2025-2026学年上学期南京小学数学四年级期末典型卷3

这是一份2025-2026学年上学期南京小学数学四年级期末典型卷3，共55页。试卷主要包含了直接写出得数，列竖式计算，并验算，计算下面各题，在横线里填上合适的单位，折纸等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）直接写出得数。
2．（9分）列竖式计算，并验算。
358+274＝
754÷29＝
3．（15分）计算下面各题。
二．填空题（共11小题，满分26分）
4．（3分）在算式□44÷48中，可以把除数48看作 试商比较简便，如果商是一位数，□里最大填 ；如果商是两位数：□里最小填 。
5．（4分）在横线里填上合适的单位。
6．（2分）根据（ ）原理，人们制作了度量角的工具（ ）。
7．（4分）在横线里填上“＞”“＜”或“＝”。
6升60毫升 660毫升
1250÷50 （1250×2）÷（50×2）
平角 锐角+直角
9时30分时针与分针的夹角 直角
8．（1分）在算式30×40+150÷10上加括号，改变运算顺序为先算加法，再算除法，最后算乘法。这个算式是 。
9．（3分）折纸。折一折，算一算，填一填。
长方形内角和是 °。
三角形内角和是 °。
梯形内角和是 °。
10．（2分）冬冬做跳绳练习，第一次跳了108下，第二次跳了116下，第三次跳了130下，他三次跳绳的平均成绩是 下。冬冬不太满意，他要让平均成绩达到125下，那么第四次他至少要跳 下。
11．（2分）张老师买了32支铅笔，至少拿走 支铅笔，正好可以平均奖励给6个优秀学生，每人奖励 支。
12．（2分）分析下列图形的变化规律，然后回答下面的问题。
（1）第5幅图中有 个圆。
（2）第x幅图中圆的数量正好等于第32幅图中三角形的个数，那么x是 。
13．（2分）一个立体图形从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，这个立体图形至少由 个小正方体组成，最多由 个小正方体组成。
14．（1分）纳米材料工厂为学校定制新型校服中含有抗菌层和防水层。抗菌层每套消耗5克纳米材料，生产了30套校服后共消耗了240克纳米材料，防水层每套消耗（ ）克纳米材料。
三．选择题（共10小题，满分10分，每小题1分）
15．（1分）一本故事书有630页，小华每天看42页，多少天能看完？右面竖式计算过程中，虚线框内的部分表示（ ）天看书的页数。
A．1B．10C．15
16．（1分）如图中几何体从正面看到的图形是（ ）
A．B．C．D．
17．（1分）足球58元，比篮球贵13元，排球比足球便宜8元，买一个排球多少钱？解决“买一个排球多少钱”这个问题，要用到的信息是（ ）
A．58元；8元B．58元；13元C．13元；8元
18．（1分）与88÷0.02得数相同的算式是（ ）
A．880÷0.002B．8800÷20C．88000÷2D．8.8÷0.002
19．（1分）在公路边有三条小路通往小明家，它们的长度分别是125米，207米，115米，其中有一条小路通往小明家是垂直的，那么这条垂直小路的长度是（ ）米。
A．125B．207C．115D．不确定
20．（1分）小冬与小丽玩猜数游戏，小冬说若13.5＜x＜20，那么12.5，x，28这三个数的平均数可能是（ ）
A．18B．19C．20.8D．21.5
21．（1分）在计算时出现这样的情况：□÷54＝△……56，说明（ ）
A．初商偏小要调大B．初商偏小要调小
C．初商偏大要调大D．初商偏大要调小
22．（1分）学校购进400本图书，读书节当天准备平均分给各班，每班分30本。根据下面的计算，下面选项中正确的是（ ）
A．可以分给13个班，还剩1本
B．可以分给130个班，还剩10本
C．可以分给13个班，还剩10本
D．可以分给130个班，还剩1本
23．（1分）如图哪一只手比划出来的角是钝角（ ）
A．B．C．D．
24．（1分）星期六下午，小刚从家出发，到图书馆参加志愿服务，回家后把经历绘制成统计图并写成数学日记，请将日记中描述的与图不一致的地方选择出来。（ ）
A．我下午2时从家出发，回到家时，已经下午5时了
B．图书馆离我家3千米
C．我和其他志愿者为读者们提供了许多服务，我们很高兴，不知不觉，一个半小时就过去了，今天志愿服务的时间到了
D．参加志愿服务中，我还认识了一位新朋友，他也是一位志愿者。我俩的家在同一方向，于是，我们结伴从图书馆一起直接回家
四．操作题（共2小题，满分6分，每小题3分）
25．（3分）我会画。
26．（3分）在一条小河边新建了一个小区：
①为了方便小区居民出行散步，计划穿过小区修建一条与小河平行的人行道，请画出这条人行道。
②为了使小区居民用水方便，计划在小河边建立一个自来水厂向小区供水，自来水厂建在哪里离小区最近？请标出自来水厂的位置并画出管道的位置。
③在小区东边不远处还有一块农田，为了灌溉方便，计划以A点为端点，向东引一条与小河呈50°角的水渠，请画出水渠所在直线。
五．应用题（共5小题，满分29分）
27．（5分）学校买来8盒钢笔，每盒5支，共花960元，平均每支钢笔多少元？（用两种方法解答）
方法一：
方法二：
28．（5分）王老师去超市买奖品，买了35盒黑色水笔，又买了30盒圆珠笔，每盒都有12支。黑色水笔比圆珠笔多几支？
29．（6分）他们参加了航天知识竞赛，并将参赛男生、女生的得分情况进行了记录。
（1）请将得分情况整理在下表中。
航天知识竞赛得分情况统计表
（2）你有什么发现？
30．（5分）再生纸是以废纸为原料加工生产出来的纸张。1吨废纸可以造出850千克再生纸，相当于少砍17棵大树，同时节省化工原料300千克，节约电600千瓦时，节约水100吨，因而被誉为环保型用纸。
（1）废品回收站收购的16吨废旧报纸和书籍，能造出多少千克再生纸？
（2）你还能提出哪些数学问题？并解答。上面题中数据，给你哪些启示？
31．（8分）2024年1月，在寒假来临之际山东文旅在网上发布了一条宣传视频，表达“好客山东人”的热情。以下是视频发布后一周播放量统计表。
（1）根据表中的数据，画出合适的统计图。
（2）这个宣传视频周 的播放量最多，周 到周 的播放量上升最快。
（3）推测一下，为什么一周的访问量会有这样的变化？
2025-2026学年上学期南京小学数学四年级期末典型卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一．计算题（共3小题，满分29分）
1．（5分）直接写出得数。
【考点】两位数除两、三位数；表外乘除混合；两位数乘两位数．
【专题】运算能力．
【答案】30；200；8；6；80；4；420；100；20；25。
【分析】根据两位数除两位数、一位数除多位数以及乘除混合运算的计算法则进行计算即可。
【解答】解：
【点评】本题考查两位数除两位数、一位数除多位数以及乘除混合运算的计算。注意计算的准确性。
2．（9分）列竖式计算，并验算。
358+274＝
754÷29＝
【考点】两位数除两、三位数；千以内加法．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】632；26。
【分析】笔算加法时，相同数位要对齐，从个位算起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。
验算加法：交换加数的位置和不变；或用和减去其中一个加数，得另一个加数。
整数除法的计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位；每次除得的余数要小于除数。
验算除法：可以用商×除数＝被除数，或被除数÷商＝除数进行验算。
【解答】解：358+274＝632
验算：
754÷29＝26
验算：
【点评】本题考查的是二、三位数加、除以两、三位数，明确它们的计算方法是解答关键。
3．（15分）计算下面各题。
【考点】带嵌套括号的混合运算；带括号的表外除加、除减．
【专题】运算能力．
【答案】53；11；60。
【分析】62﹣3×6÷2，先算乘法、除法、再算减法；
100﹣（83+360÷60），先算括号里面的除法，再算括号里面的加法，最后算减法；
900÷[45﹣（35﹣5）]，先算小括号里面的减法，再算中括号里面的减法，最后算除法。
【解答】解：62﹣3×6÷2
＝62﹣18÷2
＝62﹣9
＝53
100﹣（83+360÷60）
＝100﹣（83+6）
＝100﹣89
＝11
900÷[45﹣（35﹣5）]
＝900÷[45﹣30]
＝900÷15
＝60
【点评】此题考查的目的是理解掌握整数四则混合运算的顺序以及它们的计算法则，并且能够正确熟练地进行计算。
二．填空题（共11小题，满分26分）
4．（3分）在算式□44÷48中，可以把除数48看作 50 试商比较简便，如果商是一位数，□里最大填 4 ；如果商是两位数：□里最小填 5 。
【考点】两位数除两、三位数．
【专题】推理能力．
【答案】50，4，5。
【分析】在计算□44÷48试商时，可以把48看作和它相近的50进行估算；
三位数除以两位数，要想商是一位数，则被除数前两位上的数要小于除法；要想商是两位数，则被除数前两位上的数要大于或等于除数。据此解答。
【解答】解：在计算□44÷48试商时，可以把除数48看成50来试商。
计算□44÷48，要使商是一位数，则□4小于48，□里最大填4；要使商是两位数，则□4大于或等于48，□里最小填5。
故答案为：50，4，5。
【点评】本题主要考查两位数除三位数除法的运算以及试商的方法。
5．（4分）在横线里填上合适的单位。
【考点】根据情景选择合适的计量单位．
【专题】应用意识．
【答案】毫升，立方厘米，立方米，立方分米。
【分析】根据生活经验以及数据的大小，选择合适的计量单位，即可解答。
【解答】解：
故答案为：毫升，立方厘米，立方米，立方分米。
【点评】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择。
6．（2分）根据（ 将圆平均分成360份的 ）原理，人们制作了度量角的工具（ 量角器 ）。
【考点】角的度量．
【专题】综合题；几何直观．
【答案】将圆平均分成360份的，量角器。
【分析】人们把圆平均分成360份，将其中1份所对的角作为度量角的单位，它的大小是1度，记作1°，根据这一原理，人们制作了度量角的工具量角器。
【解答】‌解：根据将圆平均分成360份的原理，人们制作了度量角的工具。
故答案为：将圆平均分成360份的，量角器。
【点评】熟悉量角器的制作原理是解决本题的关键。
7．（4分）在横线里填上“＞”“＜”或“＝”。
6升60毫升 ＞ 660毫升
1250÷50 ＝ （1250×2）÷（50×2）
平角 ＞ 锐角+直角
9时30分时针与分针的夹角 ＜ 直角
【考点】体积、容积进率及单位换算；钟面上的角；商不变的规律（被除数和除数同时乘或除以相同不为零的数）；角的分类（锐角直角钝角）．
【专题】综合填空题；应用意识．
【答案】＞；＝；＞；＜。
【分析】（1）根据1升＝1000毫升，把升转换成毫升，计算出结果后再进行比较即可；
（2）根据商不变的性质，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；
（3）大于0°小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，平角等于180°，据此解答即可；
（4）钟面一周为360°，钟表上有12个数字，分12大格，每相邻两个数字之间的夹角为30°，每个大格30°，9时30分，时针指向9和10的中间，分针指向6，时针和分针之间的夹角大于3大格，时针与分针之间的夹角大于30°×3＝90°，据此解答即可。
【解答】解：6升60毫升＞660毫升
1250÷50＝（1250×2）÷（50×2）
平角＞锐角+直角
9时30分时针与分针的夹角＜直角
故答案为：＞；＝；＞；＜。
【点评】单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率。
8．（1分）在算式30×40+150÷10上加括号，改变运算顺序为先算加法，再算除法，最后算乘法。这个算式是 30×[（40+150）÷10] 。
【考点】带嵌套括号的混合运算．
【专题】运算能力．
【答案】30×[（40+150）÷10]。
【分析】30×40+150÷10，先算乘除法，再算加法，要使先算加法，再算除法，最后算乘法，把40+150用小括号括起来，把（40+150）÷10用中括号括起来；据此解答。
【解答】解：在算式30×40+150÷10上加括号，改变运算顺序为先算加法，再算除法，最后算乘法。这个算式是30×[（40+150）÷10]。
故答案为：30×[（40+150）÷10]
【点评】括号可以改变运算顺序；一个算式中，即有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。
9．（3分）折纸。折一折，算一算，填一填。
长方形内角和是 360 °。
三角形内角和是 180 °。
梯形内角和是 360 °。
【考点】简单图形的折叠问题．
【专题】几何直观．
【答案】360；180；360。
【分析】长方形内角和是4个直角；图中三角形内角和是一个直角加2个直角的一半；图中梯形内角和是2个直角加一个直角加直角的一半在加直角的一半，据此解答即可。
【解答】解：90°×4＝360°
所以长方形内角和是360°。
90°+90°÷2+90°÷2
＝90°+45°+45°
＝180°
所以三角形内角和是180°。
90°×2+（90°+90°÷2）+90°÷2
＝180°+135°+45°
＝360°
所以梯形内角和是360°。
答：长方形内角和是360°；三角形内角和是180°；梯形内角和是360°。
故答案为：360；180；360。
【点评】本题考查了多边形内角和知识以及简单的折叠知识，结合题意分析解答即可。
10．（2分）冬冬做跳绳练习，第一次跳了108下，第二次跳了116下，第三次跳了130下，他三次跳绳的平均成绩是 118 下。冬冬不太满意，他要让平均成绩达到125下，那么第四次他至少要跳 146 下。
【考点】平均数的含义及求平均数的方法．
【专题】综合填空题；运算能力．
【答案】118；146。
【分析】根据“平均数＝总数÷份数”，用三次跳绳下数之和除以3即是他三次跳绳的平均成绩；根据“总数＝平均数×份数”，用平均成绩达到125乘4即是4次需要跳的总下数，减去前三次的总下数即是第四次需要跳的下数。
【解答】解：（108+116+130）÷3
＝354÷3
＝118（下）
125×4﹣（108+116+130）
＝500﹣354
＝146（下）
答：他三次跳绳的平均成绩是118下。冬冬不太满意，他要让平均成绩达到125下，那么第四次他至少要跳146下。
故答案为：118；146。
【点评】本题考查了求平均数问题的应用。
11．（2分）张老师买了32支铅笔，至少拿走 2 支铅笔，正好可以平均奖励给6个优秀学生，每人奖励 5 支。
【考点】有余数的除法应用题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】2，5。
【分析】用32支铅笔，要平均分给6个小朋友，就要32除以6求出商和余数，要使正好可以平均奖励给6个优秀学生，那么把余数去掉即可。
【解答】解：32÷6＝5（支）（支）
答：至少拿走2支铅笔，正好可以平均奖励给6个优秀学生，每人奖励5支。
故答案为：2，5。
【点评】本题考查了有余数除法的灵活运用。
12．（2分）分析下列图形的变化规律，然后回答下面的问题。
（1）第5幅图中有 9 个圆。
（2）第x幅图中圆的数量正好等于第32幅图中三角形的个数，那么x是 481 。
【考点】数与形结合的规律．
【专题】综合填空题；应用意识．
【答案】（1）9；（2）481。
【分析】观察图示结合题意可知，第n幅图中圆的个数：（2n﹣1）个，三角形的个数：（n﹣1）2个，由此解答本题即可。
【解答】解：（1）第5幅图中圆的个数：
2×5﹣1
＝10﹣1
＝9（个）
（2）第32幅图中三角形的个数为：（32﹣1）×（32﹣1）＝961（个）
（961+1）÷2
＝962÷2
＝481
答：第481幅图中圆的数量正好等于第32幅图中三角形的个数。
故答案为：（1）9；（2）481。
【点评】解决本题的关键找出题中的规律，利用找到的规律去解答。
13．（2分）一个立体图形从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，这个立体图形至少由 5 个小正方体组成，最多由 7 个小正方体组成。
【考点】从不同方向观察物体和几何体．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】5；7。
【分析】一个立体图形从上面看到的形状是，所以底层有4个小正方体，从左面看到的形状是，所以上层最少有1个小正方体，最多有3个小正方体，据此解答即可。
【解答】解：4+1＝5（个）
4+3＝7（个）
答：这个立体图形至少由5个小正方体组成，最多由7个小正方体组成。
故答案为：5；7。
【点评】本题是考查从不同方向观察物体和几何图形，培养了学生的观察能力和空间想象能力。
14．（1分）纳米材料工厂为学校定制新型校服中含有抗菌层和防水层。抗菌层每套消耗5克纳米材料，生产了30套校服后共消耗了240克纳米材料，防水层每套消耗（ 3 ）克纳米材料。
【考点】整数四则混合运算应用题．
【专题】运算能力；应用意识．
【答案】3。
【分析】根据题意，先计算抗菌层30套消耗的纳米材料总量，即用5×30，再用总消耗量减去抗菌层的消耗量，得到防水层的总消耗量，最后用防水层的总消耗量÷30套校服，求出防水层每套消耗的克数。
【解答】解：（240﹣5×30）÷30
＝（240﹣150）÷30
＝90÷30
＝3（克）
答：防水层每套消耗3克纳米材料。
【点评】本题主要考查了整数四则混合应用题，关键是弄清数量关系。
三．选择题（共10小题，满分10分，每小题1分）
15．（1分）一本故事书有630页，小华每天看42页，多少天能看完？右面竖式计算过程中，虚线框内的部分表示（ ）天看书的页数。
A．1B．10C．15
【考点】两位数除两、三位数．
【专题】运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】“42”是由10和42相乘所得，表示的是10天看了420页。
【解答】解：42×10＝420（页）
虚线框内的“42”表示10天看的页数。
故选：B。
【点评】本题主要考查了两位数除三位数除法的竖式计算方法，明确各步的意义是关键。
16．（1分）如图中几何体从正面看到的图形是（ ）
A．B．C．D．
【考点】从不同方向观察物体和几何体．
【专题】空间观念；几何直观．
【答案】C
【分析】根据观察，可知的左面图形为；上面图形为；正面图形为。
【解答】解：如图中几何体从正面看到的图形是。
故选：C。
【点评】本题考查从不同方向观察物体和几何体，关键是培养学生的观察能力。
17．（1分）足球58元，比篮球贵13元，排球比足球便宜8元，买一个排球多少钱？解决“买一个排球多少钱”这个问题，要用到的信息是（ ）
A．58元；8元B．58元；13元C．13元；8元
【考点】“提问题”、“填条件”应用题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】A
【分析】求比一个数少几的数是多少，用这个数减少的数计算，即足球的价格﹣排球比足球便宜的钱数＝排球的价格，由此解答。
【解答】解：排球价格为：58﹣8＝50（元）
即解决“买一个排球多少钱”这个问题，要用到的信息是58元和8元。
故选：A。
【点评】此题考查学生解决实际问题的能力。
18．（1分）与88÷0.02得数相同的算式是（ ）
A．880÷0.002B．8800÷20C．88000÷2D．8.8÷0.002
【考点】商的变化规律．
【专题】运算能力．
【答案】D
【分析】两数相除，被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变，据此解答。
【解答】解：选项A，将算式88÷0.02中的被除数88乘10得880，除数0.02除以10得0.002，商会扩大到原来的100倍；
选项B，将算式88÷0.02中的被除数88乘100得8800，除数0.02乘1000得20，商会缩小到原来的110；
选项C，将算式88÷0.02中的被除数88乘1000得88000，除数0.02乘100得2，商会扩大到原来的10倍；
选项D，将算式88÷0.02中的被除数88除以10得8.8，除数0.02除以10得0.002，商不变。
故选：D。
【点评】解答本题需熟练掌握商的变化规律，灵活解答。
19．（1分）在公路边有三条小路通往小明家，它们的长度分别是125米，207米，115米，其中有一条小路通往小明家是垂直的，那么这条垂直小路的长度是（ ）米。
A．125B．207C．115D．不确定
【考点】垂直与平行的特征及性质；两点间线段最短与两点间的距离．
【专题】平面图形的认识与计算；几何直观．
【答案】C
【分析】根据点到直线的距离垂线段最短即可解答。
【解答】解：因为这条小路与公路是垂直的，垂线段最短，
207＞125＞115
所以这条小路的长度是115米。
故选：C。
【点评】本题主要考查最短路线问题，解题关键是了解点到直线的距离垂线段最短。
20．（1分）小冬与小丽玩猜数游戏，小冬说若13.5＜x＜20，那么12.5，x，28这三个数的平均数可能是（ ）
A．18B．19C．20.8D．21.5
【考点】平均数的含义及求平均数的方法．
【专题】平均数问题；应用意识．
【答案】B
【分析】选项A，平均数是18时，18×3﹣12.5﹣28＝13.5，x＝13.5，13.5＝13.5，不符合题意；
选项B，平均数是19时，19×3﹣12.5﹣28＝16.5，x＝16.5，13.5＜16.5＜20，符合题意；
选项C，平均数是20.8时，20.8×3﹣12.5﹣28＝21.9，x＝21.9，21.9＞20，不符合题意；
选项D，平均数是21.5时，21.5×3﹣12.5﹣28＝24，x＝24，24＞20，不符合题意。
【解答】解：19×3﹣12.5﹣28＝16.5
当x＝16.5时，
13.5＜16.5＜20，符合题意。
答：小冬与小丽玩猜数游戏，小冬说若13.5＜x＜20，那么12.5，x，28这三个数的平均数可能是19。
故选：B。
【点评】掌握平均数的含义及求平均数的方法是解题的关键。
21．（1分）在计算时出现这样的情况：□÷54＝△……56，说明（ ）
A．初商偏小要调大B．初商偏小要调小
C．初商偏大要调大D．初商偏大要调小
【考点】两位数除两、三位数；有余数的除法．
【专题】运算能力．
【答案】A
【分析】□÷54＝△……56，余数56大于除数54，说明初商试小了，余数就偏大，所以要把初商调大1即为正确的商。
【解答】解：由分析可得：
在计算时出现这样的情况：□÷54＝△……56，54＜56，说明初商偏小要调大。
故选：A。
【点评】本题考查了三位数除以两位数的计算方法以及试商方法：余数一定要小于除数。
22．（1分）学校购进400本图书，读书节当天准备平均分给各班，每班分30本。根据下面的计算，下面选项中正确的是（ ）
A．可以分给13个班，还剩1本
B．可以分给130个班，还剩10本
C．可以分给13个班，还剩10本
D．可以分给130个班，还剩1本
【考点】两位数除两、三位数．
【专题】应用意识．
【答案】C
【分析】根据商不变规律，被除数和除数同时除以10商不变；观察竖式可知，400除以30，商是13，余数1在十位上，表示余下10本，据此解答。
【解答】解：根据除法竖式可知：可以分给13个班，还剩10本正确。
故选：C。
【点评】本题考查三位数除以两位数的竖式计算。理解竖式中各步的意义是解题的关键。
23．（1分）如图哪一只手比划出来的角是钝角（ ）
A．B．C．D．
【考点】角的分类（锐角直角钝角）；角的概念和表示．
【专题】平面图形的认识与计算；几何直观．
【答案】B
【分析】钝角大于90度的直角，利用三角板的直角测量判断。
【解答】解：是一个钝角。
故选：B。
【点评】本题考查了钝角的特征。
24．（1分）星期六下午，小刚从家出发，到图书馆参加志愿服务，回家后把经历绘制成统计图并写成数学日记，请将日记中描述的与图不一致的地方选择出来。（ ）
A．我下午2时从家出发，回到家时，已经下午5时了
B．图书馆离我家3千米
C．我和其他志愿者为读者们提供了许多服务，我们很高兴，不知不觉，一个半小时就过去了，今天志愿服务的时间到了
D．参加志愿服务中，我还认识了一位新朋友，他也是一位志愿者。我俩的家在同一方向，于是，我们结伴从图书馆一起直接回家
【考点】从统计图表中获取信息；单式折线统计图．
【专题】数据分析观念；应用意识．
【答案】D
【分析】通过观察统计图可知，小刚我下午2时从家出发，回到家时，已经下午5时了；小刚家距离图书馆3千米；小刚和其他志愿者为读者们提供了许多服务，在图书馆工作了一个半小时。据此解答。
【解答】解：由分析得：
A、我下午2时从家出发，回到家时，已经下午5时了。此说法正确；
B、图书馆离我家3千米。此说法正确；
C、我和其他志愿者为读者们提供了许多服务，我们很高兴，不知不觉，一个半小时就过去了，今天志愿服务的时间到了。此说法正确。
D、参加志愿服务中，我还认识了一位新朋友，他也是一位志愿者。我俩的家在同一方向，于是，我们结伴从图书馆一起直接回家。此说法错误。
故选：D。
【点评】此题考查的目的是理解掌握折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。
四．操作题（共2小题，满分6分，每小题3分）
25．（3分）我会画。
【考点】作简单图形的三视图．
【专题】空间观念；几何直观．
【答案】
【分析】左面的立体图形由6个相同的小正方体组成。从前面能看到5个相同的正方形，分两层，上层2个，下层3个，两端齐；从上面能看到4个相同的正方形，分两层，上层3个，下层1个，右齐；从右面能看到3个相同的正方形，分两层，上层1个，下层2个，右齐。
【解答】解：
【点评】本题是考查作简单图形的三视图，能正确辨认从正面、上面、左面（或右面）观察到的简单几何体的平面图形。
26．（3分）在一条小河边新建了一个小区：
①为了方便小区居民出行散步，计划穿过小区修建一条与小河平行的人行道，请画出这条人行道。
②为了使小区居民用水方便，计划在小河边建立一个自来水厂向小区供水，自来水厂建在哪里离小区最近？请标出自来水厂的位置并画出管道的位置。
③在小区东边不远处还有一块农田，为了灌溉方便，计划以A点为端点，向东引一条与小河呈50°角的水渠，请画出水渠所在直线。
【考点】作最短线路图．
【专题】空间与图形；几何直观．
【答案】①②③。
【分析】①根据平行线的特征画图；
②根据点到直线的距离，垂线段最短画图；
③根据所给的方向和方向角画图。
【解答】解：①②③如图所示：
。
【点评】掌握平行线的特征、作最短线路图的方法是解题的关键。
五．应用题（共5小题，满分29分）
27．（5分）学校买来8盒钢笔，每盒5支，共花960元，平均每支钢笔多少元？（用两种方法解答）
方法一：
方法二：
【考点】三位数连续除一位数．
【专题】应用意识．
【答案】24元。
【分析】方法一：每盒钢笔的支数乘买的盒数等于钢笔的总支数，总共花的钱数除以总支数等于每支钢笔的钱数。
方法二：总共花的钱数除以购买钢笔的盒数等于一盒钢笔的价钱，再除以每盒的支数等于每支钢笔的价钱。
【解答】解：方法一：960÷（5×8）
＝960÷40
＝24（元）
方法二：960÷8÷5
＝120÷5
＝24（元）
答：平均每支钢笔24元。
【点评】同一种问题用不同方法解答，本题主要考查学生对发散思维。
28．（5分）王老师去超市买奖品，买了35盒黑色水笔，又买了30盒圆珠笔，每盒都有12支。黑色水笔比圆珠笔多几支？
【考点】整数四则混合运算应用题；整数、小数复合应用题．
【专题】应用意识．
【答案】60支。
【分析】先用35减去30，求出黑色水笔比圆珠笔多几盒，再乘12即可。
【解答】解：（35﹣30）×12
＝5×12
＝60（支）
答：黑色水笔比圆珠笔多60支。
【点评】本题考查了利用整数乘减混合运算解决问题，需准确理解题意。
29．（6分）他们参加了航天知识竞赛，并将参赛男生、女生的得分情况进行了记录。
（1）请将得分情况整理在下表中。
航天知识竞赛得分情况统计表
（2）你有什么发现？
【考点】统计图表的填补；从统计图表中获取信息．
【专题】综合题；数据分析观念．
【答案】（1）4、7、3、2；5、4、4、3；
（2）男生得分在81分﹣90分的人数最多（答案不唯一）。
【分析】（1）根据男生、女生的得分，分别数出男生、女生各分数段有多少人。
（2）通过比较男生各分数段的人数，找出男生得分在哪个分数段的人数最多。（答案不唯一）
【解答】解：（1）
（2）7＞4＞3＞2
答：发现男生得分在81分﹣90分的人数最多（答案不唯一）。
故答案为：4、7、3、2；5、4、4、3。
【点评】本题考查的是统计表的应用。
30．（5分）再生纸是以废纸为原料加工生产出来的纸张。1吨废纸可以造出850千克再生纸，相当于少砍17棵大树，同时节省化工原料300千克，节约电600千瓦时，节约水100吨，因而被誉为环保型用纸。
（1）废品回收站收购的16吨废旧报纸和书籍，能造出多少千克再生纸？
（2）你还能提出哪些数学问题？并解答。上面题中数据，给你哪些启示？
【考点】“提问题”、“填条件”应用题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】（1）13600千克；
（2）废品回收站收购的16吨废旧报纸和书籍，能节约水多少吨？1600吨；回收废纸可以节约资源，保护环境，我们日常生活中要养成节约的习惯，改掉不良陋习，杜绝铺张浪费。（答案不唯一）
【分析】（1）1吨废纸可以造再生纸的千克数乘收购的废纸的吨数即可解答；
（2）根据条件提出合理的问题并解答，说出自己的启示。（答案不唯一）
【解答】解：（1）850×16＝13600（千克）
答：能造出13600千克再生纸。
（2）废品回收站收购的16吨废旧报纸和书籍，能节约水多少吨？
100×16＝1600（吨）
答：能节约水1600吨。
启示：回收废纸可以节约资源，保护环境，我们日常生活中要养成节约的习惯，改掉不良陋习，杜绝铺张浪费。（答案不唯一）
【点评】解决本题的关键是找出题中数量关系。
31．（8分）2024年1月，在寒假来临之际山东文旅在网上发布了一条宣传视频，表达“好客山东人”的热情。以下是视频发布后一周播放量统计表。
（1）根据表中的数据，画出合适的统计图。
（2）这个宣传视频周 六 的播放量最多，周 五 到周 六 的播放量上升最快。
（3）推测一下，为什么一周的访问量会有这样的变化？
【考点】绘制条形统计图；统计图表的填补；从统计图表中获取信息．
【专题】统计图表的制作与应用；数据分析观念．
【答案】（1）
（2）六；五；六；（3）随着假期旅游人数的增加，关注此类视频的人越来越多，越来越多的人感受到“好客山东人”的热情，视频的播放量也越来越大。（答案不唯一）
【分析】（1）根据条形统计图可以清楚的表示出数量的多少，结合统计表中的数据，完成统计图；
（2）统计图中直条越高，表示播放量越大；直条相差越多，表示播放量上升越快；据此解答；
（3）结合题中信息合理推测即可。
【解答】解：（1）作图如下：
（2）观察统计图可知，这个宣传视频周六的播放量最多，周五到周六的播放量上升最快。
（3）随着假期旅游人数的增加，关注此类视频的人越来越多，越来越多的人感受到“好客山东人”的热情，视频的播放量也越来越大。（答案不唯一）
故答案为：六；五；六。
【点评】本题考查条形统计图的制作与应用，掌握条形统计图的特点以及制作方法是解题的关键。
考点卡片
1．千以内加法
【知识点归纳】
1、口算两位数的加法：
（1）个位上的数加个位上的数，整十数加整十数，再把两个结果加起来；
（2）一个两位数加另一个两位数的整十数，再用它们的结果加上剩下的一位数。
2、、三位数加两三位数笔算方法：
（1）计算时先把相同数位对齐，从个位加起，哪一位上的数相加满十，要向前一位进一。
（2）加法验算方法：把两个加数的位置调换后再加一遍，两次得到的结果相等就说明计算结果正确，不相等，则说明计算结果不正确，需要重新计算。
【方法总结】
1、三位数加两位数，把相同数位对齐，然后把相同数位上的数相加，得数写在相应的数位上。哪一位相加满十就要向前一位进1。
2、把两个加数的位置调换后再加一遍，两次得到的结果相等说明结果正确；不相等，则说明有一次结果不正确，需要重新计算。
【常考题型】
小明在做一道加法题时，把其中的一个加数54写成了45，得到的和是290。聪明的小朋友，你知道正确的结果是多少吗？
答案：290﹣45+54＝299
站前小学二年级为本校一名贫困生捐款。一班捐了178元，二班捐了251元，这两个班一共捐了多少元？
答案：178+251＝429（元）
2．两位数乘两位数
【知识点归纳】
1、两位数乘两位数的笔算方法：
（1）先用第二个乘数个位上的数去乘第一个乘数，得数的末位和乘数个位对齐；
（2）再用第二个乘数十位上的数去乘第一个乘数，得数的末位和乘数的十位对齐；
（3）然后把两次乘得的积加起来。
【方法总结】
两位数乘两位数在笔算：
1、首先要相同数位对齐，
2、用下面因数的个位数和十位数依次去乘上面因数的个位数和十位数，将所得的积相加。
注意：
验算：交换两个因数的位置。
【常考题型】
1、笔算题。
32×13 27×56 43×58
答案：416；1512；2494
2、84×23的积是（ ）位数，最高位是（ ）位。
答案：四；千
3、32×30的积是32×（ ）的积的10倍。
答案：3
4、两位数乘两位数，积可能是（ ）位数，也可能是（ ）位数。
答案：三；四
3．三位数连续除一位数
【知识点归纳】
一、解决两步计算的连除应用题的方法：
1、依次求出每份数；
2、先求出总份数，再求每份数。
二、三位数除以一位数笔算
1、从被除数的最高位除起，每次先用除数试除被除数的前一位数，如果它比除数小，再试除前两位数；
2、除到被除数的哪一位，就把商写在那一位上面；
3、每求出一位商，余下的数必须比除数小。
【方法总结】
笔算三位数除以一位数，一般需要经历五个步骤：一商、二乘、三减、四比、五落。在计算每一位上的数，试商时，需要注意：每求出一位商，余下的数必须比除数小。
【常考题型】
1、3个人用2天时间给围墙钉栅栏，共用了246条木板条，平均每人每天钉多少块木板条？
答案：246÷3÷2＝41（条）
2、4只蜻蜓2小时能捕捉216只蚊子，1只蜻蜓平均每小时能捉多少只蚊子？
答案：216÷4÷2＝27（只）
4．两位数除两、三位数
【知识点归纳】
1、怎样计算除数是两位数的除法：
①把除数看作和它接近的整十数试商。
②计算时从高位算起，先用被除数的前两位除以除数，如果被除数前两位比除数小，就用前三位除以除数。
③除到被除数的第几位，商就写在这一位上。
④注意每次的余数要比除数小。
【方法总结】
1、试商时，用四舍五入法将除数看作最接近的整十数来试商；
若除数看大，则初商可能偏小；
若除数看小，则初商可能偏大。
2、余数要比除数小：最小的余数是1；最大的余数＝除数﹣1。
【常考题型】
1、765÷23的商是（ ）位数，商的最高位是（ ）位。
答案：两；十
2、□÷☆＝5……21，☆最小是（ ），这时的□是（ ）。
答案：22；131
3、□÷16＝9……△，△最大是（ ），这时□是（ ）。
答案：15；159
4、56÷5＝11……1，其中56是除法算式中的（ ），5是（ ），11是（ ），1是（ ）。
答案：被除数；除数；商；余数
5．商不变的规律（被除数和除数同时乘或除以相同不为零的数）
【知识点归纳】
1、商不变的规律：
被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变
2、被除数不变，除数扩大或缩小若干倍（0除外），商随着缩小或扩大相同的倍数。
除数不变，被除数扩大或缩小若干倍（0除外），商随着扩大或缩小相同的倍数
【方法总结】
规律一：除数不变，被除数乘几或除以几（0除外），商也乘几或除以几。
规律二：被除数不变，除数乘几或除以几（0除外），商就除以几或乘几。
规律三：被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。
【常考题型】
利用商不变的规律进行简便计算。
500÷25 12500÷500
答案：500÷25＝（500×4）÷（25×4）＝2000÷100＝20
12500÷500＝（12500÷100）÷（500÷100）＝125÷5＝25
2、已知两数相除商是50。
若被除数和除数同时乘5，商是（ ）；
若被除数和除数同时除以5，商是（ ）；
若被除数不变，除数乘5，商是（ ）；
答案：50；50；10
6．有余数的除法
【知识点归纳】
（1）一个整数除以另一个自然数，并不是永远可以得到整数的商叫有余数的除法．
如：15÷7＝2…1
（2）有余数除法的性质：
①余数必须小于除数
②不完全商与余数都是唯一的．
（3）运算法则
被除数÷除数＝商+余数，被除数＝除数×商+余数．
【命题方向】
常考题型：
例1：在除法算式m÷n＝a…b中，（n≠0），下面式子正确的是（ ）
A、a＞nB、n＞aC、n＞b
分析：根据在有余数的除法中，余数总比除数小，即除数大于余数；由此解答即可．
解：根据有余数的除法中，余数总比除数小，即除数大于余数，
所以：n＞b；
故选：C．
点评：解答此题的关键：应明确在有余数的除法中，余数总比除数小．
例2：31÷7＝4…3，如果被除数、除数都扩大10倍，那么它的结果是（ ）
A、商4余3 B、商40余3 C、商40余30 D、商4余30
分析：根据商不变的性质，被除数、除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外）商不变，但是在有余数的除数算式中，被除数、除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外）商不变，余数也会扩大或缩小相同的倍数．
解：31÷7＝4…3，
310÷70＝4…30，
所以当被除数、除数同时扩大10倍，商不变，余数也会扩大10倍．
故选：D．
点评：此题主要考查的是商不变的性质在有余数的除法算式中的应用．
7．表外乘除混合
【知识点归纳】
1、混合运算，先乘除，后加减，有括号的要先算括号里面的，再算括号外面的。只有加、减法或只有乘、除法，都要从左到右按顺序计算。
2、加减乘除混合运算规则：
（1）同级运算时，从左到右依次计算。
（2）两级运算时，先乘除后加减。
（3）有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。
【方法总结】
解决两步计算的实际问题
1、想好先解决什么问题，再解决什么问题。
2、可以画图帮助分析。
3、可以分布计算，也可以列综合算式。
【常考题型】
口算题。
答案：45；27；21；48
李大爷有高血压需长期吃药，医生嘱咐他每天吃6片。李大爷有事要外出8天，药瓶已有24片药，应再放多少片药就够了？
答案：6×8﹣24＝24（片）
体育老师买了4桶羽毛球共花了240元，每桶12个，求每个羽毛球平均多少钱？
答案：240÷4÷12＝5（元）
8．带括号的表外除加、除减
【知识点归纳】
加减乘除混合运算规则：
1、同级运算时，从左到右依次计算。
2、两级运算时，先乘除后加减。
3、有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。
【方法总结】
1、四则混算的计算法则：先算乘除法，后算加减法，有括号的要先算括号里面的，再算括号外面的。
2、在只有加减，或只有乘除的同级混算中，如果没有括号，就按照从左到右的顺序依次运算。
3、应用题的综合列式要注意：四则混算中如果想先算加减法，就应把加减法用小括号括起来。
【常考题型】
黑天鹅有45只，白天鹅比黑天鹅少36只。黑天鹅的只数是白天鹅的几倍？
答案：45÷（45﹣36）＝5
旅游团有70人，一辆大巴车可以最多坐46人，一辆客车最多可以坐6人，现在坐满了一辆大巴车，还需要几辆客车？
答案：（70﹣46）÷6＝4（辆）
9．带嵌套括号的混合运算
【知识点归纳】
加减乘除混合运算规则：
1、同级运算时，从左到右依次计算。
2、两级运算时，先乘除后加减。
3、有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。
【方法总结】
含有小括号的两步混合运算的运算顺序：
算式里有小括号的，要先算小括号里面的，再算小括号外面的。
【常考题型】
计算题。
答案：8；8；9
10．根据情景选择合适的计量单位
【知识点归纳】
货币单位：元、角、分．1元＝10角，1角＝10分．
时间单位：年、月、日、时、分、秒．1日＝24小时，1小时＝60分，1分＝60秒，1年＝12月．
长度单位：千米（公里）、米、分米、厘米、毫米．1千米＝1000米，1米＝10分米＝100厘米，1分米＝10厘米，1厘米＝10毫米．
面积单位：平方米、平方分米、平方厘米．1平方米＝100平方分米，1平方分米＝100平方厘米．
地积单位：平方千米、公顷、公亩．1平方千米＝100公顷，1公亩＝100平方米，1公顷＝100公亩＝10000平方米．
体积单位：立方米、立方分米、立方厘米．1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1000立方厘米．
容积单位：升、毫升．1升＝1000毫升，1升＝1立方分米，1毫升＝1立方厘米．
质量单位：吨、千克（公斤）、克．1吨＝1000千克，1千克＝1000克．
一般的，货币、长度相邻两个单位进率是10，体积、容积、质量相邻两个单位进率是1000，面积、地积相邻两个单位是100，时间中时分秒相邻两个单位进率是60．
根据情景选择合适的计量单位，根据生活经验，对每种单位和数据大小的认识，即可做出选择．
【命题方向】
常考题型：
例：一台电脑显示器的占地面积是9C ，占据的空间是27B ．
A．平方厘米 B．立方分米 C．平方分米 D．立方厘米．
分析：根据生活经验、对面积单位、体积单位和数据的大小，可知计量一台电脑显示器的占地面积应用“平方分米”做单位；计量占据的空间应用“立方分米”做单位．
解：一台电脑显示器的占地面积是9平方分米，
占据的空间是27立方分米．
故答案为：C、B．
点评：此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择．
11．数与形结合的规律
【知识点归纳】
在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题．
【命题方向】
常考题型：
例：用小棒照下面的规律搭正方形，搭一个用4根，搭2个用7根…，搭10个要用 31 根小棒，搭n个要用 3n+1 根小棒．
分析：能够根据图形发现规律：多一个正方形，则多用3根火柴．
解：观察图形发现：第一个图形需要4根火柴，多一个正方形，多用3根火柴，则第n个图形中，需要火柴4+3（n﹣1）＝3n+1．
当n＝10，3n+1＝31，
答：搭10个要用3根小棒，搭n个要用3n+1根小棒．
故答案为：31，3n+1．
点评：本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力．
12．“提问题”、“填条件”应用题
【知识点归纳】
1．根据已有条件推断可以增添的条件或者问题．
2．填入后，进行检验看是否符合常理或者题意．
3．如果是正确的，进行解答．
【命题方向】
常考题型：
例1：甲仓有大米2400千克， 条件 ，乙仓库有大米多少千克？
2400×40% 乙仓库是甲仓库的40%
2400×（1+40%） 乙仓库比甲仓库多40%；
2400÷40% 是乙仓库的40%
2400÷（1﹣40%） 比乙仓库少40% ．
分析：通过算式发现这些题属于百分数乘、除法应用题，关键是确定单位“1”
（1）用乘法求乙仓库的大米重量，那么单位“1”就是甲仓库的大米重量，应填乙仓库是甲仓库的40%；
（2）用乘法求乙仓库的大米重量，那么单位“1”就是甲仓库的大米重量，和上题不同的是多加个1，说明乙仓库是单位“1”的1+40%，应填：乙仓库比甲仓库多40%；
（3）用除法求乙仓库的大米重量，那么单位“1”是乙仓库的大米重量，应填：是乙仓库的40%；
（4）用除法求乙仓库的大米重量，那么单位“1”是乙仓库的大米重量，2400对应的分数是1﹣40%，说明它比单位“1”少40%，应填：比乙仓库少40%．
解：2400×40%，应填：乙仓库是甲仓库的40%；
2400×（1+40%），应填：乙仓库比甲仓库多40%；
2400÷40%，应填：是乙仓库的40%；
2400÷（1﹣40%），应填：比乙仓库少40%．
点评：此题主要考查百分数乘除应用题的一般形式：由两个数量以及两个数量之间的倍比关系构成；这道题是已知一个数量和两个数量之间的关系，求另一个数量，用乘法解答，单位“1”已知，用除法解答，单位“1”未知．
13．整数四则混合运算应用题
【知识点归纳】
1、应用题是用语言或文字叙述有关事实，反映某种数量关系，并求解未知数量的题目。每个应用题都包括已知条件和所求问题。
以往，中国的应用题通常要求叙述满足三个要求：无矛盾性，即条件之间、条件与问题之间不能相互矛盾；完备性，即条件必须充分，足以保证从条件求出未知量的数值；独立性，即已知的几个条件不能相互推出。
小学数学中把含有数量关系的实际问题用语言或文字叙述出来，这样所形成的题目叫做应用题。任何一道应用题都由两部分构成。第一部分是已知条件（简称条件），第二部分是所求问题（简称问题）。应用题的条件和问题，组成了应用题的结构。应用题的解题技巧就是根据题目中的等量关系列出对应的式子从而求出未知的量
2、运算顺序
（1）在没有括号的算式里，只有加减法或者只有乘除法，要按照从左到右的顺序依次计算。
（2）在没有括号的算式里，既有乘、除法，又有加、减法，要先算乘、除法，再算加、减法。
（3）在含有小括号的算式里，要先算括号里面的，再算括号外的。
（4）在一个算式里，既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。
【命题方向】
常考题型：
1.新学期学校需购进一批桌椅，椅子28元，桌子的价格比椅子的4倍多6元，买45套这样的桌椅一共需要多少钱？
解：（28×4+6+28）×45
＝146×45
＝6570（元）
答：买45套这样的桌椅一共需要6570元。
2.超市运来39箱苹果，已经卖出25箱，每箱40元。
（1）已经卖了多少元？
（2）剩下的按每箱35元售出，还可卖多少元？
解：（1）40×25＝1000（元）
答：已经卖了1000元。
（2）（39﹣25）×35
＝14×35
＝490（元）
答：剩下的按每箱35元售出，还可卖490元。
14．整数、小数复合应用题
【知识点归纳】
1．有两个或两个以上的基本数量关系组成的，用两步或两步以上运算解答的应用题，通常叫做复合应用题．
2．含有三个已知条件的两步计算的应用题．
3．运算按照整数和小数的运算法则进行运算即可．
【命题方向】
常考题型：
例1：三年级3个班平均每班有学生40人．其中一班有38人，二班有40人，三班有（ ）人．
A、38 B、40 C、42
分析：先根据“3个班平均每班有学生40人”求出三年级的总人数是多少，然后用总人数减去一班和二班的人数即是三班的人数是多少．
解：40×3﹣（38+40）
＝120﹣78，
＝42（人）；
答：三班有42人．
故选：C．
点评：先根据3个班的平均数求出总人数是完成本题的关键．
例2：买10千克大米用25.5元，买4.5千克大米用（ ）元．
A、11.475 B、11.48 C、11.4 D、11.47
分析：知道买10千克大米用25.5元，可求买1千克大米用多少钱，进而可求买4.5千克大米用多少钱，计算后选出即可．
解：25.5÷10×4.5
＝2.55×4.5
＝11.475
≈11.48（元）．
故选：B．
点评：此题考查整数、小数复合应用题，先求出每千克大米的钱数，再求4.5千克大米的钱数．
15．有余数的除法应用题
【知识点归纳】
（1）一个整数除以另一个自然数，并不是永远可以得到整数的商叫有余数的除法．
如：15÷7＝2…1
（2）有余数除法的性质：
①余数必须小于除数
②不完全商与余数都是唯一的．
（3）运算法则
被除数÷除数＝商+余数，被除数＝除数×商+余数．
【命题方向】
常考题型：
例1：一根绳子长17米，剪8米做一根长跳绳，剩下的每2米做一根短跳绳，最多做几条短跳绳？
分析：先用17﹣8求出还剩下多少米，然后根据除法的意义，即可求出结果．
解：（17﹣8）÷2，
＝9÷2，
＝4（条）…1米；
答：最多做4条短跳绳．
点评：解答此题要认真分析题意，联系生活实际，剩了1米，不能再做1条绳．
例2：3位老师带着62位学生去郊游．每顶帐篷最多只能住6人．至少要搭多少顶帐篷？
分析：先用“62+3”求出总人数，求至少要搭多少顶帐篷，即求65里面含有几个6，根据求一个数里面含有几个另一个数，用除法解答．
解：（62+3）÷6＝10（顶）…5（人），
至少需：10+1＝11（顶）；
答：至少要搭11顶帐篷．
点评：解答此题用的知识点：根据求一个数里面含有几个另一个数，用除法解答．
16．两点间线段最短与两点间的距离
【知识点归纳】
1．两点之间，线段最短：在两点之间连接出若干条折线、曲线和线段，其中线段的长度最小．
2．应用：当两点在直线两侧时，直接连接两点即可，而不必找对称点；当两点在直线同侧时，需要作出其中一个点关于直线的对称点．
【命题方向】
常考题型：
例1：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段 最短 ，它的长度叫做这点到直线的 距离 ．
分析：根据垂直的性质：从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短；进行解答即可．
解：由垂直的性质得：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离．
故答案为：最短，距离．
点评：此题考查了垂直的性质，是基础题型．
例2：如图中过A点最短的一条线段是（ ）
A、AB B、AC C、AD D、AE
分析：根据“点到直线的距离，垂线段最短”进行解答即可．
解：图中过A点到直线BE的所有线段中，最短的一条是AD；
故选：C．
点评：解答此题应明确：点到直线的距离，垂线段最短．
17．角的概念和表示
【知识点归纳】
定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段．
定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.
（1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.
（2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.
注意：由角的定义可知：
（1）角的组成部分为：两条边和一个顶点；
（2）顶点是这两条边的交点；
（3）角的两条边是射线，是无限延伸的.
（4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部.
角的表示方法：
（1）用三个字母表示，如∠AOB；（2）用数字表示角，如∠1；（3）用一个大写字母表示，如∠A
【命题方向】
常考题型：
1.从一点引出两条______所组成的图形叫做角，角的计量单位用_______来表示。
答案：射线，度。
2.组成角的两条边是两条（ ）
A．线段B．射线C．直线
答案：B
18．角的分类（锐角直角钝角）
【知识点归纳】
根据角的度数，可以把角分为周角、平角、钝角、直角、锐角。
（1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.规定平角为180°
（2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.规定周角为360°
（3）规定平角的一半是90°，直角的两边互相垂直。规定大于90°的角为钝角，小于90°的角为锐角。
【命题方向】
常考题型：
1.钟面上9时整，时针和分针成______角；钟面上6时整，时针和分针成_______角．
解：由分析可知，钟面上9时整时针和分针所成的角是：3×30°＝90°，是一个直角；
6时整，时针指着6，分针指着12，两针成一直线，时针和分针成平角；
故答案为：直，平。
2.2022年北京冬奥会将于2022年2月4日晚上8时开幕，此时时针和分针所形成的角是______角。
答案：钝
3、1平角＝______直角 1周角＝______直角．
答案：2；4
19．垂直与平行的特征及性质
【知识点归纳】
1．垂线的定义：
两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）．
2．垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．
3．垂直的判定：垂线的定义．
4．平行线的概念：
在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”．
5．平行线的判定方法：
（1）平行于同一条直线的两直线平行．
（2）垂直于同一条直线的两直线平行．
（3）平行线的定义．
【命题方向】
常考题型：
例1：如果同一平面内两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线（ ）
A、平行 B、互相垂直 C、互相平行 D、相交
分析：根据垂直和平行的特征：两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；进而解答即可．
解：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；
故选：C．
点评：此题考查了垂直和平行的特征及性质．
例2：不相交的两条直线叫平行线． × ．（）
分析：根据平行线的定义，在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．所以说法错误．
解：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，所以本题成立的前提是：在同一平面内．
故答案为：×．
点评：解答此题抓住在同一平面内理解两条直线的位置：平行或相交．
20．从不同方向观察物体和几何体
【知识点归纳】
视图定义：
当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图象叫做物体的一个视图．
物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图．
主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图．
俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图．
左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图．
人在观察目标时，从眼睛到目标的射线叫做视线，眼睛所在的位置叫做视点，有公共视点的两条视线所称的角叫做视角．
我们把视线不能到达的区域叫做盲区．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个物体的形状如图所示，则此物体从左面看是（ ）
分析：这个几何体是由四个小正方体组成的，根据观察物体的方法，从正面看，是三个正方形，下行二个，上行一个位于右面；从上面看，是三个正方形，上行二个，下行一个位于右面；从左面看是三个正方形，下行二个，上行一个位于左面．由此判断．
解：从左面看到的是三个正方形，左边一列二个正方形，右边一个正方形与左边一列下边的一个成一行；
故选：B．
点评：本题是考查从不同方向观察物体和几何图形．是培养学生的观察能力．
21．作简单图形的三视图
【知识点归纳】
在画组合体三视图之前，首先运用形体分析法把组合体分解为若干个形体，确定它们的组合形式，判断形体间邻接表面是否处于共面、相切和相交的特殊位置；然后逐个画出形体的三视图；最后对组合体中的垂直面、一般位置面、邻接表面处于共面、相切或相交位置的面、线进行投影分析．当组合体中出现不完整形体、组合柱或复合形体相贯时，可用恢复原形法进行分析．
画哪个方向上的三视图就想象哪个方向上有光照到物体上，画出投影即可．
【命题方向】
常考题型：
例：如图立体图形，从正面、上面、侧面看到的形状分别是什么？在方格纸上画一画．
分析：观察图形可知，从正面看到的图形是2层：下层3个正方形，上层1个正方形靠左边；从上面看到的图形是一行3个正方形；从侧面看到的图形是一列2个正方形，据此即可解答问题．
解：根据题干分析画图如下：
点评：此题考查从不同方向观察物体，意在培养学生观察物体的空间思维能力．
22．体积、容积进率及单位换算
【知识点归纳】
体积单位：
1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米
1立方分米＝1000立方厘米，
容积单位：
1升＝1000毫升
1升＝1立方分米＝1000立方厘米
1毫升＝1立方厘米
单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率．
【命题方向】
常考题型：
例1：3升+200毫升＝（ ）毫升．
A、2003 B、320 C、3200
分析：把3升200毫升换算为毫升，先把3升换算为毫升，用3乘进率1000，然后加上200；据此解答．
解：3升+200毫升＝3200毫升；
故选：C．
点评：解决本题关键是要熟记单位间的进率，知道如果是高级单位的名数转化成低级单位的名数，就乘单位间的进率；反之，就除以进率来解决．
例2：750毫升＝ 0.75 升
7.65立方米＝ 7650 立方分米
8.09立方分米＝ 8 升 90 毫升．
分析：（1）把750毫升换算成升数，用750除以进率1000得0.75升；
（2）把7.65立方米换算成立方分米数，用7.65乘进率1000得7650立方分米；
（3）把8.09立方分米换算成复名数，整数部分就是8立方分米，也就是8升，把0.09立方分米换算成毫升数，用0.09乘进率1000得90毫升．
解：（1）750毫升＝0.75升；
（2）7.65立方米＝7650立方分米；
（3）8.09立方分米＝8升90毫升．
故答案为：0.75，7650，8，90．
点评：此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率；把低级单位的名数换算成高级单位的名数，就除以单位间的进率．
23．角的度量
【知识点归纳】
1．角的度量：角度的测量是最基本的测量，最常用的工具是量角器．
2．角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制．
角度制，就是用角的大小来度量角的大小的方法．在角度制中，我们把周角的1360看作1度，那么，半周就是180度，一周就是360度．由于1度的大小不因为圆的大小而改变，所以角度大小是一个与圆的半径无关的量．
弧度制，顾名思义，就是用弧的长度来度量角的大小的方法．单位弧度定义为圆周上长度等于半径的圆弧与圆心构成的角．由于圆弧长短与圆半径之比，不因为圆的大小而改变，所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量．角度以弧度给出时，通常不写弧度单位，有时记为rad或R．
3．度量方法：
量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐．
量角器的0刻度线和角的一条边对齐．
做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度．
看刻度要分清内外圈．
【命题方向】
常考题型：
例1：用一个放大10倍的放大镜看一个50°的角，看到的角是（ ）
A、50° B、500° C、100°
分析：用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变．
解：用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变．
所以用放大10倍的放大镜看一个50度的角，看到的度数仍是50度．
故选：A．
点评：用放大镜看角，很容易错误认为角的度数会被放大相同倍数，关键要学生理解角的大小与边的长短无关．也要认识到一个普遍规律：放大镜只改变物体大小，不改变物体形状，对角而言只是一种图形，既然形状不变，角度也不会改变．
例2：下面每对时刻中，时钟的时针和分针所成的角不一样的有（ ）
A、1：30和2：30 B、3：30和8：30 C、9：00和3：00 D、10：30和1：30
分析：因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，借助图形，找出不同时间下，时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可进行判断，选择．
解：A，1：30时针和分针中间相差，4.5个大格，夹角是：30×4.5＝135度，
2：30时针和分针中间相差3.5个大格，夹角是：30×3.5＝105度；符合题意；
B，3：30时针和分针中间相差2.5个大格，夹角是2.5×30＝75度，
8点30分，时针和分针中间相差2.5个大格，夹角是2.5×30°＝75度；
C，9：00时针和分针中间相差3个大格，夹角是：30×3＝90度，
3：00时针和分针中间相差3个大格，夹角是：30×3＝90度；
D，10：30时针和分针中间相差4.5个大格，夹角是：30×4.5＝135度，
1：30时针和分针中间相差，4.5个大格，夹角是：30×4.5＝135度；
所以夹角不同的是A．
故选：A．
点评：本题考查了钟面角，用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°．
24．钟面上的角
【知识点归纳】钟面上一共有12个大格，每一个大格包含5个小格。由分针一小时走12个大格，时针一小时走1个大格，可以得出，分针的速度是时针的12倍。
①用格数表示
分针一分钟走1个小格，时针走1/12个小格。
②用角度表示
分针一分钟旋转6°，时针一分钟旋转0.5°。
【常考题型】
1.3时整，时针与分针形成的角是______；6时半，时针与分针形成的角是_______。
分析：时钟上12个数字把钟面平均分成12个大格，每个大格是30°。3时整，时针和分针之间有3个大格，则时针和分针的夹角是3×30°。6时半，时针和分针之间有半个大格，则时针和分针的夹角是30°÷2。再判断这两个角的类型。
解：3×30°＝90°
30°÷2＝15°
3时整，时针与分针形成的角是直角；6时半，时针与分针形成的角是锐角。
故答案为：直；锐。
2.钟面上10时35分时，时针与分针的夹角（小于180°的）是多少度？
分析：在钟表上每个大格对应的夹角是30度，10时30分时，时针与分针相差4.5个大格，即30×4.5＝135（度），时针每分钟旋转0.5度，分针每分钟旋转6度，然后求出从10时30分开始，再过5分钟时针与分针旋转的角度即可。
解：30×4.5＝135（度）
0.5×5＝2.5（度）
6×5＝30（度）
135+2.5﹣30＝107.5（度）
答：钟面上10时35分时，时针与分针的夹角（小于180°）的度数是107.5°。
25．简单图形的折叠问题
【知识点归纳】
1．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形；
2．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称；
3．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系；
4．充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用的方法之一．
【命题方向】
常考题型：
例1：把一根绳子对折三次，这时每段绳子是全长的（ ）
A、13 B、18 C、19
分析：把原来这根绳子的长度看作单位“1”，把主根绳子对折一次，就是把这根绳子平均分成2段，每段是绳子是全长的12，对折两次，就是把绳子全长的12再对折，每段绳子是全长的12的12，即14，对折三次，就是把绳子全长的14再对折，每段绳子是全长的14的12，即18．
解：1×12×12×12=18；
故选：B
点评：本题是考查简单图形的折叠问题、分数的意义．
例2：把一张长方形纸折成如图时，其中∠1和∠2相等，那么∠1＝（ ）
A、90° B、45° C、60°
分析：如图，把这张长方形纸对折，∠1和∠2相等，也就是把以长方形边上的折痕为顶点的平角（180°）平均分成3份，每份是180°÷3＝60°，即∠1＝60°．
解：如图，
因为2∠2+∠1＝180°，∠1＝∠2
所以∠1＝180°÷3＝60°．
故选：C．
点评：本题是考查简单图形的折叠问题．关键明白2∠2+∠1＝180°．
26．作最短线路图
【知识点归纳】
做一个点关于直线的对称点，然后连接对称点和另外一个点，与直线的交点就是所求的点，所求的点和已知点之间的距离就是最短线路．
【命题方向】
常考题型：
例：如果从A、B两点各修一条小路与公路接通，要使这两条小路最短，应该怎样修？请你在图中画出来．
分析：因为直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短，所以，只要分别作出A、B两点到公路的垂线段即可．
解：如图所示，只要分别作出A、B两点到公路的垂线段，这两条小路就最短；
答：只要从A、B两点垂直向公路修小路，所修成的小路才最短．
点评：此题主要考查直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短．
27．绘制条形统计图
【知识点归纳】
如何绘制条形统计图：
1．标题：根据统计表所反映的内容，在正上方写上统计图的名称；
2．画出横、纵轴：根据纸张大小，画出两条互相垂直的横轴跟纵轴（射线），并在交点处写上0，然后注明横、纵轴分别表示什么（还要写上单位）；
3．在横轴上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔；
4．在纵轴上，根据数值大小的具体情况，确定单位长度表示多少；
5．画图：按照数据大小，在与水平射线互相垂直的射线上找到相应的位置，然后画出长短不同的直条，并注明数量．
【命题方向】
常考题型：
例1：丽丽整理了四年级一班同学的身高数据，结果如下表．
根据表中数据，完成下面的条形统计图．
（1）这个班身高在 130～139 厘米人数最多， 120～129 厘米人数最少．
（2）丽丽身高是142厘米，按由高到矮的顺序，大约排第 17 名．
（3）冬冬身高正好等于全班同学的平均身高，他的身高大约有 138 厘米．
【分析】根据上面的统计表中的数据绘制条形统计图．
（1）、观察统计图可知130～139厘米的人数最多，120～129厘米的人数最少．
（2）、150厘米及以上的有8人，140～149的有12人，丽丽的身高应在9～20名之间，大约排第17名；
（3）可以根据制作的条形统计图观察、分析后解答．
解：
（1）这个班身高在130～139厘米人数最多，120～129厘米人数最少．
（2）丽丽身高是142厘米，按由高到矮的顺序，可知：150厘米及以上的有8人，140～149的有12人，丽丽的身高应在9～20名之间，大约排第17名；
（3）冬冬身高正好等于全班同学的平均身高，他的身高大约有138厘米；
故答案为：130～139，120～129，17名，138．
【点评】此题主要考查的是如何从统计表中获取数据进行绘制条形统计图和根据条形统计图进行分析、计算、解释．
28．单式折线统计图
【知识点归纳】
1．折线统计图：
用一个单位长度表示一定数量，用折线的上升或下降表示数量的多少和增减变化．容易看出数量的增减变化情况．
2．折现统计图制作步骤：
（1）标题：根据统计表所反映的内容，在正上方写上统计图的名称；
（2）画出横、纵轴：先画纵轴，后画横轴，横、纵轴都要有单位，按纸面的大小来确定用一定单位表示一定的数量；
（3）描点、连线：根据数量的多少，在纵、横轴的恰当位置描出各点，然后把各点用线段顺序连接起来．
【命题方向】
常考题型：
例1：如图，电车从A站经过B站到达C站，然后返回．去时B站停车，而返回时不停，去时的车速为每小时48千米，返回时的车速是每小时 72 千米．
分析：从统计图中可知电车从A站到达B站用了4分钟，并在B站休息了1分钟，从B站到达C站用了5分钟，所以电车从A站到达C站共行驶了4+5＝9（分钟），根据“速度×时间＝路程”求出从A站到C站的距离；电车在C站休息了3分钟，从第13分钟开始行驶到第19分钟返回A站，根据“速度＝路程÷时间”即可得出答案．
解：48×（4+5）÷（19﹣13），
＝48×9÷6，
＝72（千米）；
答：汽车从C站返回A站的速度是每小时行72千米．
故答案为：72．
点评：此题首先根据问题从图中找出所需要的信息，然后根据数量关系式：“速度×时间＝路程”和“速度＝路程÷时间”即可作出解答．
29．平均数的含义及求平均数的方法
【知识点归纳】
1．平均数：是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
2．平均数的求解方法：用所有数据相加的总和除以数据的个数，需要计算才得求出．
【命题方向】
常考题型：
例1：参加某次数学竞赛的女生和男生人数的比是1：3，这次竞赛的平均成绩是82分，其中男生的平均成绩是80分，女生的平均成绩是（ ）
A、82分 B、86分 C、87分 D、88分
分析：根据题意，可找出数量间的相等关系：女生的平均成绩×1+男生的平均成绩×3＝全班平均成绩×4，设女生的平均成绩是x，列并解方程即可．
解：设女生的平均成绩是x，因为总成绩不变，由题意得，
x×1+3×80＝82×（1+3），
x+240＝328，
x＝328﹣240，
x＝88；
或：[82×（1+3）﹣80×3]÷1，
＝（328﹣240）÷1，
＝88（分）；
答：女生的平均成绩是88分．
故选：D．
点评：解答此题关键是先求出全班的总成绩和男生的总成绩，然后求出女生的总成绩，进而求出女生的平均成绩．
30．统计图表的填补
【知识点归纳】
1．读懂统计图或者表．
2．将文字和统计量结合起来，根据问题进行计算，一般都是总和是100%，已知几个分量求剩下一个量的值或者已知数量算所占百分比或者根据百分比算数量．
【命题方向】
常考题型：
例1：乐乐记录了爸爸妈妈两个月的电话费支出情况．
【分析】（1）运用爸爸1、2月份的总钱数减去1月份的话费即可得到2月份的话费．把妈妈1、2月份的钱数相加即可得到总钱数．
（2）把爸爸、妈妈1月份的话费相加即可得到合计，把爸爸、妈妈2月份的话费相加即可得到合计，然后再把两次的合计加在一起即可得到总合计．
解：（1）61.0﹣30.2＝30.8（元）
26.7+20.4＝47.1（元）
（2）30.2+26.7＝56.9（元）
30.8+20.4＝51.2（元）
56.9+51.2＝108.1（元）
【点评】此题主要依据加法及减法的意义解决实际问题．
31．从统计图表中获取信息
【知识点归纳】
图象信息题是指由图形、图象（表）及易懂的文字说明来提供问题情景的一类问题，它是近几年所展示的一种新的题型．这类问题题型多样，取材广泛，形式灵活，突出对考生收集、整理和加工信息能力的考查．是近几年中考的热点．解图象信息题的关键是“识图”和“用图”．解这类题的一般步骤是：
（1）观察图象，获取有效信息；
（2）对已获信息进行加工、整理，理清各变量之间的关系；
（3）选择适当的数学工具，通过建模解决问题．
【命题方向】
常考题型：
例1：在一个圆形花坛内种了三种花（如图所示），用条形统计图表示各种花的占地面积是（ ）
A、 B、 C、 D、
【分析】有扇形统计图可知：
水仙占25%，丁香占25%，而菊花占50%，即水仙的数量与丁香的数量相等，菊花的数量是水仙的2倍．
解：由图可知：水仙的数量与丁香的数量相等，菊花的数量是水仙的2倍；
在条形统计图上，有2根直条相等，另一根是这两根的2倍；
只有D选项符合这一形状．
故选：D．
【点评】本题关键是先读懂扇形统计图，找出各个量之间的关系，再把这一关系在条形统计图上表示出来．
32．商的变化规律
【知识点归纳】
商的变化规律：
①除数不变，被除数乘（除以）一个数，商也乘（除以）同一个数；
②被除数不变，除数乘（除以）一个数，商除以（乘）同一个数；
③被除数和除数同时乘（除以）同一个数，商不变．

240÷8＝
40×5＝
400÷50＝
360÷60＝
100﹣40÷2＝
88÷22＝
840÷2＝
25×4＝
1000÷50＝
10×5÷10×5＝
62﹣3×6÷2
100﹣（83+360÷60）
900÷[45﹣（35﹣5）]
一个水壶的容积约是1500
一块橡皮的体积约8
一个消毒柜的体积约是0.15 。
一个鞋盒的容积约是6 。
男生
92，86，72，98，100，68，79，88
94，87，90，90，85，68，80，89
女生
82，96，90，78，99，88，79，78
92，86，70，68，100，68，78，100
91分及以上
81分～90分
71分～80分
70分及以下
男
女
时间
周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
万人次
23
25
24
23
26
37
35
题号
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
答案
B
C
A
D
C
B
A
C
B
D
240÷8＝
40×5＝
400÷50＝
360÷60＝
100﹣40÷2＝
88÷22＝
840÷2＝
25×4＝
1000÷50＝
10×5÷10×5＝
240÷8＝30
40×5＝200
400÷50＝8
360÷60＝6
100﹣40÷2＝80
88÷22＝4
840÷2＝420
25×4＝100
1000÷50＝20
10×5÷10×5＝25
62﹣3×6÷2
100﹣（83+360÷60）
900÷[45﹣（35﹣5）]
一个水壶的容积约是1500 毫升
一块橡皮的体积约8 立方厘米
一个消毒柜的体积约是0.15 立方米 。
一个鞋盒的容积约是6 立方分米 。
一个水壶的容积约是1500毫升
一块橡皮的体积约8立方厘米
一个消毒柜的体积约是0.15立方米。
一个鞋盒的容积约是6立方分米。
男生
92，86，72，98，100，68，79，88
94，87，90，90，85，68，80，89
女生
82，96，90，78，99，88，79，78
92，86，70，68，100，68，78，100
91分及以上
81分～90分
71分～80分
70分及以下
男
女
91分及以上
81分～90分
71分～80分
70分及以下
男
4
7
3
2
女
5
4
4
3
时间
周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
万人次
23
25
24
23
26
37
35
18÷2×5＝
45÷5×3＝
9÷3×7＝
2×3×8＝
（82﹣18）÷8
72÷（3×3）
63÷（44﹣37）
身高（厘米）
120～129
130～139
140～149
150及以上
人数
7
16
12
8
1月
2月
合计
爸爸
30.2元
61.0元
妈妈
26.7元
20.4元
合计
1月
2月
合计
爸爸
30.2元
30.8
61.0元
妈妈
26.7元
20.4元
47.1
合计
56.9元
51.2元
108.1元