高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念精品学案

第六章 平面向量及其应用

6.1 平面向量的概念

1、能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.

2、会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别.

3、理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.

一、向量的概念

1.向量：既有    又有    的量叫做向量.

2.数量：只有    没有    的量称为数量.

二、向量的几何表示

1.有向线段

具有    的线段叫做有向线段，它包含三个要素：    、    、    ，如图所示.

以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度记作||.

2.向量的表示

(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.

(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，).

3.模、零向量、单位向量

向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作||.长度为    的向量叫做零向量，记作    ；长度等于    个单位长度的向量，叫做单位向量.

三、相等向量与共线向量

1.平行向量：方向            的    向量叫做平行向量.

(1)记法：向量a与b平行，记作a∥b.

(2)规定：零向量与任意向量    .

2.相等向量：长度    且方向    的向量叫做相等向量.

3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做    向量.

【答案】

一、1.大小 方向；2.大小 方向

二、1.方向 起点 方向 长度；3.0 0 1

三、1.相同或相反 非零 平行；2.相等 相同；3.共线

一、选择题

1.下列说法中正确的是（   ）           

A. 两个长度相等的向量一定相等                                          B. 相等的向量起点必定相同
C.  与 共线，则 四点必在同一直线上     D. 相等的向量一定是平行向量

【答案】 D  

【解析】选项A：两个向量相等，则其长度相等，方向相同，故A错；
选项B：两个向量相等，则其长度相等，方向相同，与向量的起点无关，故B错；
选项C：两向量共线，则其方向相同或相反，并不一定四点共线，故C错；
选项D：相等向量方向相同，所以一定是平行向量，故D正确.
故选D.

2.下列说法中错误的是(    )           

A. 零向量是没有方向的                                           B. 零向量的长度为0
C. 零向量与任一向量平                                           D. 零向量的方向是任意的

【答案】 A  

【解析】本题主要考查零向量的概念，对于选项A,零向量的方向是任意的，故错误；零向量的方向是任意的；零向量与任一向量平行；故A是错误的. 

3.在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是(　　)

A.单位圆 B.一段弧

C.线段 D.直线

【答案】A

4.若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为(　　)

A.平行四边形 B.矩形

C.菱形 D.等腰梯形

【答案】C

【解析】因为＝，

所以四边形ABCD为平行四边形，

又||＝||，即邻边相等，

所以四边形ABCD为菱形.

5.下列说法正确的是（   ）           

A. 向量 ∥ 就是 所在的直线平行于 所在的直线     

B. 共线向量是在一条直线上的向量
C. 长度相等的向量叫做相等向量                                                     

D. 零向量长度等于0

【答案】 D  

【解析】解：A：向量 ∥ 就是 所在的直线平行于 所在的直线，不正确； 

B：共线向量是在一条直线上的向量，不正确；

C：长度相等的向量叫做相等向量，不正确；

D：零向量长度等于0，正确；

故选：D．

6.有关向量 和向量 ，下列四个说法中： 

①若 ，则 ；②若 ，则 或 ；③若 ，则 ；④若 ，则 .其中的正确有（    ）

A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4

【答案】 B  

【解析】由零向量的定义，可知①④正确；

由向量的模定义，可知②不正确；

由向量共线可知③不正确.

故答案为：B

7.(多选)下列说法错误的有(　　)

A.共线的两个单位向量相等

B.相等向量的起点相同

C.若∥，则一定有直线AB∥CD

D.若向量，共线，则点A，B，C，D必在同一直线上

【答案】ABCD

【解析】A错，共线的两个单位向量的方向可能相反；B错，相等向量的起点和终点都可能不相同；C错，直线AB与CD可能重合；D错，AB与CD可能平行，则A，B，C，D四点不共线.

二、填空题

8.已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.

【答案】　0

【解析】　与不共线，零向量的方向是任意的，它与任意向量平行，所以唯有零向量才能同时与两个不共线向量平行.

9.下列结论正确的序号是        . 

⑴若 都是单位向量，则 ;⑵物理学中作用力与反作用力是一对共线向量; ⑶方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量; ⑷直角坐标平面上的x轴，y轴都是向量。

【答案】 ⑵⑶  

【解析】对于（1）， ， 都是单位向量，但方向不一定相同，（1）错误；

对于（2），物理学中的作用力与反作用力大小相等，方向相反，

是一对共线向量，（2）正确；

对于（3），如图所示，

方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量在一条直线上，

是共线向量，（3）正确；

对于（4），直角坐标平面上的x轴、y轴只有方向，没有大小，

不是向量，（4）错误；

综上，正确的命题序号是（2）（3）．

故答案为：（2）（3）．

三、解答题

10.如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心.

(1)与的模相等的向量有多少个？

(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？

(3)与共线的向量有几个？

【答案】(1)与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个.

(2)存在.由正六边形的性质可知，BC∥AO∥EF，所以与的长度相等、方向相反的向量有，，，，共4个.

(3)由(2)知，BC∥OA∥EF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，所以与共线的向量有，，，，，，，，，共9个.