第20章 勾股定理 专题 利用勾股定理解决最短路径问题 专项训练 2025-2026学年人教版数学八年级下册+答案

这是一份第20章 勾股定理 专题 利用勾股定理解决最短路径问题 专项训练 2025-2026学年人教版数学八年级下册+答案，文件包含专题利用勾股定理解决最短路径问题原卷版docx、专题利用勾股定理解决最短路径问题解析版docx、专题利用勾股定理解决最短路径问题答案版docx等3份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。
专题 利用勾股定理解决最短路径问题 详解详析 1.A 【解析】将圆柱体侧面沿A点所在直线展开如答案图，点A，B的最短距离为线段AB的长，由题意可得  AC=102=5，BC＝12，∴AB的长为  52+122=13，则蚂蚁爬的最短路线长为13． 答案图 2.D 【解析】如答案图，沿AB剪开，展开圆柱的侧面，这只蚂蚁爬行的最小长度为AC+A'C，由题意知AC＝A'C，AB＝8dm，BC＝8dm，∠B＝90°，由勾股定理，得AC =AB2+BC2=82+82=82（dm），∴A'C =82（dm），∴这只蚂蚁爬行的最小长度为 162dm． 答案图 3.A 【解析】如答案图，底面圆周长为4πcm，底面半圆弧长为2πcm≈6cm，展开得BC＝6cm，AC＝6cm，在Rt△ABC中，根据勾股定理得AB =AC2+BC2=62+62=6 2（cm）． 答案图 4.B 【解析】如答案图所示，因为油罐的半径是2 m，所以油罐的地面周长为4  π=12m，又因为AB＝5 m，即展开图中BC=5m，所以AB2=AC2+BC2=122+52=132，所以AB=13m，所以梯子最短需要13米． 答案图 5.C 【解析】如答案图，作点 N关于右侧管口的对称点 N1，连接 MN1，由题意得 AM=BC=4cm， BD=13cm， ND=N1D=3cm，∴ CN1=13+3−4=12cm，∵钢管横截面的周长为10cm，∴ MC=5cm，在 Rt△MN1C中，由勾股定理得MN12 =MC2+N1C2=52+122=132，∴小蜘蛛需要爬行的最短距离是13cm． 答案图 6.15 【解析】如答案图，作出点A关于CD的对称点A′，∵圆柱盒高为8cm，点A距离下底面3cm，∴AC＝5cm，∴A′C＝5cm．∵点B是对侧中点，∴BD＝CF＝4cm，∴A′F＝A′C+CF＝5+4＝9（cm）．∵底面圆的周长为24cm，∴BF =12×24＝12cm，∴BA'  =BF2+A′F2=122+92=15（cm）． 答案图 7.13 【解析】如答案图，将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，由题意得A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12(cm)，所以A′B  =A′D2+BD2=52+122=13(cm). 答案图 8.20 【解析】根据题意，得把圆柱体的侧面展开后是长方形，如答案图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在华表柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和，∵底面周长约为  6米，柱身高约  16米，  ∴AD=6米，  BD=12DF=12×16=8(米)，  ∴AB=AE2+AD2=62+82=10(米)，故雕刻在华表柱上的巨龙至少为  10×2=20(米)， 答案图 9.10 10.A 【解析】如答案图①，∵AB＝9，BC＝6，BF＝5，点N为FG的中点，∴BM＝9－3＝6，BN＝5+3＝8，∴ MN=62+82=10；如答案图②，∵AB＝9，BC＝GF＝6，BF＝5，∴PM＝9－3+3＝9，NP＝5，∴ MN=92+52=106，∵ 10＜106，∴它需要爬行的最短路程为10． 11.C 【解析】只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如答案图①，∵长方体的长为20cm，宽为15cm，高为10cm，点B离点C的距离是5cm，∴BD=CD+BC=15+5=20cm，在Rt△ABD中，根据勾股定理得AB =202+102=10 5cm；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如答案图②，在Rt△ABE中，根据勾股定理得AB =152+152=15 2cm；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如答案图③，在Rt△ABC中，根据勾股定理得∴AB =252+52=5  26cm；∵15 2＜10 5＜5  26，∴蚂蚁爬行的最短距离是15 2cm． 12.A 【解析】根据图上数据，展开图如解图所示，根据勾股定理可得AB2＝602＋(60＋20)2＝10000，所以AB＝100(cm)． 　 解图 13.D 【解析】如答案图①，把上面展开到左侧面上，连接  AB，  AB=(10+20)2+62=936=626(cm)；如答案图②，把上面展开到正面上，连接  AB，  AB=(10+6)2+202=656=441(cm)；如答案图③，把侧面展开到正面上，连接  AB，  AB=(20+6)2+102=776=2194(cm)；∵  936＞776＞656=441cm，∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为  441cm． 答案图 14.25 【解析】如答案图①AB  25；如答案图②AB  5  ；如答案图③，AB  5  ，所以需要爬行的最短距离是25.            答案图①                答案图②      答案图③ 15.5 【解析】由题意知盒子底面对角长的平方为62+82=100，盒子的对角线长的平方为100+152=325＜252，故细木棒露在盒外面的最短长度的平方为202﹣325＝75(cm2). 16. 41 【解析】设定字母如答案图①所示：①如答案图②，展开正面和右面后连接AB，则AB就是在表面上从A到B的最短距离，在Rt△ABM中，由勾股定理得，AB  =AM2+BM2=(3+2)2+42=41(cm)；②如答案图③，展开正面和上面后连接AB，则AB就是在表面上从A到B的最短距离，在Rt△ADB中，由勾股定理得，AB  =AD2+BD2=32+(4+2)2=45=3  5(cm)；③如答案图④，展开底面和右面后连接AB，则AB就是在表面上从A到B的最短距离，在Rt△ANB中，由勾股定理得，AB  =AN2+BN2=22+(3+4)2=53(cm)．∵  41＜45＜53，∴蚂蚁爬行的最短路程是  41cm． 答案图 17.10 【解析】将长方体展开，如答案图，连接AB′，∵AA′＝1+3+1+3＝8cm，A′B′＝6cm，根据两点之间线段最短，AB′2 =82+62=100，∴AB′=10cm. 答案图 18.解：如答案图把书架侧面展开， 连接A，B，则爬行最短距离为AB的长， 由图形可知：OA＝30+10＝40（cm）， OB＝40﹣10＝30（cm）， 在Rt△AOB中，AB2=402+302=502， 所以AB=50cm， 所以它爬行的最短距离为50cm． 答案图 19.解：如答案图，将长方体的侧面展开在同一平面内， ∵PA＝2×(8＋4)＝24(cm)，QA＝10 cm，∠A＝90°， ∴PQ＝ 242＋102＝26(cm)， ∵26÷1.5≈17.3，17.3＜20， ∴20s内蚂蚁能爬到Q点． 答案图 20.B 21.C 【解析】如答案图，它运动的最短路程AB  =(2+2)2+(22)2=17(cm). 答案图 22.C 【解析】如答案图，将正方体按如图方式展开，则最短路程为AB的长，由勾股定理，AB  =(1+2)2+12=10． 答案图 23.B 【解析】将为高为5m，坡面长为13m的楼梯，由勾股定理得楼梯的水平宽度的平方为132-52=122，所以水平宽度为12m，因为地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，所以地毯的长度至少是12+5＝17（m）． 24.D 【解析】将三棱柱沿AA′展开，其展开图如答案图，则根据勾股定理AA′2=92+122=152，所以AA′=15（cm）． 答案图 25.C 【解析】将其按如答案图侧面展开，作点C关于AB的对称点F，连接DF，因为中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，所以BC=πR=2.5π≈7.5m，AB=CD=20m，所以CF=15m，在Rt△CDF中，DF2=CF2+CD2=152+202=252，所以DF为25m，故他滑行的最短距离约为25m． 答案图 26. 510 【解析】∵正方体棱长为10，B是侧面正方形的对角线交点，如答案图，过点B作BC⊥AD于点C，∴点B到所在侧面相邻棱的距离  CD=102=5，将包含A，B两点的两个相邻表面展开为平面长方形，∴  AC=AD+CD=10+5=15，  BC=5，在  Rt△ABC中，根据勾股定理，得  AB=AC2+BC2=152+52=510，根据“两点之间，线段最短”可知，从点A爬到点B的最短路径是  510． 答案图 27.5 【解析】如答案图①所示，将正方体正面和右面展开，连接AM，由题意可得，DM=CD＋CM=4，根据两点之间线段最短，在Rt△ADM中，  AM=AB2+CM2=5；如答案图②所示，将正方体正面和上面展开，连接AM，由题意可得，AC=3＋3=6(cm)，根据两点之间线段最短，在Rt△ACM中，  AM=CM2+AC2=37；∵5＜  37，∴一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为5． 答案图①                                         答案图② 28.13 【解析】如答案图，由题意可知，将木块展开，相当于是AB+1个等边三角形的边长，所以长为11+1＝12（m），宽为5cm，根据勾股定理得AC2=52+122=132，所以最短路径为13cm． 答案图 29.13 【解析】如答案图，将台阶展开，∵AC＝3×3+1×3＝12，BC＝5，∴在RT△ACB中，AB2＝AC2+BC2＝169，∴AB＝13(cm)，所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm． 30.解：（1）如答案图①，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段  SF就是蜘蛛走的最短路线， 由题意可得在  Rt△SFN中，  ∠SNF=90°，  FN=18−1−1=16(cm)，  SN=12×60=30(cm)， ∴  SF=SN2+FN2=302+162=34(cm)， ∴蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm． 答案图① （2）设昆虫甲从顶点  C1沿棱  C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径  A→E→F爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒． 如答案图②，在  Rt△ACF中， ∵长方体的棱长  AB=BC=6cm，  AA1=CC1=14cm， ∴  AF=1⋅x=x(cm)，  C1F=1⋅x=x(cm)，  CF=(14−x)cm，  AC=12cm， ∴  x2=122+(14−x)2， 解得  x=857， 答：昆虫乙至少需要  857s才能捕捉到昆虫甲． 答案图②