数学必修 第二册6.1 平面向量的概念精品复习练习题

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一.向量与数量区分
1.定义
向量：把既有大小，又有方向的量叫做向量
数量：把只有大小，没有方向的量称为数量。
注意：①向量在物理学中称为矢量；数量在物理学中称为标量。
②数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；而向量既有大小又有方向,向量是不能比较大小的。
2.举例
常见的向量有：力、位移、速度、加速度等
常见的数量有：年龄、身高、长度、面积、体积、质量、路程、功等
二、向量的几何表示
1.有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度
以A为起点、B为终点的有向线段记作eq \(AB,\s\up6(→))，线段AB的长度叫做有向线段eq \(AB,\s\up6(→))的长度记作|eq \(AB,\s\up6(→))|
2.向量的表示：
(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.
(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用eq \(a,\s\up6(→))，eq \( b,\s\up6(→))，eq \( c,\s\up6(→))).
（3）常见概念
①模长：向量eq \(AB,\s\up6(→))的大小，称为向量eq \(AB,\s\up6(→))的长度(或称模)，记作|eq \(AB,\s\up6(→))|.
②零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作；规定：零向量与任意向量平行。
③单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。
④平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
记法：向量eq \(a,\s\up6(→))与eq \( b,\s\up6(→))平行，记作eq \(a,\s\up6(→))∥eq \( b,\s\up6(→))
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
⑥共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.
共线向量与平行向量关系：因为任一组平行向量都可移到同一直线上（向量具有自由性，与有向线段的起点无关）,所以平行向量就是共线向量。
知识简用
题型一 向量与数量的辨析
【例1-1】给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是( )
A．①②③是数量，④⑤⑥是向量B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
C．①④是数量，②③⑤⑥是向量D．①②④⑤是数量，③⑥是向量
【答案】D
【解析】密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量；速度、位移既有大小又有方向，是向量．故选：D．
【例1-2】以下选项中，都是向量的是（ ）
A．正弦线、海拔B．质量、摩擦力
C．△ABC的三边、体积D．余弦线、速度
【答案】D
【解析】表示三角函数值的正切线、余弦线、正弦线既有大小，又有方向，都是向量．海拔、质量、△ABC的三边和体积均只有大小，没有方向，不是向量．速度既有大小又有方向，是向量，故选：D．
题型二 向量的几何表示
【例2-1】在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．
(1)，点A在点O北偏西45°方向； (2)，点B在点O正南方向．
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.
【解析】(1)∵，点A在点O北偏西45°方向，∴以O为圆心，3为半径作圆与图中正方形对角线OP的交点即为A点：
(2)∵，点B在点O正南方向，∴以O为圆心，图中OQ为半径化圆，圆弧与OR的交点即为B点：
【例2-2】在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点，并求终点的坐标
（1），的方向与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为；
（2），的方向与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为；
（3），的方向与轴、轴正方向的夹角都是.
【解析】如图所示.（1）终点坐标为 （2）终点坐标为 （3）终点坐标为
题型三 相等向量与共线向量
【例3-1】下列命题中正确的是（ ）
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量
C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
【答案】A
【解析】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A正确；
两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B错误；
两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C错误；
与是共线向量，也可能是AB平行于CD，故D错误.故选：A
【例3-2】下列命题中正确的是（ ）
A．单位向量都相等B．相等向量一定是共线向量
C．若，则D．任意向量的模都是正数
【答案】B
【解析】对于A，单位向量的模长相等，方向不一定相同，故A错误；
对于B，相等向量一定是共线向量，故B正确；
对于C，若，，而与不一定平行，故C错误；
对于D，零向量的模长是，故D错误．故选：B.
【例3-2】下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】A
【解析】模为零的向量是零向量，所以A项正确；时，只说明向的长度相等，无法确定方向，
所以B，C均错；时，只说明方向相同或相反，没有长度关系，不能确定相等，所以D错.
故选：A.
【例3-4】如图，在等腰梯形中，对角线与相交于点D，是过点D且平行于的线段．
（l）写出图中的各组共线向量；
（2）写出图中的各组同向向量；
（3）写出图中的各组反向向量．
【答案】(1)见解析；(2) 见解析；(3) 见解析；
【解析】（1）向量为一组共线向量；
向量与，为一组共线向量；
向量与为一组共线向量；
向量与，为一组共线向量；
向量与，为一组共线向量．
（2）向量与，，为同向向量，向量与，为同向向量，向量与，为向向向量，向量与，为同向向量．
（3）向直与，与，与，与，与分别为反向向量.
6.1 平面向量的概念（精讲）
思维导图
典例精讲
考点一 概念辨析
【例1-1】有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中，不是向量的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】因为速度、力和加速度既有大小，又有方向，所以它们是向量；
而质量、路程和功只有大小，没有方向，所以它们不是向量，故不是向量的个数是3.故选：C
【例1-2】下列关于零向量的说法正确的是（ ）
A．零向量没有大小B．零向量没有方向
C．两个反方向向量之和为零向量D．零向量与任何向量都共线
【答案】D
【解析】根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故A、B错误；
两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C错误；
零向量与任意向量共线，D正确．故选：D.
【例1-3】下列说法错误的是（ ）
A．向量与向量长度相等B．单位向量都相等
C．的长度为，且方向是任意的D．任一非零向量都可以平行移动
【答案】B
【解析】因为，所以和互为相反向量，长度相等，方向相反，故A选项正确；
单位向量长度都为，但方向不确定，故B选项错误；根据零向量的概念，易知C选项正确；
向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D选项正确；故选：B.
【一隅三反】
1．给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．其中不是向量的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】C
【解析】①质量，⑥路程，⑦密度，⑧功，⑨时间只有大小，没有方向，故不是向量，其余均为向量，故共有5个不是向量.故选：C
2．下列说法：
①零向量是没有方向的向量；②零向量的方向是任意的；③零向量与任意一个向量共线.
其中，正确说法的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】由零向量定义及性质知：其方向任意，且与任意向量共线，故①错误，②③正确；故选：C
3．下列命题中假命题是（ ）
A．向量与的长度相等
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于
D．共线的单位向量都相等
【答案】D
【解析】对于A选项，与互为相反向量，这两个向量的长度相等，A选项正确；
对于B选项，两个相等的向量，长度相等，方向相同，若两个相等向量的起点相同，则终点也相同，B选项正确；
对于C选项，只有零向量的模等于，C选项正确；
对于D选项，共线的单位向量是相等向量或相反向量，D选项错误.
故选：D.
4．下列关于向量的描述正确的是
A．若向量，都是单位向量，则
B．若向量，都是单位向量，则
C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量
D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆
【答案】D
【解析】对于选项A：向量包括长度和方向，单位向量的长度相同均为，方向不定，故向量和不一定相同，故选项A错误；
对于选项B：因为，由知，不一定成立，故选项B错误；
对于选项C：任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，故选项C错误；
对于选项D：因为所有单位向量的模为，且共起点，所以所有单位向量的终点在半径为的圆周上，故选项D正确；故选：D.
考点二 向量的几何表示
【例2】在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
（1），使||＝4，点A在点O北偏东45°；
（2），使＝4，点B在点A正东；
（3），使＝6，点C在点B北偏东30°.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】（1）由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如下图所示．
（2）由于点B在点A正东方向处，且＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如下图所示．
（3）由于点C在点B北偏东30°处，且＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如下图所示．
【一隅三反】
1．如图所示，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方.
（1）作出向量，，（图中1个单位长度表示100m）；
（2）求向量的模.
【答案】（1）作图见解析（2）
【解析】（1）如图，即为所求.
（2）如图，作向量，由题意可知，四边形是平行四边形，∴.
2．如图的方格由若干个边长为1的小正方形组成，方格中有定点A，点C为小正方形的顶点，且，画出所有的向量.
【解析】∵，∴C点落在以A为圆心，以为半径的圆上，又∵点C为小正方形的顶点，
根据该条件不难找出满足条件的点C，解析所有的向量，如图所示：
考点三 相等向量与平行向量
【例3-1】下列命题中正确的个数是（ ）
①若向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；
②若向量与向量平行，则，方向相同或相反；
③若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°；
④若，则，是相等向量或相反向量.
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】①错误，平行向量又叫共线向量，向量与是共线向量，则与平行或共线；
②错误，与至少有一个为零向量时，结论不成立；由向量的夹角可知③正确；
④错误，由，只能说明，的长度相等，确定不了方向.故选：B.
【例3-2】如图，是正六边形的中心，且，，．在以这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：
(1)与相等的向量有哪些？
(2)的相反向量有哪些？
(3)与的模相等的向量有哪些？
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】(1)由相等向量定义知：与相等的向量有.
(2)由相反向量定义知：的相反向量有.
(3)由向量模长定义知：与的模相等的向量有.
【一隅三反】
1．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则存在唯一实数使得
C．若，，则
D．与非零向量共线的单位向量为
【答案】D
【解析】若，则或，所以选项A错误；若，此时 不存在，选项B错误；
若，由，，不一定得到，选项C不正确；由向量为非零向量，根据单位向量的定义，选项D正确.故选：D.
2．为非零向量，“”为“共线”的
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．即不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】分别表示与同方向的向量，，则有共线，而共线，则的方向不一定相同，即两向量不一定相等，“”为“共线”的充分不必要条件.故选:B.
3．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：
（1）与相等的向量；
（2）与长度相等的向量；
（3）与共线的向量.
【答案】（1）；（2），，，，，，；（3）
【解析】画出图形，如图所示．
（1）易知BCAD，BC＝AD，所以与相等的向量为.
（2）由O是正方形ABCD对角线的交点知OB＝OD＝OA＝OC，
所以与长度相等的向量为，，，，，，.
（3）与共线的向量为，，.
6.1 平面向量的概念（精练）
1．列物理量：①质量；②路程；③位移；④重力；⑤加速度.其中，不能称为向量的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】根据物理量的定义、性质知：质量、路程是标量，位移、重力、加速度为矢量即向量，
∴③④⑤是向量，①②是标量.故选：C
2．给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则.其中错误的说法有（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】①只有零向量的模是0，因此应有，不是0，错；
②模相等的向量方向不确定，不一定相同或相反，错；
③两向量平行，只要方向相同或相反或有一个为零向量，模不作要求，错；
④当时，不一定共线，错．故选：D．
3．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是（ ）
A．＝B．C．＞D．＜
【答案】B
【解析】与是等腰梯形的两腰，则它们必不平行，但长度相同，故，
又向量不是实数，是不能比较大小的.故选：B.
4.下列结论中正确的为（ ）
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B．向量与向量的长度相等
C．对任意向量，是一个单位向量
D．零向量没有方向
【答案】B
【解析】对于A选项，两个单位向量的模相等，但这两个单位向量的方向不确定，故A错；对于B选项，向量与向量的模相等，B对；对于C选项，若，则无意义，C错；对于D选项，零向量的方向任意，D错.故选：B.
5．下列说法正确的是（ ）
A．单位向量均相等B．单位向量
C．零向量与任意向量平行D．若向量，满足，则
【答案】C
【解析】对于A：单位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A错误；
对于B：单位向量.故B错误；对于C：零向量与任意向量平行.正确；
对于D：若向量，满足，但是，的方向可以是任意的.故选：C
6．下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量没有方向
D．向量的模是一个正实数
【答案】A
【解析】A：与的长度相等，方向相反，正确；
B：两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；
C：零向量的方向任意，故错误；
D：向量的模是一个非负实数，故错误.故选：A
7．下列说法错误的是（ ）
A．长度为0的向量叫做零向量
B．零向量与任意向量都不平行
C．平行向量就是共线向量
D．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量
【答案】B
【解析】A. 规定长度为0的向量叫做零向量，故正确；
B.规定零向量与任意向量都平行，故错误；C.平行向量就是共线向量，故正确；
D.长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，故正确；故选：B
8．在下图田字格中，以图中的结点为向量的起点或终点.
（1）写出与相等的向量；
（2）写出与平行的向量；
（3）写出的负向量.
【答案】（1），，，，；
（2），，，，，，，，；
（3），，
【解析】（1）如图①标出了与方向相同，大小相等的向量，是与相等的向量，有，，，，；
（2）与平行的向量是指与方向相同或相反的向量，长度可以相等也可以不相等，故有，，，，，，，，，如图②所示；
（3）的负向量是指方向相反，长度相等的向量，故有，，，如图③所示.
9．在如图所示的向量，，，，中（小正方形的边长为1），是否存在：若存在，分别写出这些向量．
(1)共线向量？
(2)相反向量？
(3)相同的向量？
(4)模相等的向量？
【答案】(1)与共线，与共线；(2)与；(3)无相同向量；(4)
【解析】(1)与共线，与共线
(2)与是相反向量
(3)图中无方向相同的向量，所以向量，，，，中无相同的向量
(4)由图可知，
所以模相等的向量为
10．如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中，
（1）与向量相等的向量；
（2）与向量共线的向量；
（3）与向量平行的向量.
【答案】（1），；（2），，，，；（3），，，，.
【解析】（1）与向量相等的向量，即与向量大小相等，方向相同的向量，有，；
（2）与向量共线的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，；
（3）与向量平行的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，.
1．已知P在所在平面内，满足，则P是的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
【答案】A
【解析】表示到三点距离相等，为外心．故选：A．
2．若是任一非零向量，是单位向量，下列各式：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ）
A．③④⑤B．②③⑤C．①③④D．③④
【答案】D
【解析】①｜｜＞｜｜不正确，是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；
②∥，则与为共线向量，故不正确；③，向量的模长是非负数，故正确；
④｜｜=1，故正确；⑤是单位向量，是单位向量，两向量方向不一定相同，故不正确.
故选：D.
3．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．与是非零向量，则与同向是的必要不充分条件
B．是互不重合的三点，若与共线，则三点在同一条直线上
C．与是非零向量，若与同向，则与反向
D．设为实数，若，则与共线
【答案】ABC
【解析】与同向，但不一定与相等，，若，则与同向，
且有=，与同向是的必要不充分条件，A正确.
与共线，则有=，故一定有三点在同一条直线上，B正确.
与同向，则与反向，C正确.时，与不一定共线，D错误.
故选：ABC
4．（多选）下面的命题正确的有（ ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若，满足且与同向，则
D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”
【答案】AD
【解析】对于A，由相反向量的概念可知A正确；对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，可得，且，故四边形ABCD是平行四边形；若四边形ABCD是平行四边形，可知，且，此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确.
故选：AD.
5．（多选）设为单位向量，下列命题是假命题的为（ ）
A．若为平面内的某个向量，则
B．若与平行，则
C．若与平行且，则
D．若为单位向量，则
【答案】ABC
【解析】对于A，向量既有大小又有方向，与的模相同，但方向不一定相同，故A是假命题；
对于B，C，若与平行，且，则与的方向同向或反向，同向时，此时；反向时，此时，故B，C是假命题；
对于D，为单位向量，为单位向量，则，故D是真命题．
故选：ABC.