数学人教版（2024）20.2 勾股定理的逆定理及其应用同步达标检测题

这是一份数学人教版（2024）20.2 勾股定理的逆定理及其应用同步达标检测题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各组数据中，能构成直角三角形的是( )
A. 3， 4， 5B. 6，7，8C. 2，3，4D. 8，15，17
2.由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是 ( )
A. a=7，b=24，c=25B. a= 41，b=4，c=5
C. a=54，b=1，c=34D. a=13，b=14，c=15
3.若一个三角形三边满足(a+b)2−c2=2ab，则这个三角形是( )
A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 以上结论都不对
4.在△ABC中，AB=8，BC=15，AC=17，则下列结论正确的是( )
A. △ABC是直角三角形，且∠A=90°B. △ABC是直角三角形，且∠B=90°
C. △ABC是直角三角形，且∠C=90°D. △ABC不是直角三角形
5.已知△ABC的三边分别是6，8，10，则△ABC的面积是 ( )
A. 24B. 30C. 40D. 48
6.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数学九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里、12里、13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为( )
A. 7.5平方千米B. 15平方千米C. 75平方千米D. 750平方千米
7.如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C分别是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为( )．
A. 90∘B. 60∘C. 45∘D. 30∘
8.在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，若AD是△ABC的高，则AD的长为( )
A. 2 3B. 5C. 3D. 2
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若三边关系为a2+c2=b2，则 是直角．
10.如图，木工师傅要做一个长方形(即四个角都是直角)桌面，做好后量得AB=DC=5m，AD=BC=12m，AC=13m，则这个桌面 (选填“合格”或“不合格”)．
11.某校要对如图所示的一块地进行绿化，已知AD=4m，CD=3m，AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，则这块地的面积为 m2．
12.一根电线杆高12 m，为了安全起见，在电线杆顶部及与电线杆底部水平距离5 m处加一根拉线．拉线工人发现所用线长为13.2 m(不计捆缚部分)，则电线杆与地面 (填“垂直”或“不垂直”)．
13.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点P，A，B，C均在格点上，且点P在线段AC上．∠PAB+∠PBA的度数为 ．
14.边长为7，24，25的△ABC内有一点P到三边的距离相等．则这个距离为 ．
15.如图，AB=5，AC=3，BC边上的中线AD=2，则△ABC的面积为 ．
16.某超市购物车的侧面简化示意图如图所示，测得支架AC=80cm，CB=60cm，两轮中心的距离AB=100cm，则点C到AB的距离是 cm。
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知：在△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm.求证：AB=AC．
18.(本小题8分)
如图，在4×3正方形网格中，每个小正方形的边长都是1
(1)分别求出线段AB、CD的长度；
(2)在图中画线段EF、使得EF的长为 5，以AB、CD、EF三条线段能否构成直角三角形，并说明理由．
19.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a−c)=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x=−1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
20.(本小题8分)
如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．
21.(本小题8分)
如图，等腰三角形ABC的底边BC=10cm，D是腰AB上一点，且CD=8cm，BD=6cm．
(1)求证：△BDC是直角三角形;
(2)求AC的长．
22.(本小题8分)
小明计划制作一架小型飞机模型，如图所示的四边形材料是飞机垂直尾翼，小明测量发现AB=13 cm，AD=5 cm，∠DBC=90°，BC=16 cm，CD=20 cm.根据设计要求需保证AD // BC.请判断该尾翼是否符合设计要求，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
知道三条边的长度，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形是直角三角形；如果不相等，则三角形不是直角三角形．
【解答】
解：A：( 3)2+( 4)2≠( 5)2，不能构成直角三角形，故本选项错误；
B：62+72≠82，不能构成直角三角形，故本选项错误；
C：22+32≠42，不能构成直角三角形，故本选项错误；
D：82+152=172，能构成直角三角形，故本选项正确．
2.【答案】D
【解析】解：解：A、72+242=252，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
B、42+52=( 41)2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
C、12+(34)2=(54)2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D、(14)2+(15)2≠(13)2，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．
故选D．
根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了勾股定理逆定理的运用，是基础知识比较简单．
化简等式，可得a2+b2=c2，由勾股定理逆定理，进而可得其为直角三角形．
【解答】
解：∵(a+b)2−c2=2ab，即a2+b2+2ab−c2=2ab，
∴a2+b2=c2，∴这个三角形是直角三角形．
故选B．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是勾股定理的逆定理，根据题意判断出△ABC的形状是解答此题的关键．
根据勾股定理的逆定理判断即可．
【解答】
解：∵△ABC中，AB=8，BC=15，AC=17，
∴AB2+BC2=82+152=AC2=172，
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查勾股定理的逆定理，关键是根据三边长判断出为直角三角形，然后可求出三角形面积．因为△ABC的三边分别是6，8，10，根据勾股定理的逆定理可求出此三角形为直角三角形，根据三角形面积公式可求出面积．
【解答】
解：∵62+82=102，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积=12×6×8=24．
故选A．
6.【答案】A
【解析】解：∵52+122=132，
∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，
∴这块沙田面积为：12×5×500×12×500=7500000(平方米)=7.5(平方千米)．
故选：A．
直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理.判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，再根据勾股定理的逆定理以及等腰三角形的判定得出△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可求解．
【解答】
解：根据勾股定理可以得到：AC=BC= 5，AB= 10，
∵( 5)2+( 5)2=( 10)2．
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故选C．
8.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，解题关键是根据勾股定理和勾股定理的逆定理证得△ABC是直角三角形.首先根据勾股定理求出△ABC的三边的平方，然后根据勾股定理的逆定理证得△ABC是直角三角形，最后根据三角形的面积公式即可求出AD的长．
【解答】
解：如图，
∵BC2=32+42=25，AC2=12+22=5，AB2=22+42=20，
∴BC2=AC2+AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∵12AB·AC=12AD·BC，
∴12× 5× 20=12×AD× 25，
∴AD=2．
9.【答案】∠B
10.【答案】合格
11.【答案】24
12.【答案】不垂直
13.【答案】45∘
14.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查的知识点是三角形的面积和勾股定理，首先根据三边长确定三角形是直角三角形，再根据题意画出图形，连接AP，BP，CP，根据直角三角形的面积公式即可求得该距离的长．
【解答】
解：∵72+242=252，
∴△ABC是直角三角形，
根据题意画图，如图所示：连接 AP ， BP ， CP.
，
∵点P到三边的距离相等，
设PE=PF=PG=x，
∵S△ABC=12×AB×CB=84，S△ABC=12AB·x+12AC·x+12BC·x=12(AB+AC+BC)·x=12×56x=28x，
则28x=84，
x=3．
故答案为3．
15.【答案】6
16.【答案】48
17.【答案】证明：∵BC=10cm，点D为BC的中点，
∴BD=CD=12BC=5cm．
在△ABD中，AB=13cm，AD=12cm，BD=5cm，
∵52+122=132，即BD2+AD2=AB2，
∴△ABD为直角三角形，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADC=180°−∠ADB=90°．
在△ABD和△ACD中，AD=AD∠ADB=∠ADCBD=CD，
∴△ABD≌△ACD(SAS)，
∴AB=AC．
【解析】由中点的定义可求出BD的长，在△ABD中，利用勾股定理的逆定理可得出△ABD为直角三角形(∠ADB=90°)，由邻补角互补可得出∠ADC=90°，结合AD=AD，BD=CD即可证出△ABD≌△ACD(SAS)，再利用全等三角形的性质可证出AB=AC．
本题考查了勾股定理的逆定理以及全等三角形的判定与性质，利用勾股定理的逆定理，找出∠ADB=90°是解题的关键．
18.【答案】解：(1)AB= 32+22= 13；CD= 22+22=2 2；
(2)如图，EF= 22+12= 5，
∵CD2+EF2=8+5=13，AB2=13，
∴CD2+EF2=AB2，
∴以AB、CD、EF三条线段可以组成直角三角形．
【解析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，充分利用网格是解题的关键．
(1)利用勾股定理求出AB、CD的长即可；
(2)根据勾股定理的逆定理，即可作出判断．
19.【答案】解：(1)△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵x=−1是方程的根，
∴(a+c)×(−1)2−2b+(a−c)=0，
∴a+c−2b+a−c=0，
∴a−b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
(2)△ABC是直角三角形．理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴△=(2b)2−4(a+c)(a−c)=0，
∴4b2−4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形．
【解析】(1)根据方程解的定义把x=−1代入方程得到(a+c)×(−1)2−2b+(a−c)=0，整理得a−b=0，即a=b，于是根据等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形；
(2)根据判别式的意义得到△=(2b)2−4(a+c)(a−c)=0，整理得a2=b2+c2，然后根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△