2025-2026学年上学期武汉小学数学四年级期末典型卷3

这是一份2025-2026学年上学期武汉小学数学四年级期末典型卷3，共55页。试卷主要包含了直接写得数，列竖式计算，带★的要验算，脱式计算，674087≈万，200公顷＝平方千米，比大小等内容，欢迎下载使用。
1．直接写得数。
二．计算题（共1小题）
2．列竖式计算，带★的要验算。
三．计算题（共1小题）
3．脱式计算。
81÷9×12
120÷（60÷15）
480÷32—12
四．填空题（共9小题）
4．某微博阅读量达到六千五百三十七万零八百次，这个数写作 ，省略“万”后面的尾数约是 万。
5．674087≈（ ）万
51676200000≈（ ）亿
6．200公顷＝（ ）平方千米
45公顷＝（ ）平方米
7平方千米＝（ ）公顷＝（ ）平方米
7．比大小。
480÷24 240÷12
430×30 43×300
48×150 24×300
91÷28 91÷7×4
8．课桌凳单价是137元/套，新华小学买了48套，一共付多少元？如图算式中，箭头所指这一步表示买 套用 元。
9．算式45×9+5＝410，那么410÷9＝ …… 。
10．用一个锅煎饼，每次只能同时煎两个，两面都要煎，每面要4分钟。煎5个饼最少要用 分钟。
11．有一块田地呈等腰梯形，它的下底是4厘米，一条腰是3厘米。若将这个等腰梯形的上底增加2厘米，等腰梯形就变成了一个平行四边形，这个等腰梯形的周长是（ ）厘米。
12．将周长是48cm的正方形纸先上下对折，再左右对折，如图得到的小正方形的周长是 cm。
五．判断题（共4小题）
13．a÷b＝5……3，如果a、b同时扩大到原来的10倍，商和余数不变。 （）
14．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形。 （）
15．等边三角形是锐角三角形。 （）
16．413×4一定大于413。 （）
六．选择题（共6小题）
17．下面算式（ ）的积一定小于6000。
A．290×22B．318×19C．298×19
18．两个5和五个0组成的七位数，读数时一个0也不读出来，这个数可能是（ ）
A．5005000B．5000500C．5000005
19．“比大小”游戏的规则是：①对阵3次，出大者赢，赢两次者获胜：②每人每次出一张卡片；③第一次谁先出卡片，后两次还是谁先。左边三张是小明的卡片，右边三张是小军的卡片。如果小明先出10，为了确保获胜，小军出（ ）
A．7B．5C．9
20．下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内的两条直线不是平行就是垂直
B．平行四边形是特殊的梯形
C．等腰梯形的两底角相等
D．所有梯形都不是轴对称图形
21．笑笑最近在阅读《伊索寓言》，前3天读了240页。照这样的速度，后4天能读多少页？下图能正确表示题意的是（ ）
A．
B．
C．
22．把除数72看作70来试商，商可能（ ）
A．偏大B．偏小C．不能确定
七．操作题（共4小题）
23．画一个1300的角。
24．画一个120度的角。
25．在如图平行四边形底上画对应的高，并将它分成一个梯形和一个三角形。
26．运动会结束后，李强调查了本年级同学参加的部分运动项目情况，记录结果如表。
（1）整理记录的结果，填写如表。
（2）参加 的人数最多，参加 的人数最少。
（3）拍皮球的比跳绳的少 人，打乒乓球的比踢足球的多 人。
八．应用题（共6小题）
27．购物。
（1）张老师要为学校买25个足球，一共需要多少元？
（2）王老师带5000元，买24个篮球，够吗？
28．饲养场养鸭25只，鸡的只数是鸭的8倍。将这些鸡平均养在5个鸡舍里，每个鸡舍有多少只鸡？
29．为了响应“全民健身迎亚运”活动，李老师买了5打羽毛球，一共用了150元，问平均每个羽毛球多少钱？（1打＝12个）
30．134名游客一起游览某景区，每辆游览车限载客6人，他们至少需要租多少辆游览车？
31．一个长方形林场长12千米，李叔叔开汽车以每小时80千米的速度绕林场一周需要半小要时，这个林场的面积是多少平方千米？合多少公顷？
32．假期中小明和爸爸自驾从A城到C城游玩，他记录下了路上的一些数学问题。从A城经B城开往C城（如图1），这辆车从A城到B城的平均速度如图2所示，从B城到C城的平均速度是多少？（先列式解决并把这个速度画在图3中）
2025-2026学年上学期武汉小学数学四年级期末模拟卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
一．计算题（共1小题）
1．直接写得数。
【考点】一位数乘三位数；两位数乘三位数；两位数除两、三位数；0的乘除运算；千以内加减法．
【专题】运算能力．
【答案】450；30；111；10500；0；110；6000；3000。
【分析】根据一位数乘三位数、两位数除三位数、千以内加减法的计算法则进行计算即可、
【解答】解：
【点评】本题考查一位数乘三位数、两位数除三位数、千以内加减法的计算。注意计算的准确性。
二．计算题（共1小题）
2．列竖式计算，带★的要验算。
【考点】列竖式计算除法；列竖式计算乘法．
【专题】运算能力．
【答案】10472，24000，10620，125，49，30……6。
【分析】三位数乘两位数的笔算：①先用两位数个位上的数去乘三位数，得数的末位和两位数的个位对齐，再用两位数十位上的数去乘三位数，得数的末位和两位数的十位对齐，最后把两次乘得的积相加。②计算因数中间有0的三位数乘两位数，中间的0也要参与计算，计算方法同三位数乘两位数的笔算方法。③末尾有0的两个因数相乘时，我们可以先把0前面的数相乘，然后再数两个因数的末尾一共有几个0就在积的末尾添上几个0。计算除数是两位数的除法：①把除数看作和它接近的整十数试商。②计算时从高位算起，先用被除数的前两位除以除数，如果被除数前两位比除数小，就用前三位除以除数。③除到被除数的第几位，商就写在这一位上。④注意每次的余数要比除数小有余数的除法用商×除数+余数＝被除数进行验算。
【解答】解：308×34＝10472
480×50＝24000
295×36＝10620
7500÷60＝125
882÷18＝49
★756÷25＝30……6
【点评】本题主要考查了两位数乘三位数乘法、两位数除多位数除法的竖式计算方法以及除法的验算方法，注意计算的准确性。
三．计算题（共1小题）
3．脱式计算。
81÷9×12
120÷（60÷15）
480÷32—12
【考点】无括号四则混合运算；带括号的四则混合运算．
【专题】运算能力．
【答案】108；30；3。
【分析】按照从左到右的顺序计算；
先算小括号里面的除法，再算括号外面的除法；
先算除法，再算减法。
【解答】解：81÷9×12
＝9×12
＝108
120÷（60÷15）
＝120÷4
＝30
480÷32﹣12
＝15﹣12
＝3
【点评】本题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，按照正确的运算顺序计算即可。
四．填空题（共9小题）
4．某微博阅读量达到六千五百三十七万零八百次，这个数写作 65370800 ，省略“万”后面的尾数约是 6537 万。
【考点】亿以内数的读写．
【专题】整数的认识；数感．
【答案】65370800，6537。
【分析】根据整数的写法，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，即可写出此数；省略“万”后面的尾数就是四舍五入到万位，就是把万位后的千位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“万”字。
【解答】解：六千五百三十七万零八百写作：65370800
65370800≈6537万
故答案为：65370800，6537。
【点评】本题主要考查整数的写法、改写和求近似数，注意改写和求近似数时要带计数单位。
5．674087≈（ 67 ）万
51676200000≈（ 517 ）亿
【考点】亿以上数的改写与近似；亿以内数的改写与近似．
【专题】对应法；数感．
【答案】67；517。
【分析】问题1，省略万位后面的尾数，要看千位上的数，如果千位上的数小于5，直接省略尾数，然后添上计数单位万即可；如果千位上的数等于或大于5，省略尾数的同时要向万位“进1”，然后再添上计数单位万。
问题2，省略亿位后面的尾数，要看千万位上的数，如果千万位上的数小于5，直接省略尾数，然后添上计数单位亿即可；如果千万位上的数等于或大于5，省略尾数的同时要向亿位“进1”，然后再添上计数单位亿。
【解答】解：674087≈67万
51676200000≈517亿
故答案为：67；517。
【点评】本题考查了大数的改写问题，解答时一定要熟练掌握四舍五入法。
6．200公顷＝（ 2 ）平方千米
45公顷＝（ 450000 ）平方米
7平方千米＝（ 700 ）公顷＝（ 7000000 ）平方米
【考点】大面积单位间的进率及单位换算．
【专题】综合填空题；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】1平方千米＝100公顷，1公顷＝10000平方米，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率，小单位换算成大单位要除以它们之间的进率；据此解答。
【解答】解：200公顷＝2平方千米
45公顷＝450000平方米
7平方千米＝700公顷＝7000000平方米
故答案为：2；450000；700；7000000。
【点评】本题考查的主要内容是面积单位换算问题。
7．比大小。
480÷24 ＝ 240÷12
430×30 ＝ 43×300
48×150 ＝ 24×300
91÷28 ＜ 91÷7×4
【考点】两位数除两、三位数；两位数乘三位数．
【专题】运算能力．
【答案】＝；＝；＝；＜。
【分析】根据除数是两位数的除法计算法则，先看被除数前两位，若不够除就看前三位，除到哪一位，商就写在哪一位上。根据三位数乘两位数的计算法则，数位对齐后，先用两位数的个位和十位上的数依次分别去乘三位数，最后把乘得的结果进行相加。依此算出算式两边的结果，再进行比较。
【解答】解：480÷24＝20
240÷12＝20
480÷24＝240÷12；
430×30＝12900
43×300＝12900
430×30＝43×300；
48×150＝7200
24×300＝7200
48×150＝24×300；
91÷28＝3……7
91÷7×4＝13×4＝52
91÷28＜91÷7×4。
故答案为：＝；＝；＝；＜。
【点评】本题考查两位数乘三位数、两位数除三位数的计算。注意计算的准确性。
8．课桌凳单价是137元/套，新华小学买了48套，一共付多少元？如图算式中，箭头所指这一步表示买 40 套用 5480 元。
【考点】两位数乘三位数．
【专题】运算能力；应用意识．
【答案】40，5480。
【分析】根据三位数乘两位数的计算法则以及各个数位上数的意义进行解答，箭头所指548是137乘4得到的，4在48的十位上表示40，所以应该为137×40，据此解答即可。
【解答】解：137×40＝5480（元）
548表示买40套用5480元。
故答案为：40，5480。
【点评】本题考查三位数乘两位数的计算法则以及各个数位上数的意义。注意计算的准确性。
9．算式45×9+5＝410，那么410÷9＝ 45 …… 5 。
【考点】有余数的除法．
【专题】运算能力．
【答案】45，5。
【分析】根据在有余数的除法里，余数总比除数小，被除数＝商×除数+余数，由此解答即可。
【解答】解：算式45×9+5＝410，那么410÷9＝45……5。
故答案为：45，5。
【点评】明确被除数、除数、商和余数之间的关系，是解答此题的关键。
10．用一个锅煎饼，每次只能同时煎两个，两面都要煎，每面要4分钟。煎5个饼最少要用 20 分钟。
【考点】烙饼问题．
【专题】推理能力．
【答案】20。
【分析】当煎2张及以上的饼，并且锅里只能同时煎两张饼时，最少需要的时间＝煎一面需要的时间×张数；依此计算并填空。
【解答】解：4×5＝20（分钟）
答：煎5个饼最少要用20分钟。
故答案为：20。
【点评】熟练掌握优化问题的计算是解答此题的关键。
11．有一块田地呈等腰梯形，它的下底是4厘米，一条腰是3厘米。若将这个等腰梯形的上底增加2厘米，等腰梯形就变成了一个平行四边形，这个等腰梯形的周长是（ 12 ）厘米。
【考点】梯形的周长．
【专题】平面图形的认识与计算；应用意识．
【答案】12。
【分析】平行四边形的对边相等。由题意得，等腰梯形的上底增加2厘米，等腰梯形就变成了一个平行四边形，说明等腰梯形的下底比上底长2厘米。等腰梯形的下底是4厘米，直接用4厘米减去2厘米即可算出上底的长度。等腰梯形的周长等于上底加下底再加上两条腰的长度，直接将数据代入即可解答。
【解答】解：4﹣2＝2（厘米）
2+4＝6（厘米）
3×2＝6（厘米）
2+4+6
＝6+6
＝12（厘米）
答：这个等腰梯形的周长是12厘米。
故答案为：12
【点评】本题考查的是梯形的周长的计算，理解和应用梯形周长的意义是解答关键。
12．将周长是48cm的正方形纸先上下对折，再左右对折，如图得到的小正方形的周长是 24 cm。
【考点】简单图形的折叠问题．
【专题】平面图形的认识与计算；应用意识．
【答案】24。
【分析】48÷4＝12（cm），求出大正方形的边长，再用12÷2＝6（cm），求出先上下对折，再左右对折得到的小正方形的边长，再根据正方形周长＝边长×4，即可解答。
【解答】解：48÷4＝12（cm）
12÷2＝6（cm）
6×4＝24（cm）
答：得到的小正方形的周长是24cm。
故答案为：24。
【点评】本题考查的是正方形周长的计算，熟记公式是解答关键。
五．判断题（共4小题）
13．a÷b＝5……3，如果a、b同时扩大到原来的10倍，商和余数不变。 × （）
【考点】商不变的规律（被除数和除数同时乘或除以相同不为零的数）．
【专题】运算能力．
【答案】×。
【分析】在有余数的除法算式里，被除数和除数同时扩大到原来的10倍，那么商不变，余数也要扩大到原来的10倍，据此判断。
【解答】解：已知a÷b＝3……5，如果a和b同时扩大到原来的10倍，那么商不变，余数也要扩大到原来的10倍，所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】熟练掌握商和余数的变化规律是解答此题的关键。
14．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形。 × （）
【考点】梯形的特征及分类．
【专题】平面图形的认识与计算；几何直观．
【答案】×
【分析】一组对边平行，另一组对边相等且平行的四边形是平行四边形；一组对边平行，另一组对边相等但不平行的四边形是等腰梯形。
【解答】解：根据平行四边形的概念及等腰梯形的概念，可知满足“一组对边平行，另一组对边相等”的四边形可能是平行四边形或等腰梯形。
故答案为：×。
【点评】此题考查了等腰梯形与平行四边形的判定，此题比较简单，注意熟记概念是解此题的关键。
15．等边三角形是锐角三角形。 √ （）
【考点】三角形的分类．
【专题】应用意识．
【答案】√。
【分析】等边三角形的三条边相等，三个角也相等，都是60°，是锐角。根据锐角三角形的意义，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。
【解答】解：等边三角形的三个角都是60°，是锐角，因此，等边三角形是锐角三角形等边三角形是锐角三角形。
原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】此题考查的知识点：等边三角形的特征、角的分类、三角形的分类、三角形内角和定理。
16．413×4一定大于413。 √ （）
【考点】积的变化规律．
【专题】数据分析观念．
【答案】√
【分析】一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数；据此判断。
【解答】解：因为4＞1，所以413×4一定大于413，说法正确。
故答案为：√。
【点评】此题考查了不用计算判断因数与积之间大小关系的方法。
六．选择题（共6小题）
17．下面算式（ ）的积一定小于6000。
A．290×22B．318×19C．298×19
【考点】两位数乘三位数；数的估算．
【专题】运算顺序及法则；运算能力．
【答案】C
【分析】根据整数乘法的估算方法，分别求出各个选项中算式估算的结果，然后再比较解答。
【解答】解：A.290×22＞300×20＝6000
B、318×19＞300×20＝6000
C、298×19＜300×20＝6000
由以上可得298×19的积一定小于6000。
故选：C。
【点评】整数乘法的估算，把因数看作与它接近的整十数、整百数，然后再进一步解答。
18．两个5和五个0组成的七位数，读数时一个0也不读出来，这个数可能是（ ）
A．5005000B．5000500C．5000005
【考点】亿以内数的读写．
【专题】综合题；数据分析观念．
【答案】A
【分析】整数的读法：读数之前先分级，每四位一级，从最高级读起，一级一级往下读，先读亿级，再读万级，最后读个级；读亿级和万级时按读个级的方法来读，读完亿级后加上一个“亿”字，读完万级后加上一个“万”字；每级末尾不管有几个0都不读，每级中间和前面有一个或连续几个0，都只读一个0。据此读出各个数，再进行解答。
【解答】解：A．5005000读作：五百万五千
B．5000500读作：五百万零五百
C．5000005读作：五百万零五
则两个5和五个0组成的七位数，读数时一个0也不读出来，这个数可能是5005000。
故选：A。
【点评】此题考查了亿以内数的读写，要求学生掌握。
19．“比大小”游戏的规则是：①对阵3次，出大者赢，赢两次者获胜：②每人每次出一张卡片；③第一次谁先出卡片，后两次还是谁先。左边三张是小明的卡片，右边三张是小军的卡片。如果小明先出10，为了确保获胜，小军出（ ）
A．7B．5C．9
【考点】田忌赛马问题．
【专题】压轴题；应用意识．
【答案】B
【分析】小明第一次出的是10，小军出哪个都比10小，都是输，既然都是输，要拿出最小的5与之对阵，这样剩下的两张都比小明的大，都会赢，根据游戏规则，小军以2：1胜，据此解答即可。
【解答】解：第一局：10＞5；所以小明赢。
所以第二局和第三局：无论小明出6或8，小军剩下的两张卡片都比6和8大，此时小军赢下两局，最终小军获胜。
故选：B。
【点评】此题主要考查了最佳对策问题，结合田忌赛马的故事分析解答是解题关键。
20．下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内的两条直线不是平行就是垂直
B．平行四边形是特殊的梯形
C．等腰梯形的两底角相等
D．所有梯形都不是轴对称图形
【考点】平行四边形的特征及性质；梯形的特征及分类；轴对称图形的辨识；垂直与平行的特征及性质．
【专题】几何直观．
【答案】C
【分析】根据平行四边形和梯形的特征，分析解答即可。
【解答】解：A.在同一平面内的两条直线不是平行就是相交，所以本选项说法错误；
B.平行四边形不是特殊的梯形，所以本选项说法错误；
C.等腰梯形的两底角相等，正确；
D.等腰梯形是轴对称图形，所以本选项说法错误。
故选：C。
【点评】本题考查了平行四边形和梯形的特征，结合题意分析解答即可。
21．笑笑最近在阅读《伊索寓言》，前3天读了240页。照这样的速度，后4天能读多少页？下图能正确表示题意的是（ ）
A．
B．
C．
【考点】简单的归一应用题．
【专题】应用意识．
【答案】B
【分析】前3天读了240页，则用一条线段表示每天读的页数，3条同样长的线段表示读了240页，根据“照这样的速度”可知后4天中每天读书的页数与前3天每天读的页数相等，用同样长的线段表示每天读书的页数，4条同样长的线段表示4天读的页数，据此解答。
【解答】解：A.表示前3天读了240页，且前3天和后4天读的总页数相等，不符合题意；
B.能正确表示题意；
C.表示前3天每天读240页，且前3天和后4天读的总页数相等，不符合题意。
故选：B。
【点评】本题考查了用画图的方法解决问题，关键是正确理解题意，找准数量关系。
22．把除数72看作70来试商，商可能（ ）
A．偏大B．偏小C．不能确定
【考点】两位数除两、三位数．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】A
【分析】在除数是两位数除法的计算中，要把除数看作和它接近的整十的数进行试商，把72看作70来试商时，被除数不变，除数变小，则根据商的变化规律可得，商可能会偏大，由此判断即可。
【解答】解：把72看作70来试商时，除数变小，初商可能偏大。
故选：A。
【点评】除数是两位数的除法计算中，试商时，要注意初商偏大或偏小的情况。
七．操作题（共4小题）
23．画一个1300的角。
【考点】画指定度数的角．
【专题】空间与图形；几何直观．
【答案】
【分析】画一个130°的角可据以下步骤进行：
（1）先画一条射线使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合；
（2）在量角器130°角刻度线的地方点一个点；
（3）以射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线即可作成一个130°的角。
【解答】解：
【点评】本题考查了画角的方法。
24．画一个120度的角。
【考点】画指定度数的角．
【专题】作图题；应用意识．
【答案】
【分析】画一个120°的角可根据以下步骤进行：
（1）先画一条射线使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合；
（2）在量角器120°角刻度线的地方点一个点；
（3）以射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线即可作成一个120°的角。
【解答】解：根据角的画法，作图如下：
【点评】本题考查了学生根据所给度数利用作图工具画角的动手能力。
25．在如图平行四边形底上画对应的高，并将它分成一个梯形和一个三角形。
【考点】作平行四边形的高；图形划分．
【专题】几何直观．
【答案】（画法不唯一）
【分析】从平行四边形上底的左面端点作下底的垂线段即可把平行四边形分成一个直角三角形和一个直角梯形。据此解答即可。
【解答】解：如图：
（画法不唯一）
【点评】本题考查了平行四边形高的画法以及图形的划分知识，结合题意分析解答即可。
26．运动会结束后，李强调查了本年级同学参加的部分运动项目情况，记录结果如表。
（1）整理记录的结果，填写如表。
（2）参加 跳绳 的人数最多，参加 踢足球 的人数最少。
（3）拍皮球的比跳绳的少 6 人，打乒乓球的比踢足球的多 4 人。
【考点】统计图表的填补；从统计图表中获取信息．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】（1）12、9、18、13；（2）跳绳、踢足球；（3）6、4。
【分析】（1）一个正字5画，表示5人，分别数出参加各种运动的人数，填写在表格里；
（2）将表中的数据比较大小，即可知道参加哪种运动的人数最多，参加哪种运动的人数最少；
（3）用参加跳绳的人数减去拍皮球的人数，即可求出拍皮球的比跳绳的少几人；用打乒乓球的人数减去踢足球的人数，即可求出打乒乓球的比踢足球的多几人。
【解答】解：（1）数一数可知：拍皮球的有12人，踢足球的有9人，跳绳的有18人，打乒乓球的有13人；
（2）18＞13＞12＞9
所以参加跳绳的人数最多，参加踢足球的人数最少。
（3）18﹣12＝6（人）
13﹣9＝4（人）
答：拍皮球的比跳绳的少6人，打乒乓球的比踢足球的多4人。
故答案为：（1）12、9、18、13；（2）跳绳、踢足球；（3）6、4。
【点评】本题主要考查统计图表的填充，以及根据已知条件回答问题。
八．应用题（共6小题）
27．购物。
（1）张老师要为学校买25个足球，一共需要多少元？
（2）王老师带5000元，买24个篮球，够吗？
【考点】两位数乘三位数．
【专题】运算能力．
【答案】（1）4725元。
（2）够。
【分析】（1）根据总价＝单价×数量，用每个足球的价格乘25，即可求出买25个足球一共需要的钱数。
（2）用每个篮球的价格乘24，即可求出买24个篮球一共需要的钱数，再和5000元比较大小。
【解答】解：（1）189×25＝4725（元）
答：一共需要4725元。
（2）206×24＝4944（元）
4944＜5000元
答：买24个篮球够。
【点评】本题考查了单价、数量和总价之间的关系的运用。
28．饲养场养鸭25只，鸡的只数是鸭的8倍。将这些鸡平均养在5个鸡舍里，每个鸡舍有多少只鸡？
【考点】表外乘除混合．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】40只。
【分析】鸡的只数＝鸭的只数×8，据此求出鸡的只数，再除以鸡舍的个数即可。
【解答】解：25×8÷5
＝200÷5
＝40（只）
答：每个鸡舍有40只鸡。
【点评】此题考查表外乘除混合计算及应用。
29．为了响应“全民健身迎亚运”活动，李老师买了5打羽毛球，一共用了150元，问平均每个羽毛球多少钱？（1打＝12个）
【考点】表外乘除混合．
【专题】应用意识．
【答案】2.5元。
【分析】1打羽毛球有12个，共买了5打，用12乘5求出羽毛球的数量，再根据总价÷数量＝单价，代入数据即可求出平均每个羽毛球多少钱。
【解答】解：12×5＝60（个）
150÷60＝2.5（元）
答：平均每个羽毛球2.5元。
【点评】此题主要根据总价、数量、单价三者之间的关系，利用小数除法的计算法则，求出结果。
30．134名游客一起游览某景区，每辆游览车限载客6人，他们至少需要租多少辆游览车？
【考点】有余数的除法应用题．
【专题】应用意识．
【答案】23辆。
【分析】由题意得，134名游客一起游览某景区，每辆游览车限载客6人，求至少需要租多少辆游览车，直接用134除以6即可解答。有余数时，需要再加一辆车才能把所有人坐下。
【解答】解：134÷6＝22（辆）……2（人）
22+1＝23（辆）
答：134名游客一起游览某景区，每辆游览车限载客6人，他们至少需要租23辆游览车。
【点评】本题考查了带余除法计算的应用。
31．一个长方形林场长12千米，李叔叔开汽车以每小时80千米的速度绕林场一周需要半小要时，这个林场的面积是多少平方千米？合多少公顷？
【考点】大面积单位间的进率及单位换算；长方形、正方形的面积；简单的行程问题．
【专题】常见的量．
【答案】96平方千米，9600公顷。
【分析】先根据长方形的周长公式求出长方形的宽，再根据长方形的面积＝长×宽，求出面积即可。
【解答】解：80÷2＝40（千米）
40÷2﹣12
＝20﹣12
＝8（千米）
12×8＝96（平方千米）
96平方千米＝9600公顷
答：这个林场的面积是96平方千米，合9600公顷。
【点评】熟练掌握长方形的周长和面积公式，是解答此题的关键。
32．假期中小明和爸爸自驾从A城到C城游玩，他记录下了路上的一些数学问题。从A城经B城开往C城（如图1），这辆车从A城到B城的平均速度如图2所示，从B城到C城的平均速度是多少？（先列式解决并把这个速度画在图3中）
【考点】简单的行程问题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】75千米/小时，。
【分析】根据速度＝路程÷时间，用总路程减去AB间的距离，计算BC的路程，再计算其速度即可。
【解答】解：（360﹣70×3）÷2
＝150÷2
＝75（千米/小时）
答：从B城到C城的平均速度是75千米/小时。
如图：
【点评】本题主要考查简单的行程问题的应用。
考点卡片
1．亿以内数的读写
【知识点归纳】
一、亿以内数的读法（含有两级的数的读法）
（1）读数之前，先分级。从个位起，每四个数位是一级。例如：（2496¦0000）
（2）先读万级，再读个级。
（3）万级的数，要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“万”字。
（4）每级末尾不管有几个0，都不读；其他数位上有一个0或连续几个0，都只读一个0。
二、亿以内数的写法（注意：一定要保证个级是四位数。）
（1）写数之前，先分级；
（2）先写万级，再写个级；
（3）哪个数位上一个计数单位也没有，就在那个数位上写0占位。
【常考题型】
1、一个数是由4个千万，3个十万，6个百和5个一组成的，这个数写作（ ），读作（ ）。
答案：40300605；四千零三十万零六百零五
2、2023年我国有12910000考生报名参加高考，比去年增加980000人，再创历史新高。横线上的两个数分别读作（ ）和（ ）。
答案：一千两百九十一万；九十八万
有一个七位数，它的最高位上的数字是6，万位上的数字是9，十位上的数字是2，其余个位上的数字都是0，这个数写作（ ），它是由6个（ ）、9个（ ）和2个（ ）组成的。
答案：6090020；百万；万；十
2．亿以内数的改写与近似
【知识点归纳】
一、数的改写
1、亿以内数的改写方法：把整万的数改写成用“万”作单位的数时，先分级，再去掉个级的4个“0”，然后在后面加上一个“万”字。
2、亿以上数的改写方法：
找到亿位，去掉亿位后面的8个0，换成“亿”字，用“＝”连接。
二、求近似数
1、求亿以内数的近似数的方法：
省略万位后面的尾数，要看千位上的数，如果千位上的数小于5，就舍去尾数；如果千位上的数等于或大于5，就向前一位进1，再舍去尾数。这种方法叫“四舍五入”法。
2、求亿以上数的近似数的方法：
省略亿位后面的尾数时，要先分级，再看千万位上的数，如果千万位上的数满5，就向前一位进1，然后再舍去尾数，加上一个“亿”字；如果千万位上的数不满5，就直接舍去尾数，再加上一个“亿”字。
【方法总结】
1、注意：改写前后数的大小不变，中间要用“＝”连接。
2、提示：无论是省略万位后面的尾数还是省略亿位后面的尾数，都可以用“四舍五入”法求近似数，要根据尾数部分的最高位上的数来决定是“四舍”还是“五入”，并且“五入”时不要忘记向前一位进1，而且有时还会遇到连续进位的情况。
【常考题型】
1、新疆的塔卡拉玛干沙漠是我国最大的沙漠，它的面积大约为320000平方干米。横线上的数字改写成以“万”为单位的数是（ ）。
A、32万
B、320万
C、3200万
答案：A
2、将一个数改写成以“万”为单位的数是413万，那么这个数原来是（ ）。
A、413000
B、4130000
C、41300000
答案：B
3、摩纳哥是一个位于欧洲地中海沿岸的“袖珍国家”，国土面积狭小，却页是世界上人口密度最大的国家，每平方千米大约有14700人，省略万位后面的尾数大约是（ ）万人。
A、1万
B、2万
C、14万
答案：A
3．亿以上数的改写与近似
【知识点归纳】
一、数的改写
1、亿以上数的改写方法：把整万的数改写成用“万”作单位的数时，先分级，再去掉个级的4个“0”，然后在后面加上一个“万”字。
2、亿以上数的改写方法：
找到亿位，去掉亿位后面的8个0，换成“亿”字，用“＝”连接。
二、求近似数
1、求亿以上数的近似数的方法：
省略亿位后面的尾数时，要先分级，再看千万位上的数，如果千万位上的数满5，就向前一位进1，然后再舍去尾数，加上一个“亿”字；如果千万位上的数不满5，就直接舍去尾数，再加上一个“亿”字。
【方法总结】
1、注意：改写前后数的大小不变，中间要用“＝”连接。
2、提示：无论是省略万位后面的尾数还是省略亿位后面的尾数，都可以用“四舍五入”法求近似数，要根据尾数部分的最高位上的数来决定是“四舍”还是“五入”，并且“五入”时不要忘记向前一位进1，而且有时还会遇到连续进位的情况。
【常考题型】
1、改写。（4个0换一个“万”字，将整万的数改写成以“万”作单位的数；8个0换一个“亿”字，将整亿的数改写成以“亿”作单位的数。）
3000000＝（ ）万
8230000＝（ ）万
1200000000＝（ ）亿
50700000000＝（ ）亿
答案：300；823；12；507
4．千以内加减法
【知识点归纳】
1、（1）计算时先把相同数位对齐，从个位加起，哪一位上的数相加满十，要向前一位进一。
（2）加法验算方法：把两个加数的位置调换后再加一遍，两次得到的结果相等就说明计算结果正确，不相等，则说明计算结果不正确，需要重新计算。
2、千以内减法笔算方法：
（1）先把相同数位对齐，从个位减起，哪一位上的数不够减，要从前一位退1，在本位上加10再减；
（2）当个位不够减需要退位时，如果十位上是0，无1可退，就要从百位上退1当成10个十先传递到十位，再从十位退1到个位，当成10个一再计算。
【方法总结】
1、相同数位要对齐，从个位加起，如果有进位，不要忘记加进位数。
2、在计算加减混合运算时，遇到能简便计算的，可以简便计算。
【常考题型】
口算题。
答案：437；202；650
2、书城进货了928本图书，第一周卖出去了123本，第二周进货了181本，现在书城有多少本图书？
答案：928﹣123+181＝986（本）
5．一位数乘三位数
【知识点归纳】
1、三位数（中间有0）乘一位数的笔算：
从个位乘起，用一位数依次去乘三位数中每一位上的数（包括0），当个位乘的的积向十位进位时，将进上来的数写在十位上，如果个位上没有进位，那么十位上就用0占位。
2、三位数（末尾有0）乘一位数的笔算：
乘数末尾有0的，一位数要与它的末尾0前面的数对齐，先乘0前面的数，再看乘数末尾有几个0，就在积的末尾添上几个0。
【方法总结】
一位数与三位数相乘也分了两个层次：
（1）横式计算。通过横式计算说明一位数与三位数相乘的基本算法：可以把三位数因数分拆成几百、几十、和几，分别与另一个因数相乘，再将几个部分积相加。
（2）竖式计算。通过让学生运用已学的知识，将使用竖式计算一位数与两位数相乘问题的方法迁移到计算一位数与三位数相乘，培养学生的迁移能力和探究能力。
【常考题型】
一个微波炉758元，要买3个，总共要花多少钱？
答案：758×3＝2274（元）
一个电饭煲268元，要买2个，总共要花多少钱？
答案：268×2＝536（元）
6．两位数乘三位数
【知识点归纳】
1、三位数乘两位数的方法：先用一个因数的个位与另一个因数的每一位依次相乘，再用这个因数的十位与另一个因数的每一位依次相乘，乘到哪一位，积的个位就与哪一位对齐，哪一位满十就向前一位进“1”，再把两次相乘的积加起来。末尾有0时，把两个因数0前面的数对齐，并将它们相乘，再在积的后面添上没有参加运算的几个0。中间有0时，这个0要参加运算。
【方法总结】
因数是两、三位数的乘法的估算方法：先把两个因数的最高位后面的尾数省略，求出近似数，再把这两个近似数相乘。
2、三位数乘两位数的笔算
①先用两位数个位上的数去乘三位数，得数的末位和两位数的个位对齐，再用两位数十位上的数去乘三位数，得数的末位和两位数的十位对齐，最后把两次乘得的积相加。
②计算因数中间有0的三位数乘两位数，中间的0也要参与计算，计算方法同三位数乘两位数的笔算方法。
③末尾有0的两个因数相乘时，我们可以先把0前面的数相乘，然后再数两个因数的末尾一共有几个0就在积的末尾添上几个0。
【常考题型】
谷子每袋23元，要买114袋谷子，需要花多少钱？
答案：114×23＝2622（元）
从北京到济南每张火车票195元，一个旅游团有28人，准备6000元买火车票够吗？
答案：195×28＝5460（元）
5460元＜6000元
答：准备6000元买火车票够。
7．列竖式计算乘法
【知识点归纳】
1、三位数乘两位数的计算方法：列竖式计算三位数乘两位数时，相同数位对齐，先用两位数个位上的数去乘三位数，哪一位上的乘积满几十，就向前一位进几，得数的末位和两位数的个位对齐；再用两位数十位上的数去乘三位数，哪一位上的乘积满几十就向前一位进几，得数的末位和两位数的十位对齐；最后把两次乘得的积相加，相加时，哪一位满几十同样向前一位进几。
【方法总结】
1、乘数中间或末尾有0的三位数乘两位数的计算方法。
（1）乘数中间有0时，这个0也要乘；与0相乘时，如果有进位数一定要加上进位数，如果没有进位数，就写0占位。
（2）乘数末尾有0时，可以先把0前面的数相乘，再看乘数末尾一共有几个0，就在积的末尾添上几个0。
【常考题型】
1、计算16×300时，可以先算（ ），再在积的末尾添（ ）。
答案：16×3；两个0
2、12的103倍是（ ），31个200是（ ）。
答案：1236；6200
8．两位数除两、三位数
【知识点归纳】
1、怎样计算除数是两位数的除法：
①把除数看作和它接近的整十数试商。
②计算时从高位算起，先用被除数的前两位除以除数，如果被除数前两位比除数小，就用前三位除以除数。
③除到被除数的第几位，商就写在这一位上。
④注意每次的余数要比除数小。
【方法总结】
1、试商时，用四舍五入法将除数看作最接近的整十数来试商；
若除数看大，则初商可能偏小；
若除数看小，则初商可能偏大。
2、余数要比除数小：最小的余数是1；最大的余数＝除数﹣1。
【常考题型】
1、765÷23的商是（ ）位数，商的最高位是（ ）位。
答案：两；十
2、□÷☆＝5……21，☆最小是（ ），这时的□是（ ）。
答案：22；131
3、□÷16＝9……△，△最大是（ ），这时□是（ ）。
答案：15；159
4、56÷5＝11……1，其中56是除法算式中的（ ），5是（ ），11是（ ），1是（ ）。
答案：被除数；除数；商；余数
9．商不变的规律（被除数和除数同时乘或除以相同不为零的数）
【知识点归纳】
1、商不变的规律：
被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变
2、被除数不变，除数扩大或缩小若干倍（0除外），商随着缩小或扩大相同的倍数。
除数不变，被除数扩大或缩小若干倍（0除外），商随着扩大或缩小相同的倍数
【方法总结】
规律一：除数不变，被除数乘几或除以几（0除外），商也乘几或除以几。
规律二：被除数不变，除数乘几或除以几（0除外），商就除以几或乘几。
规律三：被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。
【常考题型】
利用商不变的规律进行简便计算。
500÷25 12500÷500
答案：500÷25＝（500×4）÷（25×4）＝2000÷100＝20
12500÷500＝（12500÷100）÷（500÷100）＝125÷5＝25
2、已知两数相除商是50。
若被除数和除数同时乘5，商是（ ）；
若被除数和除数同时除以5，商是（ ）；
若被除数不变，除数乘5，商是（ ）；
答案：50；50；10
10．有余数的除法
【知识点归纳】
（1）一个整数除以另一个自然数，并不是永远可以得到整数的商叫有余数的除法．
如：15÷7＝2…1
（2）有余数除法的性质：
①余数必须小于除数
②不完全商与余数都是唯一的．
（3）运算法则
被除数÷除数＝商+余数，被除数＝除数×商+余数．
【命题方向】
常考题型：
例1：在除法算式m÷n＝a…b中，（n≠0），下面式子正确的是（ ）
A、a＞nB、n＞aC、n＞b
分析：根据在有余数的除法中，余数总比除数小，即除数大于余数；由此解答即可．
解：根据有余数的除法中，余数总比除数小，即除数大于余数，
所以：n＞b；
故选：C．
点评：解答此题的关键：应明确在有余数的除法中，余数总比除数小．
例2：31÷7＝4…3，如果被除数、除数都扩大10倍，那么它的结果是（ ）
A、商4余3 B、商40余3 C、商40余30 D、商4余30
分析：根据商不变的性质，被除数、除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外）商不变，但是在有余数的除数算式中，被除数、除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外）商不变，余数也会扩大或缩小相同的倍数．
解：31÷7＝4…3，
310÷70＝4…30，
所以当被除数、除数同时扩大10倍，商不变，余数也会扩大10倍．
故选：D．
点评：此题主要考查的是商不变的性质在有余数的除法算式中的应用．
11．列竖式计算除法
1.除法用竖式计算时，从被除数最高位开始除起，如若除不了，那么就用最高位和下一位合成一个数来除，直到能除以除数为止。
2.列竖式的过程中要把位数对齐。
3.除到被除数的哪一位，就在那一位上面写上商。
4.每次除后余下的数必须比除数小。
12．0的乘除运算
0的乘除运算
1.0和任何数相乘等于0。
2.0不能做除数。
3.0除以任何一个数（0除外），都得0。
13．表外乘除混合
【知识点归纳】
1、混合运算，先乘除，后加减，有括号的要先算括号里面的，再算括号外面的。只有加、减法或只有乘、除法，都要从左到右按顺序计算。
2、加减乘除混合运算规则：
（1）同级运算时，从左到右依次计算。
（2）两级运算时，先乘除后加减。
（3）有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。
【方法总结】
解决两步计算的实际问题
1、想好先解决什么问题，再解决什么问题。
2、可以画图帮助分析。
3、可以分布计算，也可以列综合算式。
【常考题型】
口算题。
答案：45；27；21；48
李大爷有高血压需长期吃药，医生嘱咐他每天吃6片。李大爷有事要外出8天，药瓶已有24片药，应再放多少片药就够了？
答案：6×8﹣24＝24（片）
体育老师买了4桶羽毛球共花了240元，每桶12个，求每个羽毛球平均多少钱？
答案：240÷4÷12＝5（元）
14．无括号四则混合运算
【知识点归纳】
1、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。
2、在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。
3、在没有括号的算式里，既有乘、除法又有加、减法的，要先算乘除法，再算加减法。
4、算式有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的；大、中、小括号的计算顺序为小→中→大。括号里面的计算顺序遵循以上1、2、3条的计算顺序。
【常考题型】
1、解决问题。
（1）学校合唱团有男生37人，女生人数比男生的3倍多5人。学校合唱团一共有多少人？
（2）学校合唱团有男生37人，比女生的3倍少5人。学校合唱团一共有多少人？
答案：（1）37×3+5+37＝153（人）
答：学校合唱团一共有153人。
（2）37+5＝42（人）
42÷3＝14（人）
14+37＝51（人）
答：学校合唱团一共有51人。
15．带括号的四则混合运算
【知识点归纳】
加减乘除混合运算规则：
1、同级运算时，从左到右依次计算。
2、两级运算时，先乘除后加减。
3、有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。
【方法总结】
1.含有小括号的混合运算的运算顺序：
要先算小括号里面的，再算小括号外面的；小括号里面的，要先算乘、除法，再算加、减法。
2.含有中括号的三步混合运算的运算顺序：
在一个算式里，既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。
【常考题型】
填一填。
计算（230+48）÷（200﹣61）时，应先算（ ）法和（ ）法，最后算（ ）法。
答案：加；减；除
计算888÷[200﹣（40+50）]时，应先算（ ）法，再算（ ）法，最后算（ ）法。
答案：加；减；除
先说一说下面各题的运算顺序，再计算。
360÷（70﹣4×16）158﹣[（27+54）÷9]
答案：乘法﹣减法﹣除法，60；
加法﹣除法﹣减法，149
16．数的估算
【知识点解释】
没有经过准确计算，是对计算结果的一种估计，叫做估算．
估算方法：
①四舍五入法：
例：π（保留两位小数）≈3.14
②进一法：
例：一支笔2.6元，四支需多少钱（保留到整数）
解：2.6×4＝10.4元≈11元
如果四舍五入的话是10元，是不够的，所以是要进上去的
③去尾法：
例：有20元，买3元一支的笔，可卖多少支？
解：20÷3＝6.6666…支≈6支
如果四舍五入是7支，买不到，所以是要去掉的．
【命题方向】
常考题型：
例：估计与288.9×1.756的积最接近的数是（ ）
A、400 B、500 C、600 D、1000
分析：根据小数乘法的估算方法：把相乘的因数看成最接近它的整数来算；288.9≈290，1.756≈1.8，所以与288.9×1.756的积最接近的数是290×1.8≈500，据此选择即可．
解：因为288.9×1.756≈290×1.8≈500，
所以与288.9×1.756的积最接近的数是500．
故选：B．
点评：此题考查了小数乘法的估算方法，注意把相乘的数看成最接近它的整数．
17．简单的归一应用题
【知识点归纳】
已知相互关联的两个量，其中一个量在改变，另一个量也随之改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题．
归一问题可以分为一次归一问题、两次归一问题．
一次归一问题：用一步运算就能求出单一量的归一问题，又称单归一
两次归一问题：用两步运算才能求出单一量的归一问题，又称双归一
归一问题还可以分为正归一问题、反归一问题．
正归一问题：用等分除法求出单一量之后，再用乘法计算结果的归一问题
反归一问题：用等分除法求出单一量之后，再用除法计算结果的归一问题
解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后，以它为标准，根据题目的要求算出结果．
数量关系式：单一量×份数＝总数量（正归一）
总数量÷单一量＝分数（反归一）
【命题方向】
常考题型：
例1：计划5小时做40个零件，3小时做这批零件的（ ）
A、35 B、45 C、34
分析：先算出平均每小时做多少个零件，再算出3小时做多少个零件，把40件零件看做单位“1”，进一步求出3小时做的占40件得几分之几．
解：平均每小时做的零件数：40÷5＝8（个），
3小时做的零件数：8×3＝24（个），
3小时做的占40件的：24÷40=35．
答：3小时做这批零件的35．
故选：A．
点评：解答此题的关键是先求得单一量，再由不变的单一量求得总量，进一步得出答案．
例2：3台织布机4小时织布336米，照这样计算，1台织布机8小时织布多少米？
分析：照这样计算，说明每台织布机，每小时织布量不变，先用336除以3台，求出每台4小时的织布量，再除以4小时，求出每台每小时的织布量，然后乘上8小时即可求解．
解：336÷3÷4×8，
＝112÷4×8，
＝28×8，
＝224（米）；
答：1台织布机8小时织布224米．
点评：解答此题的关键是先求得单一量，再由不变的单一量求得总量．
18．简单的行程问题
【知识点归纳】
计算路程，时间，速度的问题，叫做行程问题．
解题关键及规律：
同时同地相背而行：路程＝速度和×时间
同时相向而行：两地的路程＝速度和×时间
同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及问题＝路程÷速度差
同时同地同向而行（ 速度慢在后，快的在前）：路程＝速度差×时间．
【命题方向】
常考题型：
例1：甲乙两车从A、B两地同时相对开出，甲车每小时行63.5千米，乙车每小时行56.5千米，4小时相遇．A、B两地相距多少千米？
分析：要求A、B∝两地相距多少千米，根据题意，应先求出两车的速度和，即63.5+56.5＝120（千米），然后乘相遇时间，列式解答即可．
解：（63.5+56.5）×4
＝120×4
＝480（千米）
答：A、B两地相距480千米．
点评：此题考查了关系式：速度和×相遇时间＝路程．
例2：王华以每小时4千米的速度从家去学校，16小时行了全程的23，王华家离学校有多少千米？
分析：先依据路程＝速度×时间，求出王华16小时行驶的路程，再运用分数除法意义即可解答．
解：4×16÷23，
=23÷23，
＝1（千米），
答：王华家离学校有1千米．
点评：分数除法意义是解答本题的依据，关键是求出王华16小时行驶的路程．
例3：甲、乙两车同时从两地相向而行，距中点14千米的地方相遇，两车相遇时，它们所行路程的差是（ ）千米．
A、7 B、14 C、28 D、42
分析：由题意可知：两车相遇时，快车超过中点14千米，而慢车距离终点还有14千米，因此它们的路程差为14×2＝28千米，据此即可进行解答．
解：因为两车相遇时，快车超过中点14千米，
而慢车距离终点还有14千米，
因此它们的路程差为14×2＝28千米；
故选：C．
点评：本题主要考查学生时间、路程、速度差的掌握情况．
19．有余数的除法应用题
【知识点归纳】
（1）一个整数除以另一个自然数，并不是永远可以得到整数的商叫有余数的除法．
如：15÷7＝2…1
（2）有余数除法的性质：
①余数必须小于除数
②不完全商与余数都是唯一的．
（3）运算法则
被除数÷除数＝商+余数，被除数＝除数×商+余数．
【命题方向】
常考题型：
例1：一根绳子长17米，剪8米做一根长跳绳，剩下的每2米做一根短跳绳，最多做几条短跳绳？
分析：先用17﹣8求出还剩下多少米，然后根据除法的意义，即可求出结果．
解：（17﹣8）÷2，
＝9÷2，
＝4（条）…1米；
答：最多做4条短跳绳．
点评：解答此题要认真分析题意，联系生活实际，剩了1米，不能再做1条绳．
例2：3位老师带着62位学生去郊游．每顶帐篷最多只能住6人．至少要搭多少顶帐篷？
分析：先用“62+3”求出总人数，求至少要搭多少顶帐篷，即求65里面含有几个6，根据求一个数里面含有几个另一个数，用除法解答．
解：（62+3）÷6＝10（顶）…5（人），
至少需：10+1＝11（顶）；
答：至少要搭11顶帐篷．
点评：解答此题用的知识点：根据求一个数里面含有几个另一个数，用除法解答．
20．垂直与平行的特征及性质
【知识点归纳】
1．垂线的定义：
两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）．
2．垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．
3．垂直的判定：垂线的定义．
4．平行线的概念：
在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”．
5．平行线的判定方法：
（1）平行于同一条直线的两直线平行．
（2）垂直于同一条直线的两直线平行．
（3）平行线的定义．
【命题方向】
常考题型：
例1：如果同一平面内两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线（ ）
A、平行 B、互相垂直 C、互相平行 D、相交
分析：根据垂直和平行的特征：两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；进而解答即可．
解：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；
故选：C．
点评：此题考查了垂直和平行的特征及性质．
例2：不相交的两条直线叫平行线． × ．（）
分析：根据平行线的定义，在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．所以说法错误．
解：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，所以本题成立的前提是：在同一平面内．
故答案为：×．
点评：解答此题抓住在同一平面内理解两条直线的位置：平行或相交．
21．平行四边形的特征及性质
【知识点归纳】
平行四边形的概念：
1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
平行四边形用符号“▱ABCD”，如平行四边形ABCD记作“▱ABCD”．
（1）平行四边形属于平面图形．
（2）平行四边形属于四边形．
（3）平行四边形中还包括特殊的平行四边形：矩形，正方形和菱形等．
（4）平行四边形属于中心对称图形．
2．平行四边形的性质：
主要性质
（矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形．）
（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等．
（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”）
（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等．
（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”）
（3）夹在两条平行线间的平行线段相等．
（4）平行四边形的面积等于底和高的积．（可视为矩形）
（5）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形．
（6）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点．
（7）平行四边形不是轴对称图形，矩形和菱形是轴对称图形．
注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质．
【命题方向】
常考题型：
例1：两组对边分别平行没有直角的图形是（ ）
A、长方形 B、平行四边形 C、梯形
分析：平行四边形的含义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
如果两组对边分别平行、有4个直角的四边形是长方形或正方形；
据此判断即可．
解：两组对边分别平行没有直角的图形是平行四边形．
故选：B．
点评：此题应根据平行四边形的含义进行分析、解答．
例2：一个长方形的框架，如果把它拉成一个平行四边形，它的周长和面积（ ）
A、周长不变，面积变大 B、周长不变，面积也不变
C、周长变小，面积变小 D、周长不变，面积变小
分析：平行四边形和长方形的周长就是围成它们的线段的和，每条线段长度没有变化，则周长不变；长方形拉成平行四边形后高变小了，底没变，则面积减小了．
解：平行四边形和长方形的周长就是围成它们的线段的和，每条线段长度没有变化，则周长不变；
长方形拉成平行四边形后高变小了，底没变，则面积减小了．
故选：D．
点评：此题主要考查周长的定义及平行四边形和长方形的面积之间的变化关系．
22．作平行四边形的高
【知识点归纳】
在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高．
垂线段分别是垂足所在边上的高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线．作图时平行四边形的高指的是垂线段本身，而计算时用的是垂线段的长度．
【命题方向】
常考题型：
例：作平行四边形底边上的高．
分析：根据平行四边形的高的意义，从任一顶点作它对边的垂线段，这条垂线就叫高，据此画出即可．
解：根据分析，作图如下：
点评：此题主要根据平行四边形的高的意义和画垂线的方法解决问题，注意作高必须在底边上画出垂直的标志．
23．梯形的特征及分类
【知识点归纳】
1．概念：梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形．
2．分类：
（1）直角梯形：有一个角为直角的梯形为直角梯形
（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形
（3）一般梯形．
【命题方向】
常考题型：
例1：只有一组对边平行的四边形是（ ）
A、三角形 B、长方形 C、平行四边形 D、梯形
分析：根据梯形的定义可知：只有一组对边平行的四边形是梯形，由此即可选择．
解：只有一组对边平行的四边形是梯形，
故选：D．
点评：此题考查了梯形的定义．
例2：两个完全一样的直角梯形，一定不能拼成（ ）
A、平行四边形 B、长方形 C、三角形
分析：两个完全一样的直角梯形，可以拼成平行四边形和长方形，但不能拼成三角形；据此解答．
解：由分析可知：两个完全一样的直角梯形，一定不能拼成三角形；
故选：C．
点评：结合题意，根据完全一样的两个直角三角形拼组的特点，即可得出结论．
24．三角形的分类
【知识点归纳】
1．按角分
判定法一：
锐角三角形：三个角都小于90°．
直角三角形：可记作Rt△．其中一个角必须等于90°．
钝角三角形：有一个角大于90°．
判定法二：
锐角三角形：最大角小于90°．
直角三角形：最大角等于90°．
钝角三角形：最大角大于90°．
其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形．
2．按边分
不等边三角形；
等腰三角形；
等边三角形．
【命题方向】
常考题型：
例：一个三角形，三个内角的度数比是2：3：4，这个三角形为（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定
分析：判断这个三角形是什么三角形，要知道这个三角形中最大角的度数情况，由题意知：把这个三角形的内角和180°平均分了（2+3+4）＝9份，最大角占总和的49，根据一个数乘分数的意义，求出最大角的度数，继而根据三角形的分类判断即可．
解：最大角：180×42+3+4=80（度），
因为最大角是锐角，所以这个三角形是锐角三角形；
故选：A．
点评：此题考查了根据角对三角形分类的方法：三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形．
25．大面积单位间的进率及单位换算
【知识点归纳】
1平方千米＝100公顷＝1000000平方米
1公顷＝10000平方米
【命题方向】
常考题型：
边长是100米的正方形土地的面积是1公顷． √ ．（）
分析：1公顷的规定：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，也即1公顷；据此进行判断．
解：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，即1公顷；
故答案为：√．
点评：此题考查土地面积单位公顷的规定：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，也即1公顷．
26．画指定度数的角
【知识点归纳】
三角板能画出15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、165、180度的角，是30°，45°，60°，90度的和差，因为通过三角尺只能作角的和差．其余的度数只能通过量角器画角．
【命题方向】
常考题型：
例1：画一个120°的角．
分析：画一个120°的角可据以下步骤进行：
（1）先画一条射线使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合；
（2）在量角器120°角刻度线的地方点一个点；
（3）以射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线即可作成一个120°的角．
解：根据角的画法，作图如下：
点评：本题考查了学生根据所给度数利用作图工具画角的动手能力．
例2：用一副三角板画一个105°的角．
分析：显然从两个三角板中，将一个等于45°的角，再加上另一个三角板中等于60°的角，即可得到105°的角．
解：让等腰直角三角形的一个锐角和另一个直角三角形的较大的锐角拼在一起，画出这个角如下图所示，
45°+60°＝105°；
．
点评：本题考查了三角板的角的度数、角的计算、角的拼图、画角的方法，较为简单，熟练掌握三角板各角的度数是解答本题的关键．
27．梯形的周长
【知识点归纳】
梯形的周长＝两腰长度+上底+下底．
【命题方向】
常考题型：
例：一个等腰梯形的周长是30厘米，上底和下底分别为8厘米、10厘米，每条腰长 6 厘米．
分析：因为梯形的周长＝两腰长度+上底+下底，又根据等腰梯形的特点，两腰相等，所以一条腰的长度＝（周长﹣上底﹣下底）÷2，计算即可．
解：（30﹣8﹣10）÷2，
＝12÷2，
＝6（厘米）．
答：每条腰长6厘米．
故答案为：6．
点评：解决本题的关键是明确梯形的周长＝两腰长度+上底+下底，由于两腰长度相等，所以一条腰的长度＝（周长﹣上底﹣下底）÷2．
【解题思路点拨】
理解周长概念，梯形的周长＝两腰长度+上底+下底，要求解其中的一个未知量，只要把其它的几个量求出来，代入公式即可求得．
28．长方形、正方形的面积
【知识点归纳】
长方形面积＝长×宽，用字母表示：S＝ab
正方形面积＝边长×边长，用字母表示：S＝a2．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个长方形的周长是48厘米，长和宽的比是7：5，这个长方形的面积是多少？
分析：由于长方形的周长＝（长+宽）×2，所以用48除以2先求出长加宽的和，再根据长和宽的比是7：5，把长看作7份，宽看作5份，长和宽共7+5份，由此求出一份，进而求出长和宽分别是多少，最后根据长方形的面积公式S＝ab求出长方形的面积即可．
解：一份是：48÷2÷（7+5），
＝24÷12，
＝2（厘米），
长是：2×7＝14（厘米），
宽是：2×5＝10（厘米），
长方形的面积：14×10＝140（平方厘米），
点评：本题考查了按比例分配的应用，同时也考查了长方形的周长公式与面积公式的灵活运用．
答：这个长方形的面积是140平方厘米．
例2：小区前面有一块60米边长的正方形空坪，现要在空坪的中间做一个长32米、宽28米的长方形花圃，其余的植上草皮．（如图）
①花圃的面积是多少平方米？
②草皮的面积是多少平方米？
分析：（1）长方形的面积＝长×宽，代入数据即可求解；
（2）草皮的面积＝正方形的面积﹣长方形的面积，利用正方形和长方形的面积公式即可求解．
解：（1）32×28＝896（平方米）；
（2）60×60﹣896，
＝3600﹣896，
＝2704（平方米）；
答：花圃的面积是896平方米，草皮的面积是2704平方米．
点评：此题主要考查正方形和长方形的面积的计算方法．
【解题思路点拨】
（1）常规题求正方形面积，先求出边长，代入公式即可求得；求长方形面积，分别求出长和宽，代入公式即可求得，面积公式要记牢．
（2）其他求法可通过分割补，灵活性高．
29．轴对称图形的辨识
【知识点归纳】
1．轴对称图形的概念：
如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．学过的图形中，线段、角、等腰三角形、等边三角形、长方形、正方形、等腰梯形、圆形、扇形都是轴对称图形，各自有不同数目的对称轴．
【命题方向】
常考题型：
例：如图的交通标志中，轴对称图形有（ ）
A、4 B、3 C、2 D、1
分析：依据轴对称图形的定义即可作答．
解：图①、③沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，所以图①、③是轴对称图形；
图②、④无论沿哪一条直线对折后，直线两旁的部分都不能够互相重合，所以它们不是轴对称图形．
如图的交通标志中，轴对称图形有2个．
故选：C．
点评：此题主要考查轴对称图形的定义．
30．简单图形的折叠问题
【知识点归纳】
1．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形；
2．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称；
3．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系；
4．充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用的方法之一．
【命题方向】
常考题型：
例1：把一根绳子对折三次，这时每段绳子是全长的（ ）
A、13 B、18 C、19
分析：把原来这根绳子的长度看作单位“1”，把主根绳子对折一次，就是把这根绳子平均分成2段，每段是绳子是全长的12，对折两次，就是把绳子全长的12再对折，每段绳子是全长的12的12，即14，对折三次，就是把绳子全长的14再对折，每段绳子是全长的14的12，即18．
解：1×12×12×12=18；
故选：B
点评：本题是考查简单图形的折叠问题、分数的意义．
例2：把一张长方形纸折成如图时，其中∠1和∠2相等，那么∠1＝（ ）
A、90° B、45° C、60°
分析：如图，把这张长方形纸对折，∠1和∠2相等，也就是把以长方形边上的折痕为顶点的平角（180°）平均分成3份，每份是180°÷3＝60°，即∠1＝60°．
解：如图，
因为2∠2+∠1＝180°，∠1＝∠2
所以∠1＝180°÷3＝60°．
故选：C．
点评：本题是考查简单图形的折叠问题．关键明白2∠2+∠1＝180°．
31．统计图表的填补
【知识点归纳】
1．读懂统计图或者表．
2．将文字和统计量结合起来，根据问题进行计算，一般都是总和是100%，已知几个分量求剩下一个量的值或者已知数量算所占百分比或者根据百分比算数量．
【命题方向】
常考题型：
例1：乐乐记录了爸爸妈妈两个月的电话费支出情况．
【分析】（1）运用爸爸1、2月份的总钱数减去1月份的话费即可得到2月份的话费．把妈妈1、2月份的钱数相加即可得到总钱数．
（2）把爸爸、妈妈1月份的话费相加即可得到合计，把爸爸、妈妈2月份的话费相加即可得到合计，然后再把两次的合计加在一起即可得到总合计．
解：（1）61.0﹣30.2＝30.8（元）
26.7+20.4＝47.1（元）
（2）30.2+26.7＝56.9（元）
30.8+20.4＝51.2（元）
56.9+51.2＝108.1（元）
【点评】此题主要依据加法及减法的意义解决实际问题．
32．从统计图表中获取信息
【知识点归纳】
图象信息题是指由图形、图象（表）及易懂的文字说明来提供问题情景的一类问题，它是近几年所展示的一种新的题型．这类问题题型多样，取材广泛，形式灵活，突出对考生收集、整理和加工信息能力的考查．是近几年中考的热点．解图象信息题的关键是“识图”和“用图”．解这类题的一般步骤是：
（1）观察图象，获取有效信息；
（2）对已获信息进行加工、整理，理清各变量之间的关系；
（3）选择适当的数学工具，通过建模解决问题．
【命题方向】
常考题型：
例1：在一个圆形花坛内种了三种花（如图所示），用条形统计图表示各种花的占地面积是（ ）
A、 B、 C、 D、
【分析】有扇形统计图可知：
水仙占25%，丁香占25%，而菊花占50%，即水仙的数量与丁香的数量相等，菊花的数量是水仙的2倍．
解：由图可知：水仙的数量与丁香的数量相等，菊花的数量是水仙的2倍；
在条形统计图上，有2根直条相等，另一根是这两根的2倍；
只有D选项符合这一形状．
故选：D．
【点评】本题关键是先读懂扇形统计图，找出各个量之间的关系，再把这一关系在条形统计图上表示出来．
33．积的变化规律
【知识点归纳】
积的变化规律：
（1）如果一个因数乘或除以一个数，另一个因数不变，那么，它们的积也乘或除以同一个数．
（2）如果一个因数乘或除以一个数，另一个因数除以或乘同一个数，那么，它们的积不变．
【命题方向】
常考题型：
例：a×b的一个因数乘10，另一个因数也乘10，得到的积等于（ ）
A、原来的积乘10 B、原来的积乘20 C、原来的积乘100
分析：根据积的变比规律：一个因数乘10，另一个因数也乘10，原来的积就乘10×10．据此进行选择即可．
解：a×b的一个因数乘10，另一个因数也乘10，得到的积等于原来的积乘100．
故选：C．
点评：此题考查积的变化规律的运用：一个因数乘（或除以）10，另一个因数也乘（或除以）10，原来的积就乘（或除以）100．
34．烙饼问题
【知识点归纳】
1．烙饼问题公式：
总时间＝饼数×2÷每锅的可烙的数量×烙每面的时间
当时间算出来不为整数时，采用进一法取近似数．如饼数为4，每一锅的只数为3时，根据公式，4×2÷3×1约＝3分
2．深层意义：
烙饼问题只是一种数学思考的方法．其实这种合理安排时间的问题，就是“优化问题”，也是被数学家华罗庚称作“运筹安排”的问题．
【命题方向】
常考题型：
例1：用一只平底锅煎饼，每次只能同时煎两张饼．如果煎一张饼需4分钟（正反面各需2分钟），那么煎5张饼至少需要 10 分钟．
分析：5÷2＝2（组）…1（张），那么就要煎6次共需2×6＝12（分钟），最后一次只煎1张饼，浪费了时间．
第一次先煎2张饼，剩下的3张饼可以这样煎：先煎2张的正面；煎熟后拿出第一张，放入第三张，煎第二张的反面和第三张的正面；煎熟后第二张就熟了，再煎第一张和第三张的反面
解：前2张煎2面，用时间4分钟．剩下3张假设为①、②、③：
第一次：放①的正面和②的正面，
第二次：放①的反面和③的正面，
第三次：放②的反面和③的反面，
共用2×3＝6（分钟）．
全部时间：4+6═10（分钟）；
答：煎5只饼至少需要10分钟．
故答案为：10
点评：解决此类问题的方法是使效率最大化，即锅能放满就尽量放满，不做无用工．
35．田忌赛马问题
【知识点归纳】
1．田忌赛马：
田忌赛马说的是田忌和别人赛马的故事，大概如下：用自己的劣等马对决对手的优等马用自己的优等马对决对手的中等马用自己的中等马对决对手的劣等马这个故事告诉我们一个道理，从管理学角度叫“策划和决策”，策划计划的重要性．
2．深层意义：
通过简单的事例，初步体会运筹思想和对策方法在解决实际问题中的应用，初步培养应用意识，提高解决实际问题的能力．只要能从解决问题的多种方案中寻找出最优的方案，初步体会优化思想的应用．
3．应用举例：
一位镇长想起了田忌赛马的故事．不与强者争一时的长短，而是依据自己的实际，错开优势，以长击短，因此取胜．联想到招商引资，如果也能注意扬长避短，制造“错位”优势，可能还是打破僵局、走向成功的一个高招．
【命题方向】
常考题型：
例1：森林运动会开始了，场上甲乙两组选手正在准备比赛，采取三局两胜制．第二组要想获胜，应该按照（ ）方案安排比赛顺序．
A．兔子﹣﹣狗；羚羊﹣﹣小鹿；狮子﹣﹣猎豹
B．兔子﹣﹣小鹿；羚羊﹣﹣狗；狮子﹣﹣猎豹
C．兔子﹣﹣猎豹；羚羊﹣﹣狗；狮子﹣﹣小鹿
分析：此题可以结合田忌赛马的故事进行解答，用第二组的第一名对阵第一组的第二名，用第二组的第二名对阵第一组的第三名，用第二组的第三名对阵第一组的第一名，这样第二组会获得2胜1负，从而获胜
解：第二组要想获胜，应该按照兔子﹣﹣猎豹；羚羊﹣﹣狗；狮子﹣﹣小鹿安排比赛顺序．
这样兔子负于猎豹，但是羚羊和狮子都会获胜，2胜1负，从而获胜．
故选：C
点评：此题主要考查了最佳对策问题，结合田忌赛马的故事分析解答是解题关键．
36．图形划分
【知识点归纳】
可以按图形的形状、颜色分类、曲面图形来分，几何图形即从实物中抽象出的各种图形，可帮助人们有效的刻画错综复杂的世界，几何源于西文西方的测地术。小学阶段所涉及到的规则图形一般有圆，三角形，正方形，长方形，平行四边形，梯形和正多边形，其他图形一般称之为不规则图形，不规则图形往往是由规则图形拼凑而成。
【命题方向】
常考题型：
1.下面这个图形被划分成了三个相同的部分，你能把它划分成四个相同的部分吗？试试看，并给它们涂上不同的颜色。
解：如图：
2.添加一条直线使如图的图形划分为一个三角形和一个梯形．

150×3＝
390÷13＝
210﹣99＝
50×210＝
0×38＝
60+50＝
12×500＝
125×24＝
308×34＝
480×50＝
295×36＝
7500÷60＝
882÷18＝
★756÷25＝
拍皮球
踢足球
跳绳
打乒乓球
正正
正
正正正
正正
拍皮球
踢足球
跳绳
打乒乓球
人
人
人
人
题号
17
18
19
20
21
22
答案
C
A
B
C
B
A
150×3＝
390÷13＝
210﹣99＝
50×210＝
0×38＝
60+50＝
12×500＝
125×24＝
150×3＝450
390÷13＝30
210﹣99＝111
50×210＝10500
0×38＝0
60+50＝110
12×500＝6000
125×24＝3000
308×34＝
480×50＝
295×36＝
7500÷60＝
882÷18＝
★756÷25＝
拍皮球
踢足球
跳绳
打乒乓球
正正
正
正正正
正正
拍皮球
踢足球
跳绳
打乒乓球
12 人
9 人
18 人
13 人
拍皮球
踢足球
跳绳
打乒乓球
12人
9 人
18 人
13 人
192+245＝
321﹣119＝
294+356＝
18÷2×5＝
45÷5×3＝
9÷3×7＝
2×3×8＝
1月
2月
合计
爸爸
30.2元
61.0元
妈妈
26.7元
20.4元
合计
1月
2月
合计
爸爸
30.2元
30.8
61.0元
妈妈
26.7元
20.4元
47.1
合计
56.9元
51.2元
108.1元
第一名
第二名
第三名
第一组
猎豹9.0秒
小鹿9.5秒
狗9.9秒
第二组
狮子9.3秒
羚羊9.6秒
兔子10.0秒