的猜想不正确，立柱AB的正确长度为10米；
（2）解：由题意可知：DE=CF=3，
∴GF=CG+CF=15+3=18，
Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2+FG2=BF2，
即BF2=82+182=388，
∴ BF=297米，
∴焊接的钢索BF的长为297米．
8．为了测量旗杆的高度，小明设计了如图所示的测量方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米．
(1)请利用小明设计的方案，计算旗杆的高度；
(2)小明查阅旗杆设计图纸，发现测量的结果与设计高度有一点误差，你认为产生误差的原因是什么？（至少写出一条）
【答案】(1)旗杆的高度为12米
(2)测量长度有误差（答案不唯一）
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键：
（1）设旗杆的高度为x，根据勾股定理进行求解即可；
（2）根据可能产生误差的原因，作答即可．
【详解】（1）解：设旗杆的高度为x，
由勾股定理，得：x2+92=x+32，
解得x=12；
答：旗杆的高度为12米；
（2）解：产生误差的原因可能是测量长度有误差（答案不唯一）．
9．如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的点A处向围墙上的点B处拉彩旗．已知点B和教学楼的水平距离为16m，教学楼高15m，围墙BC高3m，问至少需要多长的彩旗带？
【答案】20m
【分析】本题考查了勾股定理的应用．
过B作BD⊥AE于D，可知DE=BC=3m，BD=CE=16m，进而求出AD=12m，根据AB=122+162计算即可．
【详解】解：过B作BD⊥AE于D，
∴DE=BC=3m，BD=CE=16m，
∴AD=AE−DE=15−3=12（m），
在Rt△ABD中，AB2=AD2＋BD2，
∴AB=122+162=20（m），
答：至少需要20m的彩旗带．
10．有两棵树，一棵高6米，另一棵高1米，两树相距6米，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞 米．
【答案】61
【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键．
设大树高为AB=6m，小树高为CD=1m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是长方形，连接AC，则EB=1m，EC=6m，AE=AB−EB=6−1=5m，在Rt△AEC中，根据勾股定理求得AC即可．
【详解】解：如图，设大树高为AB=6m，小树高为CD=1m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是长方形，连接AC，
∴EB=1m，EC=6m，AE=AB−EB=6−1=5m，
在Rt△AEC中，AC=AE2+EC2=61m，
∴小鸟至少飞行61m．
故答案为：61．
11．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）
A．50cmB．100cmC．140cmD．80cm
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的应用．
根据题意，可得小鼹鼠朝前挖的距离和朝左挖的距离，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：8×10=80cm，
6×10=60cm，
802+602=100cm，
∴10分钟之后两只小鼹鼠相距100cm．
故选：B．
12．如图，树根下有一个蛇洞，树高15m，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇．
【答案】鹰向离树20m的地方扑击才能恰好抓到蛇
【分析】此题考查了勾股定理的应用，设CB的长为xm，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】如答图，
设点D处为树顶，鹰向点B处扑去才能正好抓住蛇，由题意，得DB=AB，
设CB的长为xm，则152+x2=15×3−x2，
解得x=20．
答：鹰向离树20m的地方扑击才能恰好抓到蛇．
13．我国古代数学著作《九章算术》中记载“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？（一丈=10尺，本指竹子根部）．其大意是，一根竹子高10尺，从某处折断后，竹子顶端落在离根部3尺处，那么折断处离地面的高度是（ ）

A．5.55尺B．4.05尺C．5.45尺D．4.55尺
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设折断处离地面的高度是x尺，则竹子折断处离竹子顶端为10−x尺，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：设折断处离地面的高度是x尺，则竹子折断处离竹子顶端为10−x尺，
由勾股定理得：x2+32=10−x2 ，
解得x=4.55 ，
即折断处离地面的高度是4.55尺．
故选：D．
14．水杉是一种非常著名且独特的树种，被誉为植物界的“活化石”．如图，一棵水杉在离地5米（点C）处折断，水杉的顶端（点A）落在离水杉底端（点B）12米处，则这棵水杉折断之前的高度为 米．
【答案】18
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际生活中的运用能力，是解题的关键．
由题意得，在直角三角形ABC中，已知两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，进而可得这棵水杉折断之前的高度．
【详解】解：∵BC=5，AB=12，∠ABC=90°，
∴折断的部分长为AC=AB2+BC2=13（m），
∴折断前高度为5+13=18（m）．
故答案为：18．
15．我国古代数学著作《孙子算经》中有“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？（1丈=10尺），该问题可利用勾股定理求解，折后竹尖离地面的高度为（ ）
A．4.55尺B．5.45尺C．6.45尺D．7.55尺
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键：根据题意，竹子原高10尺，折断后竹尖触地，离根3尺，设折断处高度为x尺，则折断部分长度为10−x尺，利用勾股定理建立方程求解．
【详解】解：设折后竹尖离地面高度为x尺，则折断部分长度为10−x尺，
由勾股定理得：x2+32=10−x2，
即 x2+9=100−20x+x2，
解得x=4.55．
故折后竹尖离地面高度为4.55尺．
故选A．
16．由于大风，山坡上的一棵树甲从A点处被拦腰折断，其顶点恰好落在一棵树乙的底部C处，如图所示．已知AB=4m，BC=13m，两棵树的水平距离是12m，则甲树原来的高度是（ ）
A．15mB．17mC．19mD．21m
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理．
如图，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D．则根据题意可以得到CD=12m，根据勾股定理即可求出BD的长，再利用勾股定理求出AC的长，可得到AC+AB的长，即为甲树原来的高度．
【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D．
由题意，得CD=12m，AB=4m，BC=13m．
在Rt△BCD中，BD=BC2−CD2=132−122=5m，
∴AD=AB+BD=9m．
在Rt△ACD中，AC=CD2+AD2=122+92=15m，
∴AC+AB=19m．
故甲树原来的高度是19m．
故选：C．
17．张老师家在装修新房，准备把一幅边长为2.3m的正方形大理石背景板搬进客厅．已知客厅的门框是一个高2m、宽1.5m的长方形双开门．请你判断这个背景板能否搬进客厅，并说明理由．
【答案】这个背景板能搬进客厅，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出长方形门框的对角线长，再与正方形大理石的边长进行比较即可得到结论．
【详解】解：这个背景板能搬进客厅，理由如下：
由题意得，长方形门框的对角线长为1.52+22=2.5m，
∵2.5>2.3，
∴这个背景板能搬进客厅．
18．有一首古算诗：“波平如镜一湖面，半尺高处生红莲．亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边．离开原处二尺远，花贴湖面似睡莲．”其大意为：湖面平静如镜，红莲高出水面半尺，姿态优美地立在湖中央，突然被风吹斜后花尖恰好触及水面，且离原来的位置水平二尺远．其平面示意图如图所示，AB=AB′,AB⊥B′C于点C，BC=0.5尺，B′C=2尺，则AC的长为（ ）
A．3尺B．4尺C．154尺D．174尺
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意、运用勾股定理建立方程是解题的关键．设AC的长度为x尺，则AB=AB′=x+0.5，在Rt△AB′C中，然后由勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设AC的长度为x尺，则AB=AB′=x+0.5，
在Rt△AB′C中，AC2+B′C2=AB′2，即x2+22=x+0.52，
解得：x=154，
∴AC的长度为154尺．
故选：C．
19．如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm，6cm和103cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是（ ）
A．20cmB．15cmC．10cmD．5cm
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，长方体的体对角线是最长的，当木棒在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，这样就是求出盒子的对角线长度即可．
【详解】解：由题意知：盒子底面对角线长为62+82=10cm，
盒子的对角线长：102+1032=20cm，
又细木棒长25cm，
故细木棒露在盒外面的最短长度是：25−20=5cm，
故选：D．
20．《九章算术》中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为x尺，可列方程为 ．
【答案】x−22+x−42=x2
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．先表示出门高和门宽，再根据勾股定理列方程即可．
【详解】解：根据题意可知，门高为x−2尺，门宽为x−4尺，
由勾股定理，得x−22+x−42=x2．
故答案为：x−22+x−42=x2．
21．如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口O，甲客轮航行的速度是3m/s，乙客轮航行的速度是4m/s，一段时间后，甲到达A地，乙到达B地．若A，B两地的直线距离为1500m，且OA⊥OB，则乙客轮航行的距离是 m．
【答案】1200
【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理在直角三角形中的应用是解题的关键．
设航行时间为t秒，用t表示OA与OB的长度，在Rt△OAB中用勾股定理列方程求t，再计算乙航行的距离．
【详解】解：∵甲、乙两客轮同时从港口O出发，航行时间相同，设为t秒
∴甲客轮航行的距离OA=3t米，乙客轮航行的距离OB=4t米
∵OA⊥OB，且A,B两地的直线距离AB=1500米
∴在Rt△OAB中，根据勾股定理，有OA2+OB2=AB2
∴(3t)2+(4t)2=15002
∴9t2+16t2=2250000
∴25t2=2250000
∴t2=90000
∴t=300秒。
∴乙客轮航行的距离是 OB=4t=4×300=1200
故答案为： 1200．
22．从海岛A上观测，海岛B在海岛A的南偏东30°的位置，且距离为30海里．轮船C与轮船D均在海岛B的正北方向上，同时向海岛A发出燃料补给请求．此时轮船C与海岛A相距20海里，轮船D与海岛B相距40海里．补给船从海岛A出发向轮船C与轮船D运送燃料，下列有关轮船C与轮船D的位置说法正确的是（ ）
A．轮船C的位置能唯一确定，轮船D的位置能唯一确定
B．轮船C的位置能唯一确定，轮船D的位置不能唯一确定
C．轮船C的位置不能唯一确定，轮船D的位置能唯一确定
D．轮船C的位置不能唯一确定，轮船D的位置不能唯一确定
【答案】C
【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理的应用；
根据题意，海岛B位于海岛A南偏东30°方向30海里处，轮船C和D均在海岛B的正北方向．轮船D与海岛B相距40海里，因此位置唯一确定；轮船C与海岛A相距20海里，且在B的正北方向，求出yC，可知满足条件的点有两个，因此位置不能唯一确定．
【详解】解：如图，海岛A为原点0,0，北为y轴正方向，东为x轴正方向．海岛B在南偏东30°方向30海里处，
∴B点坐标：xB=12AB=15，yB=−302−152=−153．
∵轮船D在海岛B正北方向且距B40海里，
∴D点坐标唯一：xD=15,yD=−153+40．
∵轮船C在海岛B正北方向且距A20海里，设C点坐标为(15,yC)，则152+yC2=202，
∴yC=±57
∴C点有两个可能的位置，位置不能唯一确定，
故选：C．
23．如图，灯塔A位于海岛O的北偏西40°方向，且相距24nmile，一艘船从海岛O出发，以32nmile/h的速度沿北偏东α∘方向航行，经过1小时到达B处，此时A，B相距40nmile，求α的值．
【答案】50°
【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理得出△AOB是直角三角形解答．根据勾股定理的逆定理得出△AOB是直角三角形，进而解答即可．
【详解】解：由题意可得：OA=24nmile，OB=32nmile，AB=40nmile，∠AOP=40°，
∵OA2=242=576，OB2=322=1024，AB2=402=1600，
∴OA2+OB2=AB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴∠AOB=90°，
∴α=∠BOP=90°−40°=50°．
24．如图，A，B分别是两个港口，C，D是海上两座小岛景点，D在A正北方向20千米处，C在D北偏东60°方向， CD=30千米，A在B的南偏西60°方向，且C在B北偏西75°方向．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
(1)求港口B和小岛C的距离为多少千米（结果保留小数点后一位）；
(2)一艘货船从A港口出发沿AB前往B港口，同时一艘观光船也从A港口出发，沿路线A−D−C前往小岛C，货船的速度与观光船的速度之比为4:3，出发1.5小时后观光船在由D到C的途中且离A港口的直线距离与离货船的直线距离正好相等．求货船从A港口出发多少小时后到达B港口（结果保留小数点后一位）．
【答案】(1)24.5
(2)2.1
【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，运用了三角函数，并巧妙运用了两个直角三角形的公共边AM．
（1）根据题意证得AB∥CD，求得过点C作CE⊥AB，交AB于E，过点D作DF⊥AB，交AB于F，∠DAF=60°，∠CBE=45°，结合直角三角形利用三角函数即可解答；
（2）设货船速度为4x，观光船速度为3x， 过M作MN⊥AD于N，MF⊥AB于F
根据行程关系，利用两个直角三角形的公共边AM，结合勾股定理列方程求出x，用路程除以速度即可解答．
【详解】（1）解：∵D在A正北方向20千米处，C在D北偏东60°方向， CD=30千米，A在B的南偏西60°方向，且C在B北偏西75°方向，
∴AD=20，AB∥CD，∠CBE=45°，
过点C作CE⊥AB，交AB于E，过点D作DF⊥AB，交AB于F，
则∠AFD=∠CEB=90°，
∴∠CDF=90°，
∴∠ADF=180°−90°−60°=30°，
则∠DAF=90°−30°=60°，AF=12AD=10，EF=DC=30（千米），
∴DF=CE=AD⋅sin∠DAF=20×sin60°=20×32=103（千米），
∵∠CBE=45°，
∴△CBE是等腰直角三角形，
∴EB=CE=103（千米），
∴BC=CEsin∠CBE=103sin45°=103×2=106≈24.5（千米）
答：港口B和小岛C的距离为24.5千米．
（2）设货船速度为4x，观光船速度为3x，
出发1.5小时后：货船行驶的路程4x×1.5=6x
即货船在AB上的位置距A点6x千米
观光船行驶的路程：3x×1.5=4.5x，
因AD=20故观光船在DC上距D点的距离为4.5x−20（记该点为M），
观光船M在由D到C的途中且离A港口的直线距离与离货船E的直线距离正好相等．
即MA=ME，AE=6x，
∴△AME是等腰三角形，
过M作MN⊥AD于N，MF⊥AB于F，
则AF=EF=12AE=3x，
由（1）得MF=103，
在Rt△DMN中，∠NDM=60°，DM=4.5x−20，则：
DN=DM⋅cs60°=12(4.5x−20)，
MN=DM⋅sin60°=32(4.5x−20)，
AN=AD+DN=20+12(4.5x−20)=10+2.25x，
在Rt△AMN中AM2=MN2+AN2=32(4.5x−20)2+10+2.25x2，
在Rt△AMF中AM2=MF2+AF2=1032+3x2，
∴32(4.5x−20)2+10+2.25x2=1032+3x2，
化简得x−42=649，
解得x=203或43，
x=203×4.5=30>20
∵43×4.5=62.5，
∴可以安全通过．
26．如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为8m，宽为1.3m．该隧道内设双向行驶的车道（共有2条车道），且中间有一条宽为1m的绿化带（两条车道各占用0.5m．一辆卡车装满货物后，高为3.6m，宽为2.5m，它能否通过该隧道？说明理由．
【答案】能，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．利用勾股定理求得BC，利用车宽求此时隧道壁离地面的高度，与车高比较即可．
【详解】解：如图，根据题意得：AB⊥OC，OC=2.5+0.5=3m,OB=4m，AC=1.3m，
由勾股定理得BC=OB2−OC2=7m，
∴AB=7+1.3m，
∵7≈2.65，
∴7+1.3=3.95>3.6，
∴能通过．
27．为了求出湖两岸A，B两点之间的距离，观测者小林在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形∠B=90°，如图所示，通过测量得AC长为10m，BC长为8m，求出图中A、B两点之间的距离．
【答案】A、B两点之间的距离是6m．
【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，关键是明确直角三角形的直角顶点（∠B=90°），从而确定直角边与斜边，再利用勾股定理的变形公式（已知斜边和一条直角边求另一条直角边）进行计算．
题目中△ABC是直角三角形且∠B=90°，根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即AB2+BC2=AC2．要求A、B两点间的距离即求AB的长度，已知AC=10m，BC=8m，需将已知数值代入勾股定理公式，通过移项、开方计算出AB的长度．
【详解】解：∵△ABC是直角三角形且∠B=90°，
∴AB和BC为直角边，AC为斜边．
根据勾股定理可得：AB2+BC2=AC2．
∵AC=10m，BC=8m，将其代入上述公式，可得：
AB2+82=102，
AB2=102−82=100−64=36，
由于线段长度为正数，得：
AB=36=6m．
故A、B两点之间的距离是6m．
28．如图，为修筑铁路需凿通隧道AC，现测量出∠ACB=90°，AB=6km，BC=4.8km．若每天凿隧道200m，则需要 天才能把隧道AC凿通．
【答案】18
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理求出AC的长，即可解决问题．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AB=6km，BC=4.8km，
∴AC=AB2−BC2=62−4.82=3.6(km)=3600m，
∴3600÷200=18（天)，
即需要18天才能将隧道AC凿通，
故答案为：18．
29．如图所示为一楼梯的侧面示意图，其中垂直高度BC=5米，斜边长AB=13米，楼梯的宽度为3米．现需在楼梯的所有台阶表面铺设地毯，要求地毯完全覆盖每个台阶的水平踏面和垂直竖面，则铺设整个楼梯至少需要 平方米的地毯．
【答案】51
【分析】本题考查勾股定理的应用．根据勾股定理求出AC的长度，再计算出楼梯铺地毯的总长度，进而求出所铺地毯的面积即可．
【详解】解：在△ABC中，∠ACB=90°，BC=5米，AB=13米，
由勾股定理得，AC=AB2−BC2=132−52=12米，
在楼梯上铺地毯需要的长度为AC+BC=12+5=17米，
需要铺地毯的面积为17×3=51平方米，
故答案为：51．
30．如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于5cm,3cm和1cm，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为 cm．
【答案】13
【分析】考查了利用台阶的平面展开图求最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题关键．只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个长方形，蚂蚁要从A点到B点的最短距离，便是长方形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．
【详解】解：将台阶展开，如下图，
因为AC=3×3+1×3=12cm,BC=5cm，
所以AB2=AC2+BC2=169，
所以AB=13cm，
所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm．
故答案为：13．
31．如图是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是20cm，每个台阶的高度是15cm，则A，B两点之间的距离是（ ）
A．160cmB．150cmC．155cmD．145cm
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边AB的长．
【详解】解：如图，
由题意得：AC=15×6=90cm,BC=20×6=120cm，
故AB=AC2+BC2=150cm，
故选：B．
32．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长13m，高5m的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为4m，地毯的价格为100元/m2，则购买地毯需花费 元．
【答案】6800
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用.
先利用勾股定理求出台阶最上面和最下面的水平距离，再求出需要铺设的地毯面积即可得到答案．
【详解】解：由题意得，台阶最上面和最下面的水平距离为132−52=12m，
∴购买地毯需花费12×4+5×4×100=68×100=6800（元），
故答案为：6800．
33．县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过19m/s．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方30 m的C处，过了2s后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为50m，AC⊥BC，这辆小汽车是否超速？ （填“是”或者“否”）
【答案】是
【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理计算出BC的长度，进而计算出小汽车的速度，即可判断．
【详解】解：由题意知，AC⊥BC，AC=30m，AB=50m，
∴ BC=AB2−AC2=502−302=40m，
∵小汽车从C到B用了2s，
∴小汽车的速度为40÷2=20m/s，
∵ 20>19，
∴小汽车是超速，
故答案为：是．
34．如图，已知某高速公路限速100km/h，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线l上的点C处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪C处正前方50 m的B处，经过4 s后，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离AC为130 m．
(1)求AB的距离；
(2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据1 m/s=3.6km/h）
【答案】(1)120米
(2)大巴车超速了
【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，熟练掌握勾股定理是关键．
（1）由勾股定理求出线段AB长度即可得到答案；
（2）先计算出大巴车的速度，将速度化为 km/h，与高速公路限速100km/h比较即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可知，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=50m，AC=130m，则由勾股定理可得AB=AC2−BC2=1302−502=120 m，
∴AB的距离为120 米；
（2）解：大巴车的速度为120÷4=30m/s，
则30m/s=30×3.6km/h=108km/h，
∵108 km/h>100 km/h，
∴大巴车超速了．
35．如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，AC=40米，AB=30米．
(1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？
(2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？
【答案】(1)两赛车之间的距离是30米
(2)当两赛车的距离之和为35米时，遥控信号将会产生干扰
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据题意求得CC1=16米，BB1=12米，得到 AC1=24米，AB1=18米，根据勾股定理即可得到结论；
（2）设出发t秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，
出发4秒钟时，CC1=4×4=16米，BB1=3×4=12米
∵AC=40米，AB=30米
∴AC1=24米，AB1=18米
∴B1C1=242+182=30（米）
答：两赛车之间的距离是30米．
（2）解：设出发t秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米，
由题意得，40−4t+30−3t=35，解得t=5
此时AC1=20,AB1=15，
此时B1C1=C1A2+B1A2=202+152=25，
即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰，
答：当两赛车的距离之和为35米时，遥控信号将会产生干扰．
36．行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速40km/h，小明尝试用自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点P到该路段l的距离（OP的长）为40米，测得一辆汽车从A处匀速行驶到B处用时3秒，∠APO=60°,∠BPO=45°．试通过计算判断此车是否超速？（3≈1.7,2≈1.4）
【答案】未超速，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理、含30度角直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键．
先求出OB=OP=40，∠PAO=90°−∠APO=30°，则AP=2OP=80，可求出AO=AP2−OP2=403，继而求出AB=OA−OB=403−40≈28．可得此车的速度为283m/s，即可解答．
【详解】解：在Rt△BPO中，OP=40,∠BPO=45°，
∴Rt△BPO是等腰直角三角形，
∴OB=OP=40，
在Rt△BPO中，∠APO=60°，
∴∠PAO=90°−∠APO=30°，
∴AP=2OP=80，
∴AO=AP2−OP2=403，
AB=OA−OB=403−40≈28．
∴此车的速度为283m/s．
∵40km/h=1009m/s，283