专题01 平面向量及其应用 2025-2026学年高一下高中数学必修二期末专题复习讲义（人教A版2019）

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【知识点1 向量的概念】
1．向量的概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．
注：
①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
2．向量的表示法
(1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
(2)向量的表示方法：
①字母表示法：如等.
②几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用
一条有向线段表示向量，通常我们就说向量.
3．向量的有关概念
(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
(2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.
(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(5)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
注：
①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定.
②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
③非零向量与的关系：是与同方向的单位向量.
【知识点2 相等向量与共线向量】
1．向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线.
注：
①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别.
②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
2．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系
(1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等.
(2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点.
(3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等.
3．平行向量有关概念的三个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.
【知识点3 平面向量的线性运算】
1．向量的加法运算
(1)向量加法的定义及两个重要法则
(2)多个向量相加
为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一
个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示.
2．向量加法的运算律
(1)交换律：；
(2)结合律：.
3．向量的减法运算
(1)相反向量
我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是
零向量.
(2)向量减法的定义：
向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减
法.
(3)向量减法的三角形法则
如图，已知向量，在平面内任取一点O，作，，则.即
可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义.

4．向量的数乘运算
(1)向量的数乘的定义
一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与
方向规定如下：
①；
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反.
(2)向量的数乘的运算律
设为实数，那么①；②；③.
特别地，我们有，.
(3)向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量，以及任意实数，恒有.
5．平面向量线性运算问题的求解思路：
(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化；
(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.
【知识点4 向量共线定理】
1．向量共线定理
(1)向量共线定理
向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.
(2)向量共线定理的应用——求参
一般地，解决向量共线求参问题，可用两个不共线向量(如)表示向量，设，
化成关于的方程，由于不共线，则解方程组即可.
2．利用共线向量定理解题的策略
(1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线.
(3)若与不共线且，则.
(4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1.
【知识点5 向量的数量积】
1．向量的数量积
(1)向量数量积的物理背景
在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=，其中是与的夹角.
我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量.
(2)向量的夹角
已知两个非零向量，如图所示，O是平面上的任意一点，作，，则∠AOB= 叫做向量与的夹角，也常用表示.
(3)两个向量数量积的定义
已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即.
规定：零向量与任一向量的数量积为0，即.
(4)向量的投影
如图，设是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，
分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.

2．向量数量积的性质和运算律
(1)向量数量积的性质
设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则
①.
②.
③当与同向时，；当与反向时，.
特别地，或.
④，当且仅当向量共线，即时，等号成立.
⑤.
(2)向量数量积的运算律
由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：
对于向量和实数，有
①交换律：；
②数乘结合律：；
③分配律：.
3．向量数量积的常用结论
(1)=；
(2)；
(3) ；
(4) ；
(5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边
等号成立.
以上结论可作为公式使用.
4．向量数量积的两大应用
(1)夹角与垂直
根据平面向量数量积的性质：若与为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.
(2)向量的模的求解方法：
①公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算；
②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
【知识点6 平面向量基本定理】
1．平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数
，使.若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
(2)定理的实质
由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.
2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路
用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.
【知识点7 平面向量的坐标表示】
1．平面向量的正交分解及坐标表示
(1)正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
(2)向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基
底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示.
显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0).
(3)点的坐标与向量的坐标的关系
2．平面向量线性运算的坐标表示
(1)两个向量和（差）的坐标表示
由于向量，等价于，，所以
，即.同理得.
这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
(2)向量数乘的坐标表示
由，可得，则，即.
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
3．平面向量数量积的坐标表示
(1)平面向量数量积的坐标表示
由于向量，等价于，，所以
.又，，，所以.
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
(2)平面向量长度（模）的坐标表示
若，则或.
其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根.
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么，
.
4．平面向量位置关系的坐标表示
(1)共线的坐标表示
①两向量共线的坐标表示
设，，其中.我们知道，共线的充要条件是存在实数，使.如果
用坐标表示，可写为，即，消去，得.这就是说，向量 共线的充要条件是.
②三点共线的坐标表示
若，，三点共线，则有，从而，即，
或由得到，
或由得到.
由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线.
(2)夹角的坐标表示
设都是非零向量，，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得.
(3)垂直的坐标表示
设，，则.
即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0.
5．平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
【知识点8 平面几何中的向量方法】
1．平面几何中的向量方法
(1)用向量研究平面几何问题的思想
向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将
几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作.
(2)向量在平面几何中常见的应用
①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：.
②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：.
③求夹角问题，利用夹角公式：.
④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：或
.
(3)向量法解决平面几何问题的“三步曲”
第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系.
【知识点9 向量在物理中的应用】
1．力学问题的向量处理方法
向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上.
2．速度、位移问题的向量处理方法
速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.
3．向量与功、动量
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.
(1)力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即.功是一个实数，它可正，可
负，也可为零.
(2)动量涉及物体的质量m，物体运动的速度，因此动量的计算是向量的数乘运算.
【知识点10 余弦定理、正弦定理】
1．余弦定理
(1)余弦定理及其推论的表示
(2)对余弦定理的理解
①余弦定理对任意的三角形都成立.
②在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量.
③余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦
定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角.
④余弦定理的另一种常见变式：b2+c2-a2=2bccsA，a2+c2-b2=2accsB，a2+b2-c2=2abcsC.
2．正弦定理
(1)正弦定理的表示
在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==.
(2)正弦定理的常见变形
在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=k，b=k，c=k，由此可
得正弦定理的下列变形：
①=，=，=，a=b，a=c，b=c；
②======；
③a:b:c=::；
④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）.
(3)三角形的边角关系
由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系.
3．解三角形
(1)解三角形的概念
一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个
元素求其他元素的过程叫做解三角形.
(2)余弦定理在解三角形中的应用
利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：
①已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角；
③已知三边，求三角形的三个角.
(3)正弦定理在解三角形中的应用
公式==反映了三角形的边角关系.
由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=.上述的
每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：
①已知两角和任意一边，求其他的边和角，
③已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角.
4．对三角形解的个数的研究
已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.
已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三
角形不能被唯一确定.
(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知
a,b和A，解三角形为例加以说明.
由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：
①若=>1，则满足条件的三角形的个数为0；
②若==1，则满足条件的三角形的个数为1；
③若=