人教A版 (2019)必修 第二册平面向量的概念精品导学案

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【知识点1 向量的概念】
1．向量的概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．
注：
①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
2．向量的表示法
(1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
(2)向量的表示方法：
①字母表示法：如等.
②几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用
一条有向线段表示向量，通常我们就说向量.
3．向量的有关概念
(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
(2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.
(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(5)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
注：
①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定.
②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
③非零向量与的关系：是与同方向的单位向量.
【知识点2 相等向量与共线向量】
1．向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线.
注：
①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别.
②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
2．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系
(1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等.
(2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点.
(3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等.
3．平行向量有关概念的三个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.
一．平面向量的概念与几何表示（共7小题）
1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
【解答】解：速度、力、加速度和位移都是向量，其它是标量，即向量共4个．
故选：A．
2．以下选项中，都是向量的是（ ）
A．时间、海拔B．质量、位移
C．加速度、体积D．浮力、速度
【答案】D
【解答】解：时间、海拔、质量、体积只有大小没有方向，不是向量；
浮力和速度既有大小又有方向，是向量．
故选：D．
3．若向量OM→=(1，1)，ON→=(-3，-2)分别表示两个力F1→，F2→，则|F1→+F2→|=（ ）
A．10B．25C．5D．15
【答案】C
【解答】解：由题意，向量OM→=(1，1)，ON→=(-3，-2)分别表示两个力F1→，F2→，
可得F1→+F2→=OM→+ON→=(1，1)+(-3，-2)=(-2，-1)，
所以|F1→+F2→|=(-2)2+(-1)2=5．
故选：C．
4．下列说法正确的是（ ）
①有向线段三要素是始点、方向、长度
②向量两要素是大小和方向
③同向且等长的有向线段表示同一向量
④在平行四边形ABCD中，AB→=DC→．
A．①B．①②C．①②③D．①②③④
【答案】D
【解答】解：①始点、方向、长度可以确定一条有向线段；
即有向线段三要素是始点、方向、长度，∴该说法正确；
②根据向量的定义知，向量的两要素是大小和方向，∴该说法正确；
③根据向量的定义知同向且等长的有向线段表示同一向量，∴该说法正确；
④∵|AB→|=|DC→|，且AB→与DC→方向相同，∴AB→=DC→；
∴该说法正确．
故选：D．
5．请写出与向量a→=(-3，4)反向的单位向量： (35，-45) ．（用坐标表示）
【答案】(35，-45)．
【解答】解：根据题意，设所求向量为b→=(x，y)，
由题可知：﹣3y＝4x且x2+y2=1，解得：x=-35y=45或x=35y=-45，
又与a→反向，所以所求向量坐标为(35，-45)．
故答案为：(35，-45)．
6．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，且满足BE→=EC→，DF→=2FC→，记AB→=a→，AD→=b→，则向量BF→= b→-13a→ （用a→，b→来表示）；若|AB→|=3，|AD→|=2，且|BF→|=3，则|DE→|= 7 ．
【答案】b→-13a→，7．
【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，BE→=EC→，DF→=2FC→，
∴BF→=BC→+CF→=AD→+13CD→=AD→-13AB→=b→-13a→，
∵BF→=b→-13a→，∴BF→2=b→2+19a→2-23a→⋅b→，
∵|AB→|=3，|AD→|=2，且|BF→|=3，
∴3＝4+1-23×2×3cs∠BAD，∴cs∠BAD=12，
∵DE→=DC→+CE→=AB→+12CB→=a→-12b→，
∴DE→2=a→2+14b→2-a→•b→=9+1﹣3×2×12=7，
∴|DE→|=7．
故答案为：b→-13a→，7．
7．给出下列命题：
①若a→，b→同向，则有|b→+a→|=|b→|+|a→|；
②a→+b→与|a→|+|b→|表示的意义相同；
③若a→，b→不共线，则有|a→+b→|＞|a→|+|b→|；
④|a→|＜|a→|+|b→|恒成立；
⑤对任意两个向量a→，b→，总有|a→+b→|≤|a→|+|b→|；
⑥若三向量a→，b→，c→满足a→+b→+c→=0→，则此三向量围成一个三角形．
其中正确的命题是 ①⑤ （填序号）
【答案】①⑤．
【解答】解：由向量加法的三角不等式对于任意向量都有|a→+b→|≤|a→|+|b→|（其中当a→，b→中有一个为0→或a→，b→同向时不等式取等），
可以判断①⑤正确，③④错误，②中a→+b→是向量，|a→|+|b→|表示模，是数量，意义不同，故错误，
⑥中当a→=b→=c→=0→时，三向量围不成一个三角形，故错误，
故答案为：①⑤．
二．平面向量的模（共13小题）
8．已知向量a→=(2，3)，b→=(1，0)，|a→+tb→|=3，则t＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【答案】A
【解答】解：由题可得：a→+tb→=(2，3)+(t，0)=(2+t，3)，
因为|a→+tb→|=3，
所以(2+t)2+9=3，即（2+t）2＝0，
解得t＝﹣2．
故选：A．
9．在四边形ABCD中，AB→=DC→，则“|AB→-AD→|=|AB→+AD→|”是“四边形ABCD是正方形“的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：因为在四边形ABCD中，AB→=DC→，所以AB∥CD且AB＝CD，所以四边形ABCD为平行四边形，
由向量加减运算的几何意义知，若|AB→-AD→|=|AB→+AD→|，等价于对角线BD与AC相等，等价于平行四边形ABCD为矩形，
由矩形与正方形的关系知，“|AB→-AD→|=|AB→+AD→|”是“四边形ABCD是正方形“的必要不充分条件．
故选：B．
10．已知向量AB→=(3，m)，AC→=(1，3)，且|AB→+AC→|=|AB→-AC→|，则△ABC的面积为（ ）
A．23B．33C．43D．63
【答案】A
【解答】解：因为|AB→+AC→|=|AB→-AC→|，
所以AB→2+2AB→⋅AC→+AC→2=AB→2-2AB→⋅AC→+AC→2，
化简得AB→⋅AC→=0，所以AB⊥AC，
又因为AB→=(3，m)，AC→=(1，3)，
所以AB→⋅AC→=3+3m=0，解得m=-3，
所以AB→=(3，-3)，
则|AB→|=32+(-3)2=23，|AC→|=1+3=2，
所以△ABC的面积为S=12×|AB→|⋅|AC→|=12×23×2=23．
故选：A．
11．已知向量a→，b→满足|a→|＝2，|a→+b→|＝5，则|b→|的取值范围是（ ）
A．[2，5]B．[2，7]C．[3，5]D．[3，7]
【答案】D
【解答】解：根据三角不等式，|b→|-|a→|≤|a→+b→|≤|a→|+|b→|，
整理得3≤|b→|≤7，即|b→|的取值范围是[3，7]．
故选：D．
12．已知a→，b→均为非零向量，其夹角为θ，则“sinθ＝0”是“|a→+b→|＝|a→|﹣|b→|”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解答】解：若sinθ＝0，结合a→，b→夹角的取值范围是[0，π]，可得θ＝0或π，
当θ＝0时，则a→，b→同向共线，则|a+b|=|a→|+|b→|，可知充分性不成立，
若非零向量a→，b→满足|a→+b→|=|a→|-|b→|，则a→、b→反向共线，
此时θ＝π，必有sinθ＝0，可知必要性成立．
综上所述，“sinθ＝0”是“|a→+b→|=|a→|-|b→|”的必要不充分条件．
故选：C．
13．在四边形ABCD中，已知AB→=-CD→，|AD→-AB→|=|AD→|，∠ABD＝60°，则四边形ABCD一定是（ ）
A．等腰梯形B．正方形C．矩形D．菱形
【答案】D
【解答】解：因为|AD→-AB→|=|BD→|=|AD→|，∠ABD＝60°，
所以△ABD是等边三角形，
因为AB→=-CD→，即AB→=DC→，所以四边形ABCD是平行四边形．
则|AB→|=|AD→|，所以四边形ABCD是菱形．
故选：D．
14．若△ABC的三个内角均小于120°，点M满足∠AMB＝∠AMC＝∠BMC＝120°，则点M到三角形三个顶点的距离之和最小，点M被人们称为费马点．根据以上性质，已知a→是平面内的任意一个向量，向量b→，c→满足b→⊥c→，且|b→|=3，|c→|=3，则|a→-b→|+|a→-c→|+|a→+c→|的最小值是（ ）
A．9B．43C．6D．33
【答案】C
【解答】解：△ABC的三个内角均小于120°，点M满足∠AMB＝∠AMC＝∠BMC＝120°，则点M到三角形三个顶点的距离之和最小，点M被人们称为费马点．
根据以上性质，已知a→是平面内的任意一个向量，向量b→，c→满足b→⊥c→，且|b→|=3，
设OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，
以AB所在的直线为x轴，以过C与x轴垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，
由题意设A（x，y），B（3，0），C(0，3)，D(0，-3)，
则a→-b→=OA→-OB→=(x-3，y)，a→-c→=OA→-OC→=(x，y-3)，a→+c→=OA→+OC→=(x，y+3)，
所以|a→-b→|+|a→-c→|+|a→+c→|=(x-3)2+y2+x2+(y-3)2+x2+(y+3)2，
|a→-b→|+|a→-c→|+|a→+c→|=(x-3)2+y2+x2+(y-3)2+x2+(y+3)2=|AB|+|AC|+|AD|，
因为△BCD为等边三角形，由题意，等边△BCD的费马点为△BCD的中心，
此时|AB|+|AC|+|AD|取最小值，
所以(|AB|+|AC|+|AD|)min=23|OB|×3=6．
故选：C．
15．已知向量a→和b→，下列说法正确的是（ ）
A．若a→和b→反向，则a→=-b→
B．若a→和b→同向且|a→|＞|b→|，则a→＞b→
C．|a→+b→|≤|a→|+|b→|
D．|a→•b→|＝|a→||b→|
【答案】C
【解答】解：若a→和b→反向，所以a→=λb→(λ＜0)，故A错误；
向量不能比较大小，故B错误；
因为|a→+b→|2=a→2+b→2+2a→⋅b→≤a→2+b→2+2|a→||b→|=(|a→|+|b→|)2，
所以|a→+b→|≤|a→|+|b→|，故C正确；
|a→⋅b→|=|a→||b→||csθ|，故D错误．
故选：C．
16．已知向量AB→=(x，2)，BC→=(2，1)．若AB→∥BC→，则|AC→|=（ ）
A．4B．25C．5D．35
【答案】D
【解答】解：因为向量AB→=(x，2)，BC→=(2，1)，
因为AB→∥BC→，
所以x2=21，解得x＝4，
即AB→=（4，2），
所以AC→=AB→+BC→=（6，3），
所以|AC→|=62+32=35．
故选：D．
17．已知向量AB→与a→=(6，-8)的夹角为π，且|AB→|=|a→|，若点A的坐标为（﹣1，2），则点B的坐标为（ ）
A．（﹣7，10）B．（7，10）C．（5，﹣6）D．（﹣5，6）
【答案】A
【解答】解：由题意知AB→与a→的长度相等，方向相反，
所以AB→=-a→=(-6，8)，
又因为A（﹣1，2），
设B（x，y），则AB→=(x+1，y-2)=(-6，8)，
所以x+1=-6y-2=8，解得x=-7y=10，即B（﹣7，10）．
故选：A．
18．已知向量a→=(4，3)，则a→的单位向量a0→的坐标为 (45，35) ．
【答案】(45，35)．
【解答】解：∵向量a→=(4，3)，
∴a→的单位向量a0→的坐标为a→|a→|=15(4，3)=(45，35)．
故答案为：(45，35)．
19．已知向量a→=(2，1)，b→=(-3，1)，①(a→+b→)⊥a→；②|a→+2b→|=6；③向量a→在向量b→上的投影向量是(-65，25)；④(255，55)是向量a→的单位向量，则以上命题正确的有 2 个．
【答案】2．
【解答】解：a→+b→=(-1，2)，所以(a→+b→)⋅a→=-1×2+2×1=0，所以(a→+b→)⊥a→，故①正确；
a→+2b→=(-4，3)，所以|a→+2b→|=16+9=5，故②错误；
a→⋅b→=2×(-3)+1×1=-5，|b→|=10，|a→|⋅a→⋅b→|a→||b→|⋅b→|b→|=(a→⋅b→)⋅b→|b→|2=-5(-3，1)10=(32，-12)，故③错误；
a→|a→|=(2，1)5=(255，55)，所以(255，55)是a→的单位向量，故④正确；
所以正确的个数为2个．
故答案为：2．
20．已知向量a→与b→的夹角为π6，且|a→|=2，|b→|=3．
（1）|a→-b→|；
（2）求向量a→-b→与向量a→的夹角．
【答案】（1）1；（2）π3．
【解答】解：（1）由向量a→与b→的夹角为π6，且|a→|=2，|b→|=3．，得a→⋅b→=|a→||b→|csπ6=2×3×32=3；
所以|a→-b→|=|a→-b→|2=|a→|2+|b→|2-2a→⋅b→=4+3-2×3=1，
即|a→-b→|=1；
（2）记向量a→-b→与向量a→的夹角为θ，
结合（1）可得csθ=(a→-b→)⋅a→|a→-b→||a→|=12，
又θ∈[0，π]，因此可得θ=π3．
即向量a→-b→与向量a→的夹角为π3．
三．平面向量中的零向量与单位向量（共12小题）
21．与向量a→=（﹣3，4）反向的单位向量是（ ）
A．b→=(35，-45)B．b→=(-35，45)
C．b→=(45，-35)D．b→=(-45，35)
【答案】A
【解答】解：设与向量a→=（﹣3，4）反向的单位向量是b→，
则b→=-a→|a→|=-1(-3)2+42⋅(-3，4)=(35，-45)．
故答案为：A．
22．设a→，b→都是非零向量，下列四个条件，使用a→|a→|=b→|b→|成立的充要条件是（ ）
A．a→与b→同向B．a→=2b→C．a→∥b→且|a→|=|b→|D．a→=b→
【答案】A
【解答】解：a→|a→|，b→|b→|分别表示与a→，b→同向的单位向量，
若使得a→|a→|=b→|b→|，则根据向量等的条件可知，a→与b→必须方向相同，
故使其成立的充要条件是a→与b→同向．
故选：A．
23．下列命题正确的是（ ）
A．平面内所有的单位向量都相等
B．模为0的向量与任意非零向量共线
C．平行向量不一定是共线向量
D．若a→，b→满足|a→|＞|b→|，且a→，b→同向，则a→＞b→
【答案】B
【解答】解：A．单位向量的方向可能不同，所以所有的单位向量不相等，A错误；
B．零向量和任何非零向量共线，B正确；
C．平行向量一定是共线向量，C错误；
D．向量不能比较大小，D错误．
故选：B．
24．已知点A（2，3），B（﹣1，7），则与向量AB→方向相反的单位向量为（ ）
A．(-35，45)B．(35，-45)C．(-45，35)D．(45，-35)
【答案】B
【解答】解：由题可得：AB→=(-3，4)，且|AB→|=5，
故所求向量为：-1|AB→|⋅AB→=-15(-3，4)=(35，-45)．
故选：B．
25．以下说法正确的是（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．零向量没有方向
C．共线向量又叫平行向量
D．若向量a→和b→都是单位向量，则a→=b→
【答案】C
【解答】解：长度相等且方向相同的两个向量相等，与它们的起点和终点无关，故A错误；
零向量的方向是任意的，不是没有方向，故B错误；
共线向量又叫平行向量，故C正确；
若向量a→和b→都是单位向量，则|a→|=|b→|，故D错误．
故选：C．
26．判断下列各命题的真假：①向量a→与b→平行，则a→与b→的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段．其中假命题的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解答】解：对于①：因为零向量的方向是任意的且零向量与任何向量共线，
故当a→与b→中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故为假命题；
对于②：两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故为真命题；
对于③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故为假命题；
对于④：向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故为假命题；
综上，①③④为假命题，共有3个．
故选：B．
27．已知a→=（5，4），b→=（3，2），则与2a→-3b→平行的单位向量为（ ）
A．（55，255）
B．（55，255）或（-55，-255）
C．（55，-255）或（-55，255）
D．（-55，-255）
【答案】B
【解答】解：∵a→=（5，4），b→=（3，2），
∴2a→-3b→=（1，2），
∴|2a→-3b→|=12+22=5，
则与2a→-3b→平行的单位向量为±1|2a→-3b→|⋅（2a→-3b→）=±55(1，2)，
化简得，(55，255)或(-55，-255)．
故选：B．
28．下列命题中，正确命题的个数是（ ）
①单位向量都共线；
②长度相等的向量都相等；
③共线的单位向量必相等；
④与非零向量a→共线的单位向量是±a→|a→|．
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解答】解：向量既有大小也有方向，
∴单位向量的方向不相同或相反便不共线，∴命题①错误；
长度相等而方向不同的向量不相等，∴命题②错误；
共线的单位向量方向不相同的也不相等，∴命题③错误；
与非零向量a→共线的单位向量是：±a→|a→|，∴命题④正确．
故选：B．
（多选）29．下列结论错误的是（ ）
A．单位向量都相等
B．e1→=(-1，2)，e2→=(4，8)能作为平面向量的一组基底
C．在边长为1的等边△ABC中，AB→⋅BC→=12
D．两个非零向量a→，b→，若|a→-b→|=|a→|+|b→|，则a→与b→共线且反向
【答案】AC
【解答】解：单位向量的方向不同时不相等，A错误；
若e1→与e2→共线，则（4，8）＝λ（﹣1，2），则-λ=42λ=8，无解，所以e1→与e2→不共线，可以作为一组基底，B正确；
|AB→|=|BC→|=1，＜AB→，BC→＞=2π3，所以AB→⋅BC→=1×1×(-12)=-12，C错误；
a→，b→都是非零向量，满足|a→-b→|=|a→|+|b→|，则a→，b→的方向相反，D正确．
故选：AC．
30．与a→=（5，﹣12）垂直的单位向量的坐标为 (1213，513)或(-1213，-513) ．
【答案】(1213，513)或(-1213，-513)．
【解答】解：设与a→=(5，-12)垂直的单位向量的坐标为b→=(x，y)，
则5x-12y=0x2+y2=1，解得x=1213y=513或x=-1213y=-513，
故答案为：(1213，513)或(-1213，-513)．
31．下列说法中，正确的序号是 ①③ ．
①零向量都相等；
②任一向量与它的平行向量不相等；
③若四边形ABCD是平行四边形，则AB→=DC→；
④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同．
【答案】①③．
【解答】解：对于①：因为零向量的长度都为0，且其方向任意，所以零向量都相等，故①正确；
对于②：平行向量的方向可以相同，且大小也可以相等，所以任一向量与它的平行向量可能相等，故②错误；
对于③：四边形ABCD是平行四边形，所以AB→与DC→的方向相同，且长度相等，所以AB→=DC→，故③正确；
对于④：根据共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，所以④错误．
故答案为：①③．
32．已知点A（2，2），B（﹣1，﹣2），则与向量AB→同方向的单位向量为 (-35，-45) ．
【答案】(-35，-45)．
【解答】解：由题意，|AB|→=(-3)2+(-4)2=5，
则与向量AB→同方向的单位向量为AB→|AB→|=(-35，-45)．
故答案为：(-35，-45)．
四．平面向量的相等向量（共9小题）
33．已知点O是矩形四边形ABCD的对角线的交点，下列结论错误的是（ ）
A．OA→+OC→=0→B．|AC→|=|BD→|C．OD→∥BO→D．AB→=CD→
【答案】D
【解答】解：如图所示，
OA→，OC→为相反向量，则OA→+OC→=0→，故A正确；
在矩形ABCD中，|AC|＝|BD|，所以|AC→|=|BD→|，故B正确；
如图所示，OD→，BO→为相等向量，则OD→∥BO→，故C正确；
如图所示，则AB→=-CD→，故D错误．
故选：D．
34．设a→，b→为两个非零向量，则“a→=2023b→”是“a→|a→|=b→|b→|”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：因为a→=2023b→，所以a→，b→同向共线，所以a→|a→|=b→|b→|，
因为a→|a→|=b→|b→|，所以a→，b→同向共线，此时a→=2023b→不一定成立，
所以“a→=2023b→”是“a→|a→|=b→|b→|”的充分不必要条件．
故选：A．
35．已知四边形ABCD，则“四边形ABCD是平行四边形”是“AB→=DC→”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：由于“四边形ABCD是平行四边形”，所以AB＝DC且AB∥DC，即AB→=DC→，反之也成立，
故“四边形ABCD是平行四边形”是“AB→=DC→”充要条件．
故选：A．
（多选）36．关于平面向量a→，b→，c→，下列说法正确的是（ ）
A．若a→∥b→，b→∥c→，则a→∥c→
B．若向量b→，c→不共线，对于平面内任一向量a→，都存在唯一实数λ，μ使a→=λb→+μc→
C．若a→，b→不相等，则a→，b→一定不共线
D．若|a→+b→|=|a→-b→|，则a→⊥b→
【答案】BD
【解答】解：A：当b→=0→，可满足a→∥b→，b→∥c→，但不一定得到a→∥c→，故A错误；
B：根据平面向量基本定理知道B正确；
C：当a→=-b→时，a→与b→不相等，但a→与b→共线，故C错误；
D：由|a→+b→|=|a→-b→|，两边同时平方得a→2+2a→⋅b→+b→2=a→2-2a→⋅b→+b→2，解得a→⋅b→=0，即a→⊥b→，故D正确．
故选：BD．
（多选）37．下列结论中错误的为（ ）
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B．向量AB→与向量BA→的长度相等
C．对任意向量a→，a→|a→|是一个单位向量
D．零向量没有方向
【答案】ACD
【解答】解：对于A：由单位向量的定义可知，单位向量是模为1的向量，方向不一定相同，故A错误；
对于B：由相反向量的定义，向量AB→与向量BA→的长度相等，故B正确；
对于C：当向量a→=0→时，不满足，故C错误；
对于D：零向量是定义大小为0，方向任意，故D错误．
故选：ACD．
（多选）38．下列说法正确的是（ ）
A．我们把既有大小又有方向的量叫作向量
B．单位向量是相等向量
C．零向量与任意向量平行
D．向量的模可以比较大小
【答案】ACD
【解答】解：对于A，根据向量的定义知A正确；
对于B，单位向量是长度为1的向量，方向不确定，故不一定是相等向量，B错误；
对于C，零向量与任意向量平行，C正确；
对于D，向量的模长是实数，故向量的模可以比较大小，D正确．
故选：ACD．
（多选）39．下列命题中正确的是（ ）
A．单位向量的模都相等
B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大
D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
【答案】AD
【解答】解：根据单位向量的概念可知，单位向量的模都相等且为1，故A正确；
根据共线向量的概念可知，长度不等且方向相反的两个向量是共线向量，故B错误；
向量不能够比较大小，故C错误；
根据相等的向量的概念可知，两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故D正确．
故选：AD．
40．已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，三个顶点A（4，2），B（2，4），C（1，2）．则顶点D的坐标 （2，1） ．
【答案】（2，1）．
【解答】解：∵在梯形ABCD中，AB＝2DC，AB∥CD，A（4，2），B（2，4），C（1，2）．
∴AB→=2DC→．设点D的坐标为（x，y）．
则DC→=(1-x，2-y)，AB→=(-2，2)．
∴（﹣2，2）＝2（1﹣x，2﹣y），即（﹣2，2）＝（2﹣2x，4﹣2y），
∴2-2x=-2，4-2y=2，解得x=2，y=1.故点D的坐标为（2，1）．
故答案为：（2，1）．
41．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA→相等的向量有 3 个．
【答案】3．
【解答】解：根据正六边形的性质和相等向量的定义知，与向量OA→相等的向量有DO→，CB→，EF→，共3个．
故答案为：3．
五．平面向量的平行向量（共19小题）
42．已知向量a→，b→不共线，AB→=λa→+b→，AC→=a→+μb→，其中λ＞0，μ＞0，若A，B，C三点共线，则λ+4μ的最小值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【解答】解：∵A，B，C三点共线，∴AB→与AC→共线，
∴存在实数k，使AB→=kAC→，即λa→+b→=k(a→+μb→)，
又向量a→，b→不共线，∴λ=k1=μk⇒λμ=1，
由λ＞0，μ＞0，∴λ+4μ≥24λμ=4，
当且仅当λ＝4μ时，取“＝”号．
故选：B．
43．已知e1→，e2→是两个不共线的向量，且向量xe1→+3e2→，e1→+ye2→同向，则x+2y的最小值为（ ）
A．12B．6C．26D．6
【答案】C
【解答】解：由向量xe1→+3e2→，e1→+ye2→同向，e1→，e2→是两个不共线的向量，
得x1=3y，且x＞0，y＞0，则xy＝3，
因此x+2y≥22xy=26，当且仅当x=6，y=62时取等号，
所以x+2y的最小值为26．
故选：C．
44．已知0＜θ＜π，向量a→=(sinθ，2cs2θ2)，b→=(1，sinθ)，且a→∥b→，则θ＝（ ）
A．π4B．π3C．π2D．2π3
【答案】C
【解答】解：向量a→=(sinθ，2cs2θ2)，b→=(1，sinθ)，且a→∥b→，
则2cs2θ2=sin2θ，
故2cs2θ2-1=sin2θ-1，变形可得csθ＝﹣cs2θ，解得csθ＝0或csθ＝﹣1，
又0＜θ＜π，则必有csθ=0，θ=π2．
故选：C．
45．在四边形ABCD中，若AB→=-13CD→，则四边形ABCD为（ ）
A．平行四边形B．梯形
C．菱形D．矩形
【答案】B
【解答】解：因为AB→=-13CD→，且ABCD为四边形，
则AB∥CD，且AB=13CD，
所以四边形ABCD是梯形．
故选：B．
46．设平面向量a→与b→不共线，k，s∈R，则“a→+kb→与sa→+2b→共线”是“sk＝2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解答】解：平面向量a→与b→不共线，所以a→+kb→与sa→+2b→均不为零向量，
根据向量共线定理，“a→+kb→与sa→+2b→共线”⇔存在λ（λ≠0），
使得a→+kb→=λ（sa→+2b→）⇔1=λsk=2λ⇔2λ＝kλs⇔ks＝2，
则“a→+kb→与sa→+2b→共线”是“sk＝2”的充要条件．
故选：C．
47．已知e1→与e2→是两个不共线的向量，AB→=3e1→+2e2→，CB→=ke1→+2e2→，CD→=3e1→-ke2→，若A，B，D三点共线，则实数k的值为（ ）
A．﹣4B．﹣12C．4D．5
【答案】B
【解答】解：e1→与e2→是两个不共线的向量，AB→=3e1→+2e2→，CB→=ke1→+2e2→，CD→=3e1→-ke2→，
则BD→=CD→-CB→=（3﹣k）e1→-（2+k）e2→，
由A，B，D三点共线，
可得存在实数λ，使得AB→=λBD→，
即3=λ(3-k)2=-λ(2+k)，解得k＝﹣12．
故选：B．
48．已知向量m→=（a﹣1，b），n→=（﹣1，1），a＞0，b＞0，满足m→∥n→，则1a+2b的最小值为（ ）
A．4B．22C．3+22D．42
【答案】C
【解答】解：因为向量m→=(a-1，b)，n→=(-1，1)，a＞0，b＞0，
由m→∥n→，得a﹣1+b＝0，即a+b＝1，a＞0，b＞0，
则由基本不等式，1a+2b=(a+b)(1a+2b)=3+ba+2ab≥3+2ba⋅2ab=3+22，
当且仅当ba=2ab时，即b=2-2，a=2-1时，等号成立，
所以1a+2b的最小值为3+22．
故选：C．
49．已知a→=(-2，4)，b→=(x，-2)，且a→∥b→，则x等于（ ）
A．2B．﹣2C．1D．﹣1
【答案】C
【解答】解：因为a→∥b→，a→=(-2，4)，b→=(x，-2)，
所以（﹣2）•（﹣2）﹣4x＝0，解得x＝1．
故选：C．
50．已知A，B，C，D是平面内不同的四点，设甲：AB→∥DC→；乙：四边形ABCD为平行四边形，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解答】解：当AB→∥DC→时，可能A，B，D，C四点共线，此时A，B，C，D不构成四边形，故充分性不成立；
当四边形ABCD为平行四边形时，则AB∥DC，所以AB→∥DC→，故必要性成立，
所以甲是乙的必要条件但不是充分条件．
故选：B．
51．e1→，e2→是平面内不共线两向量，已知AB→=e1→-ke2→，CB→=3e1→+4e2→，CD→=4e1→+e2→，若A，B，D三点共线，则k的值为（ ）
A．3B．﹣3C．﹣2D．2
【答案】A
【解答】解：e1→，e2→是平面内不共线两向量，已知AB→=e1→-ke2→，CB→=3e1→+4e2→，CD→=4e1→+e2→，
可得BD→=CD→-CB→=e1→-3e2→，
由A，B，D三点共线，得AB→∥BD→，又AB→=e1→-ke2→，e1→，e2→不共线，
则11=-k-3，所以k＝3．
故选：A．
52．下列说法正确的是（ ）
A．向量AB→与向量BA→的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．若a→∥b→，b→∥c→，则a→∥c→
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
【答案】A
【解答】解：因为|AB→|=|BA→|，所以向量AB→与向量BA→的长度相等，故A正确，
对于两个有共同起点，且长度相等的向量，
它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误，
当b→=0→时，a→与c→可能不共线，故C错误
若两个单位向量平行，
当两个单位向量方向共线时，二者为相反向量，故D错误．
故选：A．
53．已知平面向量a→=（1，2），b→=（2x，x﹣1），且a→∥（b→-a→），则x＝（ ）
A．-13B．13C．53D．3
【答案】A
【解答】解：a→=(1，2)，b→-a→=(2x-1，x-3)，
由a→∥(b→-a→)，得2（2x﹣1）＝x﹣3，所以x=-13．
故选：A．
54．已知非零向量AB→与CD→共线，下列说法正确的是（ ）
A．AC→与BD→共线
B．AC→与BD→不共线
C．若|AB→|=|CD→|，则AB→=CD→
D．若|AB→|=1，则AB→是一个单位向量
【答案】D
【解答】解：当A，B，C，D四点在一条直线上时，AC→与BD→共线，
否则AC→与BD→可能不共线，故A，B错误；
若|AB→|=|CD→|，无法确定向量方向，不能确定向量相等，故C错误；
因为|AB→|=1，由单位向量定义可知AB→是一个单位向量，故D正确．
故选：D．
55．已知向量e1→，e2→不共线，且（2e1→+λe2→）∥（3e1→-2e2→），则实数λ＝（ ）
A．3B．﹣3C．43D．-43
【答案】D
【解答】解：由题意，23=λ-2，解得λ=-43．
故选：D．
56．给出下列命题，正确的有（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B．已知λ，μ为实数，若λa→=μb→，则a→与b→共线
C．a→=b→的充要条件是|a→|=|b→|且a→∥b→
D．若A，B，C，D是不共线的四点，且AB→=DC→，则四边形ABCD为平行四边形
【答案】D
【解答】解：对A，向量相等只需满足方向相同且模相等即可，故A错误；
对B，若λ＝μ＝0时，此时a→与b→可以不共线，故B错误；
对C，a→、b→为相反向量时，也满足|a→|=|b→|且a→∥b→，但此时a→≠b→，故C错误；
对D，若A，B，C，D是不共线的四点，且AB→=DC→，则AB//DC，AB＝DC，
则四边形ABCD为平行四边形，故D正确．
故选：D．
57．已知a→，b→不共线，且AB→=λa→-b→，BC→=a→+μb→，那么A，B，C三点共线的充要条件为（ ）
A．λ+μ＝2B．λ﹣μ＝2C．λμ＝1D．λμ＝﹣1
【答案】D
【解答】解：由A，B，C三点共线，可得AB→与BC→共线，
设AB→=tBC→，则有λa→-b→=t(a→+μb→)，
由a→，b→不共线，
可得λ=t-1=tμ，解得λμ＝﹣1．
故选：D．
58．设非零向量AB→=a→，AD→=b→，AC→=a→+b→满足|a→|＝|b→|，|a→+b→|＝|a→-b→|，则四边形ABCD形状（ ）
A．平行四边形B．矩形
C．正方形D．菱形
【答案】C
【解答】解：由AB→=a→，AD→=b→，AC→=a→+b→，
可得AC→=AB→+AD→，即AC→-AD→=DC→=AB→，
从而得AB＝DC且AB∥DC，
故四边形ABCD为平行四边形，
又|a→+b→|＝|a→-b→|，
平方可得a→2+2a→⋅b→+b→2=a→2-2a→⋅b→+b→2，
即a→⋅b→=0，又|a→|＝|b→|，
故四边形ABCD为正方形．
故选：C．
59．已知向量a→=（1，m），b→=（﹣1，1），c→=（3，0），若b→∥（a→+c→），则m等于（ ）
A．4B．12C．﹣4D．﹣2
【答案】C
【解答】解：由题可得：a→+c→=(1+3，m+0)=(4，m)．
因为b→=(-1，1)，且b→∥（a→+c→），可知，（﹣1）×m﹣1×4＝0．解得m＝﹣4．
故选：C．
60．设A，B，C，D为平面内的四点，已知A（3，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4）．
（1）若四边形ABCD为平行四边形，求D点的坐标；
（2）若A，C，D三点共线，BD→⋅AC→=-18，求D点的坐标．
【答案】（1）D（4，3）；
（2）D(115，85)．
【解答】解：（1）∵A（3，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4），
∴BC→=（1，2），
∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC→=AD→，
设D（x，y），则AD→=（x﹣3，y﹣1），
∴x-3=1y-1=2，解得x=4y=3，∴D（4，3）；
（2）由A，C，D三点共线，且AC→=(-4，3)，
可设AD→=λAC→=λ(-4，3)=(-4λ，3λ)，
又A（3，1），∴D（3﹣4λ，1+3λ），∴BD→=(5-4λ，3λ-1)，
又BD→•AC→=-4（5﹣4λ）+3（3λ﹣1）＝﹣18，解得λ=15．
∴D(115，85)．