2.1.4代数式的值（课件）2024沪科版2025-2026学年七年级数学上册课件

幻灯片 1：封面标题：2.1.3 整式背景图：左侧展示 “整式分类结构图”（代数式→整式→单项式 / 多项式，标注示例 “-5x”“3a+2b”）；右侧呈现 “整式应用场景”（如 “长方形面积 2ab”“工程总量 3x+4y”），直观体现整式与代数式的从属关系及实际应用，下方搭配 “从代数式到整式的精准聚焦” 文字提示，明确学习核心。幻灯片 2：目录整式的概念引入（与代数式的关联）单项式的定义与相关概念（系数、次数）多项式的定义与相关概念（项、常数项、次数）整式的判断方法典型例题解析（概念辨析、次数计算、实际应用）易错点警示与注意事项课堂练习巩固课堂小结与作业布置幻灯片 3：整式的概念引入（与代数式的关联）回顾代数式分类此前学习中，代数式初步分为整式和分式（分母含字母的为分式），其中：代数式：\(\begin{cases} 整式 & （分母不含字母，如3x、2a+5b） \\ 分式 & （分母含字母，如\(\frac{2}{x}\)、\(\frac{x}{y+1}\)，后续学习） \end {cases})核心结论：整式是代数式的重要分支，其本质特征是分母不含字母，包括单项式和多项式两类。生活中的整式实例① 购物消费：买 x 支铅笔（每支 2 元）和 y 块橡皮（每块 1.5 元），总费用为 “2x + 1.5y” 元（多项式，整式）；② 图形面积：半径为 r 的圆，面积为 “πr²”（单项式，整式，π 是常数，分母不含字母）；③ 行程问题：甲车速度为 a 千米 / 小时，乙车速度为 b 千米 / 小时，两车 3 小时共行驶 “3a + 3b” 千米（多项式，整式）。问题提出：如何准确判断一个代数式是否为整式？单项式和多项式各自有哪些关键概念（如系数、次数）？如何确定整式的次数？幻灯片 4：单项式的定义与相关概念（系数、次数）单项式的定义由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也属于单项式（可看作数与字母的积的特殊形式，如 “5” 可看作 “5×1”，“a” 可看作 “1×a”）。示例：数与字母的积：-3x（-3 与 x 的积）、\(\frac{2}{3}xy²\)（\(\frac{2}{3}\)与 x、y² 的积）、πr²（π 与 r² 的积，π 是常数）；单独的数：5、-0.8、\(\frac{1}{2}\)；单独的字母：a、b³、m。反例：\(\frac{x}{2}\)（可看作\(\frac{1}{2}x\)，是单项式），但\(\frac{2}{x}\)（分母含字母，是分式，非单项式）。单项式的系数定义：单项式中的数字因数叫做单项式的系数（包括数字前面的符号）；示例：-3x 的系数是 - 3（数字因数为 - 3）；\(\frac{2}{3}xy²\)的系数是\(\frac{2}{3}\)（数字因数为\(\frac{2}{3}\)）；a 的系数是 1（隐含数字因数 1，写作 “1×a”）；-b 的系数是 - 1（隐含数字因数 - 1，写作 “-1×b”）；5 的系数是 5（单独的数，系数就是其本身）。注意：系数是 “数字因数”，π 是常数（约 3.14），不是字母，如 πr² 的系数是 π。单项式的次数定义：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数（仅计算字母的指数，常数的指数不计入）；示例：-3x：仅含字母 x，指数为 1，次数是 1（称为 “一次单项式”）；\(\frac{2}{3}xy²\)：含字母 x（指数 1）和 y（指数 2），指数和为 1+2=3，次数是 3（称为 “三次单项式”）；5：不含字母，次数为 0（称为 “零次单项式”）；a²b³：含字母 a（指数 2）和 b（指数 3），指数和为 2+3=5，次数是 5（称为 “五次单项式”）。注意：次数是 “所有字母指数的和”，不是单个字母的最高指数，也不含常数的指数。幻灯片 5：多项式的定义与相关概念（项、常数项、次数）多项式的定义几个单项式的和叫做多项式（“和” 包含 “加” 与 “减”，减一个单项式可看作加它的相反数）。示例：2a + 3b：单项式 2a 与 3b 的和（二次二项式）；x² - 5x + 1：单项式 x²、-5x、1 的和（二次三项式）；-m³ + 2m²n - mn² + n³：单项式 - m³、2m²n、-mn²、n³ 的和（三次四项式）。反例：\(\frac{x + 1}{2}\)（可拆分为\(\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\)，是多项式），但\(\frac{x + 1}{x}\)（分母含字母，是分式，非多项式）。多项式的项与常数项项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，项包括前面的符号；示例：x² - 5x + 1 的项为 x²（正项）、-5x（负项）、1（正项），共 3 项；常数项：多项式中不含字母的项叫做常数项；示例：x² - 5x + 1 的常数项是 1，-3m + 7 的常数项是 7，2a²b - b³ 的常数项是 0（隐含不含字母的项 0）。注意：谈论多项式的项时，需带符号，如 “x² - 5x + 1” 不能说 “项是 x²、5x、1”，而应说 “x²、-5x、1”。多项式的次数定义：多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数（先确定每一项的次数，再取最高值）；示例：2a + 3b：项 2a（次数 1）、3b（次数 1），最高次数为 1，故多项式次数是 1（称为 “一次二项式”）；x² - 5x + 1：项 x²（次数 2）、-5x（次数 1）、1（次数 0），最高次数为 2，故多项式次数是 2（称为 “二次三项式”）；-m³ + 2m²n - mn² + n³：项 - m³（次数 3）、2m²n（次数 2+1=3）、-mn²（次数 1+2=3）、n³（次数 3），最高次数为 3，故多项式次数是 3（称为 “三次四项式”）。命名规则：多项式的命名格式为 “次数 + 项数 + 式”，如 “二次三项式”（次数 2，项数 3）。幻灯片 6：整式的判断方法核心判断标准一个代数式是整式，需同时满足两个条件：分母不含字母（排除分式）；仅含加、减、乘、乘方运算（不含开方等其他运算，初中阶段暂不涉及开方）。分步判断流程看分母：若分母含字母（如\(\frac{2}{x}\)、\(\frac{x}{y-3}\)），直接判定为非整式（分式）；若分母不含字母，进入下一步；看运算：若含除号（÷），需转化为分数形式，再次检查分母是否含字母（如 “x÷2”=“\(\frac{x}{2}\)”，分母 2 不含字母，是整式；“2÷x”=“\(\frac{2}{x}\)”，分母含字母，非整式）；若仅含加、减、乘、乘方运算，判定为整式；分类型：整式分为单项式和多项式，单项式是 “数与字母的积或单独的数 / 字母”，多项式是 “几个单项式的和”。判断示例代数式分母含字母？运算类型是否为整式整式类型（单项式 / 多项式）-5x否乘（数与字母积）是单项式（一次单项式）2a + 3b - 1否加、减是多项式（一次三项式）\(\frac{x}{3}\)否（分母 3）乘（\(\frac{1}{3}x\)）是单项式（一次单项式）\(\frac{3}{x}\)是（分母 x）除否分式x²y - 2xy + y否加、减、乘、乘方是多项式（三次三项式）7否无（单独的数）是单项式（零次单项式）幻灯片 7：典型例题解析（概念辨析、次数计算、实际应用）类型 1：单项式的系数与次数计算例 1：指出下列单项式的系数和次数：（1）-4x²y；（2）\(\frac{2}{5}πr³\)；（3）a；（4）-0.8。解答：（1）系数是 - 4（数字因数），次数是 2+1=3（x 的指数 2，y 的指数 1，和为 3）；（2）系数是\(\frac{2}{5}π\)（π 是常数），次数是 3（r 的指数 3）；（3）系数是 1（隐含 1），次数是 1（a 的指数 1）；（4）系数是 - 0.8（单独的数），次数是 0（不含字母）。类型 2：多项式的项、常数项与次数判断例 2：已知多项式 - 3x²y + 2xy² - x³ + 5y - 1，回答下列问题：（1）该多项式有几项？分别是什么？（2）常数项是多少？（3）次数最高的项是什么？（4）该多项式的次数和名称是什么？解答：（1）有 5 项，分别是 - 3x²y、2xy²、-x³、5y、-1；（2）常数项是 - 1（不含字母的项）；（3）次数最高的项是 - 3x²y 和 2xy²（次数均为 2+1=3，-x³ 次数 3，三者并列最高）；（4）次数是 3，项数是 5，名称是 “三次五项式”。类型 3：整式的实际应用（列整式并判断类型）例 3：一个长方体的长为 2a 厘米，宽为 a 厘米，高为 b 厘米，列整式表示该长方体的体积和表面积，并判断它们的整式类型。解答：① 体积公式：体积 = 长 × 宽 × 高，整式为 2a×a×b=2a²b，是单项式（三次单项式，系数 2，次数 2+1=3）；② 表面积公式：表面积 = 2 (长 × 宽 + 长 × 高 + 宽 × 高)，整式为 2 (2a×a + 2a×b + a×b)=2 (2a² + 3ab)=4a² + 6ab，是多项式（二次二项式，项为 4a²、6ab，次数 2）；③ 答：体积的整式是 2a²b（单项式），表面积的整式是 4a² + 6ab（多项式）。幻灯片 8：易错点警示与注意事项易错点 1：单项式系数符号遗漏错误示例：认为 “-5x” 的系数是 5（正确应为 - 5，忽略负号）；认为 “-ab²” 的系数是 1（正确应为 - 1，忽略负号）。警示：单项式的系数包含数字前面的符号，无论正负，均需完整写出。易错点 2：单项式次数计算错误（多算常数或漏算字母指数）错误示例：计算 “πr²” 的次数时，错将 π 的 “次数” 计入，得次数 3（正确应为 2，π 是常数，不计入次数）；计算 “x²y” 的次数时，错算为 2（正确应为 2+1=3，漏算 y 的指数 1）。警示：次数是 “所有字母指数的和”，常数（如 π、5）的指数不计入，所有字母的指数都需累加。易错点 3：多项式项的符号忽略错误示例：认为多项式 “x² - 3x + 2” 的项是 “x²、3x、2”（正确应为 “x²、-3x、2”，漏带 - 3x 的负号）。警示：多项式的项包含前面的符号，谈论项时需完整保留符号，避免后续运算符号错误。易错点 4：混淆多项式次数与项的次数错误示例：认为多项式 “2x³ + x² - 5” 的次数是 3（项 2x³ 的次数），但误称为 “三次二项式”（正确应为 “三次三项式”，项数是 3）；或认为次数是 2（项 x² 的次数，非最高次）。警示：多项式的次数是 “最高次项的次数”，命名时需同时明确 “次数” 和 “项数”，二者缺一不可。幻灯片 9：课堂练习巩固基础练习 1：单项式的系数与次数（1）单项式 - 2a³b 的系数是______，次数是______；（2）单项式\(\frac{3}{4}πx²\)的系数是______，次数是______；（3）单项式 m 的系数是______，次数是______；（4）单项式 - 6 的系数是______，次数是______。提升练习 2：多项式的项、常数项与次数（1）多项式 3x² - 2x + 1 有______项，常数项是______，次数是______，名称是______；（2）多项式 - x³y + 2xy² - y + 3 中，次数最高的项是______，常数项是______，次数是______，名称是______。拓展练习 3：整式的判断与分类判断下列代数式是否为整式，若是，指出是单项式还是多项式，并说明次数和项数：（1）\(\frac{2}{3}x\)；（2）\(\frac{x + 1}{x}\)；（3）-5xy + 2x²y - 1；（4）7；（5）\(\frac{x - 3}{2}\)。应用练习 4：实际问题（列整式并判断类型）一个三角形的底为 3m 厘米，高为 n 厘米，列整式表示该三角形的面积；若该三角形的周长为 (2m + n + 4) 厘米，指出周长对应的整式类型、次数和项数。幻灯片 10：课堂小结知识点总结整式概念：代数式的分支，分母不含字母，包括单项式和多项式；单项式：数与字母的积或2025-2026学年沪科版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.知道什么是代数式的值，会用直接代入法求代数式的值.2.会根据实际问题列代数式并求值.3.初步感受数学中的整体思想，能适当添括号进行整体代入求值.◎重点:求代数式的值.◎难点:列代数式并求值. 激趣导入 数学实验:依次呈现用火柴棒搭小鱼的图集思考:先数一数搭上面3组小鱼各需要多少火柴棒，寻找规律，列出代数式表示搭n条小鱼需要的火柴棒数.追问:搭100条小鱼呢？搭1000条小鱼呢？搭10000条小鱼呢？激趣导入 代数式的值 揭示概念:用　数值　代替代数式中的　字母　，按照代数式中的　运算　关系计算得出的结果叫做代数式的值. 数值字母运算 实际问题中求值    代数问题中求值 【归纳总结】负数或者分数的平方要加　小括号　，将负数或者分数作为一个整体.当小括号里面出现小括号时，外面的小括号变成　中括号　. 小括号中括号 1.如图，这是一个简单的数值运算程序，当输入n的值为4时，则输出的结果为(　C　)2.已知a－b＝4，则代数式1＋2a－2b的值为(　A　)CA3.如图，在一个长方形操场的四角都设计一块半径相同的四分之一圆形的花坛，若圆形的半径为r米，操场的长为a米，宽为b米.(1)请列式表示操场空地的面积.(2)若操场的长为50米，宽为20米，圆形花坛的半径为3米，求操场空地的面积.(π取3.14，计算结果保留一位小数)解:(1)广场空地的面积为(ab－πr2)平方米.(2)当a＝50，b＝20，r＝3时，操场空地的面积为ab－πr2＝50×20－3.14×32＝971.74≈971.7 平方米. 直接代入求值 【归纳总结】首先要明确代数式表示的意义，再代入求值，代入时省略的乘号要补上去.18 整体代入法2.如果a＋b＝5，那么(a＋b)2－4(a＋b)＝　5　. 5[变式演练]1.若x2－3x＝6，则6x－2x2＝　－12　.  方法归纳交流　求整式的值分两种情况:1.已知整式中每个字母的值，　直接　代入求值；2.知道某个代数式的值，且无法求出代数式中每个字母的具体值，采用　整体代换　的数学思想解决问题. －127直接整体代换 根据实际问题列代数式求值3.储水池中原有水900 m3，每小时从中放出30 m3的水.(1)写出池中的剩余水量Q(m3)与放水时间t(h)之间的函数关系式.(2)求12 h后，池中剩余的水量.解:(1)Q＝900－30t.(2)540 m3.知识点1　代数式的值1. 若 x 满足 x2＋3 x －5＝0，则代数式2 x2＋6 x －3的值为(　B　)【点拨】因为 x2＋3 x －5＝0，所以 x2＋3 x ＝5，所以2 x2＋6 x －3＝2( x2＋3 x )－3＝2×5－3＝7.故选B. B 返回2. [2024·合肥四十五中期末]如图，图①中有5个小圆点，图②中有8个小圆点，图③中有13个小圆点，…，根据这个规律，图⑨中小圆点有(　B　)【点拨】题图①中有12＋4＝5(个)小圆点，题图②中有22＋4＝8(个)小圆点，题图③中有32＋4＝13(个)小圆点，…依次类推可知，题图⑨中有92＋4＝85(个)小圆点，故选B. 【答案】B 返回知识点2　求代数式值的应用3. 如图所示的运算程序，能使输出的结果为16的是(　C　)　　A. 当 x ＝5， y ＝－3时， xy ≤0，( x － y )2＝64，不合题意；B. 当 x ＝7， y ＝3时， xy ＞0， x2－ y2＝40，不合题意；C. 当 x ＝3， y ＝－1时， xy ≤0，( x － y )2＝16，符合题意；D. 当 x ＝4， y ＝1时， xy ＞0 x2－ y2＝15，不合题意.故选C. 【点拨】【答案】C 返回4. 如下表，观察两个代数式的值的变化情况.(1)随着 m 的值逐渐变大，两个代数式的值如何变化？【解】由表格知随着 m 的值逐渐变大，两个代数式的值都变大.(2)估计随着 m 的值逐渐变大，哪个代数式的值先超过200.【解】由表格可估计，随着 m 的值逐渐变大，2 m2＋1的值先超过200. 返回必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！